专题4.3 解三角形及其应用（八类重难点题型精练）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点题型】精练（新教材新高考）

专题4.3 解三角形及其应用 目录●重难点题型分布 重难点题型1 利用正弦、余弦定理解三角形 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 2．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 3．（2025·安徽合肥·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、余弦定理解三角形 【分析】结合诱导公式及余弦定理求解即可. 【详解】依题意，. 故选：C． 4．（2025·山东枣庄·二模）在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据题意，利用余弦定理求解. 【详解】由及，得， 由余弦定理，得， 因为，所以. 故选：C 5．（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，再由三角形的内角和定理，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以，即， 所以或（舍去），即， 又因为，则，解得． 故答案为：. 6．（2025·山东泰安·三模）已知中，，，，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解. 【详解】在中，， 由余弦定理得：，解得. 故答案为： 7．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 8．（2025·陕西西安·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求证：； (2)若为锐角三角形且，求a的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理得，进一步结合角的范围即可得证； （2）由正弦定理、三角恒等变换得，由锐角三角形得的取值范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， 又因为，所以， 所以或（舍去）， 所以只能； （2）由题意，所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 从而的取值范围是， 所以的取值范围是. 重难点题型2 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 2．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 3．（2025·安徽合肥·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】诱导公式二、三、四、余弦定理解三角形 【分析】结合诱导公式及余弦定理求解即可. 【详解】依题意，. 故选：C． 4．（2025·山东枣庄·二模）在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据题意，利用余弦定理求解. 【详解】由及，得， 由余弦定理，得， 因为，所以. 故选：C 5．（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，再由三角形的内角和定理，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 所以，即， 所以或（舍去），即， 又因为，则，解得． 故答案为：. 6．（2025·山东泰安·三模）已知中，，，，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解. 【详解】在中，， 由余弦定理得：，解得. 故答案为： 7．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 8．（2025·陕西西安·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求证：； (2)若为锐角三角形且，求a的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理得，进一步结合角的范围即可得证； （2）由正弦定理、三角恒等变换得，由锐角三角形得的取值范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， 又因为，所以， 所以或（舍去）， 所以只能； （2）由题意，所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 从而的取值范围是， 所以的取值范围是. 重难点题型3 与三角形的面积、周长有关的最值问题 1、常用的三角形面积公式： 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心． （1） （2） （3） （4） 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据给定条件，利用正弦定理、三角形面积公式，结合和角的正弦求解. 【详解】在中，，由正弦定理得，解得， ， 所以的面积为. 故选：D 2．（2025·江苏泰州·二模）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】设，在中，分别利用正弦定理和余弦定理，求得边长，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，， 又，则，设，则， 在中，由正弦定理得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，又，解得，则， 所以， 故选：B. 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）在中，记角所对的边分别为，已知，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理边角互化结合题意可得，再由余弦定理可得，然后由基本不等式结合三角形面积公式可得答案. 【详解】由已知及正弦定理，得，即，即． 由余弦定理，得．因为，则．因为，则 ，当时取等号，所以的最大值为． 故答案为： 4．（2025·辽宁·三模）在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值、正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理得，由利用基本不等式可得答案. 【详解】由利用正弦定理得 ， 因为，所以，所以， 的面积，所以 ， 当且仅当时等号成立，． 故答案为：． 5．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 6．（2025·江西萍乡·三模）已知中，，且. (1)若，求的外接圆面积； (2)若，，的面积为，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【分析】（1）由已知及三角恒等变换得，进而得、，再由正弦定理求外接圆半径，即可求圆的面积； （2）由题设及（1）有，进而得，再应用三角形面积公式求得，，，应用余弦定理求，即可得. 【详解】（1）依题意，，则，故， 因为，且，故，则， 故的外接圆半径，故的外接圆面积. （2）由，由（1）知，，又，则， 所以，则，故. 由的面积为，则，代入，可得，， 又，则，解得， 由余弦定理，故的周长为. 7．（2025·海南儋州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，且的面积为1，求的周长． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及勾股定理列式求出周长. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得 ，则，而，因此, 而，所以. （2）由（1）得，，则，又， 因此，所以的周长. 8．（2025·甘肃白银·模拟预测）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且. (1)求A； (2)求面积的最大值； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、二倍角的正弦公式、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式以及二倍角公式化简求解即可； （2）由余弦定理结合基本不等式和三角形面积公式求解即可； （3）由余弦定理结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以 ， 即. 又，则，所以. 因为，所以. （2）由余弦定理可得. 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积. 即面积的最大值为. （3）由余弦定理得. 即，当且仅当时取等号. 9．（2025·广东揭阳·三模）已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的最值； (3)若，，求的面积S的取值范围. 【答案】(1)证明见解析. (2)最小值，无最大值. (3). 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】(1)根据和差化积公式的证明构成做答即可. (2)根据半角公式，题干条件化简为余弦,通过两角和差的余弦公式带入解方程,得内角三角函数关系式,带入求得最值. (3)根据正弦面积公式,和正弦定理,将面积公式转化为函数问题,利用对钩函数单调性,求出面积范围. 【详解】（1）因为， ， 两式相加得，得证. （2）当时，，满足. 令，，故无最大值， 因为 ， ， 则， ， ， 则或， 由，有，则. ①时，，时取等号， ②时， ， 时取等号， 因为，则的最小值是， 综上，有最小值，无最大值. （3）①时，， 则. ②时， 在中，由正弦定理有，则，， 则， 由函数在上单调递减，有， ∴ 综上，的面积的取值范围是. 重难点题型4 解三角形中的中线问题 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 1．（2025·湖北黄冈·三模）在中，角，，的对边分别为，，，已知且. (1)求角； (2)若为的中点，求线段长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、用向量解决线段的长度问题、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解； （2）由，两边平方，再结合即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即， 由余弦定理可得， 因为，所以； （2）点为的中点，则， ， 因为，由（1）可知，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，求出，当且仅当时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 故，又，故， 故，即的取值范围为. 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）记的内角的对边分别为．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）根据正弦定理及已知条件即可证明； （2）根据平面向量线性运算，数量积运算律及余弦定理得出或，再根据余弦定理分别求解即可． 【详解】（1）在中，①， ②， 联立①②得，即， ，． （2）若，则， 又， ， 化简得：，又，即或， 若时，， 则， 若，则（舍）． 综上：． 3．（2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用余弦定理结合基本不等式得到，再利用正弦定理边化角即可得证； （2）利用平面向量加法的平行四边形法则将中线转化为向量表示，再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，得， 故，即，当且仅当时等号成立， 由正弦定理可得， 又，故，即. （2） 设为的中点，则有， 两边平方得，， 即， 故，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为4. 4．（2025·河南·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若D是边AB上靠近点A的三等分点，，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得出答案； （2）设，在和中由余弦定理可求出，，再代入三角形的面积公式即可求出，进而求出的周长. 【详解】（1）由正弦定理得:， 整理得， 即， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）设，则， 在中，由，，得， 由余弦定理得， 所以，解得， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，则， 所以的周长为. 5．（2025·北京·二模）已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由同角三角函数的关系及正弦二倍角公式化简，即可求解； （2）由正弦定理求得，再结合余弦定理求得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由，得． 由，得，故， 所以． （2）由正弦定理得，，即． 由余弦定理得，， 即，解得或（舍）． 所以， 故． 重难点题型5 解三角形的角平分线问题 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷． 3、等面积法： 因为，所以，所以 整理的：（角平分线长公式）． 1．（2025·四川乐山·三模）在中，角的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 【答案】(1) (2)2 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用和差角的余弦公式将变形，再结合角的范围即可求出角； （2）解法一：等面积法. 根据，利用三角形面积公式列出等式，即可求出；解法二，在中，先由余弦定理求出，再由正弦定理求出角及角，进而得到，从而推出是等腰三角形，即可求出. 【详解】（1）由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即. （2）解法一：等面积法. 因为，，由（1）知， 所以， ， ， 因为， 即， 所以解得. 解法二： 在中，因为，，由（1）知， 由余弦定理，解得， 由正弦定理可得， 所以，即或（舍），所以. 又，所以是等腰三角形， 所以. 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知锐角中，角所对的边分别为． (1)求角； (2)若为的平分线，且与交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）首先利用正弦定理将原等式进行化简，然后将等式转化为只含有的等式，然后利用和差倍角的正余弦公式将等式展开，即可求出角. （2）根据正弦定理和余弦定理求出每个角和每条边，然后利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）由及正弦定理， 得. ， ． ， 即， ． 为锐角三角形，， ． ． （2）在中，， 由正弦定理得， ． 为锐角，， . ， ， 在中，． 在中，由余弦定理， 得， ． 3．（2025·湖北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式、和角的正弦公式化简即得. （2）设，利用正弦定理用表示，换元结合余弦定理求出范围，进而构造函数并利用导数求出最小值. 【详解】（1）在中，由，得， 由正弦定理得，即， 则，而，解得，又， 所以. （2）由（1）知，设， 在中，由正弦定理得，， 则，令，， 在中，由余弦定理得， 解得，因此，， 令，求导得，函数在上单调递减， 则，所以的最小值为. 4．（2025·湖北·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)设， （ⅰ）求； （ⅱ）若，角的平分线与AB交于点，求CD的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、图形的性质 【分析】（1）根据平方公式将余弦换成正弦角度关系，结合正弦定理即可证得结论； （2）（ⅰ）根据已知结合（1）中结论求得边的比例关系，结合余弦定理求解即可；（ⅱ）根据已知确定边长的值，再根据角平分线得面积关系，利用面积公式即可转化求解CD的长. 【详解】（1）证明：因为， 所以，整理得， 由正弦定理可得； （2）（ⅰ）因为，，所以， 由于，所以，即，则，即， 由余弦定理得； （ⅱ）若，又，则， 又，因为，所以， 由于，则， 所以. 5．（2025·广西河池·二模）在中，角的对边分别为. (1)求的大小； (2)若，角的平分线交于点，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据公式，以及，化简等式，再根据两角和的余弦公式，即可求解； （2）根据面积公式，再结合余弦定理，即可求解. 【详解】（1）由，得， 整理得，即， ， 因为， 所以； （2）， 则， 则，所以， 而， 则有，所以 重难点题型6 倍角关系 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角中，设边所对的角分别为，且． (1)证明： (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【难度】0.65 【知识点】求cosx(型)函数的值域、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）余弦定理结合已知消元，然后利用正弦定理边化角，利用内角和定理消去角C，用和差公式化简后，利用正弦函数单调性可得； （2）利用正弦定理将目标式转化为关于角B的三角函数，根据锐角三角形定义求角B范围，然后使用换元法，借助对勾函数性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 整理得， 又，所以， 所以， 整理得，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，即. （2）由（1）可知，， 因为，所以由正弦定理可得，，即， 因为，所以， 又，所以，即， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则. 记，则， 由对勾函数可知，在上单调递增， 所以，即的取值范围为 2．（2025高三·全国·专题练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合和角差角公式变形计算即可； （2）运用正弦定理边角互化，再结合余弦函数性质，结合换元法和二次函数性质计算. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得，所以． 所以，即． 所以或， 即或． 因为，，所以． （2）因为为锐角三角形，所以即解得． 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长． 令，由（1）知，所以． 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为． 3．（2023·广东茂名·一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求证：. (2)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】(1)结合正弦定理及正弦和角公式得，结合角度范围即可证明； (2)结合正弦定理及三角恒等变换，结合B角范围即可求解. 【详解】（1）在中， 由及正弦定理得： 又∵， ∴ 即 ， ∵，∴. ∵，∴， （2）得：得， ∴，∴， 由题意，及正弦定理得： ∵，∴，即 故的取值范围为 方法二：由正弦定理得： ∵，∴， 由（1）得：，故 由（1）得：得， ∴，∴， ∴，即， 故的取值范围为 4．（2025·江西新余·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)证明：. (2)若的平分线AD交BC于D，，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，利用和差角正弦公式化简，借助于角的范围即可证明； （2）由已知条件和二倍角公式求得的值，利用等面积和（1）的结论推得即可. 【详解】（1）由及正弦定理， 得 所以， 所以， 即 由，得， 由，，可得 所以或（舍去）， 所以 （2）由，，可得 所以 因(*)， 由（1）可知，又AD平分， 故 则由(*)可得 又，则得 化简得， 两边同除以bc，得， 所以. 5．（2023·辽宁·模拟预测）已知的内角的对边分别为，面积为 ，满足． (1)证明：； (2)是否存在正整数m，n，使得和同时成立．若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，， 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由三角形的面积公式，化简得到，求得，结合正弦定理，即可求解； （2）假设存在正整数，使得和同时成立，结合正弦、余弦定理，化简得到，鸡儿得到，结合为均为正整数，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由，即， 因为，可得，所以， 即，即， 又因为，所以， 又由正弦定理，可得． （2）解：假设存在正整数，使得和同时成立． 所以，即， 化简整理可得， 因为，，所以，即 又因为均为正整数，所以，． 故存在，使得和同时成立 重难点题型7 解三角形的实际应用（距离、高度、角度） 1．（2021·全国乙卷·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】高度测量问题 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】如图所示： 由平面相似可知，，而 ，所以 ，而 ， 即＝ ． 故选：A. 【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出． 2．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题 【分析】设钟楼的高度为，根据相似得到，代入数据计算得到答案. 【详解】如下图，设钟楼的高度为， 由，可得：， 由，可得：， 故， 故， 故选：D.      3．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】连接，根据给定条件，在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求解即得. 【详解】连接，在中，，又，则是正三角形，， 由，，得，， 在中，，由正弦定理得，则， 在中，由余弦定理得. 故选：A    4．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，即可根据等腰三角形求解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，， 因为，所以， 在中，由得， 故选：C 5．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高米，攀登者们在处测得，到觇标底点和顶点的仰角分别为，则的高度差约为（    ） A．7.32米 B．7.07米 C．27.32米 D．30米 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求15°等特殊角的正切、高度测量问题 【分析】画出示意图，结合三角函数的定义和正切展开式求解即可. 【详解】 模型可简化为如上图，在中，， 所以，而， 代入上式并化简可得米， 故选：A. 6．（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度 米. 【答案】204 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出的边长关系，解方程求解即可. 【详解】设米，因为在点B处测得点A的仰角为，所以，所以. 因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以米. 由余弦定理，可得， 即，解得. 故答案为：204 7．（2023·山东济南·三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为 米. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】距离测量问题 【分析】根据已知角的关系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可. 【详解】由题意，，所以， 所以在中，，， 又，所以， 在中，由正弦定理得，，所以， 在中，， 由余弦定理得，， 所以. 故答案为： 重难点题型8 解三角形与三角函数的综合应用 1．（2024·福建·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的面积； (3)以为坐标原点，所在直线为轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题、数量积的运算律 【分析】（1）利用二倍角公式得，再由正弦定理可解； （2）由余弦定理和已知得，由等式两边的取值范围可得，从而可得三角形面积； （3）以为坐标原点建立平面直角坐标系，由数量积坐标运算得动点轨迹方程，即，可解问题. 【详解】（1）根据题意，， 因为，所以， 由正弦定理得，所以； （2）由余弦定理，， 代入，得， 两边同时除以，， 由于，当且仅当时等号成立， 而，当且仅当时等号成立， 即， 由余弦定理， 即，的面积； （3）由（1）（2）可知，，所以， 以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，， ， 故可设（为变量） 则， 所以的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，由题意得，两边同时除以，，接下来由等式左右两边的范围得是解题的关键. 2．（21-22高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，扇形OMN的半径为，圆心角为，A为弧MN上一动点，B为半径上一点且满足. (1)若，求AB的长； (2)求△ABM面积的最大值. 【答案】(1)1； (2). 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、求三角形面积的最值或范围 【分析】(1)在△OAB中，利用余弦定理即可求AB； (2)由题可知AB∥OM，则，设，，在中利用余弦定理和基本不等式求出xy的最大值，再由即可求面积最大值. 【详解】（1）在△OAB中，由余弦定理得，， 即，即，即， ∴； （2），，，∥， ， 设，， 则在中，由余弦定理得， 即，当且仅当时取等号， ∴，当且仅当时取等号. ∴△ABM面积的最大值为. 3．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，成等比数列． (1)若，求角C； (2)若的面积为S，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由题设可得，结合余弦定理可得，应用正弦边角关系、三角恒等变换可得，进而有，即可求角C； （2）由（1）有，结合锐角三角形得，应用三角形面积公式、三角恒等变换可得，令，利用导数求等式右侧单调性，再求值域即得范围. 【详解】（1）由题设，即，且， 由，即， 所以，即， 所以，故， 所以或（舍），可得，故. （2）由（1）知，为锐角三角形，则，可得， 又，则， 所以， 又，，故， 整理得，令，则， 所以，令，则， 故在上递减，，即， 所以在上递减，故. 4．（2022·河南濮阳·模拟预测）在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知． (1)求; (2)若,D为边AC上一点,且．求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形 【分析】（1）运用倍角公式化简即可； （2）根据，利用余弦定理求解. 【详解】（1）由倍角公式得 所以 即 即 （2） 不妨设,则 所以,由题知 设,则① 在中由余弦定理得 在中由余弦定理得 因为,所以 即②,联立①②，解得 所以 【点睛】关键点点睛：本题属于多三角形问题，关键要抓住多个三角形之间的联系. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 解三角形及其应用 目录●重难点题型分布 重难点题型1 利用正弦、余弦定理解三角形 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东枣庄·二模）在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，若，则 ． 6．（2025·山东泰安·三模）已知中，，，，则 . 7．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求证：； (2)若为锐角三角形且，求a的取值范围. 重难点题型2 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东枣庄·二模）在中，内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为，若，则 ． 6．（2025·山东泰安·三模）已知中，，，，则 . 7．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求证：； (2)若为锐角三角形且，求a的取值范围. 重难点题型3 与三角形的面积、周长有关的最值问题 1、常用的三角形面积公式： 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心． （1） （2） （3） （4） 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·二模）某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）在中，记角所对的边分别为，已知，且，则面积的最大值为 ． 4．（2025·辽宁·三模）在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为 ． 5．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 6．（2025·江西萍乡·三模）已知中，，且. (1)若，求的外接圆面积； (2)若，，的面积为，求的周长. 7．（2025·海南儋州·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，且的面积为1，求的周长． 8．（2025·甘肃白银·模拟预测）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且. (1)求A； (2)求面积的最大值； (3)证明：. 9．（2025·广东揭阳·三模）已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. (1)证明：； (2)求的最值； (3)若，，求的面积S的取值范围. 重难点题型4 解三角形中的中线问题 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 1．（2025·湖北黄冈·三模）在中，角，，的对边分别为，，，已知且. (1)求角； (2)若为的中点，求线段长的取值范围. 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）记的内角的对边分别为．已知，点在边上，． (1)证明：； (2)若，求． 3．（2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知. (1)证明：； (2)若边上的中线长为，求的最大值. 4．（2025·河南·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求A； (2)若D是边AB上靠近点A的三等分点，，的面积为，求的周长. 5．（2025·北京·二模）已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，且，求的面积． 重难点题型5 解三角形的角平分线问题 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷． 3、等面积法： 因为，所以，所以 整理的：（角平分线长公式）． 1．（2025·四川乐山·三模）在中，角的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，的角平分线交于，求. 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知锐角中，角所对的边分别为． (1)求角； (2)若为的平分线，且与交于点，求的面积． 3．（2025·湖北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且，求的最小值． 4．（2025·湖北·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)设， （ⅰ）求； （ⅱ）若，角的平分线与AB交于点，求CD的长. 5．（2025·广西河池·二模）在中，角的对边分别为. (1)求的大小； (2)若，角的平分线交于点，求. 重难点题型6 倍角关系 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角中，设边所对的角分别为，且． (1)证明： (2)若，求的取值范围． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，． (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 3．（2023·广东茂名·一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求证：. (2)求的取值范围. 4．（2025·江西新余·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)证明：. (2)若的平分线AD交BC于D，，，求的值. 5．（2023·辽宁·模拟预测）已知的内角的对边分别为，面积为 ，满足． (1)证明：； (2)是否存在正整数m，n，使得和同时成立．若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 重难点题型7 解三角形的实际应用（距离、高度、角度） 1．（2021·全国乙卷·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（    ） A．表高 B．表高 C．表距 D．表距 2．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·云南昆明·一模）早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径．假设一种理想状态：地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆，三个星体的位置如图所示．地球在位置时，测出；行星M绕太阳运动一周回到原来位置，地球运动到了位置，测出，．若地球的轨道半径为R，则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是（参考数据：）（   ）      A． B． C． D． 4．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如弯折位置通常采用30°，45°，60°，90°，120°，150°等特殊角度.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（    ）    A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高米，攀登者们在处测得，到觇标底点和顶点的仰角分别为，则的高度差约为（    ） A．7.32米 B．7.07米 C．27.32米 D．30米 6．（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度 米. 7．（2023·山东济南·三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为 米. 重难点题型8 解三角形与三角函数的综合应用 1．（2024·福建·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的面积； (3)以为坐标原点，所在直线为轴，且A在x轴上方建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 2．（21-22高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，扇形OMN的半径为，圆心角为，A为弧MN上一动点，B为半径上一点且满足. (1)若，求AB的长； (2)求△ABM面积的最大值. 3．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，成等比数列． (1)若，求角C； (2)若的面积为S，求的取值范围． 4．（2022·河南濮阳·模拟预测）在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知． (1)求; (2)若,D为边AC上一点,且．求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$