专题二 平行线中的拐角问题-【魔力暑假A计划】2024-2025学年新教材七年级下册数学暑假作业（北师大版2024）

专题白 平行线中的拐角问题 类型1 “”型图或“一”型图问题 3.如图①，AB∥CD,EOF是直线AB,CD间 的一条折线。 1.如右图，BE平分∠ABD,DEA 平分∠BDC,∠1+∠2=90°. 试判断AB与CD的位置关 图② 系，并说明理由。 (1)试说明：∠EOF=∠BEO+∠DFO: (2)如果将折一次改为折两次，如图②，那么 ∠BEO,∠EOP,∠OPF,∠PFC之间满足 怎样的数量关系？请说明理由 整 级 2.如右图，∠E=95°，∠C=A 45°，∠B=130°，则AB与 CD平行吗？请说明理由. 4.(镇江期末)如图，MN∥GH,点A,B分别在 直线MN,GH上，点O在直线MN,GH之 间，∠NAO=116°，∠OBH=144 B H 图① 图2 图3 (1)∠AOB的度数为 40 (2)如图②，C,D分别是∠NAO,∠GBO的 6.(安庆太湖期末)【问题情境】如图①，AB∥ 平分线上的两点，且∠CDB=35°.求∠ACD CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°.求 的度数： ∠APC的度数.小明的思路：如图②，过点P (3)如图③，F是平面上的一点，连接FA, 作PE∥AB.通过平行线的性质，可得 FB,E是射线FA上的一点.若∠MAE ∠APC=50°+60°=110°. n∠OAE,∠HBF=n∠OBF,且∠F=60°， 【问题迁移】 求n的值。 (1)如图③，AD∥BC,点P在射线OM上运 动.当点P在A,B两点之间运动时，设 ∠ADP=a,∠BCP=R.猜想∠CPD,&,B之 间有何数量关系，并说明理由： (2)在(1)的条件下，当点P在射线OM上运 动且点P与A,B,O三点不重合时，请选择 其中一种情况画图，写出∠CPD,a,3之间的 数量关系，并说明理由. 服 ·第二部 图2 专题 破 类型2 “C"型图问题 5.如右图，∠A=∠C=120°，B ∠AEF=∠CEF=60°，试说F- 明：AB∥CD D 41 类型3 “子”型图或“厂”型图问题 9.已知AM∥BN,BD平分∠ABN交AM于 点D,E为射线BA上的点，连接ED并延 7.如右图，已知AB∥DE,则A 长，交BN于点C,设∠ABD=a. ∠BCD,∠B,∠D之间有何E (1)如图①，求∠ADB的度数（用含α的式子 数量关系？请说明理由。 表示)： (2)如图②，若F为AD上的点，∠EFD的平 分线所在直线分别交BD,ED于点G,H.当 HG∥BE时，求∠BEF的度数（用含a的式子 表示. 图 图2 整 8.如右图，AB∥CD,请你猜 级 想图中∠1，∠2，∠3之间 存在什么样的数量关系， 并说明理由， 10.(武汉青山区期末)已知AB∥CD. (1)如图①，试说明：∠A一∠C=∠E: (2)如图②，EF平分∠AEC,CF平分∠ECD, ∠F=105°.求∠A的度数. 图 图② 42(2)原式=(2024-1)×(2024+1)-2024 所以4一x2+2x的最大值是5. =(2024-12)-2024 (3)由题意，得花园的面积是x(20一2x)=一2x =-1. +20x, (3)原式=(1000一1)(1000+1)+1 整理，得-2.x2+20.x=-2(x-5)2+50. =1000-12+1 因为-2(x-5)≤0，所以-2(x-5)2+50≤50， =(10)月 所以一2x+20.x的最大值是50，此时x=5, =105. 所以当x=5时，花园的面积最大，最大面积是50m. 4.解：(1)因为(a+b)2=5,(a-b)=3, 所以a+2ah+6=5,a-2ah+b=3, 专题日平行线中的拐角问题 所以2(a十6)=8，所以a2+房=4. 1.解：AB∥CD.理由如下： (2)因为a2+6=4.所以4+2ab=5, 因为BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,∠1+∠2 所以ab=方，所以6ab=3. =90°， 所以∠ABD+∠BDC=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2） 5.解：1)因为x+-3.所以(+）广-9， =180°， 所以AB∥CD, 即2++2=9.所以+之=7 2.解：AB∥CD.理由如下： (2)因为x+=3,所以(x-）广=(+)'-4 如图，过点E作EF∥AB. 因为∠B=130°， 3-4=5. 所以∠BEF=180°-130°=50° 6.解：(1)a-(2)(a+b)(a-b) 因为∠BEC=95°， (3)(a+b)(a-b)=a2-b 所以∠FEC=95°-50=45. (4)原式=(1-2)(1+)(1-3)(1+3)(1 因为∠C=45°，所以∠FEC-∠C, 所以EF∥CD,所以AB∥CD. )(1+2)-(1-动)(1+动)(1-)(1+) 3.解：(1)如图①，过点O作G∥AB,所以∠1 =×是×号×青 ×××…×器×罗×器 =∠BEO 因为AB∥CD,所以OG∥CD,所以∠2=∠DFO, X01 所以∠1+∠2=∠BEO+∠DFO,即∠EOF=∠BEO 100 +∠DFO. =×0-8删 —BA 60 7.解：(1)(a+b)(a+2b)a2+3ab+2b G- (2)(a+b+c)2a2+b+c2+2ab+2ac+2hc 4 -D C- (3)因为a=7x-5,b=-4.x十2，c=-3x+9, 图① 图2② 所以a+b+c=7x-5-4x+2-3x+9=6. (2)∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF 因为(a+b+c)=a++c2+2ab+2ac+2bc,a2+ 理由：过点O作OM∥AB,过点P作PN∥CD,如图 +2=14, ②所示. 所以2ab+2ae+2bc=(a+b+r)°-(a2++c2)=6 因为AB∥CD,所以OM∥PN∥AB∥CD, -14=22 所以∠1=∠BEO,∠2=∠3，∠4=∠PFC, 所以ab十bc十c=11. 所以∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4， 8解：m+m+4-(m+号广+5 所以∠EOP+∠PFC=∠BEO十∠OPF. 4.解：(1)100 因为(m+)广≥0，所以(m+号)+卓 (2)∠ACD的度数为75. (3)n的值为3. 所以m+m十4的最小值是只 5.解：因为∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°， (2)4-x2+2x=-(x-1)2+5. 所以∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°. 所以AB∥EF,CD∥EF,所以AB∥CD. 因为一(x一1)≤0，所以一(x一1)+5≤5. 6.解：（口）∠CPD=a十3.理由如下： BS版·参考答案 87 如图①，过点P作PE∥AD,交 CD于点E. 所以∠EFN=∠ABC+180-∠A 因为AD∥BC, 所以∠EFC=∠EFN+∠NFC=7∠AEC+ 所以AD∥PE∥BC, 所以a=∠DPE,B=∠CPE, 2∠BCD+180-∠A=105, 所以∠CPD=∠DPE+∠CPE=a+R 即∠AEC+∠ECD=2∠A-150 (2)示例：如图②，当点P在点A 由(1)可知，∠A-∠ECD=∠AEC, 左侧时，B=a十∠CPD.理由如下： 所以∠AEC+∠ECD=∠A, 因为AD∥BC, 所以∠A=2∠A-150°，所以∠A=150 所以B=∠CFD. 图② 因为∠CFD=180°-∠PFD=∠CPD+∠ADP, 专题全等三角形辅助线的常见作法 所以B=a+∠CPD, 1.解：如图，过点C作CG⊥DE于点G,过点 7.解：∠BCD=∠B-∠D.理由如下： B作BF⊥DE交DE的延长线于点F,则 如图，过点C作CF∥AB. ∠(CGE=∠BFE=90. 因为AB∥DE,所以CF∥DE,所以E 因为E是BC的中点，所以BE=CE. ∠DCF=∠D. 在△CGE和△BFE中， 因为CF∥AB,所以∠B=∠BCF, ∠CGE=∠BFE, 所以∠B-∠D=∠BCF-∠DCF=∠BCD, ∠GEC=∠FEB, 所以∠BCD=∠B-∠D. CE=BE 8.解：∠3=∠1十∠2.理由如下： 所以△CGE≌△BFE(AAS), 如图，设AB,DE交于点F 2 B 所以BF=CG 因为AB∥CD, 在△ABF和△DCG中， 3 所以∠3=∠EFA. ∠BAF=∠D, 因为∠EFA=180°-∠BFE=∠1+∠2， ∠BFA=∠CGD. 所以∠3=∠1+∠2. BF=CG. 9.解：(1)∠ADB=a 所以△ABF≌△DCG(AAS). (2)∠BEF=2a. 所以AB=CD. 10.解：（口）如图①，延长EA,交CDB 2.解：如图，作DF∥AB交AE的延长线于点F 于点G. 因为DF∥AB,所以∠BAE=∠F 因为AB∥CD, 因为AE是△ABD的中线，所以 所以∠EAB=∠EGD. BE-DE. 因为∠EGD=180°-∠EGC= 因为∠AEB=∠FED, ∠C+∠E, 所以△ABE≌△FDE(AAS), 所以∠EAB=∠C+∠E, 所以AE=FE, 所以∠EAB-∠C=∠E 所以AF=2.AE. (2)如图②，过点E作EM∥AB, 因为∠C=∠BAE,所以∠C=∠F 过点F作FN∥AB. 因为AD平分∠CAE,所以∠DAF=∠DAC 因为AB∥CD, I∠F=∠C 所以EM∥AB∥NF∥CD, 图2 在△ADF和△ADC中，∠DAF=∠DAC, 所以∠NFC=∠FCD,∠EFN=∠FEM,∠AEM+ AD=AD. ∠A=180° 所以△ADF2△ADC(AAS),所以AC=AF,所以AC 因为EF平分∠AEC,CF平分∠ECD, =2AE. 所以∠AEF=2∠AEC,∠FCD=∠ECD. 3.解：如图，延长NO至点P,使OP =ON,连接MP,BP. 所以∠FEM=∠AEF+∠AEM=号∠AEC+1SO 因为O为BC的中点， 所以BO=C) -∠A,∠NFC= 2∠ECD, 在△BOP和△CON中， 数学·七年级