第9.5节 带电粒子在电场中的运动（2）-2025-2026学年高二物理同步导学案（沪科版2020必修第三册）

第九章 静电场 9．5 带电粒子在电场中的运动（2） 课程标准 1. 归纳总结电场力做功的多种方法和公式。 2. 会定性分析和定量计算电荷在电场中运动状态、动能和电势能的变化。 3. 了解电势-位移图像描述电场的方法。 物理素养 物理观念：建立电场力做功和电势能、动能变化关系的概念。 科学思维：图形结合思维，分析和解决图像问题。 科学探究：探究电荷在电场中运动规律。 科学态度与责任：通过图像的学习，激发学习兴趣，培养学生严谨的科学态度。 【归纳总结1】 1． 电势差与电势的对比 电势φ 电势差U 区 别 定义 电势能与电荷量的比值φ＝ 静电力做功与电荷量的比值U＝ 决定因素 由电场和在电场中的位置决定 由电场和场内两点位置决定 相对性 与零电势位置的选取有关 与零电势位置的选取无关 联 系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA 单位 相同，均是伏特(V) 标矢性 都是标量，且均具有正负 物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量 2． 基本问题类型： a.正电荷沿着电场线：电场力做正功，电势能降低，电势降低； b.正电荷逆着电场线：电场力做负功，电势能升高，电势升高； c.负电荷沿着电场线：电场力做负功，电势能升高，电势降低； d.负电荷逆着电场线：电场力做正功，电势能降低，电势升高。 【归纳总结2】 1．对公式WAB＝qUAB和UAB＝的理解 (1)公式WAB＝qUAB适用于任何电场，计算时要注意W与U的下角标要对应， 如WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。 (2)WAB、UAB、q均可正可负，但代表的意义不同。 WAB取正号，表示静电力做正功； UAB取正号，表示φA＞φB，q取正号，表示试探电荷为正电荷。 WAB取负号，表示静电力做负功； UAB取负号，表示φA＜φB；q取负号，表示试探电荷为负电荷。 2．静电力做功的四种求法 四种求法 表达式 注意问题 功的定义 W＝Fd＝qEd (1)适用于匀强电场 (2)d表示沿电场线方向的距离 功能关系 WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp (1)既适用于匀强电场也适用于非匀强电场 (2)既适用于只受静电力的情况，也适用于受多种力的情况 电势差法 WAB＝qUAB 动能定理 W静电力＋W其他力＝ΔEk 【总结归纳3】 1．等势面的特点 (1)在同一等势面内任意两点间移动电荷时，静电力不做功。 (2)空间两等势面不相交。 (3)电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。 (4)在电场线密集的地方，等差等势面密集。 (5)等势面是虚拟的，是为描述电场的性质而假想的面，通常电场线是实线，等势面是虚线。 2．等势面和电场线的相互求解 (1)已知等势面的情况，可作等势面的垂线来确定电场线，并由“电势降低”的方向确定电场线方向。 (2)已知电场线时，可作电场线的垂线来确定等势面，并由“沿电场线方向电势降低”确定电势高低。 3．几种常见的等势线 4． 两等量点电荷的连线上及连线的中垂线上各点电势的高低情况 两等量正电荷 两等量负电荷 等量异种电荷 连线上 中点处电势最低 中点处电势最高 从正电荷向负电荷电势逐渐降低 连线的中垂线上 与连线交点处电势最高 与连线交点处电势最低 中垂线为等势线 从中点沿中 垂线向两侧 电势逐渐降低 电势逐渐升高 电势不变 连线上和中 垂线上关于 中点对称的点 电势相等 电势相等 中垂线上等势，连线上与零电势点差值相等，一正一负 【归纳总结4】 1． 由E＝可知，电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电场强度的大小。 2． 电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。 3． 在匀强电场中，沿任意一个方向，电势变化都是均匀的， 故在同一直线上（与电场线平行或有夹角）相同间距的两点间电势差相等。 4． 在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点的电势差相等。 【归纳总结5】 1． 由E＝可以得出结论：在等差等势面中等势面越密的地方场强就越大。 2．在等差等势面间中，相邻等势面间的间距越小（等势面越密），场强E＝就越大。 如图甲所示，在等差等势面中等势面越密的中心处场强就越大； 如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab<Ubc。 题型01 　对电势差与电势的理解 例1. 如图所示，如果B板接地(取大地的电势为零，则与大地相连的导体的电势也为零)，则A板电势为8 V，M点电势为6 V，N点电势为2 V。 (1)求M、N两点间的电势差是多少伏？ (2)如果改为A板接地，则B点的电势是多大？M、N两点的电势各是多大？M、N两点间的电势差是多少伏？ 题型02 静电力做功与电势差、电势能的关系 例2. 如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为，求： (1)小球由A到B的过程中静电力做的功； (2)A、C两点间的电势差。 题型03 等势面的特点及应用 例3.（多选）如图所示，真空中M、N处分别放置两等量异种电荷，a、b、c表示电场中的3条等势线，d点和e点位于a等势线上，f点位于c等势线上，df平行于MN。以下说法正确的是（ ） A.d点的电势高于f点的电势 B.d点的电势与e点的电势相等 C.若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点，则静电力先做正功、后做负功 D.若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点，试探电荷的电势能增加 题型04 电场线、等势面和运动轨迹的综合分析 【速记口诀】力指凹侧指大v，大v大动小势能。 例4.（多选）如图所示，虚线A、B、C表示某电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，一电子从右侧垂直等势面A向左进入电场，运动轨迹与等势面分别交于a、b、c三点，则可以判断（ ） A.三个等势面的电势大小为φA>φB>φC B.三个等势面的电势大小为φC>φB>φA C.电子由a到c电势能不断减小 D.电子由a到c动能不断减小 题型05 匀强电场U＝Ed和E＝的应用 例5. 如图所示，在竖直平面内存在匀强电场，其电场线如图中实线所示，方向未知，将带电荷量为 q＝－1.0×10－6 C的点电荷由A点沿水平线移至B点，其电势能增加了3×10－5 J，已知A、B两点间的距离为2 cm，两点连线与电场线成60°角。求： (1) A、B两点间的电势差UAB； (2)若A点的电势φA＝－1 V，求B点的电势φB； (3)电场强度E的大小，并判断其方向。 题型06 非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析 例6.（多选）如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的有（ ） A.φA>φB>φC B.EA>EB>EC C.UAB<UBC D.UAB＝UBC 题型07 根据动能和电势能守恒求解问题 例7. 如图中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0。一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26 eV和5 eV。当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8 eV时，它的动能应为（ ） A.10 eV B.20 eV C.10 eV D.20 eV 例8. 如图甲，点电荷Q1、Q2固定在水平连线上，其延长线有b、a两点，Q1带正电，检验电荷+q仅受电场力作用，t=0时经过b点，然后沿ba向右运动，其图象如图乙，vb、va分别为检验电荷经过b、a两点的速度大小，则（　　） A. Q2带正电 B. 从点到点，电荷做加速度逐渐增大的减速运动 C. 从点向右运动全过程，电场力一直对电荷做负功 D. 从点到点，电荷的电势能逐渐增大 题型08 φ-x图像：斜率是 - E 例9. 在 x 轴上有两个点电荷 q1、q2，其静电场的电势φ在 x 轴上分布如图所示，则（） A. q1 和 q2 带有同种电荷 B. x1 处的电场强度为零 C. 负电荷从 x1 移到 x2，电势能减小 D. 负电荷从 x1 移到 x2，受到的电场力增大 【A组】 1．（多选）关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是（ ） A.UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA B.UAB和UBA是不同的，它们有关系UAB＝－UBA C.φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量 D.电势零点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点 2． 空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势面分布如图所示，a、b、c、d为电场中的4个点。则（ ） A.P、Q两点处的电荷等量同号 B.a点和b点的电场强度相同 C.c点的电势低于d点的电势 D.负电荷从a到c，电势能减少 3．（多选）如图所示，在A点由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子在到达B点时的速度恰好为零，已知A、B所在处的电场线方向竖直向下，A、B两点间的高度差为h，则下列判断正确的是（ ） A.带电粒子带负电 B.A、B两点间的电势差UAB＝ C.B点的场强大于A点的场强 D.A点的场强大于B点的场强 4．（多选）图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点。则该粒子（ ） A.带负电 B.在c点受力最大 C.在b点的电势能大于在c点的电势能 D.由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化 5． 如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－20 V，则下列说法正确的是（ ） A.C点的电势φC＝5 V B.C点的电势φC>5 V C.C点的电势φC<5 V D.负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能 6． 如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出。仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则（ ） A.a一定带正电，b一定带负电 B.a加速度减小，b加速度增大 C.MN两点电势差|UMN|等于NQ两点电势差|UNQ| D.a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小 7. 如图所示，a、b、c三条虚线为电场中的等势面，等势面b的电势为零，且相邻两个等势面间的电势差相等．一个带正电的粒子(粒子重力不计)在A点时的动能为10 J，在电场力作用下从A运动到B时速度为零．当这个粒子的动能为7.5 J时，其电势能为（ ） A. 12.5 J B. 2.5 J C. 0 D. -2.5 J 8． 如图所示，等量异种点电荷P、Q连线中点处有一电子，在外力F作用下处于静止状态。现让电荷P沿连线向右移动一小段距离，此过程中电子一直处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A. 外力逐渐减小，电子的电势能逐渐增大 B. 外力逐渐增大，电子的电势能逐渐增大 C. 外力逐渐增大，电子的电势能逐渐减小 D. 外力逐渐减小，电子的电势能逐渐减小 9．（2023·宝山一模）某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，a、b、c、e四点中电场强度最小的点是__________。若一质子从a点运动到d点，则电场力做功为__________eV（1eV=1.6×10−19J，质子的电荷量为1.6×10-19C）。 10．如图所示，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，A、B、C、三点都在匀强电场中，且A、B、C所在平面与电场线平行，把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为－×10－3 J。 (1)求A、C间的电势差； (2)若规定B点电势为零，求C点的电势。 【B组】 11．光滑绝缘的水平面附近存在一个水平方向的电场，其中某一区域的电场线与 x 轴平行，其电势ϕ随 x 轴的关系如图所示，图中虚线为图线在 x＝0.15m 处的切线。质量为 m＝1×10﹣4kg、带电量为 q＝+1.6×10﹣10C 的小物体处于 x＝0.15m 处由静止释放后开始运动。小物体运动过程中能量守恒，取 g＝10m/s2。 （1）分析判断小物体的运动方向； （2）已知图线上任意一点切线斜率为该点处的电场强度大小，求小物体开始运动时的加速度大小； （3）求小物体运动 0.05m 时的速度大小； （4）若水平面粗糙，且小滑块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，试分析说明小物体的运动情况。 12.（2023·崇明二模）如图甲所示，一圆心为O的圆形区域ABCD处于平行于纸面的匀强电场中，其半径。M为圆弧上一点，若半径OM沿逆时针方向转动，θ为OM从OA开始旋转的角度，M点的电势φ随θ变化的关系如图乙所示。则将带电量为的电荷由A点沿圆弧逆时针移到C点，电场力______（选填“不做功”、“一直做正功”、“一直做负功”、“先做正功后做负功”或“先做负功后做正功”），电势能变化了______J。 13.（2023·宝山二模）在电场中放置一光滑绝缘水平桌面，沿桌面上x轴方向电势分布如图中实线所示。一质量m＝4×10-2kg、电量q＝-2×10-6C的带负电小球，以v0＝2m/s的初速度在x0＝-1m处沿x轴正方向运动，则小球从开始运动到动能最大时电场力所做的功为___________J；当小球速度为零时其位置坐标为___________m。 14.（2023·浦东新二模）某空间的x轴上只存在沿此轴方向的静电场，x轴上各点电势分布如图。一带电量为的粒子只在电场力作用下由x轴上某点无初速释放，若粒子沿x轴运动过程中的总能量恒为零，则粒子的活动区间是______；运动过程中的最大动能为______。 15.（1）如图，圆环均匀带正电，沿其中心轴线建立x轴。将另一点电荷+q从圆心处沿x轴正方向移到无穷远处的过程中，电场力做功为。取无穷远处为电势能零点，则电荷+q具有的电势能与位置坐标x的关系图像正确的是（ ） A. B. C. D. （2）从圆环的圆心出发，沿着x轴正方向移动到无穷远处，电场强度方向_______，电场强度大小_______（填“一直增大”、“先增大后减小”、“一直减小”）。 16.（2023·徐汇二模）如图（i）所示，真空中两正点电荷A、B固定在x轴上，其中A位于坐标原点。一质量为m、电量为q（电量远小于A、B）的带正电小球a仅在电场力作用下，以大小为v0的初速度从x=x1处沿x轴正方向运动。取无穷远处势能为零，a在A、B间由于受A、B的电场力作用而具有的电势能Ep随位置x变化关系如图（ii）所示，图中E1、E2均为已知，且a在x=x2处受到的电场力为零。 （1）求A、B两电荷电场在与两点间的电势差U12； （2）比较A、B两电荷电量QA、QB的大小关系； （3）求a在A、B间运动过程中最大速度v的大小； （4）如图（iii）所示，若一探测器从地球飞往月球，仅考虑地球与月球对探测器的引力作用，试从受力与能量的角度比较该探测器的运动与a在A、B间的运动的类似之处（至少写出三点）；并在图（iv）中定性画出探测器在地、月共同作用下所具有的势能Ep随探测器与月球间距离x变化的关系图线（取无穷远处势能为零）。 17．如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将一带电小球从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为0。若此带电小球在A点的加速度大小为g，试求： (1)此带电小球在B点的加速度； (2)A、B两点间的电势差(用k、Q和h表示)。 18．如图所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出，U>0，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求： (1)小球应带何种电荷及其电荷量； (2)小球受到的合外力的大小； (3)在入射方向上小球运动的最大位移xm。(电场足够大) 19．美国物理学家密立根通过如图所示的实验装置，最先测出了电子的电荷量，被称为密立根油滴实验。如下图所示，两块水平放置的金属板A、B分别与电源的正负极相连接，板间产生匀强电场，方向竖直向下，图中油滴由于带负电悬浮在两板间保持静止。 (1)若要测出该油滴的电荷量，需要测出的物理量有________； A.油滴质量m B.两板间的电压U C.两板间的距离d D.两板的长度L (2)用所选择的物理量表示出该油滴的电荷量________已知重力加速度为； (3)在进行了几百次的测量以后，密立根发现油滴所带的电荷量虽不同，但都是某个最小电荷量的整数倍，这个最小电荷量被认为是元电荷，其值为________C。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 静电场 9．5 带电粒子在电场中的运动（2） 课程标准 1. 归纳总结电场力做功的多种方法和公式。 2. 会定性分析和定量计算电荷在电场中运动状态、动能和电势能的变化。 3. 了解电势-位移图像描述电场的方法。 物理素养 物理观念：建立电场力做功和电势能、动能变化关系的概念。 科学思维：图形结合思维，分析和解决图像问题。 科学探究：探究电荷在电场中运动规律。 科学态度与责任：通过图像的学习，激发学习兴趣，培养学生严谨的科学态度。 【归纳总结1】 1． 电势差与电势的对比 电势φ 电势差U 区 别 定义 电势能与电荷量的比值φ＝ 静电力做功与电荷量的比值U＝ 决定因素 由电场和在电场中的位置决定 由电场和场内两点位置决定 相对性 与零电势位置的选取有关 与零电势位置的选取无关 联 系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA 单位 相同，均是伏特(V) 标矢性 都是标量，且均具有正负 物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量 2． 基本问题类型： a.正电荷沿着电场线：电场力做正功，电势能降低，电势降低； b.正电荷逆着电场线：电场力做负功，电势能升高，电势升高； c.负电荷沿着电场线：电场力做负功，电势能升高，电势降低； d.负电荷逆着电场线：电场力做正功，电势能降低，电势升高。 【归纳总结2】 1．对公式WAB＝qUAB和UAB＝的理解 (1)公式WAB＝qUAB适用于任何电场，计算时要注意W与U的下角标要对应， 如WAB＝qUAB，WBA＝qUBA。 (2)WAB、UAB、q均可正可负，但代表的意义不同。 WAB取正号，表示静电力做正功； UAB取正号，表示φA＞φB，q取正号，表示试探电荷为正电荷。 WAB取负号，表示静电力做负功； UAB取负号，表示φA＜φB；q取负号，表示试探电荷为负电荷。 2．静电力做功的四种求法 四种求法 表达式 注意问题 功的定义 W＝Fd＝qEd (1)适用于匀强电场 (2)d表示沿电场线方向的距离 功能关系 WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp (1)既适用于匀强电场也适用于非匀强电场 (2)既适用于只受静电力的情况，也适用于受多种力的情况 电势差法 WAB＝qUAB 动能定理 W静电力＋W其他力＝ΔEk 【总结归纳3】 1．等势面的特点 (1)在同一等势面内任意两点间移动电荷时，静电力不做功。 (2)空间两等势面不相交。 (3)电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。 (4)在电场线密集的地方，等差等势面密集。 (5)等势面是虚拟的，是为描述电场的性质而假想的面，通常电场线是实线，等势面是虚线。 2．等势面和电场线的相互求解 (1)已知等势面的情况，可作等势面的垂线来确定电场线，并由“电势降低”的方向确定电场线方向。 (2)已知电场线时，可作电场线的垂线来确定等势面，并由“沿电场线方向电势降低”确定电势高低。 3．几种常见的等势线 4． 两等量点电荷的连线上及连线的中垂线上各点电势的高低情况 两等量正电荷 两等量负电荷 等量异种电荷 连线上 中点处电势最低 中点处电势最高 从正电荷向负电荷电势逐渐降低 连线的中垂线上 与连线交点处电势最高 与连线交点处电势最低 中垂线为等势线 从中点沿中 垂线向两侧 电势逐渐降低 电势逐渐升高 电势不变 连线上和中 垂线上关于 中点对称的点 电势相等 电势相等 中垂线上等势，连线上与零电势点差值相等，一正一负 【归纳总结4】 1． 由E＝可知，电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电场强度的大小。 2． 电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。 3． 在匀强电场中，沿任意一个方向，电势变化都是均匀的， 故在同一直线上（与电场线平行或有夹角）相同间距的两点间电势差相等。 4． 在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点的电势差相等。 【归纳总结5】 1． 由E＝可以得出结论：在等差等势面中等势面越密的地方场强就越大。 2．在等差等势面间中，相邻等势面间的间距越小（等势面越密），场强E＝就越大。 如图甲所示，在等差等势面中等势面越密的中心处场强就越大； 如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab<Ubc。 题型01 　对电势差与电势的理解 例1. 如图所示，如果B板接地(取大地的电势为零，则与大地相连的导体的电势也为零)，则A板电势为8 V，M点电势为6 V，N点电势为2 V。 (1)求M、N两点间的电势差是多少伏？ (2)如果改为A板接地，问B点的电势是多大？M、N两点的电势各是多大？M、N两点间的电势差是多少伏？ 【答案】 (1)4 V　(2)－8 V　－2 V　－6 V　4 V 【解析】 (1)M、N两点间的电势差UMN＝φM－φN＝4 V。 (2)若A板接地，则根据UAB＝φA－φB得，φB＝－UAB＝UBA＝－8 V M、N两点的电势 φM＝UMA＝－2 V，φN＝UNA＝－6 V，UMN＝φM－φN＝4 V。 题型02 静电力做功与电势差、电势能的关系 例2. 如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为，求： (1)小球由A到B的过程中静电力做的功； (2)A、C两点间的电势差。 【答案】　(1)mgh　(2)－ 【解析】　(1)因为杆是光滑的，所以小球从A到B的过程中只有两个力做功： 静电力做的功WAB和重力做的功mgh， 由动能定理得WAB＋mgh＝mv 代入已知条件vB＝得 WAB＝m·3gh－mgh＝mgh。 (2)因为B、C在同一等势面上，所以φB＝φC，即UAC＝UAB＝＝－。 题型03 等势面的特点及应用 例3.（多选）如图所示，真空中M、N处分别放置两等量异种电荷，a、b、c表示电场中的3条等势线，d点和e点位于a等势线上，f点位于c等势线上，df平行于MN。以下说法正确的是（ ） A.d点的电势高于f点的电势 B.d点的电势与e点的电势相等 C.若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点，则静电力先做正功、后做负功 D.若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点，试探电荷的电势能增加 【答案】 AB 【解析】 电场线从M指向N，而沿电场方向电势降低，所以d点的电势高于f点的电势，选项A正确；d点和e点在同一条等势线上，所以两点电势相等，选项B正确； 若将一负试探电荷沿直线由d点移动到f点过程中，静电力方向与运动方向夹角为钝角，所以静电力一直做负功，选项C错误； 若将一正试探电荷沿直线由d点移动到e点，过程始末试探电荷的电势相等，所以先增大后减小，始末电势能相等，选项D错误。 题型04 电场线、等势面和运动轨迹的综合分析 【速记口诀】力指凹侧指大v，大v大动小势能。 例4.（多选）如图所示，虚线A、B、C表示某电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，一电子从右侧垂直等势面A向左进入电场，运动轨迹与等势面分别交于a、b、c三点，则可以判断（ ） A.三个等势面的电势大小为φA>φB>φC B.三个等势面的电势大小为φC>φB>φA C.电子由a到c电势能不断减小 D.电子由a到c动能不断减小 【答案】AD 【解析】速记口诀：力指凹侧指大v，大v大动小势能。 题型05 匀强电场U＝Ed和E＝的应用 例5. 如图所示，在竖直平面内存在匀强电场，其电场线如图中实线所示，方向未知，将带电荷量为 q＝－1.0×10－6 C的点电荷由A点沿水平线移至B点，其电势能增加了3×10－5 J，已知A、B两点间的距离为2 cm，两点连线与电场线成60°角。求： (1) A、B两点间的电势差UAB； (2)若A点的电势φA＝－1 V，求B点的电势φB； (3)电场强度E的大小，并判断其方向。 【答案】　(1)30 V　(2)－31 V　(3)3 000 V/m　沿电场线指向左下方 【解析】　(1)由题意知，静电力做负功为：WAB＝－3×10－5 J 由UAB＝，得：UAB＝30 V (2)UAB＝φA－φB 故φB＝φA－UAB＝(－1－30) V＝－31 V (3)A、B两点间沿电场线方向的距离为：d＝2×10－2cos 60° m＝1×10－2 m 从而得E＝＝ V/m＝3 000 V/m 方向沿电场线指向左下方。 题型06 非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析 例6.（多选）如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中A、B、C三点的场强分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的有（ ） A.φA>φB>φC B.EA>EB>EC C.UAB<UBC D.UAB＝UBC 【答案】　AC 【解析】　避雷针电场分布，一般避雷针带正电，云层带负电 沿电场线方向，电势越来越低，所以A点电势最高，C点电势最低，A正确； C点电场线越密集，电场强度最强，A点电场强度最弱，B错误； 由于BC间的电场强度大于AB间的电场强度，由U＝Ed可知，UAB<UBC，C正确，D错误。 题型07 根据动能和电势能守恒求解问题 例7. 如图中虚线所示为静电场中的等势面1、2、3、4，相邻的等势面之间的电势差相等，其中等势面3的电势为0。一带正电的点电荷在静电力的作用下运动，经过a、b点时的动能分别为26 eV和5 eV。当这一点电荷运动到某一位置，其电势能变为－8 eV时，它的动能应为（ ） A.10 eV B.20 eV C.10 eV D.20 eV 【答案】　B 【解析】 eV含义：是将一个元电荷降低1V，电场力做的功，也是能量单位　 由图可判断b点电势高于a点，设各等势面间电势差为U，相邻等势线电势能为Uq， 则由能量守恒，－2Uq＋26 eV＝Uq＋5 eV，所以Uq＝7 eV， 所以，点电荷在b点的能量为7 eV＋5 eV＝12 eV， 所以，当电势能为－8 eV时，动能为12 eV－(－8 eV)＝20 eV，故选项B正确。 例8. 如图甲，点电荷Q1、Q2固定在水平连线上，其延长线有b、a两点，Q1带正电，检验电荷+q仅受电场力作用，t=0时经过b点，然后沿ba向右运动，其图象如图乙，vb、va分别为检验电荷经过b、a两点的速度大小，则（　　） A. Q2带正电 B. 从点到点，电荷做加速度逐渐增大的减速运动 C. 从点向右运动全过程，电场力一直对电荷做负功 D. 从点到点，电荷的电势能逐渐增大 【答案】D 【详解】A．从速度图象上看出，粒子从到做加速度减小的减速运动，在点时粒子运动的加速度为零，则粒子在点所受的电场力为零，所以该点场强为零，Q1对正电荷的电场力向右，则Q2对粒子的电场力向左，所以Q2带负电，故错误； B．根据图象知到做加速度减小的减速运动，故B错误； C．从向右运动的过程，动能先减小后增大，根据能量守恒知电势能先增大后减小，电场力先做负功后做正功，故C错误； D．由到的过程动能减小，根据能量守恒知粒子的电势能增大，故D正确。 题型08 φ-x图像：斜率是 - E 例9. 在 x 轴上有两个点电荷 q1、q2，其静电场的电势φ在 x 轴上分布如图所示，则（） A. q1 和 q2 带有同种电荷 B. x1 处的电场强度为零 C. 负电荷从 x1 移到 x2，电势能减小 D. 负电荷从 x1 移到 x2，受到的电场力增大 【答案】 C 【详解】 A. x1处电势为0，只能异种电荷，所以A错误。 B. 斜率为场强，所以x1处场强不为0，所以B错误。 C. 负电荷电势增加，电势能减小，所以C正确。 D. 斜率为场强，斜率减小即电场力减小，所以D错误。 【A组】 1．（多选）关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是（ ） A.UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA B.UAB和UBA是不同的，它们有关系UAB＝－UBA C.φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量 D.电势零点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点 【答案】 BD 【解析】 UAB表示A点相对于B点的电势差，UAB＝φA－φB，A错误； UBA表示B点相对于A点的电势差，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，B正确； 电势是标量，正号表示高于零电势点，负号表示低于零电势点，C错误； 零电势点理论上是可以任意选取的，但通常取无穷远处或大地为零电势点，D正确。 2． 空间中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势面分布如图所示，a、b、c、d为电场中的4个点。则（ ） A.P、Q两点处的电荷等量同号 B.a点和b点的电场强度相同 C.c点的电势低于d点的电势 D.负电荷从a到c，电势能减少 【答案】 D 【解析】 根据题图可知，该电场是等量异号点电荷的电场，故A错误； 根据电场的对称性，a、b两点的电场强度大小相等，而方向不同，故B错误； c点所在等势面离P点(正电荷)较d点所在等势面离P点近，c点的电势较高，故C错误； 负电荷从a到c，静电力做正功，所以电势能减少，故D正确。 3．（多选）如图所示，在A点由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子在到达B点时的速度恰好为零，已知A、B所在处的电场线方向竖直向下，A、B两点间的高度差为h，则下列判断正确的是（ ） A.带电粒子带负电 B.A、B两点间的电势差UAB＝ C.B点的场强大于A点的场强 D.A点的场强大于B点的场强 【答案】 AC 【解析】 带电粒子由A到B过程中，先加速后减速，静电力竖直向上，粒子带负电，A正确； 由动能定理可得mgh＋UABq＝0，可得UAB＝，B错误； 因在A处，mg＞|EAq|，在B处，mg＜|EBq|，故必有EA＜EB，C正确，D错误。 4．（多选）图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点。则该粒子（ ） A.带负电 B.在c点受力最大 C.在b点的电势能大于在c点的电势能 D.由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化 【答案】 CD 【解析】 物体做曲线运动时，合力方向指向轨迹的凹侧，说明粒子带正电，A错误； 由库仑定律F＝k知离圆心越远，粒子所受的力越小，B错误； 粒子从b点到c点过程中，静电力做正功，电势能减小，C正确； 点电荷的等势面与虚线重合，依题意得Uab>Ubc，又静电力做功W＝qU，则Wab>Wbc，由动能定理得粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，D正确。 5． 如图所示，在某电场中画出了三条电场线，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝－20 V，则下列说法正确的是（ ） A.C点的电势φC＝5 V B.C点的电势φC>5 V C.C点的电势φC<5 V D.负电荷在A点的电势能大于在B点的电势能 【答案】 C 【解析】 从电场线的分布情况可以看出φA－φC>φC－φB，所以有φC<5 V，C正确，A、B错误； 因为负电荷在电势高的地方电势能较小，所以D错误。 6． 如图所示，实线为方向未知的三条电场线，虚线分别为等势线1、2、3，已知MN＝NQ，a、b两带电粒子从等势线2上的O点以相同的初速度飞出。仅在静电力作用下，两粒子的运动轨迹如图所示，则（ ） A.a一定带正电，b一定带负电 B.a加速度减小，b加速度增大 C.MN两点电势差|UMN|等于NQ两点电势差|UNQ| D.a粒子到达等势线3的动能变化量比b粒子到达等势线1的动能变化量小 【答案】 B 【解析】 由带电粒子的运动轨迹，可知带电粒子所受的静电力方向，因为电场线的方向不确定，故不能判断带电粒子带电的性质，故A错误； 由电场线的疏密可知，a加速度将减小，b加速度将增大，故B正确； 因为是非匀强电场，故MN两点电势差并不等于NQ两点电势差，故C错误； 因为等势线1与2之间的电场强度大，故1、2之间的电势差大，但两粒子的带电荷量大小不确定，故无法比较动能变化量的大小，故D错误。 7． 如图所示，a、b、c三条虚线为电场中的等势面，等势面b的电势为零，且相邻两个等势面间的电势差相等．一个带正电的粒子(粒子重力不计)在A点时的动能为10 J，在电场力作用下从A运动到B时速度为零．当这个粒子的动能为7.5 J时，其电势能为（ ） A. 12.5 J B. 2.5 J C. 0 D. -2.5 J 【答案】 D 【详解】由动能定理：WAB=0-EK0=-10J， Uab=Ubc，所以qUab=qUbc，即： 设粒子在等势面b上时的动能EKb：则 Wbc=EKc-EKb 所以： EKb=5J 所以粒子在b处的总能量：Eb=EKb=5J 从而可以知道粒子在电场中的总能量值为：E=5J． 当这个粒子的动能为7.5J时有：EP=E-EK=（5-7.5）J=-2.5J．选项D正确。 8． 如图所示，等量异种点电荷P、Q连线中点处有一电子，在外力F作用下处于静止状态。现让电荷P沿连线向右移动一小段距离，此过程中电子一直处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A. 外力逐渐减小，电子的电势能逐渐增大 B. 外力逐渐增大，电子的电势能逐渐增大 C. 外力逐渐增大，电子的电势能逐渐减小 D. 外力逐渐减小，电子的电势能逐渐减小 【答案】C 【详解】让电荷P沿连线向右移动一小段距离，电子所在的位置场强增大，电子所受的电场力增大，由平衡条件可知，外力F逐渐增大；由题图可知，电子所在的位置场强方向向右，则P带正电，P向右移动时，电子所在的位置电势逐渐升高，电子的电势能逐渐减小。 9．（2023·宝山一模）某电场的等势面如图所示，图中a、b、c、d、e为电场中的5个点，a、b、c、e四点中电场强度最小的点是__________。若一质子从a点运动到d点，则电场力做功为__________eV（1eV=1.6×10−19J，质子的电荷量为1.6×10-19C）。 【答案】 a −4 【详解】[1]由等势面越疏的位置，电场线也越疏，电场线的疏密表示电场强度的大小，可知a、b、c、e四点中电场强度最小的点是a。 [2]一质子从a点运动到d点，质子带正电，由电场力做功与电势差的关系公式，可得电场力做功为 10．如图所示，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，A、B、C、三点都在匀强电场中，且A、B、C所在平面与电场线平行，把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为－×10－3 J。 (1)求A、C间的电势差； (2)若规定B点电势为零，求C点的电势。 【答案】（1）－×102 V （2）×102 V 【解析】 根据W＝Uq得，UAB＝＝0，即φA＝φB，UBC＝＝－×102 V (1)UAC＝φA－φC＝φB－φC＝UBC＝－×102 V (2)φB＝0，UBC＝φB－φC，所以φC＝φB－UBC＝×102 V。 【B组】 11．光滑绝缘的水平面附近存在一个水平方向的电场，其中某一区域的电场线与 x 轴平行，其电势ϕ随 x 轴的关系如图所示，图中虚线为图线在 x＝0.15m 处的切线。质量为 m＝1×10﹣4kg、带电量为 q＝+1.6×10﹣10C 的小物体处于 x＝0.15m 处由静止释放后开始运动。小物体运动过程中能量守恒，取 g＝10m/s2。 （1）分析判断小物体的运动方向； （2）已知图线上任意一点切线斜率为该点处的电场强度大小，求小物体开始运动时的加速度大小； （3）求小物体运动 0.05m 时的速度大小； （4）若水平面粗糙，且小滑块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，试分析说明小物体的运动情况。 【答案】(1) 正电荷沿电势降低方向运动，所以向x正向。或斜率=-E，所以E>0，沿x轴正方向运动 (2) a=Eq/m=2.4m/s2 (3) ϕ=1.25×105V W=1/2mv2-0=q(ϕ1- ϕ2) v=0.4 m/s (4)初始F电>f, 做加速度减小的加速，再做减速，直至静止 12.（2023·崇明二模）如图甲所示，一圆心为O的圆形区域ABCD处于平行于纸面的匀强电场中，其半径。M为圆弧上一点，若半径OM沿逆时针方向转动，θ为OM从OA开始旋转的角度，M点的电势φ随θ变化的关系如图乙所示。则将带电量为的电荷由A点沿圆弧逆时针移到C点，电场力______（选填“不做功”、“一直做正功”、“一直做负功”、“先做正功后做负功”或“先做负功后做正功”），电势能变化了______J。 【答案】 先做负功后做正功 / 【详解】[1]由乙图可知，从A点沿逆时针转动到C点的过程中，电势先降低再升高，而负电荷在电势越低的地方电势能越大，故可知，将带电量为的电荷由A点沿圆弧逆时针移到C点的过程中电荷的电势能先增加后减小，即电场力先做负功后做正功。 由图乙可得A点的电势能为 C点的电势能为 则可得 13.（2023·宝山二模）在电场中放置一光滑绝缘水平桌面，沿桌面上x轴方向电势分布如图中实线所示。一质量m＝4×10-2kg、电量q＝-2×10-6C的带负电小球，以v0＝2m/s的初速度在x0＝-1m处沿x轴正方向运动，则小球从开始运动到动能最大时电场力所做的功为___________J；当小球速度为零时其位置坐标为___________m。 【答案】 0.04 2或-2 【详解】[1]x轴上从-3m到0电势升高，则电场方向沿x轴负方向，x轴上从0到3m电势降低，则电场方向沿x轴正方向，带负电小球在x0＝-1m处沿x轴正方向运动，受到向右的电场力，电场力做正功，动能增加，从0点向右运动过程中电场力向左，电场力做负功，小球动能减小，所以小球在0点动能最大，则小球从开始运动到动能最大时电场力所做的功为 [2]设小球速度为0时，其坐标为x，从初位置到速度为零的过程， 根据动能定理可得 解得 由图像可知，小球速度为0时，另一个位置坐标为 2m或-2m 14.（2023·浦东新二模）某空间的x轴上只存在沿此轴方向的静电场，x轴上各点电势分布如图。一带电量为的粒子只在电场力作用下由x轴上某点无初速释放，若粒子沿x轴运动过程中的总能量恒为零，则粒子的活动区间是______；运动过程中的最大动能为______。 【答案】 [x2，x3] 【详解】[1][2]粒子带负电荷，开始时由电势低处向电势高处运动，又粒子沿x轴运动过程中的总能量恒为零，则开始运动时动能为零，电势能也为零，则粒子的活动区间是[x2，x3]；电势最高时，动能最大，运动过程中的最大动能为。 15.（1）如图，圆环均匀带正电，沿其中心轴线建立x轴。将另一点电荷+q从圆心处沿x轴正方向移到无穷远处的过程中，电场力做功为。取无穷远处为电势能零点，则电荷+q具有的电势能与位置坐标x的关系图像正确的是（ ） A. B. C. D. （2）从圆环的圆心出发，沿着x轴正方向移动到无穷远处，电场强度方向_______，电场强度大小_______（填“一直增大”、“先增大后减小”、“一直减小”）。 【答案】 ①. A ②. 沿x轴正方向 ③. 先增大后减小 【解析】（1）（2）[1][2][3]点电荷从圆心处沿x轴正方向移到无穷远处的过程中，电场力做功为，由电势能的定义可知，点电荷在处的电势能 又与x的关系图像的斜率的绝对值表示静电力的大小，将圆环分成很多可以看成点电荷的小段，由电场叠加原理可知，处电场强度为零，且从向左、向右电场强度都变大，无穷远处电场强度为零，故电场强度变化为：从到无穷远处电场强度先增大后减小；电场强度方向沿x轴正方向。电荷从向左、向右受到的静电力都是先增大后减小。与x的关系图像的斜率的绝对值从向左、向右都是先增大后减小。 故选A，电场强度方向沿x轴正方向，先增大后减小。 16.（2023·徐汇二模）如图（i）所示，真空中两正点电荷A、B固定在x轴上，其中A位于坐标原点。一质量为m、电量为q（电量远小于A、B）的带正电小球a仅在电场力作用下，以大小为v0的初速度从x=x1处沿x轴正方向运动。取无穷远处势能为零，a在A、B间由于受A、B的电场力作用而具有的电势能Ep随位置x变化关系如图（ii）所示，图中E1、E2均为已知，且a在x=x2处受到的电场力为零。 （1）求A、B两电荷电场在与两点间的电势差U12； （2）比较A、B两电荷电量QA、QB的大小关系； （3）求a在A、B间运动过程中最大速度v的大小； （4）如图（iii）所示，若一探测器从地球飞往月球，仅考虑地球与月球对探测器的引力作用，试从受力与能量的角度比较该探测器的运动与a在A、B间的运动的类似之处（至少写出三点）；并在图（iv）中定性画出探测器在地、月共同作用下所具有的势能Ep随探测器与月球间距离x变化的关系图线（取无穷远处势能为零）。 【答案】（1）；（2）QA>QB；（3）；（4）见解析 【详解】（1）由能量关系可知 解得 （2）因x2点场强为零，则 因 r1>r2 则 QA>QB （3）a运动过程中只有电场力做功，动能和电势能相互转化，总量不变， 则在x=x2位置电势能最小，动能最大： （4）类似之处： a.同时受到两个场源的作用； b.单个场源的作用力都与物体到场源距离的平方成正比； c.势能变化都由克服场力做功量度； 探测器在地、月共同作用下所具有的势能Ep随探测器与月球间距离x变化的关系图线如图 17．如图所示，Q为固定的正点电荷，A、B两点在Q的正上方和Q相距分别为h和0.25h，将一带电小球从A点由静止释放，运动到B点时速度正好又变为0。若此带电小球在A点的加速度大小为g，试求： (1)此带电小球在B点的加速度； (2)A、B两点间的电势差(用k、Q和h表示)。 【答案】　(1)3g，方向竖直向上　(2)－ 【解析】　(1)这个带电小球必带正电荷，设其电荷量为q，由牛顿第二定律得， 在A点时，有mg－＝m·g， 在B点时，有－mg＝maB， 解得aB＝3g，方向竖直向上。 (2)带电小球从A点到B点的过程中，由动能定理得mg(h－0.25h)＋qUAB＝0，解得UAB＝－。 18．如图所示的匀强电场，等势面是一簇互相平行的竖直平面，间隔均为d，各等势面电势已在图中标出，U>0，现有一质量为m的带电小球以速度v0、方向与水平方向成45°角斜向上射入电场，要使小球做直线运动，求： (1)小球应带何种电荷及其电荷量； (2)小球受到的合外力的大小； (3)在入射方向上小球运动的最大位移xm。(电场足够大) 【答案】　(1)正电荷　　(2)mg　(3) 【解析】　(1)作电场线如图(a)所示。 (a) (b) 只有当F合与v0在一条直线上才可能使小球做直线运动，所以小球受到向左的静电力，如图(b)所示。 所以小球带正电，小球沿v0方向做匀减速运动。由 图(b)知qE＝mg，相邻等势面间的电势差为U，所以E＝，所以q＝＝。 (2)由图(b)知，F合＝＝mg。 (3)由动能定理得－F合xm＝0－mv，所以xm＝＝。 19．美国物理学家密立根通过如图所示的实验装置，最先测出了电子的电荷量，被称为密立根油滴实验。如下图所示，两块水平放置的金属板A、B分别与电源的正负极相连接，板间产生匀强电场，方向竖直向下，图中油滴由于带负电悬浮在两板间保持静止。 (1)若要测出该油滴的电荷量，需要测出的物理量有________； A.油滴质量m B.两板间的电压U C.两板间的距离d D.两板的长度L (2)用所选择的物理量表示出该油滴的电荷量________已知重力加速度为； (3)在进行了几百次的测量以后，密立根发现油滴所带的电荷量虽不同，但都是某个最小电荷量的整数倍，这个最小电荷量被认为是元电荷，其值为________C。 【答案】 ①. ABC ②. ③. 所以需要测出的物理量有油滴质量m，两板间的电压U，两板间的距离d，故ABC正确，D错误； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$