精品解析：江苏省镇江市丹阳市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

八年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分；在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求．） 1. 下列符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语所描述的事件为必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 拔苗助长 C. 守株待兔 D. 日落西山 3. 如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，则木条旋转度数至少为（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的三条中位线分别为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 某市有4万名学生参加中考，为了考察他们的数学考试成绩，抽样调查了1500名考生的数学成绩，在这个问题中，下列说法正确的是（ ） A. 每名考生的数学成绩是个体 B. 4万名考生是总体 C. 1500名考生是总体的一个样本 D. 1500名考生是样本容量 7. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．若平分，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 下列说法，正确是（ ） A. 从1一5这五个自然数中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大 B. “抛一枚硬币，正面朝上的概率是”表示每抛2次就有一次正面朝上 C. “彩票中奖的概率是”表示买张彩票肯定会中奖 D. “明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间在降雨 9. 如图，四边形中，对角线、相交于点，给出下列4组条件． ①②，． ③，，，④ 其中，能得到“四边形是菱形”的条件有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 10. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分） 11. 为了调查“夏季冷饮市场上冰淇淋质量”宜采用_______．（填“普查”或“抽样调查”） 12. 为了直观反映某班学生参加各个社团小组的人数占全班人数的百分比，应选用_______统计图．（填“条形”、“扇形”或“折线”） 13. 在平行四边形中，，则________________________． 14. 在菱形中，对角线，，则菱形的边长为_________． 15. 一个样本的20个数据分别落在5个组内，第1、2、3、4组数据的频数分别是2、5、8、3，则第5组的频率为___________． 16. 如图，用四个木条钉成一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计），然后自右扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时会断裂．若，则橡皮筋_______断裂（填“会”、“不会”，参考数据：） 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注，某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查，根据调查结果和视力标准，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生人数为_________； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中“中度近视”对应的扇形的圆心角的度数为______； （4）若该校学生中近视程度为“高度近视”的人数为40人，请估计该校共有学生_____人． 18. 如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，每格均为1个单位，请按要求画图填空； （1）作关于原点成中心对称的； （2）在平面直角坐标系内找一点，使它与点、、构成平行四边形，则点的坐标为_________； （3）点是内部的一点，其在内部的对应点的坐标为_______． 19. 在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学实践小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下来是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 600 1000 2000 摸到红球的次数 83 123 483 803 1602 摸到红球的频率 （1）上表中的_______，_______； （2）“摸到红球”的概率的估计值是_________（精确到）； （3）如果袋中有40个红球，那么袋中除了红球外，大约还有_______个其他颜色的小球． 20. 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八年级学生中随机抽取部分学生参加了数学文化知识竞赛，得到数据如下（说明：竞赛成绩均取整数，用表示）． 【收集数据】72，82，73，88，89，70，70，80，80，88，95，76，82，85，86，88，89，92，92，98． 【整理数据】 分数 频数 11 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________； （2）此调查的样本容量为_________； （3）若该校八年级学生共有1000人，请估计该校数学文化知识为“优秀”的学生有多少人？ 21. 已知：如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且． （1）求证：、互相平分； （2）若，，则_______°． 22. 已知：如图，，点、、分别是各边的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，则四边形的面积为__________． 23. 已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． （1）求证：； （2）若，，则______． 24. 如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都是1，点、、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺在网格中作图． （1）在图1中，画的中位线，使点在边上，使点在边上； （2）在图2中，以为对角线，画正方形； （3）在图3中，以为边，画平行四边形，使平行四边形面积为6； （4）在图4中，画的角平分线，使点在边上． 25. 在正方形中： （1）如图1，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么______（填“＝”、“＞”、“＜”）； （2）如图2，如果点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么_____（填“＝”、“＞”、“＜”）； （3）如图3，在（2）的条件下，当点在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．那么四边形是正方形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由． 26. 已知，矩形中，，． （1）如图1，当点在边上，且，则______． （2）如图2，当点在边上，将沿直线翻折，点落在点处，再将沿直线翻折，点落在点处，连接，已知． ①四边形菱形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； ②______； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，将（2）中的四边形绕点旋转，当与所在直线重合时，______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分；在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求．） 1. 下列符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； B、是中心对称图形，符合题意，选项正确； C、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； D、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误； 故选：B． 2. 下列成语所描述的事件为必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 拔苗助长 C. 守株待兔 D. 日落西山 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的定义是本题的关键．必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指不可能发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件．根据定义，对每个选项逐一判断． 【详解】解： A选项，水中捞月为不可能事件，不符合题意； B选项，拔苗助长为不可能事件，不符合题意； C选项，守株待兔为随机事件，不符合题意； D选项，日落西山为必然事件，符合题意； 故选：D 3. 如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，则木条旋转的度数至少为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法进行解答即可． 【详解】解：如图，当时，能使木条与平行， ∴木条旋转的度数至少是． 故选：A． 4. 下列条件中，不能判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、四边形是平行四边形，, ∴平行四边形是菱形， 不能判断平行四边形是矩形，故此选项符合题意； C、四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； D、， ， 平行四边形是矩形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定和平行四边形的性质等知识．熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 5. 已知的三条中位线分别为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理解答即可． 详解】解：如图， 、、为的中位线，，，， ，，， 的周长， 故选：C． 6. 某市有4万名学生参加中考，为了考察他们的数学考试成绩，抽样调查了1500名考生的数学成绩，在这个问题中，下列说法正确的是（ ） A. 每名考生的数学成绩是个体 B. 4万名考生是总体 C. 1500名考生是总体的一个样本 D. 1500名考生是样本容量 【答案】A 【解析】 【分析】根据个体，总体，样本，样本容量的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，每名考生的数学成绩是个体，A正确，故符合要求； 4万名考生的数学成绩是总体，B错误，故不符合要求； 1500名考生的数学成绩是总体的一个样本，C错误，故不符合要求； 1500是样本容量，D错误，故不符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了个体，总体，样本，样本容量等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 7. 如图，在平行四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．若平分，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及等角对等边，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出， ，确定，，再由角平分线及各角之间的关系得出，利用等角对等边即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 下列说法，正确的是（ ） A. 从1一5这五个自然数中随机抽取一个数，取得奇数的可能性较大 B. “抛一枚硬币，正面朝上的概率是”表示每抛2次就有一次正面朝上 C. “彩票中奖的概率是”表示买张彩票肯定会中奖 D. “明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间在降雨 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析可得答案． 题目主要考查概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性的大小，理解这一意义是解题关键． 【详解】解：A、从1-5这五个自然数中随机抽取一个数，取得奇数的可能性有3种，概率为，取得偶数的概率为， ∴取得奇数的可能性较大，选项正确，符合题意； B、“抛一枚硬币，正面朝上的概率是”表示每次抛硬币正面朝上的可能性都是，故其概率应在0到1之间，故错误； C、“彩票中奖的概率是”，表示每买一张彩票，中奖的可能性都是，选项错误，不符合题意； D、“明天降雨的概率是”表示明天有的可能会降雨，选项错误，不符合题意； 故选A． 9. 如图，四边形中，对角线、相交于点，给出下列4组条件． ①②，． ③，，，④ 其中，能得到“四边形是菱形”的条件有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查菱形和矩形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键． 根据菱形的判定依次判断即可． 【详解】解：①∵， ∴四边形是菱形，符合题意； ②，，无法得出四边形是菱形，不符合题意； ③，，， ∴四边形是菱形，符合题意； ④， ∴四边形是矩形，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作平行于，分别交、于点、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积的和为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质． 如图所示，过点P作，首先得到，证明出四边形，，，是矩形，得到，然后根据矩形的性质推出，，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点P作 ∵四边形是矩形，是对角线 ∴ ∵， ∴四边形，，，是矩形 ∴ ∴， ∴ ∵，分别是矩形和的对角线 ∴， ∴ ∴阴影部分的面积的和为． 故选：C． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分） 11. 为了调查“夏季冷饮市场上冰淇淋的质量”宜采用_______．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答即可． 【详解】解：为了调查“夏季冷饮市场上冰淇淋的质量”宜采用抽样调查， 故答案为：抽样调查． 12. 为了直观反映某班学生参加各个社团小组的人数占全班人数的百分比，应选用_______统计图．（填“条形”、“扇形”或“折线”） 【答案】扇形 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图、折线统计图的选择，熟练掌握它们各自特点是解决问题的关键． 条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据具体情况选择即可． 【详解】解：为了直观反映某班学生参加各个社团小组的人数占全班人数的百分比，应选用扇形统计图 故答案为：扇形． 13. 在平行四边形中，，则________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，判定和互补．已知的度数，即可得的度数． 【详解】解：， ， ，则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．此题比较简单． 14. 在菱形中，对角线，，则菱形边长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理计算边长即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， 则互相垂直且平分， ∴菱形的边长， ∴菱形的边长是5， 故答案为：5． 15. 一个样本的20个数据分别落在5个组内，第1、2、3、4组数据的频数分别是2、5、8、3，则第5组的频率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握求频率的方法是解题的关键．先求出第5组的频数，再除以20即可得到第5组的频率． 【详解】解：第5组的频数为， 第5组的频率为． 故答案为：． 16. 如图，用四个木条钉成一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计），然后自右扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时会断裂．若，则橡皮筋_______断裂（填“会”、“不会”，参考数据：） 【答案】不会 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．设与相交于点，根据菱形的性质得到，，，，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：设与相交于点， 由题意可得：四边形是菱形， ，，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， 橡皮筋不会断裂， 故答案为：不会． 三、解答题（本大题共有10小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注，某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查，根据调查结果和视力标准，绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生人数为_________； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中“中度近视”对应的扇形的圆心角的度数为______； （4）若该校学生中近视程度为“高度近视”的人数为40人，请估计该校共有学生_____人． 【答案】（1）100 （2）见解析 （3） （4）800 【解析】 【分析】（1）根据轻度近视的人数和所占的百分比，求出总数即可； （2）求出正常视力的人数，然后补全条形统计图即可； （3）用360度乘以“中度近视”所占的百分比，即可求出结果； （4）根据样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：所抽取的学生人数为：（人）， 【小问2详解】 解：正常视力的人数为：（人）， 高度近视人数为：（人）， 补全条形统计图，如图所示： 【小问3详解】 解：“中度近视”对应的扇形的圆心角的度数为： ； 【小问4详解】 解：估计该校共有学生： （人）． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． 18. 如图，正方形网格中，的顶点均在格点上，每格均为1个单位，请按要求画图填空； （1）作关于原点成中心对称的； （2）在平面直角坐标系内找一点，使它与点、、构成平行四边形，则点的坐标为_________； （3）点是内部的一点，其在内部的对应点的坐标为_______． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图—中心对称、平行四边形的性质，关于原点成中心对称的点坐标规律，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，再顺次连接即可； （2）按要求画出图形，得出点D的坐标即可； （3）根据中心对称图形的性质即可作答． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形． 【小问2详解】 解：如图，点D与点、、构成平行四边形，此时点D的坐标为． 【小问3详解】 解：点是内部的一点，其在内部的对应点的坐标为． 19. 在一个不透明的口袋里，装有若干个除颜色外均相同的小球，某数学实践小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下来是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 600 1000 2000 摸到红球的次数 83 123 483 803 1602 摸到红球的频率 （1）上表中的_______，_______； （2）“摸到红球”的概率的估计值是_________（精确到）； （3）如果袋中有40个红球，那么袋中除了红球外，大约还有_______个其他颜色的小球． 【答案】（1） （2） （3）10 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率． （1）根据表中的数据，计算得出摸到红球的频率； （2）由表中数据即可得； （3）根据摸到红球的频率即可求出摸到红球概率．根据口袋中红球的数量和概率即可求出口袋中球的总数，用总数减去红颜色的球数量即可解答． 【小问1详解】 解：，； 故答案为： 【小问2详解】 解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近， ∴摸到红球的概率估计值是； 故答案为：； 【小问3详解】 解：（个）； 答：除红球外，还有大约10个其它颜色的小球． 20. 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八年级学生中随机抽取部分学生参加了数学文化知识竞赛，得到数据如下（说明：竞赛成绩均取整数，用表示）． 【收集数据】72，82，73，88，89，70，70，80，80，88，95，76，82，85，86，88，89，92，92，98． 【整理数据】 分数 频数 11 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________； （2）此调查的样本容量为_________； （3）若该校八年级学生共有1000人，请估计该校数学文化知识为“优秀”的学生有多少人？ 【答案】（1）5 （2）20 （3）200人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表以及用样本估计总体，理解题意是解答本题的关键． （1）根据收集的数据求解即可求出的值； （2）根据收集的数据求解即可求解； （3）用总人数乘数学文化知识为“优秀” 的学生所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由收集数据可知，； 故答案为：5； 【小问2详解】 解：由收集数据可知，此调查的样本容量为20， 故答案为：20； 【小问3详解】 解：（人， 答：估计该校数学文化知识为“优秀” 的学生有200人． 21. 已知：如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且． （1）求证：、互相平分； （2）若，，则_______°． 【答案】（1）见解析 （2）30 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）连接，，根据平行四边形的判定和性质证明即可； （2）由三角形内角和定理，得出，再根据平行四边形对角相等求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形， 、互相平分； 【小问2详解】 解：，， ， 四边形是平行四边形， ． 22. 已知：如图，，点、、分别是各边的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，则四边形的面积为__________． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，，即得四边形是平行四边形，进而即可求证； （）由三角形中位线的性质可得，，进而根据矩形的性质可求出面积； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点、、分别是各边的中点， 、是的中位线， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵、是的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， 故答案为：． 23. 已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． （1）求证：； （2）若，，则______． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的中位线有关的计算： （1）延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，从而可得结论； （2）根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论. 【小问1详解】 解：延长交于， 平分， ， ， ， 和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ； 【小问2详解】 解：∵，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴. 24. 如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都是1，点、、、都在格点上，请仅用无刻度的直尺在网格中作图． （1）在图1中，画的中位线，使点在边上，使点在边上； （2）在图2中，以为对角线，画正方形； （3）在图3中，以为边，画平行四边形，使平行四边形的面积为6； （4）在图4中，画的角平分线，使点在边上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据网格特点，结合矩形的性质找出的中点D，的中点E，连接即可； （2）根据网格特点，作，且与互相垂直平分即可得出正方形； （3）根据平行四边形的面积为6，作，且即可； （4）取格点H，连接并延长交于点G，则即为所求． 小问1详解】 解：如图，为所求作的的中位线； 【小问2详解】 解：如图，正方形即为所求值的正方形； 【小问3详解】 解：如图，四边形为所求作的平行四边形； ； 【小问4详解】 解：如图，为所求作的角平分线； ∵，，， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了格点作图，勾股定理与网格问题，三角形全等的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握网格的特点． 25. 在正方形中： （1）如图1，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么______（填“＝”、“＞”、“＜”）； （2）如图2，如果点、、、分别在、、、上，且，垂足为，那么_____（填“＝”、“＞”、“＜”）； （3）如图3，在（2）的条件下，当点在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．那么四边形是正方形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）四边形是正方形，证明过程见解析． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，翻折，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）作辅助线，证明三角形全等，可得对应边相等，即可得出结论； （2）作辅助线，证明三角形全等，可得对应边相等，即可得出结论； （3）作辅助线，证明三角形全等，可得对应边相等，根据翻折的性质可知四边形的边长相等，结合内角是直角，即可证得四边形是正方形． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 作于点，则，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，，， 作于点，交于点，作于点，则 ，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问3详解】 解：四边形是正方形． 证明：∵四边形是正方形， ∴，平分， 作于点，作于点，则 ，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴ 将沿着翻折，点落在点处， ∴，， ， 四边形是菱形， ∵， 四边形是正方形． 26. 已知，矩形中，，． （1）如图1，当点在边上，且，则______． （2）如图2，当点在边上，将沿直线翻折，点落在点处，再将沿直线翻折，点落在点处，连接，已知． ①四边形是菱形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； ②______； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，将（2）中的四边形绕点旋转，当与所在直线重合时，______． 【答案】（1） （2）①是，见解析；②4 （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，含角的直角三角形的性质． （1）证明是等腰直角三角形，可得，即可解答； （2）①由旋转的性质，即可解答； ②根据勾股定理，求出，即可解答． （3）分类讨论：①当在的延长线上，②当在的延长线上．证明点O，D，三点共线，即可解答． 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴． 小问2详解】 ①四边形是菱形，理由如下： 由翻折，可得， ∴四边形是菱形． ②∵，， ∴，， ∴， 解得(不合题意，舍去)， ∴． 【小问3详解】 ①当在的延长线上时，如图 由四边形是菱形，及旋转，得 ， ∴， 当与所在直线重合时，有 ， ∴， ∴， ∴点O，D，三点共线， ∴． ②当在的延长线上时，如图 由四边形是菱形，及旋转，得 ， ∴点O，D，三点共线， ∴． 故答案为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$