精品解析：河北省邢台市南宫市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024~2025学年第二学期八年级第二阶段质量评价 数学（人教版） （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面性质中，菱形不一定具备的是（ ） A. 四条边都相等 B. 每一条对角线平分一组对角 C. 邻角互补 D. 对角线相等 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ①和④ D. ③和④ 6. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 7. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(   ) A. (3+8)cm B. 10cm C. 14cm D. 无法确定 8. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 9. 如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 10. 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 12. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 14. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 15. 如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 19. 阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题： （1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q两点间的距离； （2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由． 20. 如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 21. 追本溯源： 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（ ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 22. 阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝． 因为+＞，所以，﹣＜． 再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝． 当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较﹣和﹣的大小； （2）求y＝﹣+3的最大值． 23. 如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒． （1）求边上高的长度； （2）连接，，当为何值时，四边形为菱形； （3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形． 24. 【问题背景】如图1，在四边形中，，连接，，探究线段、、之间的数量关系． 小明同学的想法是：过点作，交延长线于点，则是等腰直角三角形，可通过证明，得到对应边、对应角相等，最终借助特殊三角形得出结论：，请根据小明的思路，完成以下证明过程： （1）求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，，点是的中点，求的长． 【拓展探究】（3）如图3，在四边形中，，连接，，若，，则当BD最大时，则的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期八年级第二阶段质量评价 数学（人教版） （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 2. 下列根式不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A：10不含有能开得尽方的因数，故A为最简二次根式； B：5不含有能开得尽方的因数，故B为最简二次根式； C：，故C不是最简二次根式； D：不含有能开得尽方的因数，故D为最简二次根式； 故选：C 【点睛】本题考查最简二次根式．掌握相关定义是解题的关键． 3. 下面性质中，菱形不一定具备的是（ ） A. 四条边都相等 B. 每一条对角线平分一组对角 C. 邻角互补 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质即可得出答案． 【详解】A. 菱形的四条边都相等，说法正确，不符合题意； B. 菱形的每一条对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意； C. 菱形的邻角互补，说法正确，不符合题意； D. 菱形的对角线不一定相等，说法不正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质定理，熟练掌握性质是解题的关键． 4. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，则， ∴选项A中不一定正确，故不符合题意； 选项B中不一定正确，故不符合题意； 选项C中一定正确，故符合题意； 选项D中不一定正确，故不符合题意， 故选：C． 5. 以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ①和④ D. ③和④ 【答案】C 【解析】 【分析】将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可． 【详解】①；②；③；④中，与是同类二次根式的是①④ 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的化简、分母有理化、同类二次根式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：，进而可将阴影部分的面积求出． 【详解】解：， 在中，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系． 7. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是(   ) A. (3+8)cm B. 10cm C. 14cm D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析： 如图(1)所示： 如图(2)所示： 由于 所以最短路径为10. 故选B. 8. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程． （1）作的垂直平分线交于点O； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出， 可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 9. 如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 10. 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P． ∴EP+FP=EP+F′P． 由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′． ∵四边形ABCD为菱形，周长为12， ∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD， ∵AF=2，AE=1， ∴DF=AE=1， ∴四边形AEF′D是平行四边形， ∴EF′=AD=3． ∴EP+FP的最小值为3． 故选C． 考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题 11. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案． 【详解】解：设，，， ∵矩形， ∴，， ∴，，， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 12. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵，∴． ∵，，， ∴①． 又∵，， ∴（②）． ∴．∴四边形是平行四边形． 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 13. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 14. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 15. 如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明或演算过程） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算及零指数幂的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则和零指数幂的性质． （1）先根据二次根式乘法法则计算，再根据零指数的性质计算，最后计算减法； （2）先把括号内的二次根式化为最简二次根式，再合并同查二次根式，最后计算除法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】（1） 即为所求； （2） 即为所求． 【解析】 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题： （1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q两点间的距离； （2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由． 【答案】(1)13；(2)△AOB是直角三角形. 【解析】 【分析】（1）根据两点间的距离公式计算； （2）根据勾股定理的逆定理解答． 【详解】解：(1)P，Q两点间的距离＝＝13； (2)△AOB是直角三角形， 理由如下：AO2＝(1﹣0)2+(2﹣0)2＝5， BO2＝(4﹣0)2+(﹣2﹣0)2＝20， AB2＝(4﹣1)2+(﹣2﹣2)2＝25， 则AO2+BO2＝AB2， ∴△AOB是直角三角形． 故答案为(1)13；(2)△AOB是直角三角形. 【点睛】本题考查的是两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 20. 如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②． （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 选择①， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 选择②， 证明：∵，， ∴是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明是平行四边形，然后根据矩形的定义得到结论即可； （2）利用勾股定理得到长，然后利用矩形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴矩形的面积为． 21. 追本溯源： 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（ ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①B；②． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 22. 阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝． 因为+＞，所以，﹣＜． 再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝． 当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较﹣和﹣的大小； （2）求y＝﹣+3的最大值． 【答案】（1）＜；（2）+3 【解析】 【分析】（1）先根据材料分别给﹣和﹣，分子有理化，然后再进行比较即可； （2）先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，然后再对无理数部分分子有理化，然后再求最大值即可． 【详解】解：（1）， ， 而， ∴＞， ∴＜； （2）∵x+1≥0，x﹣1≥0， ∴x≥1， ∵y＝＝， 当x＝1时，分母有最小值， ∴y＝有最大值是+3． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用以及阅读理解能力，根据分母有理化理解分子有理化的方法是解答本题的关键． 23. 如图，平行四边形中，，，，点，分别以，为起点，的速度沿，边运动，设点，运动的时间为秒． （1）求边上高的长度； （2）连接，，当为何值时，四边形为菱形； （3）作于，于，当为何值时，四边形为正方形． 【答案】（1）； （2）当t为时，四边形为菱形； （3）当t为或时，四边形为正方形． 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得出．再解，即可求出的长度； （2）先证明四边形为平行四边形，则当时，四边形为菱形．根据列出方程，解方程即可； （3）先证明四边形为矩形，则当时，四边形为正方形．根据列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴． 在中， ， ∴， 由勾股定理得， ∴； 【小问2详解】 解：∵点M、N分别以A、C为起点，/秒的速度沿边运动，设点M、N运动的时间为t秒， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形． ∵，， ∴， ∴， 解得． 所以当t为时，四边形为菱形； 【小问3详解】 解：∵于P，于Q，， ∴四边形为矩形， ∴当时，四边形为正方形． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或． 所以当t为或秒时，四边形为正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、菱形的判定、正方形的判定，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 24. 【问题背景】如图1，在四边形中，，连接，，探究线段、、之间的数量关系． 小明同学的想法是：过点作，交延长线于点，则是等腰直角三角形，可通过证明，得到对应边、对应角相等，最终借助特殊三角形得出结论：，请根据小明的思路，完成以下证明过程： （1）求证：． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，，点是的中点，求的长． 【拓展探究】（3）如图3，在四边形中，，连接，，若，，则当BD最大时，则的面积为______． 【答案】 （1）如图，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）；（3） 【解析】 【分析】（1）过点作，交延长线于点，易知和均为等腰直角三角形，进而可得，，，再证明，然后利用“”证明，根据全等三角形的性质可得，再证明，进而在和中，利用勾股定理可知，，即可证明结论； （2）过点作于点，过点作于点，首先解得，易知，和均为等腰直角三角形，进而确定，，由勾股定理可解得的长度，进一步确定，的值，然后理由勾股定理即可求得的值； （3）过点作，使得，连接，易知和为等腰直角三角形，结合（1）可知，故有，根据三角形三边关系可知，易得，当点共线时，取最大值，最大值为，然后证明，并利用勾股定理解得的值，进一步解得的长度，结合三角形面积公式即可获得答案． 【详解】解：（1）略 （2）如图，过点作于点，过点作于点， 将，代入， 可得， 解得或（舍去） ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点作，使得，连接， 则为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， 结合（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴如下图，当点共线时，取最大值，最大值为， ∴此时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当最大时，的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，难度较大，综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $