课时作业6 一元二次方程、不等式——2026届高三数学一轮复习

1.6　一元二次方程、不等式 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2024·威海模拟)设集合A={x||x-1|≥1}，B={x|x2-x-2<0}，则A∩B等于(　　) A.(-2，0) B.(-1，0) C.(-2，0] D.(-1，0] 2.若命题“∃x∈R，-x2-2mx+2m-3≥0”为真命题，则m的取值范围是(　　) A.-1≤m≤3 B.-3≤m≤1 C.m≤-1或m≥3 D.m≤-3或m≥1 3.设p：实数m满足-1<m<0，q：一元二次方程x2+3x+m+1=0有两个负数根，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2025·桂林模拟)已知实数a为常数，且a≠0，函数f(x)=(ax-1)(x-a)，甲同学：f(x)>0的解集为(-∞，a)∪；乙同学：f(x)<0的解集为(-∞，a)∪；丙同学：f(x)存在最小值.在这三个同学的论述中，只有一个是错误的，则a的取值范围为(　　) A.a<-1 B.-1<a<0 C.0<a<1 D.a>1 5.当x∈(-1，1)时，不等式2kx2-kx-<0恒成立，则k的取值范围是(　　) A.(-3，0) B.[-3，0) C. D. 6.已知关于x的不等式x2-ax+1<0的解集为{x|x1<x<x2}，其中x1<x2，且+=3，则a等于(　　) A.-1 B.1 C.3 D.-1或3 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(-1，2)，则下列结论正确的是(　　) A.a<0 B.关于x的不等式bx+c>0的解集为(-∞，-2) C.4a-2b+c>0 D.关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为 8.(2024·南平模拟)下列命题正确的是(　　) A.若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小，则a的取值范围是(-2，1) B.若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1，2)上恒成立，则实数k的取值范围是(-∞，3) C.若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则关于x的不等式>0的解集是{x|x>2或x<-1} D.若+=1(a>0，b>0)，则+的最小值为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.甲、乙两人解关于x的不等式x2+bx+c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(-3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(-3，4).那么原不等式的解集为　　　　.  10.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B=则A∩B的非空子集个数为　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}. (1)求a，b的值；(6分) (2)解不等式ax2-(am+b)x+bm<0.(7分) 12.(14分)设函数f(x)=ax2+bx+3，关于x的一元二次不等式f(x)>0的解集为(-3，1). (1)求不等式x2+ax+b>0的解集；(6分) (2)若∀x∈[-1，3]，f(x)≥mx2，求实数m的取值范围.(8分) 【提升练】 13.(2025·八省联考)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时，f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1] B.[-2，1] C.[-1，2] D.[-1，+∞) 14.(多选)已知k∈Z，若关于x的不等式x2－x<k(x－1)只有一个整数解，则k的可能取值为(　　) A.－1 B.1 C.2 D.3 15.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数y=[x]，其中[x]表示“不超过x的最大整数”，如[3.14]=3，[0.618]=0，[-2.718 28]=-3.写出满足[x]=1的一个x的值：　　　　；关于x的方程=1的解集为　　　　　.  16.(2025·日照模拟)若存在实数m，使得对于任意的x∈[a，b]，不等式m2+sin xcos x≤2sin·m恒成立，则当b-a取得最大值时，=　　　　　.  答案精析 1.D 2.D　[由题意知不等式-x2-2mx+2m-3≥0有解. 即不等式x2+2mx-2m+3≤0有解. 设f(x)=x2+2mx-2m+3， 则函数f(x)的图象开口向上， 要使不等式f(x)≤0有解， 则函数f(x)的图象与x轴有交点， 则Δ=4m2-4(-2m+3)≥0，化简得m2+2m-3≥0， 解得m≤-3或m≥1.] 3.A　[命题q：一元二次方程x2+3x+m+1=0有两个负数根， 所以 解得-1<m≤， 所以p是q的充分不必要条件.] 4.C　[若甲正确，则a>0且>a， 则0<a<1； 若乙正确，则a<0且a<， 则a<-1； 若丙正确，则二次函数的图象开口向上，即a>0； 因为只有一个同学的论述是错误的，所以只能乙的论述错误，故0<a<1.] 5.D　[当k=0时，满足不等式恒成立； 当k≠0时，令f(x)=2kx2-kx-，则f(x)<0在(-1，1)上恒成立， 函数f(x)图象的对称轴为x=， 当k>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， 则有 解得0<k≤； 当k<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减， 则有f=--<0， 解得-3<k<0. 综上可知，k的取值范围是.] 6.C　[关于x的不等式x2-ax+1<0的解集为{x|x1<x<x2}，则x1和x2是关于x的方程x2-ax+1=0的两根， 则Δ=a2-4>0， 解得a>2或a<-2， 有+1=ax1，+1=ax2，x1+x2=a，x1x2=1， +=-2x1+1+-2x2+1=ax1-2x1+ax2-2x2=(a-2)(x1+x2) =a(a-2)=3， 即a2-2a-3=0， 解得a=3(a=-1舍去).] 7.BC　[由已知可得a>0且-1，2是方程ax2+bx+c=0的两根，所以A选项不正确； 由根与系数的关系可得 解得b=-a，c=-2a， 则不等式bx+c>0可化为-ax-2a>0，即x+2<0， 所以x<-2，所以B选项正确； 因为4a-2b+c=4a+2a-2a=4a>0，所以C选项正确； 不等式cx2-bx+a>0可化为-2ax2+ax+a>0，即2x2-x-1<0， 解得-<x<1， 故不等式cx2-bx+a>0的解集为，所以D选项不正确.] 8.ACD　[对于A，二次函数f(x)=x2+(a2-1)x+a-2的图象开口向上， 若关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一个根比1大且另一个根比1小， 则f(1)=1+(a2-1)+a-2=a2+a-2<0，解得-2<a<1，故A正确； 对于B，若关于x的不等式x2-kx+k-1<0在(1，2)上恒成立， 则只需k(x-1)>x2-1，即k>x+1在(1，2)上恒成立即可， 则实数k的取值范围是k≥3，故B错误； 对于C，若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1，+∞)，则a>0，a=b， 所以关于x的不等式>0⇔>0⇔x<-1或x>2，故C正确； 对于D，若+=1(a>0，b>0)，则+=1≥2， 解得≤，当且仅当a=2，b=4时等号成立， 所以+=-=1-≥1-=，当且仅当a=2，b=4时等号成立，故D正确.] 9.(-2，3) 解析　依题意知，c=-3×2=-6，-b=-3+4=1，即b=-1，因此不等式x2+bx+c<0， 即x2-x-6<0，解得-2<x<3， 所以原不等式的解集为(-2，3). 10.31 解析　x∈N*， 当x=1时，=-7<1， 则1∈B， 当x>2时，不等式<1化为x2-4x-5>0，解得x>5， 所以B={x|x>5，x∈N*或x=1}， 又A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}， 所以A∩B={1，6，7，8，9}，它的子集有32个，非空子集有31个. 11.解　(1)因为不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}， 所以x1=1，x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个根， 所以 解得 (2)由(1)知原不等式为 x2-(m+2)x+2m<0， 即(x-m)(x-2)<0， 当m>2时，不等式解集为{x|2<x<m}； 当m=2时，不等式解集为∅； 当m<2时， 不等式解集为{x|m<x<2}. 12.解　(1)因为一元二次不等式f(x)>0的解集为(-3，1)， 所以-3和1是方程ax2+bx+3=0的两个实根，则 解得 因此所求不等式即为x2-x-2>0，解集为{x|x<-1或x>2}. (2)f(x)≥mx2可化为(m+1)x2≤-2x+3，当x=0时显然成立； 当x≠0时，不等式可化为m+1≤-+3对∀x∈[-1，0)∪(0，3]恒成立，令t=∈(-∞，-1]∪，则m+1≤-2t+3t2， 当t=，即x=3时， =-， 所以m+1≤-，即m≤-. 13.B　[f(x)=x|x-a|-2a2 = 若a>2,当2<x<a时,f(x)=-x2+ax-2a2,此时关于x的方程-x2+ax-2a2=0的Δ=a2-4×2a2=-7a2<0, 所以f(x)<0,不符合题意; 若0<a≤2,当x>2时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>2a, 则2a≤2,即0<a≤1; 若a=0,当x>2时,f(x)=x2>0恒成立,符合题意; 若a<0,当x>2时,f(x)=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a, 则-a≤2,即-2≤a<0. 综上,-2≤a≤1,故a的取值范围是[-2,1].] 14.AD　[关于x的不等式x2－x<k(x－1)， 即x2－(k＋1)x＋k<0， 即(x－1)(x－k)<0， 当k＝1时，(x－1)(x－k)<0即(x－1)2<0， 解集为空集，不符合题意； 当k>1时，(x－1)(x－k)<0的解满足1<x<k， 要使得关于x的不等式x2－x<k(x－1)只有一个整数解，需2<k≤3， 由于k∈Z，故k＝3； 当k<1时，(x－1)(x－k)<0的解满足k<x<1， 要使得关于x的不等式x2－x<k(x－1)只有一个整数解，需－1≤k<0， 由于k∈Z，故k＝－1， 综上，k的可能取值为－1，3.] 15.(答案不唯一)　(3，+∞) 解析　根据取整函数y=[x]的定义，当[x]=1时，1≤x<2，故取x=； ∵=1，∴1≤<2，解得x>3. 16. 解析　因为m2+sin xcos x≤2sin·m恒成立， 即m2-2sin·m+sin xcos x≤0恒成立， 若存在实数m，使得上式成立， 则Δ=4sin2-4sin xcos x =2-2cos-2sin 2x =2-2sin 2x-2sin 2x=2-4sin 2x≥0， 可得sin 2x≤，可得2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈Z， 解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z， 由题意知，[a，b]⊆，k∈Z， 则当b-a取得最大值时，a=kπ-，b=kπ+，k∈Z， 则a+b=-+2kπ，k∈Z， 此时==，k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $$