第五节 带电粒子在电场中的运动（重难点专练）物理沪科版必修第三册

**基本信息** 以“概念辨析-规律应用-运动分析”为主线，系统整合电势差、场强关系及粒子运动问题，提炼方法体系与解题模型，强化物理观念与科学思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |电势差|典型例题6道|对比电势与电势差的定义、影响因素及联系，明确相对性与绝对性|从电场能的性质切入，通过概念比较建立电势差认知框架| |电势差与电场强度的关系|典型例题6道|深化U=Ed公式理解，区分匀强与非匀强电场应用，结合等势面分析场强|衔接场强（力的性质）与电势差（能的性质），构建场能关联逻辑| |带电粒子在电场中的加速|典型例题6道|提供动力学（牛顿定律+运动学）和功能关系（动能定理）两种求解路径|从力与能量双视角解决加速问题，体现科学推理的多元性| |带电粒子在电场中的偏转|典型例题6道|类平抛运动分解法，推导偏移量、偏转角公式及四大推论|基于运动合成与分解模型，实现从直线运动到曲线运动的应用拓展|

9.5 带电粒子在电场中的运动（题型突破） 题型01 电势差 题型02 电势差与电场强度的关系 题型03 带电粒子在电场中的加速 题型04 带电粒子在电场中的偏转 ▌题型01 电势差 1．对电势差的几点认识 (1)电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关，在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。 (2)讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差，A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。 (3)电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点间的电势的高低。 (4)电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关。 2．电势和电势差的比较 电势φ 电势差U 区 别 定义 在电场中电势能与电荷量比值 电场中两点间电势之差 公式 φ＝ U＝(UAB＝φA－φB) 影响因素 由电场和在电场中位置决定 由电场中两点位置决定 相对性/ 绝对性 具有相对性，与零势能点选取有关 具有绝对性，与零势能点选取无关 联 系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA 单位 相同，均为V 标矢性 都是标量，但均有正负 物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量 1．如图所示，某电场中A点的电势为2 V，B点的电势为，则A、B间的电势差 UAB 为（　　） A．1 V B．2 V C．3 V D．4 V 【答案】C 【详解】根据电势差的定义可知A、B间的电势差 故选C。 2．电场是看不见摸不着的一种物质，试探电荷是研究电场的重要工具。下列物理量中与试探电荷有关的是（　　） A．电场强度 B．电场力 C．电势 D．电势差 【答案】B 【详解】 A．电场强度：由 可知，电场强度由电场本身决定，与试探电荷无关，故A错误； B． 电场力：由公式 可知，电场力与试探电荷的电荷量 有关，故B正确； C．电势：由 可知，电势是电场中某点的属性，与试探电荷无关，故C错误； D． 电势差： ，由电场本身和位置决定，与试探电荷无关，故D错误。 故选B。 3．（多选）如图所示，在x轴相距为L的两点固定两个等量异种点电荷、，虚线是以所在点为圆心、为半径的圆，a、b、c、d是圆上的四个点，其中a、c两点在x轴上，b、d两点关于x轴对称，下列判断正确的是（　　） A．b、d两点处的场强和电势都相同 B．a点场强大于c点场强 C．将一试探电荷沿圆周由a点移至c点，电场力做负功 D． 【答案】CD 【详解】A．该电场中的电势关于x轴对称，所以b、d两点的电势相等，b、d两点场强大小相等，但方向不同，故b、d两点场强不同，故A错误； B．点电荷在a、c两点产生的场强大小相等，在a点处产生场强小于在c点产生的场强大小，又因为两电荷在a处产生的场强方向相反，c处产生场强方向相同，根据电场叠加原理，a点场强小于c点场强，故B错误； C．c点电势为零，a点电势为正，从a至c，电势降低，对于负电荷，电势能增大，可知电场力做负功，故C正确； D．根据点电荷周围电势分布特点可知，在a、b、c三点处产生的电势相等，在a点电势大于b点，b点大于c点，电势是标量，所以，所以，故D正确。 故选CD。 4．如图所示，在电场强度大小E＝300N/C的匀强电场中，A、B两点距离为10cm，AB连线与电场线的夹角θ＝37°，一电荷量的点电荷，从A点移动到B点，（已知cos37°＝0.8） (1)求点电荷受到的电场力的大小； (2)求电场力做的功； (3)如果A点的电势，求B点的电势。 【答案】(1) (2) (3)6V 【详解】（1）点电荷受到的电场力 （2）A、B两点的电势差为 电场力所做的功为 （3）由于A、B两点电势差为24V，则 ，解得 5．关于电势差和电势、的理解，下列说法正确的是（　　） A． B．、都有正负，可见电势是矢量 C．和是相同的，它们有关系 D．零电势点的选取是任意的，但人们通常取大地或无限远处为零电势点 【答案】D 【详解】A．根据电势差的定义，故A错误； B．电势的正负表示相对零电势点的高低，电势是标量（只有大小，无方向），故B错误； C．根据电势差的定义 有 可知，故C错误； D．零电势点的选取具有任意性，实际中通常取大地或无限远处为零电势点，故D正确。 故选D。 6．如图所示，为一组方向未知的匀强电场的电场线，将带电荷量为的点电荷由A点沿水平线移至B点，电场力做了的功，已知A、B间的距离为。试求： (1)A、B两点间的电势差； (2)若A点的电势为，试求B点的电势； (3)该匀强电场的电场强度E的大小并判断其方向。 【答案】(1) (2) (3)，沿电场线向上 【详解】（1）根据 代入数据解得 （2）根据 解得 （3）如图所示 由几何关系可得A、B两点沿电场线方向的距离 根据 代入数据解得 根据沿着电场线方向电势降低可知方向：沿电场线向上。 ▌题型02 电势差与电场强度的关系 对公式U＝Ed的理解 1．从变形公式E＝可以看出，电场强度越大，说明沿电场线方向单位长度电势差越大，表明电势降落的越快，因此电场强度除了能描述电场的力的性质外还有另一个物理意义，那就是：电场强度是描述电场中电势降落快慢的物理量，也同时说明，沿电场线方向电势降落最快。 2．公式中的d可理解为匀强电场中两点所在等势面之间的距离，在匀强电场中，沿任意方向上以及与之平行的方向上、相等的长度上，电势降落相等。例如在图中MN方向上，相等长度电势降落相等。 3．对于非匀强电场，用公式E＝可以定性分析某些问题。例如等差等势面E越大处，d越小。因此可以断定，等差等势面越密的地方电场强度也越大。现在举例来说明公式E＝在非匀强电场中的应用。如右图所示，A、B、C是同一电场线上的三点，且＝，由电场线的疏密程度可以看出EA＜EB＜EC，所以AB间的平均场强比BC间的小，即AB<BC，又因为UAB＝·AB，UBC＝·BC，所以UAB＜UBC。 7．（多选）如图所示，空间内有一匀强电场，ABCD是电场中的矩形，电场线与ABCD平面平行。已知A点电势φA=0，B点电势φB=3 V，D点电势φD=-3 V，AB边长l1=4 cm，BC边长l2=3 cm，，，则（     ） A．C点的电势φC=6 V B．电场线与直线AC平行 C．电场强度大小为E=125 V/m D．电子在A点的电势能等于在C点的电势能 【答案】CD 【详解】A．匀强电场中平行等间距的两线段端点电势差相等，则 代入数据得，A错误； BD．由于AC电势相等，则AC为等势面，故电子在A点的电势能等于在C点的电势能，电场线与AC垂直，故B错误、D正确； C．设AC与AB的夹角为，即 解得 过B作AC的垂线，即为电场线的方向，则垂线段长度 电场强度 ，故C正确。 故选CD。 8．（多选）一匀强电场的方向平行于平面，平面内、、三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V、17V、26V。下列说法正确的是（     ） A．电场强度的大小为 B．电场强度的方向由指向 C．电子在点的电势能比在点的高7eV D．电子从点运动到点，克服电场力做功为9eV 【答案】AC 【详解】AB．根据匀强电场中电势差与电场强度的关系，沿轴负方向的分场强大小为 沿轴负方向的分场强大小为 则电场强度的大小为 设电场强度的方向与轴负方向的夹角为，则有 由于 可知电场强度的方向由指向，故A正确，B错误； C．电子在a点和b点的电势能分别为， 所以电子在a点的电势能比在b点的高，故C正确； D．电子从b点运动到c点，电场力做功为，故D错误。 故选AC。 9．如图所示，空间中有平行于正六边形所在平面的匀强电场，正六边形中心为O，边长为1m。将电荷量为-1×10-6 C的点电荷从M点移动到N点，静电力做了1×10-5 J的功，再从N点移动到P点，静电力又做了3×10-5 J的功。选M点为电势能零点，下列说法正确的是（　　） A．N点电势为-10 V B．O点的电势为20 V C．匀强电场方向由M指向P D．匀强电场的电场强度大小为10 V/m 【答案】B 【详解】A．根据 因 可知N点电势为，A错误； B．从N点移动到P点，静电力又做了3×10-5 J的功，则，，可得 而，即O点的电势为20 V，B正确； CD．将PM四等分，Q为MO的中点，则Q点的电势为 分析可知NQ为等势面，故电场方向由P指向M，匀强电场的电场强度大小为 故CD错误。 故选B。 10．（多选）如图所示，一半径为1m的圆处在平行于圆面的匀强电场中，AB为圆的直径，C为圆上一点，AB与AC夹角为37°。A点电势为2V，圆心O的电势为4V，C点电势为6V，sin37°=0.6，则（     ） A．匀强电场方向平行于AC B．B点电势大于6V C．匀强电场的电场强度大小为2.0V/m D．圆周上电势最高点的电势为6.5V 【答案】AD 【详解】A．设的中点为点，点的电势 因此是等势线。为直角三角形，由几何关系可得，则 电场线垂直于等势线，因此匀强电场方向平行于，故A正确； B．是中点，匀强电场中中点电势满足 解得，故B错误； C．电场沿方向， 由几何关系，沿电场方向距离 因此场强，故C错误； D．圆周上电势最高的点沿电场反方向（电势升高方向），距离点最远的点，该点到沿电势升高方向的距离为，电势差 因此电势最高点的电势，故D正确。 故选AD。 11．如图所示的圆周，O为圆心，MN为直径，P为圆周上的点，MN=0.2 m，∠PMN=30°。一匀强电场方向与圆所在平面平行，已知M、N、P三点电势分别为、、，则该匀强电场的电场强度大小为（     ） A．200 V/m B． C．100 V/m D． 【答案】A 【详解】因为MN为圆的直径，根据几何关系可知PM与PN垂直，根据几何关系分别有， 代入已知数据解得和 在匀强电场中，沿PN方向的电场强度分量大小为 代入数据解得 沿PM方向的电场强度分量大小为 代入数据解得 由于PM与PN垂直，根据电场强度的叠加原理有 代入数据解得 故选A。 12．如图所示，空间存在一匀强电场，其电场强度大小，该电场中有A、B两点，相距，且A、B两点的连线与电场线的夹角。 (1)求A、B两点间的电势差； (2)若将一电荷量的带负电粒子从A点移到B点，只考虑带电粒子所受的电场力，请判断该过程中粒子的电势能是增大还是减小，并求该过程中电势能的变化量。 【答案】(1) (2)电势能增大， 【详解】（1）、两点间沿电场方向的距离，根据电势差与电场强度的关系，有 得 （2）把带负电的粒子从点移到点，电场力对粒子做的功 得 根据电场力做功和电势能变化的关系，因为，所以该过程中粒子的电势能增大，粒子电势能的变化量 【点睛】 ▌题型03 带电粒子在电场中的加速 求带电粒子的速度的两种方法 1．从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 2．从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv，解得v＝。 13．（多选）水平绝缘桌面上有两个质量均为、相距的小物块和，两物块位于范围足够大的匀强电场内，其中物块带有正电荷，电荷量为，物块在的右边，为绝缘体，不带电。电场强度大小为，方向与连线平行，且指向右方，如图所示。初始时物块静止，在外力的作用下也处于静止状态。被释放后会与发生一系列碰撞，若在碰撞过程中没有机械能损失和电荷交换，不计摩擦，则第9次碰撞前瞬间（     ） A．物块的速度大小为 B．物块的速度大小为 C．与其初始位置间的距离为 D．与其初始位置间的距离为 【答案】AD 【详解】碰前小物块的加速度为 碰前小物块的速度为 碰前静止，由于被释放后会与发生一系列碰撞，若在碰撞过程中没有机械能损失和电荷交换，不计摩擦，即二者发生弹性碰撞，由动量守恒定律可得， 由机械能守恒定律可得 解得 第1次碰撞前向前运动的距离为 碰后向右做匀速直线运动，向右做匀加速直线运动，第2次碰撞前速度设为，由于到再次相 遇，时间和位移相等 解得 第1次碰撞后到第2次碰撞前向前运动的距离为 第2次碰撞二者发生弹性碰撞，由动量守恒定律可得 由机械能守恒定律可得 解得 第3次碰撞前 解得 第2次碰撞后到第3次碰撞前向前运动的距离为 第3次碰撞二者发生弹性碰撞，由动量守恒定律可得 由机械能守恒定律可得 解得 第4次碰撞前 解得 第3次碰撞后到第4次碰撞前向前运动的距离为 以此类推… 可知第9次碰撞前瞬间速度为 与其初始位置间的距离为 故选AD。 14．如图所示，相互平行的金属板A、B、C分别与两个相同的电源相连，一带电粒子（不计重力）从靠近A板的位置由静止释放后，沿虚线方向运动，可自由通过B、C板上的小孔，则（     ） A．粒子一定能以大于零的速度穿过C板 B．若A板左移，带电粒子不能到达C板 C．若B板右移，粒子到达C板时间变短 D．若C板右移，粒子到达C板时间变长 【答案】D 【详解】A．由电路连接可知，间和间的电压相等，都等于电源电动势，电场方向相反。粒子从由静止释放，根据动能定理，得，故A错误； B．A板左移时，间电压仍为，总功为，粒子刚好到达板（速度为），故B错误； C．粒子在AB间做匀加速直线运动，由动能定理得 因此不管AB间距如何变化，粒子到达B板的速度恒定；AB段平均速度为 设AB间距为，得运动时间 BC段粒子做匀减速直线运动，到C板时末速度为0，平均速度为 设BC间距为得运动时间 总时间，B板右移时，增大、减小，总间距（A到C的距离）不变，因此总时间不变，故C错误； D．C板右移时，不变，增大，总间距增大，不变，因此总时间变长，故D正确。 故选D。 15．如图所示，平行金属板接在电源两端。一个电子从点以速度沿垂直于极板方向射出，最远能到达点。现将右极板向右平移，使两极板间距离变为原来的2倍。再将电子从点以相同速度射出，最远到达点（图中没画出）。则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令电源电压为U，板间距为d，从O到A距离为h，根据动能定理，有 现将右极板向右平移，使两极板间距离变为原来的2倍，从O到B，根据动能定理，有 联立可得，即。 故选C。 16．（多选）如图所示，某静电喷雾装置在和之间产生水平向右的匀强电场，带电雾滴从边沿水平方向以不同的初速度进入电场，达到边。若雾滴均带正电且比荷相同，忽略空气阻力及重力，用表示速度的增加量，用表示速率平方的增加量。下列说法正确的是（ 　　） A．不同雾滴受到的电场力都相同 B．不同雾滴的加速度都相同 C．不同雾滴从到达过程中相同 D．不同雾滴从到达过程中相同 【答案】BC 【详解】A．电场力 匀强电场相同，雾滴比荷相同，但不同雾滴电荷量不一定相同，因此电场力不一定相同，故A错误； B．由牛顿第二定律得 可得雾滴加速度 雾滴比荷相同，相同，因此所有雾滴加速度都相同，故B正确； C．AB到CD沿电场方向的距离固定，根据动能定理有 可得 均为定值，因此不同雾滴的相同，故C正确； D．从到达过程，雾滴的位移 不同雾滴初速度不同，因此运动时间不同，则速度增加量 故不同雾滴的不同，故D错误。 故选BC。 17．如图所示，光滑绝缘的水平面上方空间内存在足够大、方向水平向右、电场强度为的匀强电场。水平面上小物块、相距为，其中带正电，电荷量为，质量为，不带电，某时刻同时由静止释放、，之后与发生碰撞，每次碰撞时，、两物体交换速度，且碰撞过程中无电荷转移，碰撞时间忽略不计。求： (1)第1次碰撞后的速度； (2)第2次碰撞与第3次碰撞之间的时间间隔； (3)第n次碰撞到第次碰撞过程中静电力对做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从静止开始运动位移，由动能定理 解得 每次碰撞时，、两物体交换速度，因此获得的速度等于碰撞前的速度，即 （2）每次碰撞时，、两物体交换速度，第一次碰撞后小物块、的速度分别为， 之后做匀速直线运动，做初速度为0的匀加速直线运动，设、第二次碰撞前后速度分别为、、、，从第一次碰撞到第二次碰撞过程有 代入 可得 二次碰撞过程与交换速度，碰后速度分别为， 设、第三次碰撞前后速度分别为、、、，从第二次碰撞到第三次碰撞过程有 可得 第三次碰撞过程与交换速度，碰后速度分别为， 所以第二次碰撞到第三次碰撞过程的时间间隔 由牛顿第二定律得 联立可得 （3）由上一问归纳规律可得：第次碰撞后，的速度 第次碰撞前，的速度 该过程只有静电力对做功，由动能定理，静电力做功等于的动能变化，即 代入 解得 18．如图所示，光滑绝缘水平面上O点右侧有水平向左、电场强度大小为E的匀强电场，滑块B紧靠O点静止放置。滑块A从B左侧L处以大小为的速度水平向右运动与B发生弹性碰撞（时间极短），碰撞过程中电荷不发生转移，A、B均可视为质点，忽略A、B间的库仑力。已知B的质量为m，带电量为+q；A的质量为2m，带电量为+kq（k>0）。 (1)若A、B在电场中不发生碰撞，求B在电场中运动的最大距离； (2)要使A和B在电场区域内能发生碰撞，求k应满足的条件。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）A和B碰撞满足动量守恒和机械能守恒，有 ，     解得， B在电场中运动时，根据动能定理     解得 （2）设A和B刚好在O处相碰，根据动量定理，对B有     对A有     根据题意有     解得 故要使A和B在电场内相碰，k值满足的条件为。 ▌题型04 带电粒子在电场中的偏转 1．运动情况 质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0平行两极板进入匀强电场中，两极板长为l，极板间距离为d、电压为U。不考虑粒子的重力且忽略电容器的边缘效应，带电粒子仅受恒定的电场力。粒子的运动特点和平抛运动相似，即带电粒子在电场中做类平抛运动。 2．处理方法 将粒子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的匀加速直线运动。根据运动的合成与分解的知识分析。 (1)粒子沿初速度方向做匀速直线运动，穿过两极板的时间t＝。 (2)粒子沿电场力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝＝＝。 (3)沿初速度方向：速度：vx＝v0，位移：l＝v0t。 (4)沿电场力方向：速度：vy＝at＝·，位移：y＝at2＝··。 (5)粒子离开电场时的速度偏转角θ满足tan θ＝＝。 (6)粒子离开电场时位移与初速度方向的夹角α满足tan α＝＝。 3．几个常用推论 (1)tan θ＝2tan α。联立上边(5)(6)中公式可推出。 (2)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于沿初速度方向分位移的中点，即粒子好像从该中点处沿直线飞离电场一样。 (3)不同的带电粒子、电性相同，不计重力，由静止开始先在同一电场中加速，又在同一电场中偏转，射出电场时粒子的偏移量和偏转角相同，与粒子的带电荷量和质量无关，即运动轨迹相同。 (4)若粒子以相同的初动能Ek进入同一个偏转电场，只要电荷量相同，不论质量是否相同，偏转距离y和偏转角θ均相同。 19．如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在着沿轴正方向的匀强电场。现从轴上的点沿轴正方向发射一带电粒子，其质量为，电荷量为（），带电粒子仅在电场力作用下到达轴点，到达点时的速度方向与轴正方向成角；带电粒子到达点的同时，在第四象限区域内某处放置一带正电的点电荷，使带电粒子进入第四象限后做匀速圆周运动。带电粒子到达轴点时（图中未画出）速度方向沿轴正方向。已知O、A点间的距离为，静电力常量为，不计粒子重力。求： (1)第一象限电场中、间的电势差； (2)点电荷所带电荷量和位置坐标； (3)粒子从轴点出发到再次回到轴经过点所经历的时间。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）粒子在第一象限做类平抛运动，设初速度为​，运动时间为， 方向匀速运动，位移 方向匀加速运动，到达点时，速度和位移分别为​​， 联立解得， 由动能定理，电场力做功 解得 （2）设粒子做圆周运动的半径为，圆心坐标为，运动轨迹如图所示 由几何关系，可得， 解得， 结合点电荷在第四象限（），可得 点电荷位置坐标为 粒子进入第四象限后，速度大小为 粒子做匀速圆周运动，由库仑力提供向心力，有 解得 （3）粒子做圆周运动的周期 粒子做圆周运动的圆心角​ 粒子在第四象限的运动时间 粒子经历的总时间 20．如图所示，电子枪的加速电压，平行极板A与B的间距且。一电子从电子枪的电热丝无初速逸出，经电压加速后以从点沿平行于板面的方向射入板间电场。电子从点射出电场时，沿垂直于板面方向偏移的距离。已知电子的比荷，两板间的电场可看作匀强电场。已知。不计电子的重力，求： (1)求的大小； (2)求两极板的长度； (3)电子从点射出电场时的动能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子加速过程，根据动能定理有 （2）电子在平行极板间运动时，由牛顿第二定律得 又 电子在平行极板间做类平抛运动， 解得 （3）平行板A、B间的电场强度 则、两点间的电势差 电子从开始运动至点的过程应用动能定理得 解得 21．电子束光刻（EBL）系统中，束闸（Beam Blanker）用于高速控制电子束的通断，其简化模型如图所示。电子从金属丝发射时，初速度视为0，经电压为的加速电场后，以水平速度进入一对水平放置的金属板之间。金属板长度为，板间距离为，两板间偏转电压为。距离金属板右侧处竖直放置一个光阑，其中心开有一个半径为的圆形小孔，小孔中心位于电子束入射轴线上。已知电子质量为，电荷量为，不计光阑的厚度、电子重力和电子间相互作用。求： (1)电子进入偏转电场时速度的大小； (2)电子离开偏转电场时速度与水平方向夹角的正切值； (3)为了“关断”电子束，需使电子不能通过小孔，所需的最小偏转电压。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子经过加速电场过程中，根据动能定理可得 解得电子进入偏转电场时速度的大小为 （2）电子在偏转电场中做类平抛运动，水平方向有 解得 竖直方向有 则电子离开偏转电场时的竖直分速度大小为 电子离开偏转电场时速度与水平方向夹角的正切值为 （3）电子离开偏转电场时的偏转位移为 电子离开偏转电场后到光阑的竖直位移大小为 为了“关断”电子束，则有 可得 可知所需的最小偏转电压为 22．如图所示，电子在电势差为的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为的两块平行极板间的电场中，入射方向跟极板平行。整个装置处在真空中，电子重力可忽略。在满足电子能射出平行板区的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏移量变大的方案是（　　） A．变大，变大 B．变小，变大 C．变大，变小 D．变小，变小 【答案】B 【详解】设平行极板的长度为，板间距离为，电子的电荷量绝对值为、质量为，电子经加速电场后速度为。由动能定理有 解得 电子在偏转电场中的加速度大小为 在极板间运动的时间为 电子射出平行板区时的偏移量为== 可知与成正比、与成反比，故变小、变大时，一定变大。 故选B。 23．如图，两水平面（虚线）间距为，其间存在水平向右的匀强电场。自该区域上方的点将质量为、电荷量分别为和（）的带电小球、先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知从进入电场到离开电场的过程中水平方向位移为零；在电场中做直线运动，且刚离开电场时的动能为刚离开电场时动能的倍。不计空气阻力，重力加速度大小为。求： (1)与从抛出到离开电场的时间之比； (2)点距电场上边界的高度； (3)电场的电场强度大小。 【答案】(1)1 (2) (3) 【详解】（1）设带电小球、抛出的初速度均为，它们进入电场时的水平速度仍为，因为两小球从抛出到离开电场，竖直方向均做初速度为零的自由落体运动，设下落的总高度为，根据自由落体运动公式有 可得两小球运动的时间相等，解得 （2）设点距离电场上边界的高度为，小球下落时在竖直方向的分速度为，根据运动学公式有 设两小球在电场中的运动时间为，小球在竖直方向做匀加速直线运动，根据运动学公式有 小球进入电场后受到水平向左的电场力，设水平方向的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 已知小球从进入电场到离开电场的过程中水平方向位移为零，根据运动学公式有 解得 小球在电场中受到水平向右的电场力，由于小球在电场中做直线运动，则合外力方向与进入电场时的速度方向共线，有 联立解得 （3）设小球在电场中的水平位移为，由于小球做直线运动，根据几何关系有 对小球、从抛出到离开电场的过程，设小球、离开电场时的动能分别为、，根据动能定理分别有， 由题意已知条件有 联立解得 24．如图1，电子从电子枪中逸出（可认为初速度为0），经过的电压加速后，从点沿着、极板的中心线 进入偏转电场。、之间的电压随时间的变化情况如图2所示（未知），时刻从点射入的电子在偏转电场中运动时间刚好从板边缘离开。已知、两极板的长度为两板间距的4倍，电子比荷，求： (1)极板的长度； (2)偏转电场的电压。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设电子离开加速电场时的速度为，根据动能定理， 解得 粒子在、板间沿方向的分运动为匀速运动 （2）、极板间的距离 在时间内，电子在、板间沿垂直极板方向先匀加速再匀减速运动，根据对称性可知 加速度 根据牛顿第二定律 解得 电压 解得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.5 带电粒子在电场中的运动（题型突破） 题型01 电势差 题型02 电势差与电场强度的关系 题型03 带电粒子在电场中的加速 题型04 带电粒子在电场中的偏转 ▌题型01 电势差 1．对电势差的几点认识 (1)电场中两点间的电势差，由电场本身决定，与在这两点间移动的电荷的电荷量、静电力做功的大小无关，在确定的电场中，即使不放入电荷，任何两点间的电势差也有确定值。 (2)讲到电势差时，必须明确所指的是哪两点的电势差，A、B间的电势差记为UAB，B、A间的电势差记为UBA。 (3)电势差为标量，有正、负之分，电势差的正负表示电场中两点间的电势的高低。 (4)电场中两点间的电势差与电势零点的选取无关。 2．电势和电势差的比较 电势φ 电势差U 区 别 定义 在电场中电势能与电荷量比值 电场中两点间电势之差 公式 φ＝ U＝(UAB＝φA－φB) 影响因素 由电场和在电场中位置决定 由电场中两点位置决定 相对性/ 绝对性 具有相对性，与零势能点选取有关 具有绝对性，与零势能点选取无关 联 系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA 单位 相同，均为V 标矢性 都是标量，但均有正负 物理意义 均是描述电场的能的性质的物理量 1．如图所示，某电场中A点的电势为2 V，B点的电势为，则A、B间的电势差 UAB 为（　　） A．1 V B．2 V C．3 V D．4 V 2．电场是看不见摸不着的一种物质，试探电荷是研究电场的重要工具。下列物理量中与试探电荷有关的是（　　） A．电场强度 B．电场力 C．电势 D．电势差 3．（多选）如图所示，在x轴相距为L的两点固定两个等量异种点电荷、，虚线是以所在点为圆心、为半径的圆，a、b、c、d是圆上的四个点，其中a、c两点在x轴上，b、d两点关于x轴对称，下列判断正确的是（　　） A．b、d两点处的场强和电势都相同 B．a点场强大于c点场强 C．将一试探电荷沿圆周由a点移至c点，电场力做负功 D． 4．如图所示，在电场强度大小E＝300N/C的匀强电场中，A、B两点距离为10cm，AB连线与电场线的夹角θ＝37°，一电荷量的点电荷，从A点移动到B点，（已知cos37°＝0.8） (1)求点电荷受到的电场力的大小； (2)求电场力做的功； (3)如果A点的电势，求B点的电势。 5．关于电势差和电势、的理解，下列说法正确的是（　　） A． B．、都有正负，可见电势是矢量 C．和是相同的，它们有关系 D．零电势点的选取是任意的，但人们通常取大地或无限远处为零电势点 6．如图所示，为一组方向未知的匀强电场的电场线，将带电荷量为的点电荷由A点沿水平线移至B点，电场力做了的功，已知A、B间的距离为。试求： (1)A、B两点间的电势差； (2)若A点的电势为，试求B点的电势； (3)该匀强电场的电场强度E的大小并判断其方向。 ▌题型02 电势差与电场强度的关系 对公式U＝Ed的理解 1．从变形公式E＝可以看出，电场强度越大，说明沿电场线方向单位长度电势差越大，表明电势降落的越快，因此电场强度除了能描述电场的力的性质外还有另一个物理意义，那就是：电场强度是描述电场中电势降落快慢的物理量，也同时说明，沿电场线方向电势降落最快。 2．公式中的d可理解为匀强电场中两点所在等势面之间的距离，在匀强电场中，沿任意方向上以及与之平行的方向上、相等的长度上，电势降落相等。例如在图中MN方向上，相等长度电势降落相等。 3．对于非匀强电场，用公式E＝可以定性分析某些问题。例如等差等势面E越大处，d越小。因此可以断定，等差等势面越密的地方电场强度也越大。现在举例来说明公式E＝在非匀强电场中的应用。如右图所示，A、B、C是同一电场线上的三点，且＝，由电场线的疏密程度可以看出EA＜EB＜EC，所以AB间的平均场强比BC间的小，即AB<BC，又因为UAB＝·AB，UBC＝·BC，所以UAB＜UBC。 7．（多选）如图所示，空间内有一匀强电场，ABCD是电场中的矩形，电场线与ABCD平面平行。已知A点电势φA=0，B点电势φB=3 V，D点电势φD=-3 V，AB边长l1=4 cm，BC边长l2=3 cm，，，则（     ） A．C点的电势φC=6 V B．电场线与直线AC平行 C．电场强度大小为E=125 V/m D．电子在A点的电势能等于在C点的电势能 8．（多选）一匀强电场的方向平行于平面，平面内、、三点的位置如图所示，三点的电势分别为10V、17V、26V。下列说法正确的是（     ） A．电场强度的大小为 B．电场强度的方向由指向 C．电子在点的电势能比在点的高7eV D．电子从点运动到点，克服电场力做功为9eV 9．如图所示，空间中有平行于正六边形所在平面的匀强电场，正六边形中心为O，边长为1m。将电荷量为-1×10-6 C的点电荷从M点移动到N点，静电力做了1×10-5 J的功，再从N点移动到P点，静电力又做了3×10-5 J的功。选M点为电势能零点，下列说法正确的是（　　） A．N点电势为-10 V B．O点的电势为20 V C．匀强电场方向由M指向P D．匀强电场的电场强度大小为10 V/m 10．（多选）如图所示，一半径为1m的圆处在平行于圆面的匀强电场中，AB为圆的直径，C为圆上一点，AB与AC夹角为37°。A点电势为2V，圆心O的电势为4V，C点电势为6V，sin37°=0.6，则（     ） A．匀强电场方向平行于AC B．B点电势大于6V C．匀强电场的电场强度大小为2.0V/m D．圆周上电势最高点的电势为6.5V 11．如图所示的圆周，O为圆心，MN为直径，P为圆周上的点，MN=0.2 m，∠PMN=30°。一匀强电场方向与圆所在平面平行，已知M、N、P三点电势分别为、、，则该匀强电场的电场强度大小为（     ） A．200 V/m B． C．100 V/m D． 12．如图所示，空间存在一匀强电场，其电场强度大小，该电场中有A、B两点，相距，且A、B两点的连线与电场线的夹角。 (1)求A、B两点间的电势差； (2)若将一电荷量的带负电粒子从A点移到B点，只考虑带电粒子所受的电场力，请判断该过程中粒子的电势能是增大还是减小，并求该过程中电势能的变化量。 ▌题型03 带电粒子在电场中的加速 求带电粒子的速度的两种方法 1．从动力学角度出发，用牛顿第二定律和运动学知识求解(适用于匀强电场)。 由牛顿第二定律可知，带电粒子运动的加速度的大小a＝＝＝；若一个带正电荷的粒子，在静电力作用下由静止开始从正极板向负极板做匀加速直线运动，两极板间的距离为d，则由v2－v＝2ad可求得带电粒子到达负极板时的速度v＝＝。 2．从功能关系角度出发，用动能定理求解(可以是匀强电场，也可以是非匀强电场)。 带电粒子在运动过程中，只受静电力作用，静电力做的功W＝qU，根据动能定理，当初速度为零时，W＝mv2－0，解得v＝；当初速度不为零时，W＝mv2－mv，解得v＝。 13．（多选）水平绝缘桌面上有两个质量均为、相距的小物块和，两物块位于范围足够大的匀强电场内，其中物块带有正电荷，电荷量为，物块在的右边，为绝缘体，不带电。电场强度大小为，方向与连线平行，且指向右方，如图所示。初始时物块静止，在外力的作用下也处于静止状态。被释放后会与发生一系列碰撞，若在碰撞过程中没有机械能损失和电荷交换，不计摩擦，则第9次碰撞前瞬间（     ） A．物块的速度大小为 B．物块的速度大小为 C．与其初始位置间的距离为 D．与其初始位置间的距离为 14．如图所示，相互平行的金属板A、B、C分别与两个相同的电源相连，一带电粒子（不计重力）从靠近A板的位置由静止释放后，沿虚线方向运动，可自由通过B、C板上的小孔，则（     ） A．粒子一定能以大于零的速度穿过C板 B．若A板左移，带电粒子不能到达C板 C．若B板右移，粒子到达C板时间变短 D．若C板右移，粒子到达C板时间变长 15．如图所示，平行金属板接在电源两端。一个电子从点以速度沿垂直于极板方向射出，最远能到达点。现将右极板向右平移，使两极板间距离变为原来的2倍。再将电子从点以相同速度射出，最远到达点（图中没画出）。则（　　） A． B． C． D． 16．（多选）如图所示，某静电喷雾装置在和之间产生水平向右的匀强电场，带电雾滴从边沿水平方向以不同的初速度进入电场，达到边。若雾滴均带正电且比荷相同，忽略空气阻力及重力，用表示速度的增加量，用表示速率平方的增加量。下列说法正确的是（ 　　） A．不同雾滴受到的电场力都相同 B．不同雾滴的加速度都相同 C．不同雾滴从到达过程中相同 D．不同雾滴从到达过程中相同 17．如图所示，光滑绝缘的水平面上方空间内存在足够大、方向水平向右、电场强度为的匀强电场。水平面上小物块、相距为，其中带正电，电荷量为，质量为，不带电，某时刻同时由静止释放、，之后与发生碰撞，每次碰撞时，、两物体交换速度，且碰撞过程中无电荷转移，碰撞时间忽略不计。求： (1)第1次碰撞后的速度； (2)第2次碰撞与第3次碰撞之间的时间间隔； (3)第n次碰撞到第次碰撞过程中静电力对做的功。 18．如图所示，光滑绝缘水平面上O点右侧有水平向左、电场强度大小为E的匀强电场，滑块B紧靠O点静止放置。滑块A从B左侧L处以大小为的速度水平向右运动与B发生弹性碰撞（时间极短），碰撞过程中电荷不发生转移，A、B均可视为质点，忽略A、B间的库仑力。已知B的质量为m，带电量为+q；A的质量为2m，带电量为+kq（k>0）。 (1)若A、B在电场中不发生碰撞，求B在电场中运动的最大距离； (2)要使A和B在电场区域内能发生碰撞，求k应满足的条件。 ▌题型04 带电粒子在电场中的偏转 1．运动情况 质量为m、电荷量为q的带电粒子，以初速度v0平行两极板进入匀强电场中，两极板长为l，极板间距离为d、电压为U。不考虑粒子的重力且忽略电容器的边缘效应，带电粒子仅受恒定的电场力。粒子的运动特点和平抛运动相似，即带电粒子在电场中做类平抛运动。 2．处理方法 将粒子的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场力方向的匀加速直线运动。根据运动的合成与分解的知识分析。 (1)粒子沿初速度方向做匀速直线运动，穿过两极板的时间t＝。 (2)粒子沿电场力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝＝＝。 (3)沿初速度方向：速度：vx＝v0，位移：l＝v0t。 (4)沿电场力方向：速度：vy＝at＝·，位移：y＝at2＝··。 (5)粒子离开电场时的速度偏转角θ满足tan θ＝＝。 (6)粒子离开电场时位移与初速度方向的夹角α满足tan α＝＝。 3．几个常用推论 (1)tan θ＝2tan α。联立上边(5)(6)中公式可推出。 (2)粒子从偏转电场中射出时，其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于沿初速度方向分位移的中点，即粒子好像从该中点处沿直线飞离电场一样。 (3)不同的带电粒子、电性相同，不计重力，由静止开始先在同一电场中加速，又在同一电场中偏转，射出电场时粒子的偏移量和偏转角相同，与粒子的带电荷量和质量无关，即运动轨迹相同。 (4)若粒子以相同的初动能Ek进入同一个偏转电场，只要电荷量相同，不论质量是否相同，偏转距离y和偏转角θ均相同。 19．如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内存在着沿轴正方向的匀强电场。现从轴上的点沿轴正方向发射一带电粒子，其质量为，电荷量为（），带电粒子仅在电场力作用下到达轴点，到达点时的速度方向与轴正方向成角；带电粒子到达点的同时，在第四象限区域内某处放置一带正电的点电荷，使带电粒子进入第四象限后做匀速圆周运动。带电粒子到达轴点时（图中未画出）速度方向沿轴正方向。已知O、A点间的距离为，静电力常量为，不计粒子重力。求： (1)第一象限电场中、间的电势差； (2)点电荷所带电荷量和位置坐标； (3)粒子从轴点出发到再次回到轴经过点所经历的时间。 20．如图所示，电子枪的加速电压，平行极板A与B的间距且。一电子从电子枪的电热丝无初速逸出，经电压加速后以从点沿平行于板面的方向射入板间电场。电子从点射出电场时，沿垂直于板面方向偏移的距离。已知电子的比荷，两板间的电场可看作匀强电场。已知。不计电子的重力，求： (1)求的大小； (2)求两极板的长度； (3)电子从点射出电场时的动能。 21．电子束光刻（EBL）系统中，束闸（Beam Blanker）用于高速控制电子束的通断，其简化模型如图所示。电子从金属丝发射时，初速度视为0，经电压为的加速电场后，以水平速度进入一对水平放置的金属板之间。金属板长度为，板间距离为，两板间偏转电压为。距离金属板右侧处竖直放置一个光阑，其中心开有一个半径为的圆形小孔，小孔中心位于电子束入射轴线上。已知电子质量为，电荷量为，不计光阑的厚度、电子重力和电子间相互作用。求： (1)电子进入偏转电场时速度的大小； (2)电子离开偏转电场时速度与水平方向夹角的正切值； (3)为了“关断”电子束，需使电子不能通过小孔，所需的最小偏转电压。 22．如图所示，电子在电势差为的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为的两块平行极板间的电场中，入射方向跟极板平行。整个装置处在真空中，电子重力可忽略。在满足电子能射出平行板区的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏移量变大的方案是（　　） A．变大，变大 B．变小，变大 C．变大，变小 D．变小，变小 23．如图，两水平面（虚线）间距为，其间存在水平向右的匀强电场。自该区域上方的点将质量为、电荷量分别为和（）的带电小球、先后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出。小球在重力作用下进入电场区域，并从该区域的下边界离开。已知从进入电场到离开电场的过程中水平方向位移为零；在电场中做直线运动，且刚离开电场时的动能为刚离开电场时动能的倍。不计空气阻力，重力加速度大小为。求： (1)与从抛出到离开电场的时间之比； (2)点距电场上边界的高度； (3)电场的电场强度大小。 24．如图1，电子从电子枪中逸出（可认为初速度为0），经过的电压加速后，从点沿着、极板的中心线 进入偏转电场。、之间的电压随时间的变化情况如图2所示（未知），时刻从点射入的电子在偏转电场中运动时间刚好从板边缘离开。已知、两极板的长度为两板间距的4倍，电子比荷，求： (1)极板的长度； (2)偏转电场的电压。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $