2026届高三数学一轮复习课时作业8：函数的单调性与最值

2.2　函数的单调性与最值 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.下列函数中，在(0，+∞)上单调递减的是(　　) A.y= B.y=- C.y= D.y=log2x 2.已知f(x)=2x+x，则“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数f(x)=|x|(x-1)的单调递减区间是(　　) A.(-∞，0) B. C. D.(1，+∞) 4.已知函数f(x)=则f(x)在区间[2，6]上的最大值为(　　) A. B.3 C.4 D.5 5.已知函数f(x)=满足对任意x1≠x2，都有>0成立，则实数a的取值范围为(　　) A.(1，2) B.(2，3) C.(2，3] D.(2，+∞) 6.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>-1，则下列说法正确的是(　　) A.y=f(x)+x是增函数 B.y=f(x)+x是减函数 C.y=f(x)是增函数 D.y=f(x)是减函数 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知函数f(x)=则下列选项中正确的是(　　) A.f(-x)=f(x) B.函数f(x)的值域为[-1，1] C.∀x1，x2∈R，且x1≠x2，有>0 D.∀x∈R，“a≥1”是“f(a2)≥f(sin x)”的充分不必要条件 8.已知函数f(x)的定义域为R，对任意a，b∈R，都有f(a)f(b)=f(a+b)，f(0)≠0且当x>0时，0<f(x)<1，则(　　) A.∀x∈R，都有f(x)=- B.当x<0时，f(x)>1 C.f(x)是减函数 D.若f(3)=则不等式f(2t2-5t)>的解集为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.函数f(x)=的单调递增区间为　　　 　　　　　　　　　　　.  10.柯西(Cauchy，1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)称为柯西方程，满足该方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数　　　　　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知函数f(x)=x+. (1)用定义证明函数f(x)在(1，+∞)上单调递增；(7分) (2)求函数f(x)在区间[3，6]上的最大值和最小值.(6分) 12.(14分)已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)，满足f(mn)=f(m)+f(n)(m，n>0)，且当x>1时，f(x)>0. (1)求证：f =f(m)-f(n)；(5分) (2)若f(2)=1，解不等式f(x+2)-f(2x)>2.(9分) 【提升练】 13.(多选)若函数f(x)在定义域内的某区间M上单调递增，且在M上单调递减，则称函数f(x)在M上是“弱增函数”，则下列选项中正确的是(　　) A.若f(x)=x2，则存在区间M使f(x)为“弱增函数” B.若f(x)=x+，则存在区间M使f(x)为“弱增函数” C.若f(x)=x+x3，则f(x)为R上的“弱增函数” D.若f(x)=x2+(4-a)x+a在区间(0，2］上是“弱增函数”，则a=4 14.(多选)(2025·八省联考)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=,双曲余弦函数cosh x=,双曲正切函数tanh x=.则 (　　) A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数 C.双曲正切函数是增函数 D.tanh(x+y)= 15.已知正实数a，b满足：a·ea-2=1，eb+ln b=1，则的值是(　　) A. B.2 C.e D.3 16.已知函数f(x)＝若对任意x1,x2∈R,且x1≠x2都有<0,则实数a的取值范围为　　　　　；若f(x)在[－1,t)上的值域为[0,4],则实数t的取值范围为　　　　　.  答案精析 1.C　2.C　3.B　4.C 5.C　[函数f(x)=的定义域为R， 由对任意x1≠x2， 都有>0， 得函数f(x)在R上为增函数， 于是解得2<a≤3， 所以实数a的取值范围为(2，3].] 6.A　[不妨令x1<x2，∴x1-x2<0， ∵>-1⇔f(x1)-f(x2)<-(x1-x2)⇔f(x1)+x1<f(x2)+x2， 令g(x)=f(x)+x， ∴g(x1)<g(x2)， 又x1<x2，∴g(x)=f(x)+x是增函数.] 7.CD　[f(-x)===-f(x)，故A错误； 由f(x)==1-，因为≠0，所以f(x)≠1，故B错误； 由f(x)==1-，对于∀x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x2)-f(x1)=1--1+=- =， 因为x1<x2，所以>， 即->0， 又因为(+1)(+1)>0， 所以f(x2)-f(x1)>0，所以函数f(x)在其定义域R上为增函数， 所以∀x1，x2∈R且x1≠x2， 有>0，故C正确； 充分性：当a≥1时， 因为-1≤sin x≤1， 由f(x)为增函数， 所以f(a2)≥f(sin x)，故充分性成立； 必要性：由f(x)为增函数， 当f(a2)≥f(sin x)恒成立时， 因为-1≤sin x≤1， 所以a2≥1，解得a≥1或a≤-1，故必要性不成立， 综上可知“a≥1”是“f(a2)≥f(sin x)”的充分不必要条件，故D正确.] 8.BCD　[令a=0，b=1，则f(0)f(1)=f(1)，易知0<f(1)<1，所以f(0)=1.当x<0时，-x>0， 所以0<f(-x)<1， 又f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1， 所以f(x)=，即f(x)>1，A错误，B正确； 设x1<x2，且x1，x2∈R，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)f(x2)-f(x2) =f(x2)[f(x1-x2)-1]， 又x1<x2，所以x1-x2<0， 所以f(x1-x2)>1， 又当x<0时，f(x)>1， 当x>0时，0<f(x)<1，f(0)=1， 所以f(x1)-f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)是减函数，C正确； 因为f(3)=， 所以f(12)=f(6)f(6)=[f(3)]4=， 所以f(2t2-5t)>， 即f(2t2-5t)>f(12)， 又f(x)是减函数， 所以2t2-5t<12， 解得-<t<4， 所以不等式f(2t2-5t)>f(12)的解集为，D正确.] 9. 解析　f(x)== =2-， 由2x+3≠0，得x≠-， 当x∈时，y=单调递减， f(x)单调递增； 当x∈时，y=单调递减， f(x)单调递增， 所以f(x)的单调递增区间为. 10.f(x)=-x(答案不唯一) 解析　设f(x)=-x，在R上单调递减. f(x+y)=-x-y，f(x)=-x，f(y)=-y，满足f(x+y)=f(x)+f(y). 所以函数f(x)=-x是在R上单调递减的加性函数. 11.(1)证明　任取x1，x2∈(1，+∞)且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=x1+-x2- =x1-x2+ =(x1-x2)， 因为x1，x2∈(1，+∞)且x1<x2，可得x1-x2<0，x1x2>1，0<<1， 则1->0， 所以f(x1)-f(x2) =(x1-x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在(1，+∞)上单调递增. (2)解　由(1)知函数f(x)在[3，6]上单调递增， 所以f(x)max=f(6)=， f(x)min=f(3)=， 所以函数f(x)在区间[3，6]上的最大值为，最小值为. 12.(1)证明　f(m)=f  =f +f(n)， 即f =f(m)-f(n). (2)解　任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2， 则>1. 由(1)得f(x2)-f(x1)=f >0， 即f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在(0，+∞)上单调递增， ∵f(2)=1，∴2=f(2)+f(2)=f(4)， f(x+2)-f(2x)>2⇔f(x+2)>f(2x)+f(4)⇔f(x+2)>f(8x)， 又f(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴解得0<x<， 故不等式f(x+2)-f(2x)>2的解集为. 13. BD　[f(x)=x2在(0，+∞)上单调递增，y==x在(0，+∞)上单调递增， 因此不存在区间M使f(x)=x2为“弱增函数”，A错误； 由对勾函数的性质知，f(x)=x+在［1，+∞)上单调递增，y==1+x-2在［1，+∞)上单调递减， 因此存在区间［1，+∞)使f(x)=x+为“弱增函数”，B正确； 函数f(x)=x+x3在R上单调递增，y==1+x2，显然函数在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减， 因此函数f(x)=x+x3不是R上的“弱增函数”，C错误； 若f(x)=x2+(4-a)x+a在区间(0，2］上是“弱增函数”， 则f(x)=x2+(4-a)x+a在(0，2］上单调递增，有-≤0，解得a≤4， 又y==x+(4-a)+在(0，2］上单调递减， 而当a≤0时，y==x+(4-a)+在(0，2］上单调递增，不符合题意， 于是a>0，又由对勾函数的单调性知，函数y=x+在(0，］上单调递减， 因此≥2，即a≥4， 所以a=4，D正确.] 14. ACD [对于A,令f(x)=sinh x=, 则f'(x)=>0恒成立, 故双曲正弦函数是增函数,故A正确; 对于B,令g(x)=cosh x=,则g'(x)=, 由A知,g'(x)为增函数,又g'(0)==0, 故当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B错误; 对于C,tanh x=====1-, 由y=e2x+1在R上单调递增,且y=e2x+1>1, 故tanh x=1-是增函数,故C正确; 对于D,由C知tanh x=,则tanh(x+y)=,== = ==, 故tanh(x+y)=,故D正确.] 15. C [由a·ea-2=1两边取对数可得， ln a+a-2=0，即ln a+a=2， 由eb+ln b=1可得，eb+ln b+1=2， 即eb+ln eb=2， 方法一　构造函数f(x)=ln x+x(x>0)， 由ln a+a=2和eb+ln eb=2等价于f(a)=ln a+a=2和f(eb)=ln eb+eb=2， 即f(a)=f(eb)， 由于y=ln x在(0，+∞)上单调递增，y=x在(0，+∞)上单调递增， 则f(x)=ln x+x在(0，+∞)上单调递增， 所以f(a)=f(eb)等价于a=eb， 故=e. 方法二　所以ln a+a=ln eb+eb， 即a=eb，所以=e.] 16. (－∞,0]　(2,4] 解析　若对任意x1,x2∈R,且x1≠x2都有<0,则f(x)在R上是减函数,则≤0,即a≤0,所以实数a的取值范围为(－∞,0]； 当a>0时,若f(x)在[－1,t)上的值域为[0,4],则f＝4, 解得a＝4或a＝－4(舍去), 又f(－1)＝2,f(0)＝f(4)＝0,所以2<t≤4； 当a≤0时,f(x)在[－1,t)上单调递减,则f(x)在[－1,t)上的最大值为f(－1)＝2,不符合题意, 所以实数t的取值范围为(2,4]. 学科网（北京）股份有限公司 $$