清单03 一元二次方程（4个考点清单+16种题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北京版）

清单03 一元二次方程（4个考点梳理+16种题型解读） 清单01 一元二次方程相关概念 一、一元二次方程基础 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根. 二、一元二次方程的解法 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 清单02 一元二次方程的解法 1. 直接开平方法（基础） 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法（基础） 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 3. 公式法 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 4. 因式分解法 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤： 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 【易错易混】 1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程； 2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 清单03 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 清单04 一元二次方程的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元二次方程的常见问题及数量关系： 常见问题 数量关系 变化率问题 利润问题 利润=售价-进价； 利润率=利润/进价×100% 总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. 循环问题 单循环（如握手问题）：n（n－1） （其中n为人数） 双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数） 面积问题 (a−2x)(b−2x) （x为空白部分的宽） (a−x)(b−x) （x为阴影部分的宽） 【考点题型一 一元二次方程的相关概念】（） 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．关于的方程是一元二次方程，则满足（ ） A． B． C． D．为任意实数 3．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【考点题型二 一元二次方程解的估算】（） 5．观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 6．根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 7．小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（   ） 0 1 2 5 A． B．0 C．1 D．2 8．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【考点题型三 一元二次方程的一般式】（） 9．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 10．将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 11．一元二次方程化成一般形式后为 ． 12．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【考点题型四 由一元二次方程的解求参数】（） 13．若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 14．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 15．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【考点题型五 一元二次方程的解法】（） 17．用指定的方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)；（因式分解法） (4)．（合适方法） 18．解方程：（用合适方法解一元二次方程） (1)； (2)． 19．解方程 (1) (2) 20．用十字相乘法解下列一元二次方程： (1) (2) 【考点题型六 配方法的应用】（） 21．把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 22．已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 23．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 24．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式；当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【考点题型七 根的判别式】（） 25．已知关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根之和为3 D．两根之积为2 26．一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 27．已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 28．定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：． 根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． 【考点题型八 根据一元二次方程根的情况求参数】（） 29．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 30．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是 ． 31．已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 32．关于的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)求的值． (2)求此时的方程的两个根． 【考点题型九 一元二次方程根与系数的关系】（） 33．已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 34．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设两个实数根是和，且，求k的值． 35．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且是非负整数， (1)求的值； (2)若是该方程的两个实数根，则 ． 36．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求该方程的另一个实数根． 【考点题型十 换元法】（） 37．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 38．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 39．已知，则的值为 ． 40．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ， 即或 (1)【引申】已知，则_____________． (2)【拓展】已知，求的值． 【考点题型十一 增长率问题】（） 41．“要致富，先修路”，某地区为了大力发展乡镇经济，推进乡村道路建设，计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面改造，已知2024年省政府已拨原款4亿元人民币，若每年拨款的增长率相同，预计2026年拨款亿元人民币，则每年拨款的增长率为多少？ 42．某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 43．某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价为每辆25万元的纯电动新能源汽车经过两次价格下调后，售价变为每辆16万元，求平均每次降价的百分率． 44．“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【考点题型十二 与图形有关的问题】（） 45．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 46．如图，在长宽比为的矩形场地修筑同样宽为的道路(道路与矩形边平行或垂直)，余下的部分种上草坪，且草坪的面积为，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少? 47．深圳地铁线路延长段工程正在紧锣密鼓施工，原计划40天完成一段轨道铺设任务．由于采用了新的施工技术，实际只用了25天就全部完工，并且实际每天铺设的轨道长度比原计划多150米． (1)求原计划每天铺设轨道多少米． (2)该地铁线路某站点的装修设计图中，要在一块矩形的墙面区域内，嵌入两个相同的正方形装饰图案．已知矩形墙面的长为8米，宽为6米，嵌入装饰图案后剩余可利用的墙面面积是原来矩形墙面面积的．求正方形装饰图案的边长为多少米． 48．某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【考点题型十三 营销问题】（） 49．平遥古城、乔家大院等景区推出“数字晋商”沉浸式体验项目，2025年3月份的游客数量比去年3月份增长，入选文旅部“非遗旅游经典案例”．以下是某旅行社推出的平遥古城特价一日游信息： 人数 收费标准 不超过30人 人均收费130元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元 某公司组织一批员工进行平遥古城一日游，并支付给旅行社4800元，求该公司参加旅游的员工人数． 50．随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店将进价为元/个的哪吒钥匙扣以元/个出售，平均每天能售出个，该文创店通过调查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨元，其每天的销售量就减少个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为元，且售价不能超过元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？ 51．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． (1)求与之间的函数关系式； (2)水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 52．某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元． (1)求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率． (2)经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆． ①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出_______辆车．（均用含x的代数式表示） ②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益=总租金-各类费用） 【考点题型十四 动态几何问题】（） 53．如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 54．如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，点P出发几秒后，？ 55．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动． (1)经过ts，线段的长为__________cm，线段的长为__________cm． (2)如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，的长度等于？ (3)的面积能否等于？请说明理由 56．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 【考点题型十五 其他问题】（） 57．高空抛物极其危险，据研究，静止的物体从高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒． (1)求一个物体从45米的高空坠落到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：J）物体质量（单位：kg）高度（单位：m），经过查阅资料可知伤害无防护人体只需要64J的动能，一个0.2千克的物品坠落到地面产生了100J的动能，请推算该物品坠落到地面大约用了几秒？ 58．请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求这支球队胜的场次是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛决出冠军？ 59．阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 60．为美化市容，某广场用规格为的灰、白两种颜色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．． 【规律总结】 （1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块． 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由． 【考点题型十六 一元二次方程新定义问题】（） 61．定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 62．定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 63．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 64．定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 一元二次方程（4个考点梳理+16种题型解读） 清单01 一元二次方程相关概念 一、一元二次方程基础 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式： ，它的特征：等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0.其中：是二次项，a是二次项系数，是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 【易错/热考】如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 判断一个数是不是一元二次方程的根：将此数代人这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，则不是方程的根. 二、一元二次方程的解法 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. 清单02 一元二次方程的解法 1. 直接开平方法（基础） 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. 2. 配方法（基础） 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 1）移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 2）二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 4）求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. 3. 公式法 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 2）求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 4）最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： 4. 因式分解法 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤： 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解. 【易错易混】利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. 根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 1）方程有两个不相等的实根:； 2）方程有两个相等的实根：； 3）方程无实根. 【补充说明】由此可知，一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 【易错易混】 1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a，b，c的方程； 2）当时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根. 清单03 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ 【补充说明】 1）一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 2）当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 3）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 4）运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 清单04 一元二次方程的应用 用一元二次方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元二次方程的常见问题及数量关系： 常见问题 数量关系 变化率问题 利润问题 利润=售价-进价； 利润率=利润/进价×100% 总利润=总售价-总成本=单个利润×总销售量. 循环问题 单循环（如握手问题）：n（n－1） （其中n为人数） 双循环（如写信问题）：n（n－1） （其中n为人数） 面积问题 (a−2x)(b−2x) （x为空白部分的宽） (a−x)(b−x) （x为阴影部分的宽） 【考点题型一 一元二次方程的相关概念】（） 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意； ．时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是一元二次方程，故该选项符合题意； ．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．关于的方程是一元二次方程，则满足（ ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定式是解题的关键； 一般地形如（a，b，c都是常数，且）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 3．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ． 【答案】（答案唯一）． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可． 【详解】解：由题意，一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程， ， ， 一元二次方程为， ， 可取， 这个一元二次方程为（答案唯一）． 故答案为：（答案唯一）． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则m= ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．根据题意列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：根据题意可知 解得． 故答案为：． 【考点题型二 一元二次方程解的估算】（） 5．观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，根据表格中的数据可知 当时，，所以方程的一个近似解是． 【详解】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 6．根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当的某个值时，代数式的值为． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的取值范围为：， 故选：B． 7．小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（   ） 0 1 2 5 A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 【详解】解：当时，； 当时，， ∵更接近于0， ∴方程的一个解得整数部分是1， 故选：C． 8．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 【考点题型三 一元二次方程的一般式】（） 9．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． 10．将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 11．一元二次方程化成一般形式后为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 12．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 【考点题型四 由一元二次方程的解求参数】（） 13．若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 14．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 15．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 16．若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 【考点题型五 一元二次方程的解法】（） 17．用指定的方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)；（因式分解法） (4)．（合适方法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）根据公式法解方程即可； （2）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可； （3）利用提取公因式法先分解因式，再解方程即可； （4）利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 18．解方程：（用合适方法解一元二次方程） (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）移项，把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 19．解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟悉一元二次方程的四种基本解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，是解题的依据． （1）利用公式法解一元二次方程． （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴ ∴或． （2）解： ∴或． 20．用十字相乘法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知十字相乘法解一元二次方程是解题的关键． （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 【考点题型六 配方法的应用】（） 21．把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，先利用整式的混合运算法则，结合完全平方公式将化简，因为把整式表示成的形式，得出，故，即可作答． 【详解】解：∵ ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 当时，则有最小值，且为． 故选：A． 22．已知实数，满足，则代数式的最小值等于 ． 【答案】12 【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键． 根据已知条件得到，，代入代数式，运用配方法得到，当时取得最小时，由此计算即可． 【详解】解：实数，满足， ∴，， ∴代数式变形得到, ， ∵， ∴， 当时取得最小时， ∴， ∴最小值为 故答案为：12 ． 23．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 24．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式；当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)当时，的最小值为3 (2)；大；1 (3)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【分析】本题考查了配方法求代数式极值中的应用，不等式的性质，实际应用题中几何关系的建模．解题的关键是正确配方，识别完全平方项的非负性，根据不等式的性质求解 ． （1）将原式配方，，根据 ，再根据不等式的性质求解即可 ． （2）对代数式进行配方，，结合，再根据不等式的性质求解即可． （3）设，由长方形与长方形面积比为，得到，根据栅栏总长度和面积比建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴3， ∴当时，的最小值为3； （2） ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， 故答案为：；大；1； （3）设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 【考点题型七 根的判别式】（） 25．已知关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况为（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根之和为3 D．两根之积为2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据判别式得到，则原方程有两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得两根之和和两根之积，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ， 方程有两个不相等的实数根，， ∴两根之和，两根之积， 故选项说法正确． 故选：C． 26．一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键，先计算判别式，再利用判别式的意义进行判断即可． 【详解】解：在中， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 27．已知关于x的方程，判断该方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 28．定义新运算：对于任意实数、都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：． 根据以上知识解决问题： (1)，求； (2)若的值小于0，请判断方程：的根的情况． 【答案】(1) (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查新定义，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． （1）根据新定义得出，解之可得答案； （2）由2☆的值小于0知，解之求得．再在方程中由可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ，即， ∴ 解得：，， ∴的值为； （2）解：∵的值小于0， ， 解得：． 在方程中，， 方程有两个不相等的实数根． 【考点题型八 根据一元二次方程根的情况求参数】（） 29．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程有有实数根，满足，解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴， 解之，得． 故选：B． 30．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根的判别式及一元二次方程的定义，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．熟知一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵该方程是一元二次方程， ∴， ∴， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， ∴m的取值范围是且， ∴m的值可以是2（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一） 31．已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得． 32．关于的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)求的值． (2)求此时的方程的两个根． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论即可． （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：设一元二次方程的两个实数根分别为， 则； ∵， ∴或 【考点题型九 一元二次方程根与系数的关系】（） 33．已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，再由计算求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再把所求式子去括号得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ． 34．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设两个实数根是和，且，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有两个不相等的实数根，得出，再把数值代入计算，即可作答． （2）运用，得出，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 即k的取值范围是； （2）解：∵一元二次方程的两个实数根是和， ∴ 则， ∴． 35．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且是非负整数， (1)求的值； (2)若是该方程的两个实数根，则 ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据根的判别式可得，再根据是非负整数，即可求解； （2）根据根与系数的关系得，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：， 是非负整数， ． （2）解：当时，方程化为， ∴， ∴， ， 故答案为：． 36．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求该方程的另一个实数根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：设方程的两根为，， 根据根与系数的关系，得， ∴， 即方程的另一个实数根为2． 【考点题型十 换元法】（） 37．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是，， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：B． 38．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元思想是解题的关键．根据题意可知，用替换了原方程中的，结合换元思想即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将一元二次方程中的“”用“”替换， 可得方程， 因为一元二次方程的两根分别为，1， 所以或1， 解得或2， 即方程的两根分别为，． 故选：D． 39．已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了用换元法与因式分解法解一元二次方程；设，则原方程可化为，再用因式分解法解即可，注意当X为负数时要舍去． 【详解】解：设，则原方程可化为， 分解因式得：， 解得：， 由于， ∴不合题意，舍去， ∴， 即， 故答案为：1． 40．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题． 已知关于、的方程，求的值． 解：设，则方程变形为： ， 即或 (1)【引申】已知，则_____________． (2)【拓展】已知，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程与一元二次方程； （1）设进而解一元一次方程，即可求解； （2）设，得出，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：设 ∴， ∴ 故答案为：10； （2）设 ∴ ∴ ∴ 解得：或 即或 【考点题型十一 增长率问题】（） 41．“要致富，先修路”，某地区为了大力发展乡镇经济，推进乡村道路建设，计划用三年时间对整个地区的乡村公路进行全面改造，已知2024年省政府已拨原款4亿元人民币，若每年拨款的增长率相同，预计2026年拨款亿元人民币，则每年拨款的增长率为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出题中的等量关系是解题的关键．设每年拨款的增长率为，则2025年的拨款是2024的拨款乘以，2026年的拨款是2025年拨款乘以，据此列方程求解即可． 【详解】解：设每年拨款的增长率为， 依题意得，， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每年拨款的增长率为． 42．某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 【答案】每次降价的百分率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键．设每次降价的百分率，根据题意列出一元二次方程，求解并选取符合实际的值即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意可得： 解得：（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 43．某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价为每辆25万元的纯电动新能源汽车经过两次价格下调后，售价变为每辆16万元，求平均每次降价的百分率． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系列出方程． 设平均每次降价的百分率为，根据两次降价后的价格列出方程求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得，（不合题意值已舍去） 所以，平均每次降价的百分率为． 44．“道路千万条，安全第一条”，公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规；某安全头盔经销商统计了某品牌头盔6月份到8月份的销量，该品牌头盔6月份销售500个，8月份销售845个，且从6月份到8月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，利用该品牌头盔8月份的销售量=该品牌头盔6月份的销售量（1+该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于x的一元二次方程，求解出增长率，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【考点题型十二 与图形有关的问题】（） 45．实践活动：某中学“田园梦工厂”社团准备围建一个长方形菜园（如图）． 素材1：要围建的菜园边上有一堵墙，长为，菜园的一边靠墙，另外三边用总长为的铝合金材料围建． 素材2：与墙平行的一边上要预留宽的入口． 任务1：当长方形菜园的长为多少米时，菜园的面积为？ 任务2：能否围成的长方形菜园？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：；任务2：不能，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙最长可利用，舍掉不符合题意的数据． 任务1：根据可以砌长的墙的材料，即总长度是，，则，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可； 任务2：利用根的判别式进行判断即可． 【详解】任务1：解：设的长为米， 由题意，得， 解得，（舍去）， 所以， 任务2：解：由题意得， 方程无解， 不能围成的长方形菜园． 46．如图，在长宽比为的矩形场地修筑同样宽为的道路(道路与矩形边平行或垂直)，余下的部分种上草坪，且草坪的面积为，应选择的矩形场地的长和宽分别是多少? 【答案】应选择的矩形场地的长和宽分别是和． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形长为，宽为，根据草坪的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】 解：根据题意，设矩形长为，宽为． 根据题意得， 整理得， 解得：(舍去)，， ∴，． 答：应选择的矩形场地的长和宽分别是和． 47．深圳地铁线路延长段工程正在紧锣密鼓施工，原计划40天完成一段轨道铺设任务．由于采用了新的施工技术，实际只用了25天就全部完工，并且实际每天铺设的轨道长度比原计划多150米． (1)求原计划每天铺设轨道多少米． (2)该地铁线路某站点的装修设计图中，要在一块矩形的墙面区域内，嵌入两个相同的正方形装饰图案．已知矩形墙面的长为8米，宽为6米，嵌入装饰图案后剩余可利用的墙面面积是原来矩形墙面面积的．求正方形装饰图案的边长为多少米． 【答案】(1)250米 (2)米 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设原计划每天铺设轨道米，则实际每天摊铺沥青米，根据轨道总长度相等列出方程，解方程即可； （2）设正方形装饰图案的边长为米，根据面积的熟练关系，列出方程，解方程求解即可． 【详解】（1）解：设原计划每天铺设轨道米，则实际每天摊铺沥青米 根据题意，得 解之得， 所以，原计划每天铺设轨道米． （2）解：设正方形装饰图案的边长为米， 根据题意，得， 解之，得（不合题意，舍去） 所以，正方形装饰图案的边长为米． 48．某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米． (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)通道的宽是2米 (2)40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是米，根据题意列出方程，解出的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨元，根据题意列出方程，解出的值，结合优惠大众选择较小的的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是2米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元， 由题意得，， 解得：，， 又能优惠大众， ， 答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元． 【考点题型十三 营销问题】（） 49．平遥古城、乔家大院等景区推出“数字晋商”沉浸式体验项目，2025年3月份的游客数量比去年3月份增长，入选文旅部“非遗旅游经典案例”．以下是某旅行社推出的平遥古城特价一日游信息： 人数 收费标准 不超过30人 人均收费130元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于50元 某公司组织一批员工进行平遥古城一日游，并支付给旅行社4800元，求该公司参加旅游的员工人数． 【答案】40人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先判断该公司参加旅游的员工人数大于30人．设该公司参加旅游的员工人数为人，根据支付给旅行社4800元列方程求解，然后舍去不符合题意的根即可． 【详解】解：当人数为30人时，总费用为（元）． ， 该公司参加旅游的员工人数大于30人． 设该公司参加旅游的员工人数为人． 根据题意，得． 解得，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去． 答：该公司参加旅游的员工人数为40人． 50．随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店将进价为元/个的哪吒钥匙扣以元/个出售，平均每天能售出个，该文创店通过调查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨元，其每天的销售量就减少个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为元，且售价不能超过元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？ 【答案】这种钥匙扣的售价应定为元/个 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列方程是解题关键． 设这种钥匙扣的售价应定为元/个，由钥匙扣每个的售价每上涨元，其每天的销售量就减少个，列出等式，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：设这种钥匙扣的售价应定为元/个， 根据题意，得， 解得，， ∵这种钥匙扣的售价不能超过元/个， ． 答：这种钥匙扣的售价应定为元/个． 51．2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． (1)求与之间的函数关系式； (2)水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 【答案】(1) (2)水杯的售价为50元或38元． 【分析】本题考查了一次函数的应用——销售问题以及二次方程的应用．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和销售量的关系，列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）根据题意得，注意的取值范围； （2）设每个水杯的售价为元，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，． 答：与之间的函数关系式为． （2）解：设每个水杯的售价为元． 根据题意得． 解得：． 答：水杯的售价为50元或38元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元． 52．某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元． (1)求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率． (2)经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆． ①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为______元，实际能租出_______辆车．（均用含x的代数式表示） ②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益=总租金-各类费用） 【答案】(1) (2)①；；②元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，理解题意是解题关键． （1）设平均增长率为，根据题意列出方程求解即可； （2）①根据题意列出代数式即可； ②利用日收益==总租金−-各类费用，可列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设平均增长率为，则， ，（舍）． ∴平均增长率为； （2）①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为元，实际能租出辆车， 故答案为：；； ②， ，（舍）， ∴每辆汽车的日租金上涨70元． 【考点题型十四 动态几何问题】（） 53．如图，中，，，，动点从点开始沿边向以2mm/s的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以4mm/s的速度移动（不与点重合），如果、分别从、同时出发，问四边形的面积能否等于，若能，求出运动时间；若不能，说明理由． 【答案】不能，理由见详解 【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系并判断自变量的取值范围． 根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取值即可． 【详解】解：不能，理由如下： 假设运动时间为，根据题意得， 即 整理得， 解得，或 ，，所以自变量的取值范围为， 当时，不符合题意； ∴不存在这样的点， ∴四边形的面积不能等于． 54．如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，点P出发几秒后，？ 【答案】点P出发3秒后， 【分析】本题是动态几何问题，考查了解一元二次方程，勾股定理，掌握勾股定理内容是关键；由题意得，在中，由勾股定理求得；再由，得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得， 在中，，， 由勾股定理得； ∵，即， ∴， 整理得：， 解得：； ∵，且， ∴； 即点P出发3秒后，． 55．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2cm/s的速度移动． (1)经过ts，线段的长为__________cm，线段的长为__________cm． (2)如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，的长度等于？ (3)的面积能否等于？请说明理由 【答案】(1) (2)3 (3)不能，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解一元二次方程，对于（1），根据速度乘以时间得出，进而表示； 对于（2），根据勾股定理列出方程，求出解即可； 对于（3），根据面积公式方程，求解即可判断． 【详解】（1）根据题意可知，则． 故答案为：； （2）由（1）知，，根据勾股定理，得 ， 即， 解得或（舍去）， 所以同时出发3秒后，的长度等于； （3）不能，理由如下： ， ， ∵ ∴该方程无解． 所以的面积不能等于7． 56．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 【答案】或时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动时间为，则，， 依题意，得． 整理，得， 解得，， 或时，的面积是． 【考点题型十五 其他问题】（） 57．高空抛物极其危险，据研究，静止的物体从高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒． (1)求一个物体从45米的高空坠落到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：J）物体质量（单位：kg）高度（单位：m），经过查阅资料可知伤害无防护人体只需要64J的动能，一个0.2千克的物品坠落到地面产生了100J的动能，请推算该物品坠落到地面大约用了几秒？ 【答案】(1)一个物体从45米的高空坠落到落地时间为3秒 (2)该物品坠落到地面大约用了3秒 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可得，然后问题可求解； （2）由题意可得，然后把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：（负根舍去）， 答：一个物体从45米的高空坠落到落地时间为3秒． （2）解：由题意得：， 解得：， ∴， 解得：（负根舍去）； 答：该物品坠落到地面大约用了3秒． 58．请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛是体育比赛中的一种赛制，规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次．例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛是体育比赛中的又一种赛制，规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局．胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求这支球队胜的场次是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛，这样场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛决出冠军？ 【答案】问题一：7场；问题二：场 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设这支球队胜的场次是场，则平场是场，再列出一元一次方程，进行解方程，即可作答． （2）先算出报名队伍是支，再根据把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，得出每个小组有5支报名队伍，算出四个小组的总比赛场数，再加上淘汰赛需要进行场比赛，即可作答． 【详解】解：问题一：∵有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分， ∴负场为0， ∴设这支球队胜的场次是场，则平场是场， 依题意得， 解得 ∴这支球队胜的场次是7场； 问题二：设报名队伍为， 则， ∴（负值已舍去）， ∵把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组， ∴， 即每个小组有5支报名队伍， 则（场）， ∴（场）， ∵小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， ∴共有支队伍进入淘汰赛， ∴淘汰赛需要进行场比赛， ∴（场）， ∴这种方案共需要场比赛决出冠军． 59．阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第n行有n个点．容易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15． (1)三角点阵中前7行的点数之和为________，前n行的点数之和为________；（用含n的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和________（填“能”或“不能”）为520； (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第二排摆6盆，第三排摆9盆，…第n排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】(1)28；； (2)不能 (3)一共能摆放20排 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律探索，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是520，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （3）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【详解】（1）解：三角点阵中前7行的点数之和为： ， 前行的点数之和为： ； （2）解：不能，理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， ∴三角点阵中前n行的点数和不能是520； （3）解：同理，前排的盆景之和为： ， 由题意得：， 整理得， 即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 60．为美化市容，某广场用规格为的灰、白两种颜色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示． 【观察思考】 图1中灰砖有1块，白砖有8块；图2中灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．．． 【规律总结】 （1）图4中灰砖有_________块，白砖有________块；图n中灰砖有_______块，白砖有______块． 【问题解决】 （2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形？请通过计算说明你的理由． 【答案】（1），，，；（2）不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形，理由见解析 【分析】本题考查数字规律和一元二次方程的相关知识，解题的关键是掌握数字规律的分析方法和一元二次方程的性质． （1）根据图形算出图3白砖和灰砖的数量，再根据图形规律算出图5白砖和灰砖的数量，通过图1到图4的数字规律得出图n白砖和灰砖的数量； （2）假设存在图n白砖数恰好比灰砖数少16的情形，根据白砖和灰砖的数量建立方程，方程没有整数解说明假设不成立． 【详解】图1灰砖的数量为1， 图2灰砖的数量为4， 图3灰砖的数量为9， 图4灰砖的数量为16， 得图n灰砖的数量为， 图1白砖的数量为， 图2白砖的数量为 图3白砖的数量为， 图4白砖的数量为， 得图n白砖的数量为， 故答案为：25，24；，． 解：（1） （2）假设存在，设图中白砖数恰好比灰砖数少16， 白砖数量为，灰砖数量为， ， ， 方程没有整数解， 不存在白砖数恰好比灰砖数少16的情形． 【考点题型十六 一元二次方程新定义问题】（） 61．定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： (1)求的值； (2)若， 求x的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要查了解一元二次方程： （1）直接根据新运算解答，即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 即， 解得：． 62．定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，请说明理由； (2)已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是“黄金方程”，理由见解析 (2)的最小值为． 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）求出方程的解，根据黄金方程的定义判断即可； （2）利用配方法，非负数的性质求解． 【详解】（1）解：是“黄金方程”，理由如下： ∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴一元二次方程是“黄金方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 63．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的10倍，那么我们把这样的方程定义为“十美方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“十美方程”．根据上述定义，请判断一元二次方程是否为“十美方程”，并说明理由． 【答案】不是“十美方程”，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出原方程的两个实数根是解题的关键，再结合“十美方程”的定义，即可得出一元二次方程不是“十美方程”． 【详解】解：一元二次方程不是“十美方程”，理由如下： ， ， 或， 解得：，， ，，，， 一元二次方程不是“十美方程”． 64．定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 【答案】(1)②③ (2) (3)（或） 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）根据根与系数的关系结合新定义建立方程，再解方程即可； （3）根据根与系数的关系结合新定义求解即可． 【详解】（1）解：①，则 ∴， ∴不满足，故不是“和谐方程”； ②， ∴ 满足，故是“和谐方程”； ③ 解得：， ∴， ∴满足，故是“和谐方程”； 故答案为：②③； （2）解：∵， ∴． ∵方程是“和谐方程”， ∴ ∴． 即． 解得：； （3）解：对于， 则 ∵方程为“和谐方程”， ∴， ∵， ∴，即（或）． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$