2.1函数的概念及其表示专项训练-2026届高三数学一轮专题复习

2.1　函数的概念及其表示 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.(2025·西安模拟)已知函数f(x)=的定义域为A，函数g(x)=log2x，x∈的值域为B，则A∩B等于(　　) A.(0，2) B.(0，2] C.(-∞，4] D.(-1，4] 2.已知f(x)=则f 等于(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 3.已知f(x+1)=2x，且f(m)=4，则m等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D 5.记无理数e=2.718 2…590 452 353 6…小数点后第x位上的数字是y，则y是x的函数，记作y=f(x)，定义域为M，值域为N，则下列说法正确的是(　　) A.f(4)=8 B.x不是y的函数 C.N⊆M D.y=f(x)是周期函数 6.已知f(x)=实数a满足f(a)<f(-a)，则a的取值范围是(　　) A.(-∞，-2)∪(0，2) B.(-∞，-2)∪(2，+∞) C.(-2，0)∪(0，2) D.(-2，0)∪(2，+∞) 7.设函数f(x)=若f(a)=f(a+1)，则f等于(　　) A. B. C.2 D.6 8.设函数f(x)=若f(f(a))≥3，则实数a的取值范围是(　　) A.[-1，+∞) B.(-∞，--1] C.[-3，1] D.[1，+∞) 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.下列说法正确的是(　　) A.f(x)=|x|，φ(t)=表示同一个函数 B.y=·与y=表示同一个函数 C.若函数f(x)的定义域为[0，2]，则函数f(2x)的定义域为[0，2] D.若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 10.已知函数f(+1)=x+2则(　　) A.f(x)=x2-1(x∈R) B.f(x)的最小值为-1 C.f(2x-3)的定义域为[2，+∞) D.f 的值域为[0，+∞) 11.(2024·南阳模拟)黎曼函数(Riemann function)是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：R(x)= (注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数)，则下列结论正确的是(　　) A.R= B.黎曼函数的定义域为[0，1] C.黎曼函数的最大值为 D.若f(x)是奇函数，且是周期为2的周期函数，当x∈[0，1]时，f(x)=R(x)，则f +f(+6)= 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.函数f(x)=的定义域为　　　　.  13.(2025·昆明模拟)已知函数f()=x+2，若f(a)=4，则a=　　　　.  14.已知函数f(x)=则f=　　　　　　；若f(a)>a，则a的取值范围是　　　　　　　.  【提升练】 15.(多选)对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[0.618]=0，[-2.718 28]=-3，我们把y=[x]，x∈R叫做取整函数，也称之为高斯(Gaussian)函数.以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题的有(　　) A.∀x∈R，[|x|]=|[x]| B.∃x，y∈R，[x-y]<[x]-[y] C.∀x，y∈R，若[x]=[y]，则x-y<1 D.不等式2[x]2-[x]-3≥0的解集为(-∞，0)∪[2，+∞) 16.(多选)若存在实数M，使得|f(x)-g(x)|≤M在f(x)和g(x)的定义域的交集上恒成立，则称f(x)与g(x)具有“M近似关系”，下列说法正确的是(　　) A.f(x)=2x+1，g(x)=2x具有“2近似关系” B.f(x)=ln 2x，g(x)=ln x+2具有“2近似关系” C.f(x)=(x>1)与g(x)=(x>1)具有“1近似关系” D.f(x)与g(x)=x-(1≤x≤5)的定义域相同，且具有“1近似关系”，则f(x)的值域包含于[-1，4] 17.已知函数f(x)=.若其定义域为R，则实数m的取值范围是　　　　　　；若函数f(x)的值域是[0，+∞)，则实数m的取值范围是　　　　　　　.  18.(2024·合肥模拟)同余定理是数论中的重要内容.同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N*且m>1.若m|(a-b)则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)(“|”为整除符号).同余方程x2-x≡0(mod 3)中的所有正根构成函数f(n)的值域，其中f(1)<f(2)<f(3)<…<f(n)，n∈N*，则f(n)=　　　　　　.  答案精析 1.B　2.B　3.B 4.A　[水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水速度恒定的情况下，开始水的高度增加的由快变慢，中间增加的最慢，最后增加的由慢变快，由图可知选项A符合.] 5.B　[由题意可得M=N*，N={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则N不是M的子集，C不正确； 无理数e小数点后第4位上的数字为2，故f(4)=2，A不正确； 当y=2时，对应的x的值不是唯一确定的，根据函数的定义可知x不是y的函数，B正确； 由于e为无理数，所以y=f(x)不是周期函数，D不正确.] 6.D　[由题意可知，a≠0. 当a<0时，f(a)=a2+2a， f(-a)=-a2-2a， 所以由f(a)<f(-a)可得a2+2a<-a2-2a， 即a2+2a<0，解得-2<a<0， 当a>0时，f(a)=-a2+2a， f(-a)=a2-2a， 所以由f(a)<f(-a)可得-a2+2a<a2-2a， 即a2-2a>0，解得a>2，所以a的取值范围是(-2，0)∪(2，+∞).] 7.D　[易得f(x)在(0，1)和[1，+∞)上单调递增， ∴0<a<1，∴f(a)=， ∴f(a+1)=2a， 由f(a)=f(a+1)得=2a， 解得a=或a=0(舍去)， 则f =f(4)=6.] 8.A　[因为f(x)= 令f(a)=t，则f(f(a))≥3可化为f(t)≥3， 当t≥0时，t2+2t≥3，解得t≥1(负值舍去)，即f(a)≥1； 当t<0时，-t2+2t≥3， 即t2-2t+3≤0， 而t2-2t+3=(t-1)2+2>0，故上述不等式无解， 综上，f(a)≥1， 若a≥0，则a2+2a≥1， 解得a≥-1(负值舍去)； 若a<0，则-a2+2a≥1， 解得a=1(舍去)， 综上，a≥-1.] 9.ABD　[φ(t)==|t|，故f(x)与φ(t)有相同的定义域及对应关系，故表示同一个函数，故A正确； y=·==的定义域需满足解得-1≤x≤1，y=的定义域需满足1-x2≥0，解得-1≤x≤1，故两函数有相同的定义域及对应关系，故表示同一个函数，故B正确； 函数f(x)的定义域为[0，2]，由0≤2x≤2，得0≤x≤1，则函数f(2x)的定义域为[0，1]，故C错误； 由函数的定义知，若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确.] 10.CD　[依题意，f(+1)=+2=-1，则f(x)=x2-1，x≥1，A错误； 当x≥1时，f(x)≥0，当且仅当x=1时取等号，B错误； 在f(2x-3)中，2x-3≥1，解得x≥2，因此f(2x-3)的定义域为[2，+∞)，C正确； 显然f =-1，0<x≤1，于是∈[1，+∞)，因此f 的值域为[0，+∞)，D正确.] 11.BC　[R=R=，A错误； 因为p，q∈N*，是既约真分数，x=，0，1或(0，1)上的无理数，所以黎曼函数的定义域为[0，1]，B正确； 又p，q∈N*，为既约真分数，所以的最大值为，C正确； 因为f(x)是奇函数，并且是以2为周期的周期函数，f =f =f=-f=-，f(+6)=f(4)=f(4-6)=-f(6-4)=0，所以f +f(+6)=-，D错误.] 12.(0，1)∪(1，2] 解析　要使函数f(x)有意义， 则解得0<x≤2且x≠1， 故函数f(x)的定义域为(0，1)∪(1，2]. 13.1 解析　令=t，t≥0， 则x=t2+1(t≥0)，f(t)=t2+3， 故f(a)=a2+3=4(a≥0)，解得a=1. 14.4　(-1，1)∪(1，+∞) 解析　因为f =2×+1=2， 所以f =f(2)=22=4. 当a≥1时，f(a)>a⇔a2>a， 解得a>1； 当a<1时，f(a)>a⇔2a+1>a， 解得-1<a<1，所以不等式的解集为(-1，1)∪(1，+∞). 15.BCD　[对于A，[|-2.5|]=[2.5]=2，|[-2.5]|=|-3|=3，A为假命题； 对于B，[2-1.1]=[0.9]=0，[2]-[1.1]=2-1=1，0<1，B为真命题； 对于C，因为[x]=[y]，所以x，y∈[n，n+1)，n∈Z，所以x-y<1，C为真命题； 对于D，不等式2[x]2-[x]-3≥0，解得[x]≤-1或[x]≥，所以不等式的解集为(-∞，0)∪[2，+∞)，D为真命题.] 16. BCD [对于A项，易知f(x)，g(x)的定义域均为R， 因为f(x)-g(x)=2x+1-2x=2x>0， 所以不存在实数M，使得|f(x)-g(x)|≤M在R上恒成立，故A错误； 对于B项，易知f(x)，g(x)的定义域均为(0，+∞)， 因为|f(x)-g(x)|=|ln 2x-ln x-2|=|ln 2-2|=2-ln 2<2在(0，+∞)上恒成立， 所以根据定义可知，f(x)=ln 2x，g(x)=ln x+2具有“2近似关系”，故B正确； 对于C项，因为f(x)==-+1， 当x>1时，x+1>2，0<<1， 所以0<f(x)<1. 因为g(x)=在(1，+∞)上单调递减， 所以0<g(x)<g(1)=. 所以|f(x)-g(x)|<1在(1，+∞)上恒成立. 根据定义可知，f(x)=(x>1)与g(x)=(x>1)具有“1近似关系”，故C正确； 对于D项，令t=(1≤x≤5)， 则0≤t≤2，则x=t2+1， 设h(t)=t2+1-t=+，0≤t≤2， 根据二次函数的性质可知，≤h(t)≤3， 所以≤g(x)≤3. 因为f(x)与g(x)=x-(1≤x≤5)的定义域相同，且具有“1近似关系”， 根据定义可知，|f(x)-g(x)|≤1在[1，5]上恒成立，所以g(x)-1≤f(x)≤g(x)+1. 因为≤g(x)≤3， 所以-1=-≤f(x)≤3+1=4， 所以f(x)的值域包含于[-1，4]，故D正确.] 17.　 解析　若函数f(x)的定义域为R， 则有m>0且Δ=(m-2)2-4m(m-1)≤0，解得m≥， 所以m的取值范围是. 当m=0时， f(x)==，值域是[0，+∞)，满足条件； 令g(x)=mx2-(m-2)x+m-1，g(x)≥0， 当m<0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，+∞)，不满足条件； 当m>0时，g(x)的图象开口向上， 只需mx2-(m-2)x+m-1=0中的Δ≥0， 即(m-2)2-4m(m-1)≥0， 解得-≤m≤， 又m>0，所以0<m≤， 综上，0≤m≤， 所以实数m的取值范围是. 18.n∈N* 解析　由题意x(x-1)≡0(mod 3)， 所以x=3k或x-1=3k(k∈Z)， 即x=3k或x=3k+1(k∈Z). 所以函数的值域为{1，3，4，6，7，9，10，…}， 所以f(n)=n∈N*. 学科网（北京）股份有限公司 $$