精品解析：浙江省杭州学军中学紫金港校区2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

杭州学军中学紫金港校区5月数学试卷 一、单选题 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 4. 某校有学生500人，其中男生320人，女生180人.某人想了解该校全体学生的身高（单位：cm）信息，从男生、女生中分别随机抽取人进行测量.如果已知男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03，但原始测量数据已丢失.设总体均值与方差分别为与，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的 B. 若，无法算出总样本的均值与方差 C. 若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的 D. 若，无法算出总样本的均值与方差 5. 在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象关于对称，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知平面向量、、满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 二、多选题 9. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：），相应不同声的声强级如下表所示，则（ ） （） 正常人能忍受最高声强1 正常人能忍受最低声强 正常人平时谈话声强 某人谈话声强 （dB） 120 0 80 A. B. C. D. 10. （多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） A. 某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B. 张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C. 甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D. 设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 11. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．记，，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知，，则在方向上的投影向量坐标为______． 13. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 14. 如图，已知，为边上的两点，且满足，则当取最大值时，的面积等于______. 四、解答题 15. 已知函数（，且）． （1）讨论的奇偶性； （2）若，不等式恒成立，求t的取值范围． 16. 如图，在中，，，点为和的交点，设，． （1）若，求，的值； （2）若，，与夹角为， ①求的面积； ②若在上且，求的值 17. 已知函数． （1）求的振幅与频率； （2）已知在的值域为，求的取值范围； （3）在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 18. 如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. （1）证明：平面； （2）求点到面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学紫金港校区5月数学试卷 一、单选题 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求，进而可得共轭复数. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可. 【详解】方法一：由α为第四象限角，可得， 所以 此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以 故选：D. 方法二：当时，，选项B错误； 当时，，选项A错误； 由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4. 某校有学生500人，其中男生320人，女生180人.某人想了解该校全体学生的身高（单位：cm）信息，从男生、女生中分别随机抽取人进行测量.如果已知男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03，但原始测量数据已丢失.设总体均值与方差分别为与，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的 B. 若，无法算出总样本的均值与方差 C. 若，可算出总样本的均值与方差，且将其分别作为与的估计值是合适的 D. 若，无法算出总样本的均值与方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，分层抽样分析数据的前提及样本特征与总体特征的关系判断A、C、D；对于总体数据各层中的数据差异非常小的情况下也可分析总体特征判断B. 【详解】由于男生、女生总人数不相等，需要用分层抽样的方式估计出样本的均值和方差， 此时所得样本特征可作为总体特征的估计值，故不合适、合适，A、D错，C对； 在情况下，只有所有男生、女生身高都在各自身高均值附近波动且幅度很小时，可以算出总样本的均值与方差，B错； 故选：C. 5. 在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可. 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 6. 已知函数的图象关于对称，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，又由函数的图象关于对称，得到，计算即可求解. 【详解】由题意，函数， 又由函数的图象关于对称，所以， 即，解得， 即，所以的最大值为. 故选：D. 7. 已知平面向量、、满足，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于不等式，我们两边平方得到关于实数的不等式，进而得到，再结合向量的运算性质得到，最后利用绝对值三角不等式求解最值即可. 【详解】由，两边平方得 又，且对任意实数恒成立， 即恒成立，故， 即，解得，即，且， 而，故， 则由绝对值三角不等式得，故B正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解题的关键先利用对任意实数恒成立，求得，再利用绝对值三角不等式求解最值即可. 8. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设奇偶性和对称性条件结合奇偶性定义公式和对称性公式进行分析函数的性质即可得解. 【详解】因为是奇函数，所以为偶函数， 所以，即，故的图象关于直线对称， 由的图象关于直线对称得， 即， 即，所以关于对称， 所以，所以， 故是奇函数，所以B选项正确； 因为，又，所以， 即，所以，故C选项错误； 不能得到的奇偶性与的值，故A，D选项错误. 故选：B 二、多选题 9. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：），相应不同声的声强级如下表所示，则（ ） （） 正常人能忍受最高声强1 正常人能忍受最低声强 正常人平时谈话声强 某人谈话声强 （dB） 120 0 80 A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据表格的数据求出函数的解析式，利用解析式判断选项的正误. 【详解】由表格得，所以， 又因为，得， 所以，A错误； ，则，B正确； 当时，，C正确； 当时，，D正确. 故选：BCD. 10. （多选）下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ） A. 某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为 B. 张卡片上分别写有数字从这张卡片中随机抽取张，则取出的张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C. 甲袋中有个白球个红球，乙袋中有个白球个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为 D. 设两个独立事件和都不发生的概率为发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用独立事件的概率计算判断A；利用古典概型的概率公式求解判断B；利用独立事件和互斥事件的概率公式计算判断C；利用独立事件的概率乘法公式建立方程组求解判断D． 【详解】对于A，该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，则该生在前个路口不是红灯， 第个路口是红灯，所求概率为，A正确； 对于B，从这张卡片中随机抽取张，不同结果为共6个， 取出的张卡片上的数字之和为奇数的结果为共4个，故概率为，B错误； 对于C，甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球， 则从每个袋子中各任取一个球，取到不同色球的概率为，C正确； 对于D，由独立事件的概率公式可得， 解得，D错误． 故选：AC 11. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．记，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理证得，，结合条件中，，从而在各直角三角形中得到的正余弦表示，对选项逐一分析判断即可. 【详解】因为在矩形中，， 又，，面，所以面， 又面，所以， 因为在矩形中，，所以，即， 因为，，，面， 所以面， 又在矩形中，，所以面， 又面，所以， 同时，易知在矩形中，， 对于A，在中，， 在中，， 在中，， 所以，故A正确； 对于B，在中，， 在中，， 又，且在中，为的斜边，则， 所以，故B错误； 对于C，在中，， 在中，， 又， 所以，故C正确； 对于D，在中，， 又，，， 所以， 所以，即，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的突破口是利用线面垂直的判定定理与性质定理证得，，从而得到的正余弦表示，由此得解. 三、填空题 12. 已知，，则在方向上的投影向量坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出向量的坐标，利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】因为，，则， 所以，在方向上的投影向量为 . 故答案为：. 13. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 14. 如图，已知，为边上的两点，且满足，则当取最大值时，的面积等于______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题设，利用三角形的面积之比，将其化简得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此时的三角形边长，由面积公式即可求得. 【详解】如图，设，分别记的面积为， 则 ① ② 由①，②两式左右分别相乘，可得：， 即. 设，在中，由余弦定理，， 因，则，当且仅当时，等号成立， 此时，因，故，最大， 此时，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数（，且）． （1）讨论的奇偶性； （2）若，不等式恒成立，求t的取值范围． 【答案】（1） 当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可； （2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可. 【小问1详解】 函数（，且）的定义域为R，且 当时，，即恒成立， 所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的奇函数； 当时，，即恒成立，所以，即， 此时，定义域为R，， 所以是R上的偶函数； 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； 【小问2详解】 函数中，由，得，而， 所以，则，由（1）知是R上的奇函数； 因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式， 因此，则， 解，得或； 解，即，得.于是， 所以t的取值范围是. 16. 如图，在中，，，点为和的交点，设，． （1）若，求，的值； （2）若，，与夹角为， ①求的面积； ②若在上且，求的值 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设，利用平面向量线性运算，用基底表示，根据平面向量基本定理求出系数即可求解； （2）(i)由面积公式求出，根据可得答案； （ii）由，，则，再求即可. 【小问1详解】 设， 则， 所以， 所以，解得，所以， 又，所以； 【小问2详解】 (i)， 由（1）知，，所以， 所以的面积 （ii）由（1）知，， 所以. ， 则 . 17. 已知函数． （1）求的振幅与频率； （2）已知在的值域为，求的取值范围； （3）在等腰三角形中，当时，取得最小值，点与点在直线的两侧，且，，求面积的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，即可求出函数的振幅以及频率的值； （2）由可得出的取值范围，结合函数的值域可得出关于的不等式，即可解得的取值范围； （3）根据函数为的最小值，结合角的取值范围可得出角的值，设，，所以．利用余弦定理、正弦定理结合三角恒等变换可得出，即可得出面积的最大值. 【小问1详解】 ， 所以函数的振幅，频率. 【小问2详解】 设，则，，则， 所以，解得，即的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知当时，即， 则，则． 因为，所以， 又为等腰三角形，所以，， 由正弦定理可得，可得， 设，，所以． 由余弦定理得， ， 由正弦定理得，所以． 又，， 所以 ， 即的面积取得最大值为． 18. 如图，已知三棱台，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，体积为，平面平面，且. （1）证明：平面； （2）求点到面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质推理即得. （2）延长交于一点，根据可求得，利用等体积法构造方程求解. （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果. 【小问1详解】 在三棱台中，平面平面，， 而平面平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由棱台性质知：延长交于一点， 由，得，点到平面的距离为到平面距离的2倍，则， 于是，由平面，得为点到平面的距离， 又，则是的中点，，即为正三角形，为正三角形， 设，则， ，解得， ，由平面，得，， ，设点到平面的距离为， 由，得，解得：. 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 由平面，平面，得平面平面，取中点，连接， 在正中，，而平面平面，则平面，而平面， 则，又平面，则平面平面，作于， 平面平面，则平面，，而平面，则， 作于，连接，，平面，则平面， 而平面，于是，即二面角的平面角， 设，由（2）知：，， 由，得，， 由，得， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得， ， 所以存在满足题意的点，. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果. 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3），的最大值为1. 【解析】 【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可； （2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值； （3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围. 【小问1详解】 ，不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； 【小问2详解】 由题意，对任意，存在唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； 【小问3详解】 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $