专题03 方程（组）及不等式（组）（全国通用）-【好题汇编】2025年中考数学三模试题分类汇编

专题03 方程（组）及不等式（组） 题型概览 题型01 解一次方程（组） 题型02 一次方程（组）的实际应用 题型03 解分式方程 题型04 分式方程的实际应用 题型05 解一元二次方程 题型06 一元二次方程的根 题型07 一元二次方程的实际应用 题型08 解不等式（组） 题型09 不等式（组）的实际应用 题型10 求参数 解一次方程（组） 1．（2025·贵州遵义·三模）若 是关于 x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足 ，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州贵阳·三模）若 ，则下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·贵州贵阳·三模） 是关于 的一元一次方程 的解，则 ． 5．（2025·湖南邵阳·三模）若代数式 的值等于22，则 的值为 ． 6．（2025·湖北武汉·三模）若 是关于x，y的二元一次方程 的一组解，则 的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．-3 7．（2025·福建厦门·三模）下列选项中，最适合使代入消元法解方程组的是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河南驻马店·三模）已知二元一次方程组 ，则 的值是 ． 9．（2025·陕西延安·三模）解方程组： ． 10．（2025·安徽蚌埠·三模）解方程组 一次方程（组）的实际应用 1．（2025·陕西西安·三模）太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ 2．（2025·新疆喀什·三模）（1）解方程组： （2）某工程队计划修建一条长为360米的地下管道．甲工程队单独施工需要12天完成，乙工程队单独施工需要18天完成．现计划由甲、乙两队合作施工，但实际施工时发现，甲队每天比原计划少修10米，乙队每天比原计划多修5米．问：两队合作实际需要多少天完成任务？ 3．（2025·安徽蚌埠·三模）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件． A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 4．（2025·江苏宿迁·三模）江苏省城市足球联赛正在如火如荼的进行，足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若宿迁队进行了12场比赛，其中负了4场，共得20分，那么该队胜了 场． 5．（2025·湖北·三模）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由9个数组成一个 的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得 ． 6．（2025·陕西西安·三模）某数学小组经调查发现：走路快的人平均每步的步长与走路慢的人平均每步的步长相等，走路快的人走100步的时间里，走路慢的人只能走60步，现在走路慢的甲和走路快的乙准备在同一条步道的同一地点向同一方向行走，甲先出发，走了50步后，乙再出发去追他，追上后两人同时停止行走．求乙走多少步才能够追上甲． 7．（2025·安徽黄山·三模）某同学在某月的日历上圈出了三个数，并求出了它们的和为32，则这三个数在日历中的排位位置可能的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 9．（2025·山东聊城·三模）为发展乡村经济，某农业合作社有土地500亩，计划将其中 的土地开辟为樱桃园，其余的土地种植有机蔬菜和粮食，已知种植有机蔬菜的面积比种植粮食的面积的2倍少30亩，问种植有机蔬菜和种植粮食的面积各多少亩？设种植有机蔬菜的面积为x亩，种植粮食的面积为y亩可列方程组为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·河南驻马店·三模）盆栽是一种美学文化，展现了人与自然的和谐共生，盆栽的美不仅在于其形态和色彩，更在于其背后所蕴含的丰富的文化意义．某花卉店计划购进一批盆栽尝试进行销售，据了解1盆甲盆栽、3盆乙盆栽的进价共计 元；3盆甲盆栽、1盆乙盆栽的进价共计 元． (1)求甲、乙两种盆栽每盆进价分别为多少元？ (2)若该店计划用 元购进以上两种盆栽（两种盆栽均购买）试销，请你计算一下有几种购买方案？ (3)若该花卉店销售1盆甲盆栽可获利8元，销售1盆乙盆栽可获利3元，在（2）的购买方案中，假如这些盆栽全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 11．（2025·河南洛阳·三模）烩面是河南特色传统面食，也是中国十大面条之一，烩面是一种荤、素、汤、 菜、饭兼而有之的河南传统美食，属于豫菜．该菜品以优质高筋面粉为原料，辅以高 汤及多种配菜，以味道鲜美，汤好面筋，经济实惠，营养丰富，享誉中原，遍及金国某烩面馆为了促销，推出 两种套餐， 套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，价格30元； 套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉菜，价格67元； (1)求烩面和小份凉菜的价格分别为多少元？ (2)每碗烩面的毛利润为5元，每小份凉菜的毛利润为2元．根据市场需求，面馆每天准备的 套餐数量是 套餐数量的3倍少5件，且两种套餐的总件数不超过95件， 假设准备的两种套餐全部售出，为使利润最大，该餐馆每天应准备多少件 种套餐？最大利润为多少？ 12．（2025·陕西西安·三模）在长方形 中放入七个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中空白部分的面积之和． 13．（2025·湖北武汉·三模）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨· ），铁路的运价为1.0元／（吨· ）．设这批原料有 吨，生产成的产品有 吨． (1)完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ (2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ (3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为 元，直接写出 的值．（规定：每月的毛利润=销售额 原料费 其它成本费 生产费 运输费） 14．（2025·江苏盐城·三模）《九章算术》中记载一个这样的问题“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”如果设雀重x两，燕重y两，根据题意列出方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 解分式方程 1．（2025·陕西西安·三模）解方程： ． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）方程 的解是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南·模拟预测）分式方程 的解是 . 4．（2025·甘肃酒泉·三模）问题情境：在解分式方程 时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘 ，得 ． 第二步：解这个方程，得 ． 第三步：经检验， 为原方程的解． (1)在上述解方程过程中，从第 步开始错误； (2)写出正确的解答过程． 5．（2025·河北保定·三模）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ． 分式方程的实际应用 1．（2025·河南驻马店·三模）李老师早晨开车从新乡市家中出发到郑州市某地参会，已知两地相距90千米，因早晨开会时间紧急，会议结束正巧碰上下班高峰，所以返回的平均速度是去时平均速度的 ，回来时比去时多用10分钟，假设去时的速度为 千米/时，则求去时的速度可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 3．（2025·安徽淮北·三模）在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能．乙款扫地机器人每分钟清扫的面积比甲款扫地机器人多 ，甲款扫地机器人清扫 所用的时间比乙款扫地机器人多 ．若设甲款扫地机器人每分钟清扫 ，根据题意可列方程为 ． 4．（2025·江苏徐州·三模）王大娘和刘大娘在手工发放点领取了用珠子穿手链的手工活，王大娘和刘大娘分别拿了120串和100串的量，王大娘的速度是刘大娘的1.5倍，比刘大娘提前1小时完成，问她们两个人每小时分别完成了多少串手链？ 5．（2025·广东深圳·三模）根据表中素材，完成任务． 素材1 某校为了引导学生学习人工智能知识、激发学生的创新思维，特开展“青少年人工智能挑战赛”活动．已知该活动设置“特等奖”和“优秀奖”两种奖项，需要购置的“特等奖”奖杯的单价比“优秀奖”奖杯的单价贵10元，用500元购进的“特等奖”奖杯的数量和用400元购进的“优秀奖”奖杯的数量相同． 素材2 学校的要求如下： ①此次活动的获奖总人数是30人． ②获得“优秀奖”的人数不超过“特等奖”人数的2倍． 任务1 根据以上信息，请求出“优秀奖”和“特等奖”奖杯的单价． 任务2 为响应降本增效方针，在满足要求的情况下尽量降低采购总费用，请求出此次颁奖所需奖杯的最低采购费用． 6．（2025·山西晋中·三模）某电器商场从厂家购进了A，B两种型号的电烤箱，已知一台 型电烤箱的进价比一台B型电烤箱的进价多400元，用7600元购进A型电烤箱和用6000元购进B型电烤箱的台数相同． (1)求一台A型电烤箱和一台B型电烤箱的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，A型电烤箱因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进B型电烤箱，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当B型电烤箱的售价为2400元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售B型电烤箱的利润为5600元，请问该商场应将B型电烤箱的售价定为多少元？ 7．（2025·陕西榆林·三模）今年大年初一，《哪吒之魔童闹海》横空出世．某影院大年初二这天一共售出2400张电影票，由于观影人数太多，该影院采取增加场次的办法满足消费群众，大年初三上映场次是大年初二的1.2倍，每场售出的电影票数比大年初二多20张，一共售出了3600张票．问：该影院大年初二上映了多少场《哪吒之魔童闹海》？ 8．（2025·广东珠海·三模）广州增城是著名的荔枝之乡，优质荔枝品种有“挂绿”“桂味”“糯米糍”“仙进奉”等某荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗进行种植，已知每株挂绿荔枝苗的价格比每株糯米糍荔枝苗的价格贵 元，且用 元购买挂绿荔枝苗的株数与用 元购买糯米糍荔枝苗的株数相同． (1)求购买每株挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗的价格分别是多少元？ (2)该荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗共100株已知挂绿荔枝苗和糯米糍荔枝苗的成活率分别为 和 ，若要使这批荔枝苗的成活率不低于 ，且购买荔枝苗的总费用最少，则应购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗各多少株？最少费用是多少元？ 9．（2025·云南红河·三模）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业甲、乙两组共35名工人．甲组每天加工3150件农产品，乙组每天加工2800件农产品，已知甲组每人每天平均加工的农产品数量是乙组每人每天平均加工农产品数量的1.5倍，求甲、乙两组各有多少名工人． 解一元二次方程 1．（2025·河南周口·三模）若实数 分别满足： 且 ，则点 所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 2．（2025·新疆·三模）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·三模）解一元二次方程 ． 4．（2025·安徽宣城·三模）一元二次方程 的正实数根是 ． 5．（2025·安徽淮北·三模）解方程： ． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程： ． 7．（2025·安徽阜阳·三模）解方程： ． 8．（2025·贵州铜仁·三模）（1）已知a、b是有理数，定义一种新运算“ ”满足 ，求 的值； （2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程． ① ；            ② ；            ③ ． 一元二次方程的根 1．（2025·江苏·三模）关于x的一元二次方程 中，则该一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 2．（2025·河南信阳·三模）已知反比例函数 （k为常数，且 ）的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．（2025·安徽合肥·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南开封·三模）关于x的方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．（2025·河南信阳·三模）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·广东深圳·三模）关于 的方程 有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的 的值 ． 7．（2025·河南驻马店·三模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（    ） A． B． 或 C． D． 或 8．（2025·湖北襄阳·三模）若方程 有两个不相等的实数根，则实数 的值可能是 （写出一个即可）． 9．（2025·云南红河·三模）若关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ． 10．（2025·江苏扬州·三模）若实数 ， 是方程： 的两个根，则 ． 11．（2025·新疆吐鲁番·三模）已知方程 的一个根为 ，则方程的另一个根为 12．（2025·四川宜宾·三模）已知 ，则 ． 13．（2025·四川南充·三模）关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ． (1)求实数 的取值范围． (2)求代数式 的最大值或最小值． 14．（2025·山东聊城·三模）已知 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 ． 15．（2025·安徽亳州·三模）已知关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根分别为 ， ，关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，则下列方程中，其两实数根分别为 ， 的是（    ） A． B． C． D． 一元二次方程的实际应用 1．（2025·黑龙江佳木斯·三模）2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（   ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 2．（2025·重庆·三模） （奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者．在每轮传染中，平均一个人传染了 人． 3．（2025·安徽芜湖·三模）某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体单价见下表所列．设2023年降价的百分数为 ． 年份 单价／万元 2022年 2023年 2024年 (1)用含 的代数式表示2023年该电动汽车的价格； (2)求2024年该电动汽车降价的百分数． 4．（2025·安徽黄山·三模）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 5．（2025·安徽合肥·三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为 ，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·福建厦门·三模）如图，有一栋底面呈长方形的建筑物，长 ，宽 ，墙角有一根木桩，木桩上拴着一只小狗，拴小狗的绳子长为x米． (1)若 ，当小狗的活动区域面积为 时，求绳子长； (2)若 ，请判断小狗的活动区域面积能否达到 ，并说明理由． 7．（2025·湖北武汉·三模）问题背景：学校计划对校园里一块长 ，宽 m的矩形场地进行绿化，如图1，将该矩形场地划分成5个区域，阴影部分宽度相同，空白部分宽度相同，阴影部分种植 花卉，空白部分种植 花卉（ ， 两种花卉都要种植）．已知 花卉的种植成本是9元 ， 花卉的种植面积为 ， 花卉的种植成本 元 ，满足 ． 问题解决： (1)若种植 花卉的成本为5200元，求此时 花卉的种植面积； (2)学校按该方案对场地进行绿化，最多需要投入的种植成本是多少元？ (3)若学校计划投入不超过10000元种植这两种花卉，且 种花卉种植面积不少于 ，直接写出每块阴影部分宽 的取值范围． 8．（2025·广东中山·三模）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如， 就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当 时， ．如： ； ． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为： ），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如 ； 写出 ________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 9．（2025·四川南充·三模）我运动，我健康，我快乐！随着人们对身心健康的关注度越来越高，参加健身运动的人数逐渐增多．为支持市民健身运动，各地政府纷纷决定从公司订购套装健身器材．公司约定：一个地方订购若不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加5套，售价可降低20元，但最低每套不少于1000元．公司生产一套的成本为600元． (1)A地政府向公司支付货款24万元，求订购这种健身器材的套数． (2)在销量不超过300套的地方，公司的利润最大是多少？ 10．（2025·山东济宁·三模）某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 11．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在矩形 中， ， 是 的中点，连接 ，点 从点 出发，沿 向点 运动，到点 停止，点 在 上， ，连接 ，当 的面积是10时， 的长为 ． 12．（2025·云南红河·三模）某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有 人，则应列方程为 ． 13．（2025·福建厦门·三模）如图，一钢球从长 的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加 ．（提示：本题中，距离 平均速度 时间 ， ，其中 是开始时的速度， 是 秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（    ） A． B． C． D． 解不等式（组） 1．（2025·广东深圳·三模）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是 ． (2)在解答过程中，从第___步开始出错，错误原因是 ． (3)原不等式的正确解集为 ． 2．（2025·安徽合肥·三模）已知实数 满足 ， ，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽淮北·三模） 已知实数 满足 ，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·陕西咸阳·三模）解不等式： ． 5．（2025·安徽淮北·三模）如图，图1为四等分数字转盘，图2为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处，则重转），两个转盘指针指向的数字的积满足不等式 的解的概率为（   ） A． B． C． D． 第一次        第二次 1 3 1 2 3 4 6．（2025·安徽蚌埠·三模）关于 的一元一次不等式 的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽蚌埠·三模）已知点 是一次函数 的图象一点，若 是该直线上另一点，且 ，则关于 的取值范围在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·河南安阳·三模）已知不等式 的一个解是 ，则 的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2025·安徽六安·三模）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·陕西榆林·三模）解不等式： ，并写出该不等式的非负整数解． 11．（2025·河南信阳·三模）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（2025·浙江温州·三模）解不等式组 ，并把解集表示在数轴上． 13．（2025·湖北·三模）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（2025·河南漯河·三模）不等式组 的所有整数解的和为 ． 不等式（组）的实际应用 1．（2025·广东东莞·三模）北京烤鸭不仅是一道美食，更是中华民族美食瑰宝中的璀璨明珠．为保证口感，北京烤鸭的标准鸭子重量 一般不低于 ，不高于 ．下面用不等式表示这一范围正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·三模）一辆汽车行驶 需8.4升汽油，一名工程师花费2880元将发动机的耗油量降到每 需6.4升汽油．若汽油的价格每升7.2元，问此辆汽车至少行驶多少 才能弥补这2880元的改造费用？ 3．（2025·山东聊城·三模）圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高 的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量x（个） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（ ） 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 … 请帮圆圆算一算，一次性放进高 的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 4．（2025·广西崇左·三模）为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购1顶太阳帽和2把太阳伞共需要50元． (1)求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价； (2)若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 5．（2025·湖南娄底·三模）袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． (1)求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？ 6．（2025·贵州毕节·三模）某工厂计划购买A，B两种工艺品共400件奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． (1)A，B两种工艺品的单价各为多少元？ (2)若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，则该工厂共有几种购买方案？ 求参数 1．（2025·河南周口·三模）关于 的一元一次不等式组 的解为 ，则 的取值范围为 ． 2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知关于x的不等式组 只有两个整数解，则m的取值范围是 ． 3．（2023·四川绵阳·三模）若关于x 的一元一次不等式组 至少有2个整数解，且关于y 的分式方程 的解是非负整数，则满足条件的整数m 的和是 4．（2025·黑龙江佳木斯·三模）若关于x的分式方程 的解是非正数，则m的取值范围是（   ） A． B． 且 C． 且 D． 5．（2025·河南周口·三模）已知 是方程 的解，那么实数 的值为 ． 6．（2025·安徽蚌埠·三模）若关于x的分式方程 的解是负数，则a的取值范围是（    ） A． B． 且 C． D． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于 的分式方程 的解是非负数，则 的取值范围是（   ） A． 且 B． 且 C． 且 D． 且 8．（2025·甘肃定西·三模）已知关于x的分式方程 无解，则a的值是（   ） A． B．3或0 C． 或4 D．4 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 题型10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程（组）及不等式（组） 题型概览 题型01 解一次方程（组） 题型02 一次方程（组）的实际应用 题型03 解分式方程 题型04 分式方程的实际应用 题型05 解一元二次方程 题型06 一元二次方程的根 题型07 一元二次方程的实际应用 题型08 解不等式（组） 题型09 不等式（组）的实际应用 题型10 求参数 解一次方程（组） 1．（2025·贵州遵义·三模）若 是关于 x的一元一次方程，则k的值不可能是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，且未知数最高次为1的整式方程，是一元一次方程，据此即可解答． 【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程， ∴ ， ∴ ， ∴k的值不可能是6， 故答案为：6． 2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足 ，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减、不等式的性质，熟练掌握整式的加减运算法则以及不等式的性质是解题的关键． 利用整式的加法法则以及不等式的性质进行求解即可． 【详解】解：由 得 ，故A选项错误； ， ， ，∴ ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，∴ ， 又∵ ，∴ ，故D选项正确， 故选D． 3．（2025·贵州贵阳·三模）若 ，则下列变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， ， ， 故选：B． 4．（2025·贵州贵阳·三模） 是关于 的一元一次方程 的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．将 代入 中，即可求解． 【详解】解：将 代入 中，得 ， ， 故答案为： ． 5．（2025·湖南邵阳·三模）若代数式 的值等于22，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的值和一元一次方程的求解，正确得出方程是关键； 根据题意可得关于x的方程，再解方程即可． 【详解】解：由题意可得： ， 解得： ； 故答案为： ． 6．（2025·湖北武汉·三模）若 是关于x，y的二元一次方程 的一组解，则 的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，正确计算是关键； 把 代入方程 ，可得关于a的方程，再解方程即可. 【详解】解：把 代入方程 ，得 ， 解得： ； 故选：C. 7．（2025·福建厦门·三模）下列选项中，最适合使代入消元法解方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据解二元一次方程组的方法解答即可． 【详解】解：A ，直接把第一个方程代入第二个方程，消去 ，得到关于 的一元一次方程，无需变形，故选项A符合题意； B ，两个方程中 的系数均为 1 ，适合加减消元法解方程组，故选项B不符合题意； C． ，两个方程中 的系数互为相反数，适合加减消元法，直接消去 ，故选项C不符合题意；     D． ，需要通过变形解出某个未知数，用加减消元法，故选项D不符合题意． 故选：A． 8．（2025·河南驻马店·三模）已知二元一次方程组 ，则 的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据所求式子的特点灵活求解是关键； 方程组中的两个方程相减即可得出答案. 【详解】解：方程组中的两个方程相减，得 ， 故答案为：4. 9．（2025·陕西延安·三模）解方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组．使用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： ， 由 得 ， 解得： ， 将 代入②中得： ， 解得： ， 故方程组的解为： ． 10．（2025·安徽蚌埠·三模）解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解： ，得 ， 解得 将 代入①，得 解得 原方程组的解为 ． 一次方程（组）的实际应用 1．（2025·陕西西安·三模）太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ 【答案】分配 名工人生产镜架，则有 人生产镜片． 【分析】本题考查一元一次方程的应用——配套问题，根据套数相等建立方程是解题的关键． 设分配 名工人生产镜架，用含 的代数式表示镜架和镜片的数量，根据套数相等建立方程，求解即可． 【详解】设分配 名工人生产镜架，则有 人生产镜片，根据题意列方程 ，得 ， 解得： ， ， 答：分配 名工人生产镜架，则有 人生产镜片． 2．（2025·新疆喀什·三模）（1）解方程组： （2）某工程队计划修建一条长为360米的地下管道．甲工程队单独施工需要12天完成，乙工程队单独施工需要18天完成．现计划由甲、乙两队合作施工，但实际施工时发现，甲队每天比原计划少修10米，乙队每天比原计划多修5米．问：两队合作实际需要多少天完成任务？ 【答案】（1） ；（2）两队合作实际需要8天完成任务 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次方程的实际应用，掌握加减消元法解二元一次方程组和正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用加减消元法即可求解； （2）设两队合作实际需要 天完成任务，求出实际甲、乙的工作效率，再由工作效率乘以工作时间等于工作总量建立方程求解． 【详解】解：（1） 由 得， ， 解得： ； 将 代入②得： ， 解得： ， ∴原方程组的解为： ； （2）设两队合作实际需要 天完成任务， 由题意得： ， 解得： ， 答：两队合作实际需要8天完成任务． 3．（2025·安徽蚌埠·三模）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件． A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 【答案】(1)该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件 (2)该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润 【分析】本题考查一元一次方程的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为 件，根据“用6000元购进A、B两种文具”列方程求解即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量列式计算即可． 【详解】（1）解：设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为 件， 根据题意得： ， 解得： ， ∴ （件）， 答：该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件； （2）解： （元）， 答：该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润． 4．（2025·江苏宿迁·三模）江苏省城市足球联赛正在如火如荼的进行，足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，若宿迁队进行了12场比赛，其中负了4场，共得20分，那么该队胜了 场． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该队胜了x场，则平了 场，利用总积分 胜场数 平场数，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该队胜了x场，则平了 场， 根据题意得： ， 解得： ， ∴该队胜了6场． 故答案为：6． 5．（2025·湖北·三模）三阶幻方，是中国古代劳动人民智慧的结晶．它由9个数组成一个 的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等列出关于x，a的方程，消去a后，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：如图，可得 ， 解得 ， 故答案为： ． 6．（2025·陕西西安·三模）某数学小组经调查发现：走路快的人平均每步的步长与走路慢的人平均每步的步长相等，走路快的人走100步的时间里，走路慢的人只能走60步，现在走路慢的甲和走路快的乙准备在同一条步道的同一地点向同一方向行走，甲先出发，走了50步后，乙再出发去追他，追上后两人同时停止行走．求乙走多少步才能够追上甲． 【答案】125 【分析】本题考查了一元一次方程与行程问题，熟练掌握路程，时间，速度三者的关系是解题的关键．设乙走 步才能够追上甲，那么可知设乙走 步的时间等于甲走 步的时间，列出方程，求解即可． 【详解】解：设乙走 步才能够追上甲． 解得 答：乙走 步才能够追上甲． 7．（2025·安徽黄山·三模）某同学在某月的日历上圈出了三个数，并求出了它们的和为32，则这三个数在日历中的排位位置可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据 、 、 的位置，用含 的代数式表示出 、 ，结合题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：A、由图形可得： ， ，则 ， 解得 ，故A不符合题意； B、由图形可得： ， ，则 ， 解得： ，故B符合题意； C、由图形可得： ， ，则 ， 解得： ，故C不符合题意； D、由图形可得： ， ，则 ， 解得： ，故D不符合题意； 故选：B． 8．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 【答案】人数为 人，买鸡的钱为 钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找等量关系是解题的关键．设人数为 ，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设人数为 ，根据题意得 ， 解得： ， ∴买鸡的钱数为： ， 答：人数为 人，买鸡的钱为 钱． 9．（2025·山东聊城·三模）为发展乡村经济，某农业合作社有土地500亩，计划将其中 的土地开辟为樱桃园，其余的土地种植有机蔬菜和粮食，已知种植有机蔬菜的面积比种植粮食的面积的2倍少30亩，问种植有机蔬菜和种植粮食的面积各多少亩？设种植有机蔬菜的面积为x亩，种植粮食的面积为y亩可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意列方程组即可解答，找等量关系列出方程组是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意可得 ， 故选：D． 10．（2025·河南驻马店·三模）盆栽是一种美学文化，展现了人与自然的和谐共生，盆栽的美不仅在于其形态和色彩，更在于其背后所蕴含的丰富的文化意义．某花卉店计划购进一批盆栽尝试进行销售，据了解1盆甲盆栽、3盆乙盆栽的进价共计 元；3盆甲盆栽、1盆乙盆栽的进价共计 元． (1)求甲、乙两种盆栽每盆进价分别为多少元？ (2)若该店计划用 元购进以上两种盆栽（两种盆栽均购买）试销，请你计算一下有几种购买方案？ (3)若该花卉店销售1盆甲盆栽可获利8元，销售1盆乙盆栽可获利3元，在（2）的购买方案中，假如这些盆栽全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲盆栽每盆进价为 元，乙盆栽每盆进价为 元． (2)共有三种购买方案，分别为购买甲盆栽 盆，乙盆栽 盆；购买甲盆栽 盆，乙盆栽 盆；购买甲盆栽 盆，乙盆栽 盆； (3)购买甲盆栽 盆，乙盆栽 盆时，获利最大，为 元. 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一次函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设甲、乙两种盆栽每盆进价分别为 元，由题意得： ，据此即可求解； （2）设甲、乙两种盆栽分别购进 盆，由题意得： ，即： ；根据 均为正整数，即可求解； （3）设利润为 ，则 ，可推出 随着 的增大而增大，据此即可求解； 【详解】（1）解：设甲、乙两种盆栽每盆进价分别为 元，由题意得： ，解得： ， ∴甲盆栽每盆进价为 元，乙盆栽每盆进价为 元． （2）解：设甲、乙两种盆栽分别购进 盆，由题意得： ， 即： ∵ 均为正整数， ∴当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； ∴共有三种购买方案，分别为购买甲盆栽 盆，乙盆栽 盆；购买甲盆栽 盆，乙盆栽 盆；购买甲盆栽 盆，乙盆栽 盆； （3）解：设利润为 ， 则 ， ∴ 随着 的增大而增大， 故当 时， 元； 即：购买甲盆栽 盆，乙盆栽 盆时，获利最大，为 元. 11．（2025·河南洛阳·三模）烩面是河南特色传统面食，也是中国十大面条之一，烩面是一种荤、素、汤、 菜、饭兼而有之的河南传统美食，属于豫菜．该菜品以优质高筋面粉为原料，辅以高 汤及多种配菜，以味道鲜美，汤好面筋，经济实惠，营养丰富，享誉中原，遍及金国某烩面馆为了促销，推出 两种套餐， 套餐是单人餐：一碗烩面，两小份凉菜，价格30元； 套餐是双人餐：两碗烩面，五小份凉菜，价格67元； (1)求烩面和小份凉菜的价格分别为多少元？ (2)每碗烩面的毛利润为5元，每小份凉菜的毛利润为2元．根据市场需求，面馆每天准备的 套餐数量是 套餐数量的3倍少5件，且两种套餐的总件数不超过95件， 假设准备的两种套餐全部售出，为使利润最大，该餐馆每天应准备多少件 种套餐？最大利润为多少？ 【答案】(1)烩面价格为16元，小份凉菜价格为7元 (2)25件，最大利润为925元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用等知识． （1）设烩面的价格为 元，小份凉菜的价格为 元．，根据两种套餐价格列出方程组，通过代入消元法求解． （2）设每天准备 种套餐 件，则准备 种套餐 件．，根据条件列出不等式确定 的取值范围，再根据利润关系列出函数关系式，根据函数性质求出最大值． 【详解】（1）解：设烩面的价格为 元，小份凉菜的价格为 元． 根据题意可得 ， 由第一个方程得 ，代入第二个方程得 解得： ， 将 代入 得 ． 所以烩面价格为16元，小份凉菜价格为7元 （2）解：设每天准备 种套餐 件，则准备 种套餐 件． 根据题意可得 ， 解得： ∴ ． ∵ ， ∴ 随 的增大而增大， ∴当 时， 有最大值， 元， 此时 件． ∴餐馆每天应准备25件 种套餐，最大利润为925元． 12．（2025·陕西西安·三模）在长方形 中放入七个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中空白部分的面积之和． 【答案】图中空白部分的面积之和为52 【分析】本题考查二元一次方程组的几何应用，根据图形，找到边和边的关系是解答的关键．设小长方形的长 为y、宽 为x，用x、y表示出大长方形的长和宽，结合所给数据列方程组求得x、y，再用大长方形的面积减去7个小长方形的面积即可求解． 【详解】解：设小长方形的长 为y、宽 为x， 从图中可以得到两个等量关系： 水平方向上： ， 竖直方向上： ， 联立可得： ， 解之得： ∴ 答：图中空白部分的面积之和为52． 13．（2025·湖北武汉·三模）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨· ），铁路的运价为1.0元／（吨· ）．设这批原料有 吨，生产成的产品有 吨． (1)完成下列表格的填写： A地 B地 公路运费／元 _________ 铁路运费／元 _________ (2)这批原料从A地运回，到生产成产品运到B地，若两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元，问这批原料有多少吨？ (3)已知生产这批产品，其它成本费为100000元，每吨的生产费为3000元，若这批产品的毛利润为 元，直接写出 的值．（规定：每月的毛利润=销售额 原料费 其它成本费 生产费 运输费） 【答案】(1) ； (2)500吨 (3)790500元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）利用从A地到工厂的铁路运费=铁路的运价×从A地到工厂的铁路长度×这批原料的质量，可用含x的代数式表示出从A地到工厂的铁路运费；利用从工厂到B地的公路运费=公路的运价×从工厂到B地的公路长度×生产成的产品的质量，可用含y的代数式表示出从工厂到B地的公路运费； （2）根据“两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）利用这批产品的毛利润=销售额 原料费 其它成本费 生产费 运输费，即可求出w的值． 【详解】（1）解：∵公路的运价为1.5元/（吨• ），铁路的运价为1.0元/（吨• ），这批原料有x吨，生产成的产品有y吨， ∴从A地到工厂的铁路运费为 （元），从工厂到B地的公路运费为 （元）． 故答案为： ； ． （2）解：根据题意得： ， 解得： ， 答：这批原料有500吨． （3）解：根据题意得： ． 答：w的值为790500元． 14．（2025·江苏盐城·三模）《九章算术》中记载一个这样的问题“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”如果设雀重x两，燕重y两，根据题意列出方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，设雀重x两，燕重y两，根据五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可． 【详解】解：设雀重x两，燕重y两， 由题意得， ． 故选：D． 解分式方程 1．（2025·陕西西安·三模）解方程： ． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解： 去分母、去括号得， ， 移项、合并同类项得， ， 系数化为1得， ， 检验，当 时， ， 是原方程的增根，故原方程无解． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）方程 的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解： 去分母，得： ， 解得： ； 经检验， 是原方程的解， 故选C． 3．（2025·湖南·模拟预测）分式方程 的解是 . 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键； 原方程两边同乘以x，去分母化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得答案. 【详解】解：方程两边同乘以x，去分母得 ， 解得 ， 经检验 是原方程的解； 故答案为： . 4．（2025·甘肃酒泉·三模）问题情境：在解分式方程 时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘 ，得 ． 第二步：解这个方程，得 ． 第三步：经检验， 为原方程的解． (1)在上述解方程过程中，从第 步开始错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步 (2)方程无解，见解析 【分析】此题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤进行解答即可． （1）根据去分母的步骤进行解答即可； （2）按照正确的步骤去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的 这一项漏乘了 ． 故答案为：一； （2） 方程两边都乘 ，得 ． 解这个方程，得 ． 经检验， 为增根，原分式方程无解． 5．（2025·河北保定·三模）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ． 【答案】 或 1 【分析】此题考查了解分式方程，解一元二次方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分 和 ，依据新定义列出关于 的分式方程，化为一元二次方程，解方程并检验即可求解． 【详解】①若 ，即 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， 解得： 或 负值舍去 ， 经检验： 是原分式方程的解； ②若 ，即 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， 解得： ， 经检验： 是原分式方程的解； 综上，方程 的解为 或 1． 故答案为： 或 1． 分式方程的实际应用 1．（2025·河南驻马店·三模）李老师早晨开车从新乡市家中出发到郑州市某地参会，已知两地相距90千米，因早晨开会时间紧急，会议结束正巧碰上下班高峰，所以返回的平均速度是去时平均速度的 ，回来时比去时多用10分钟，假设去时的速度为 千米/时，则求去时的速度可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列分式方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系，是解题的关键． 根据去时的速度为 千米/时，返回的平均速度是去时平均速度的 ，90千米的路程回来时比去时多用10分钟，列出方程即可． 【详解】解：∵去时用时： 小时， 回来时用时： 小时， 10分钟 小时， 回来时比去时多用10分钟， ∴ ． 故选：D． 2．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 【答案】规定时间为8天 【分析】此题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，快马速度是慢马速度的2倍，据此列分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设规定时间为x天， 由题意得： ， 解得 ，经检验 是所列方程的根，且符合题意 答：规定时间为8天． 3．（2025·安徽淮北·三模）在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能．乙款扫地机器人每分钟清扫的面积比甲款扫地机器人多 ，甲款扫地机器人清扫 所用的时间比乙款扫地机器人多 ．若设甲款扫地机器人每分钟清扫 ，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据题目中给出的两款扫地机器人的清扫性能关系，列出关于甲款和乙款扫地机器人清扫效率的方程即可． 本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为： ． 4．（2025·江苏徐州·三模）王大娘和刘大娘在手工发放点领取了用珠子穿手链的手工活，王大娘和刘大娘分别拿了120串和100串的量，王大娘的速度是刘大娘的1.5倍，比刘大娘提前1小时完成，问她们两个人每小时分别完成了多少串手链？ 【答案】刘大娘每小时完成20个，王大娘每小时完成30个 【分析】本题考查分式方程的应用，得到两人用的时间的等量关系是解决本题的关键． 设刘大娘每小时完成x个，王大娘每小时完成 个；根据王大娘120串比刘大娘100串的量提前1小时完成，列方程求解即可． 【详解】解：设刘大娘每小时完成x个，王大娘每小时完成 个； 解得 经检验： 是原方程的解 答：刘大娘每小时完成20个，王大娘每小时完成30个． 5．（2025·广东深圳·三模）根据表中素材，完成任务． 素材1 某校为了引导学生学习人工智能知识、激发学生的创新思维，特开展“青少年人工智能挑战赛”活动．已知该活动设置“特等奖”和“优秀奖”两种奖项，需要购置的“特等奖”奖杯的单价比“优秀奖”奖杯的单价贵10元，用500元购进的“特等奖”奖杯的数量和用400元购进的“优秀奖”奖杯的数量相同． 素材2 学校的要求如下： ①此次活动的获奖总人数是30人． ②获得“优秀奖”的人数不超过“特等奖”人数的2倍． 任务1 根据以上信息，请求出“优秀奖”和“特等奖”奖杯的单价． 任务2 为响应降本增效方针，在满足要求的情况下尽量降低采购总费用，请求出此次颁奖所需奖杯的最低采购费用． 【答案】任务1：优秀奖奖杯的价格为40元，特等奖奖杯的价格为50元；任务2：此次颁奖所需奖杯的采购费用最低为1300元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，根据不等关系，列出不等式． （1）设优秀奖奖杯的价格为 元，则特等奖奖杯的价格为 元，根据用500元购进的“特等奖”奖杯的数量和用400元购进的“优秀奖”奖杯的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设采购费用为 元，获得特等奖人数为 人，则获得优秀奖人数为 人，根据获得“优秀奖”的人数不超过“特等奖”人数的2倍，列出不等式，求出 ，列出一次函数关系式 ，根据一次函数增减性进行求解即可． 【详解】任务1：解：设优秀奖奖杯的价格为 元，则特等奖奖杯的价格为 元， 根据题意得： ， 解得： ， 经检验： 是原分式方程的解且符合题意． （元）， 答：优秀奖奖杯的价格为40元，特等奖奖杯的价格为50元． 任务2：设采购费用为 元，获得特等奖人数为 人，则获得优秀奖人数为 人， 根据题意得： ， 解得： ， ， ， 随着 的增大而增大， 当 时， 有最小值，此时 元 答：此次颁奖所需奖杯的采购费用最低为1300元． 6．（2025·山西晋中·三模）某电器商场从厂家购进了A，B两种型号的电烤箱，已知一台 型电烤箱的进价比一台B型电烤箱的进价多400元，用7600元购进A型电烤箱和用6000元购进B型电烤箱的台数相同． (1)求一台A型电烤箱和一台B型电烤箱的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，A型电烤箱因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进B型电烤箱，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当B型电烤箱的售价为2400元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售B型电烤箱的利润为5600元，请问该商场应将B型电烤箱的售价定为多少元？ 【答案】(1)一台A型电烤箱的进价为1900元，一台B型电烤箱的进价为1500元 (2)该商场应将 型电烤箱的售价定为1900元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确得到等量关系是解题的关键． （1）设一台 型电烤箱的进价为 元，则一台 型电烤箱的进价为 元，根据题意列分式方程即可解答； （2）设该商场应将 型电烤箱在2400元的基础上降价 元，根据每天该商场销售B型电烤箱的利润为5600元，列放出即可解答． 【详解】（1）解：设一台 型电烤箱的进价为 元，则一台 型电烤箱的进价为 元． 根据题意，得 ． 解得 ． 经检验， 是原方程的解． ． 答：一台A型电烤箱的进价为1900元，一台B型电烤箱的进价为1500元； （2）解：设该商场应将 型电烤箱在2400元的基础上降价 元． 根据题意，得 ． 解得， ． 因为力求尽快清空库存，所以应降价500元． （元）． 答：该商场应将 型电烤箱的售价定为1900元． 7．（2025·陕西榆林·三模）今年大年初一，《哪吒之魔童闹海》横空出世．某影院大年初二这天一共售出2400张电影票，由于观影人数太多，该影院采取增加场次的办法满足消费群众，大年初三上映场次是大年初二的1.2倍，每场售出的电影票数比大年初二多20张，一共售出了3600张票．问：该影院大年初二上映了多少场《哪吒之魔童闹海》？ 【答案】该影院大年初二上映了30场《哪吒之魔童闹海》 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，准确理解题意是解题的关键． 设该影院大年初二上映了 场《哪吒之魔童闹海》，则大年初三上映了 场，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设该影院大年初二上映了 场《哪吒之魔童闹海》，则大年初三上映了 场． 由题意得， ． 解得 ． 经检验 为原方程的解，且符合题意． 答：该影院大年初二上映了30场《哪吒之魔童闹海》． 8．（2025·广东珠海·三模）广州增城是著名的荔枝之乡，优质荔枝品种有“挂绿”“桂味”“糯米糍”“仙进奉”等某荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗进行种植，已知每株挂绿荔枝苗的价格比每株糯米糍荔枝苗的价格贵 元，且用 元购买挂绿荔枝苗的株数与用 元购买糯米糍荔枝苗的株数相同． (1)求购买每株挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗的价格分别是多少元？ (2)该荔枝种植基地计划购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗共100株已知挂绿荔枝苗和糯米糍荔枝苗的成活率分别为 和 ，若要使这批荔枝苗的成活率不低于 ，且购买荔枝苗的总费用最少，则应购买挂绿荔枝苗、糯米糍荔枝苗各多少株？最少费用是多少元？ 【答案】(1)每株挂绿荔枝苗的价格是32元，每株糯米糍荔枝苗的价格是12元． (2)应购买挂绿荔枝苗40株，糯米糍荔枝苗60株，最少费用是2000元． 【分析】此题考查了分式方程、一次函数的应用，准确列出方程和一次函数是关键． （1）设每株糯米糍荔枝苗的价格是a元，则每株挂绿荔枝苗的价格是 元，用 元购买挂绿荔枝苗的株数与用 元购买糯米糍荔枝苗的株数相同．据此列方程并解方程检验即可； （2）设购买这批荔枝苗的总费用为y元，购买挂绿荔枝苗x株，则购买糯米糍荔枝苗 株．列出函数解析式并求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设每株糯米糍荔枝苗的价格是a元，则每株挂绿荔枝苗的价格是 元， 根据题意，得 ，解得 ， 经检验， 是所列分式方程的根，且符合题意． （元）． 答：每株挂绿荔枝苗的价格是32元，每株糯米糍荔枝苗的价格是12元． （2）设购买这批荔枝苗的总费用为y元，购买挂绿荔枝苗x株，则购买糯米糍荔枝苗 株． 根据题意，得 ． ， 随x的增大而增大． 根据题意，得 ， 解得 ， 当 时， 最小， 最小 ， （株）， 答：应购买挂绿荔枝苗40株，糯米糍荔枝苗60株，最少费用是2000元． 9．（2025·云南红河·三模）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业甲、乙两组共35名工人．甲组每天加工3150件农产品，乙组每天加工2800件农产品，已知甲组每人每天平均加工的农产品数量是乙组每人每天平均加工农产品数量的1.5倍，求甲、乙两组各有多少名工人． 【答案】甲组有 名工人，乙组有 名工人 【分析】此题考查了分式方程的应用．设甲组有 名工人，则乙组有 名工人，甲组每人每天平均加工的农产品数量是乙组每人每天平均加工农产品数量的1.5倍，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设甲组有 名工人，则乙组有 名工人 根据题意得： ， 解答： ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意， 答：甲组有 名工人，乙组有 名工人． 解一元二次方程 1．（2025·河南周口·三模）若实数 分别满足： 且 ，则点 所在的象限是（   ） A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限或第三象限 D．第三象限或第四象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了点的坐标特点，解一元二次方程，求一元一次不等式的解集，先根据已知求出a的值和b的取值范围，再分两种情况讨论，即可确定点 所在的象限． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 或 ， ∵ ， ∴ ， 分以下两种情况讨论： 当 时， ， ， ∴点 所在的象限是第一象限； 当 时， ， ， ∴点 所在的象限是第二象限； 综上所述，点 所在的象限是第一象限或第二象限． 故选：A． 2．（2025·新疆·三模）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程．分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、 ，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、 ，解得： ，故本选项符合题意； C、 ，开方得 ，解得 ，故本选项不符合题意； D、 ，开方得 ，解得 ，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．（2025·安徽合肥·三模）解一元二次方程 ． 【答案】 或 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 解得 或 ． 4．（2025·安徽宣城·三模）一元二次方程 的正实数根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ 或 （舍去） ∴正实数根是 故答案为： ． 5．（2025·安徽淮北·三模）解方程： ． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方程成为解题的关键． 先将方程化成一般式，然后再运用公式法求解即可． 【详解】解：原方程可化为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程： ． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法把方程左边分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， 解得 ， ． 7．（2025·安徽阜阳·三模）解方程： ． 【答案】 ， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题直接根据因式分解法即可求解． 【详解】解： ， ， 或 解得 ， ． 8．（2025·贵州铜仁·三模）（1）已知a、b是有理数，定义一种新运算“ ”满足 ，求 的值； （2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程． ① ；            ② ；            ③ ． 【答案】（1） ；（2）见解析 【分析】本题考查了代数式求值，解一元二次方程； （1）根据新运算代入求值进行计算即可求解； （2）①根据直接开平方法解一元二次方程； ②根据因式分解法解一元二次方程； ③根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：选①       解得 ， ． 选② ， ， 或 ，   解得 ， ． 选③ ， ， 或 ， 解得 ， ． 一元二次方程的根 1．（2025·江苏·三模）关于x的一元二次方程 中，则该一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程 的根与 有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根． 先计算判别式的值，再利用根据判别式的意义进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 中， ， ， ， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（2025·河南信阳·三模）已知反比例函数 （k为常数，且 ）的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别，解题的关键是熟记一元二次方程根的判别式． 根据反比例函数的性质确定 ，再根据判别式确定方程的根． 【详解】解：∵反比例函数 （k为常数，且 ）的图象在每一个象限内y随x的增大而减小， ． 关于x的一元二次方程 EMBED Equation.DSMT4 ， ∴方程 有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（2025·安徽合肥·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根与 有如下关系：① ，方程有两个不相等的实数根，② ，方程有两个相等的实数根，③ ，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：A、 ，故此方程没有实数根，不符合题意； B、 ，故此方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、 ，故此方程有两个不相等的实数根，符合题意； D、 ，故此方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 4．（2025·河南开封·三模）关于x的方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根．先把方程化为一般式，再计算出判别式，根据判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：将方程 化为一般形式得： ， ， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选A． 5．（2025·河南信阳·三模）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程 （ ，a，b，c为常数）根的判别式．当 ，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，方程没有实数根． 根据一元二次方程有有实数根，满足 ，解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实根， ∴ ， 解之，得 ． 故选：B． 6．（2025·广东深圳·三模）关于 的方程 有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的 的值 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，结合一元二次方程的二次项不为0，求出 的范围，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得： ，且 ， ∴ 且 ， ∴ 的值可以为1； 故答案为：1（答案不唯一）． 7．（2025·河南驻马店·三模）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（    ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握判别式与根的关系是解答本题的关键．根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】解：原方程整理得： ， 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根， ， 解得： 或 ， 故选：D． 8．（2025·湖北襄阳·三模）若方程 有两个不相等的实数根，则实数 的值可能是 （写出一个即可）． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式 ，建立关于c的不等式，求出c的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得： ， 故答案为：1（答案不唯一）． 9．（2025·云南红河·三模）若关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式. 根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可. 【详解】∵关于 的方程 有两个实数根， ∴ ， 解得 且 故答案为： 且 . 10．（2025·江苏扬州·三模）若实数 ， 是方程： 的两个根，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； 先把方程变形为一般形式，再根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵实数 ， 是方程： 即 的两个根， ∴ ； 故答案为：2． 11．（2025·新疆吐鲁番·三模）已知方程 的一个根为 ，则方程的另一个根为 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于 ，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程 有一个根为 ， ∴ ， 解得： ． 故答案为：4． 12．（2025·四川宜宾·三模）已知 ，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，由已知条件可得m和n是关于x的一元二次方程 的两个根，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可得 ， ，代入求值即可． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， m和n是关于x的一元二次方程 的两个根， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 故答案为：7． 13．（2025·四川南充·三模）关于 的一元二次方程 有两个实数根 ， ． (1)求实数 的取值范围． (2)求代数式 的最大值或最小值． 【答案】(1) ，且 (2) 最小 【分析】本题考查了利用二次函数求最值，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先将原方程展开，再根据方程有2个实数根，得到 求解，注意 即可； （2）由根系关系，得 ．将其展开，代入 ，得到 关于 的二次函数，利用二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：由已知，得 ， 即 ． ∵有两个实数根 ， ， ， ， 同时，二次系数 ，即 ， 的取值范围为 ，且 ； （2）解：由根系关系，得 ． ∴令 ． 当 时， 最小 ． 14．（2025·山东聊城·三模）已知 ， 是方程 的两个实数根，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，先把 代入方程，整理得 ，再用根与系数的关系求得 ，最后代入求值即可． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根， ∴ ， 即 ， ∴ ， 故答案为： ． 15．（2025·安徽亳州·三模）已知关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根分别为 ， ，关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，则下列方程中，其两实数根分别为 ， 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解二元一次方程组，由题意得 ， ， ， ，则 ， ，联立 ， ，解得 ， ，然后构造一元二次方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的两个不相等的实数根分别为 ， ， ∴ ， ， ∵关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， 联立解得： ， ， ∴ ， ， ∴以两实数根分别为 ， 的方程是 ， 故选： ． 一元二次方程的实际应用 1．（2025·黑龙江佳木斯·三模）2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（   ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设1个人传染 人，第一轮共传染 人，第二轮共传染 人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】解：设每个人传染 人，根据题意列方程得， ， 解得： ， （不合题意，舍去）， 故选：C． 2．（2025·重庆·三模） （奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者．在每轮传染中，平均一个人传染了 人． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中，平均每个人传染了x个人，根据一人经过两轮传染后共有144人感染者，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论 【详解】解：设每轮传染中，平均每个人传染了x个人， 依题意，得： ， 解得： （不合题意，舍去）． 故答案为： ． 3．（2025·安徽芜湖·三模）某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体单价见下表所列．设2023年降价的百分数为 ． 年份 单价／万元 2022年 2023年 2024年 (1)用含 的代数式表示2023年该电动汽车的价格； (2)求2024年该电动汽车降价的百分数． 【答案】(1)2023年该电动汽车的价格为 万元 (2)2024年降价的百分数为 【分析】本题考查了列代数式以及利用一元二次方程解决价格变化问题，解题关键是依据降价后的价格与原价、降价百分数的关系列出方程并正确求解。 （1）根据降价后价格、原价和降价百分数的关系，用含 的式子表示2023年价格。 （2）先根据2023年降价百分数表示出2024年降价百分数，再依据2022到 2024年价格变化列出方程，求解方程并根据实际情况舍去不合理的值，从而得到2024年降价百分数。 【详解】（1）解：由题意得，2023年该电动汽车的价格为 万元； （2） 年降价的百分数为 ， ∴2024年降价的百分数为 由题意得， ， 解得 或 （不合题意，舍去）． 即2024年降价的百分数为 ． 4．（2025·安徽黄山·三模）某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 【答案】每次降价的百分率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键．设每次降价的百分率 ，根据题意列出一元二次方程，求解并选取符合实际的值即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为 ， 根据题意可得： 解得： （不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为 ． 5．（2025·安徽合肥·三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为 ，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为x，由题意得出三月份的销量为： ，再根据3月份的销量比1月份增加了2100辆为等量关系列出方程即可． 【详解】解：设每个月销量的平均增长率为 ， 则三月份的销量为： ， 则根据题意有： ， 故选：D 6．（2025·福建厦门·三模）如图，有一栋底面呈长方形的建筑物，长 ，宽 ，墙角有一根木桩，木桩上拴着一只小狗，拴小狗的绳子长为x米． (1)若 ，当小狗的活动区域面积为 时，求绳子长； (2)若 ，请判断小狗的活动区域面积能否达到 ，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查了扇形的面积公式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由题意得，小狗的活动范围是一个半径为绳长，圆心角为270度的扇形，根据扇形的面积公式列方程，求解即可； （2）先根据题意得出小狗的活动范围，得到二次函数，再根据二次函数的性质求解即可判断． 【详解】（1）解：当 时，小狗的活动区域面积 ， 当 时， ， ， ∴ ， 答：绳子长为 ． （2）解： 绳长 ， 当 时，小狗的活动区域面积 ， 此时S随x的增大而增大， 当 时， ， ， 此时小狗的活动面积为： ， 当 时， ， 解得： ， ， 与 均不符合题意， 小狗的活动区域不能达到 ． 7．（2025·湖北武汉·三模）问题背景：学校计划对校园里一块长 ，宽 m的矩形场地进行绿化，如图1，将该矩形场地划分成5个区域，阴影部分宽度相同，空白部分宽度相同，阴影部分种植 花卉，空白部分种植 花卉（ ， 两种花卉都要种植）．已知 花卉的种植成本是9元 ， 花卉的种植面积为 ， 花卉的种植成本 元 ，满足 ． 问题解决： (1)若种植 花卉的成本为5200元，求此时 花卉的种植面积； (2)学校按该方案对场地进行绿化，最多需要投入的种植成本是多少元？ (3)若学校计划投入不超过10000元种植这两种花卉，且 种花卉种植面积不少于 ，直接写出每块阴影部分宽 的取值范围． 【答案】(1) (2)10800元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的运用，不等式的应用等知识，解题的关键是∶ （1）把 代入 ，求出B的种植面积，然后用总面积减去B的种植面积即可求解； （2）设种植总成本为 元，则 ，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）每块阴影部分的宽为 ，则每块空白区域的宽为 ， 花卉的种植总费用为 ，空白区域总面积为 ， 种花卉种植成本为 （元 ）． 花卉的种植总费用为 ，然后根据“投入不超过10000元种植这两种花卉，且 种花卉种植面积不少于 ”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， 解得 或 （舍）， ． 答： 花卉的种植面积为 ； （2）解∶ 设种植总成本为 元， 则 ， 当 时， 取最大值为10800元； （3）解∶每块阴影部分的宽为 ，则每块空白区域的宽为 ， 花卉的种植总费用为 ，空白区域总面积为 ， 种花卉种植成本为 （元 ）． 花卉的种植总费用为 ， 由题意，得 ， ， ． ， ， ． 8．（2025·广东中山·三模）综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下： 【进位制的认识】 ①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． ②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如， 就是二进制数1011的简单写法．十进制数一般不标注基数． ③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当 时， ．如： ； ． 【解决问题】 (1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1表示的是孩子出生后30天时打绳结的情况（因为： ），那么由图2可知，孩子出生后的天数是________天 (2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制） 例如 ； 写出 ________________ (3)小华设计了一个n进制数265，换算成十进制数是145，求n的值（n为正整数）． 【答案】(1)510 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，一元二次方程的实际应用，熟练掌握进制之间的换算方法，是解题的关键： （1）根据图形，列出算式进行计算即可； （2）类比十进制的加减运算，进行计算即可； （3）根据进制之间的换算关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解： （天）； 故答案为：510； （2） ； 故答案为： （3）由题意，得： ， 解得： 或 （舍去）； 故 ． 9．（2025·四川南充·三模）我运动，我健康，我快乐！随着人们对身心健康的关注度越来越高，参加健身运动的人数逐渐增多．为支持市民健身运动，各地政府纷纷决定从公司订购套装健身器材．公司约定：一个地方订购若不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加5套，售价可降低20元，但最低每套不少于1000元．公司生产一套的成本为600元． (1)A地政府向公司支付货款24万元，求订购这种健身器材的套数． (2)在销量不超过300套的地方，公司的利润最大是多少？ 【答案】(1)支付货款24万元，订购这种健身器材200套 (2)在销量不超过300套的地方，公司的利润最大是122500元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，一次函数的应用等知识，根据题意列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）首先推导订购这种健身器材的套数在100到250之间，再根据优惠信息列出方程求解即可； （2）销量为 套的地方，利润为 元，分当 时，当 时，当 时，三种情况讨论，分别列出利润y与销量n之间的函数关系式，并求出每种情况的最大利润，再比较即可． 【详解】（1）解：订购100套需要 (元)，即16万元， 由 知， 享受单价1000元至少购买 套， 货款至少为25万元． ∴订购这种健身器材的套数在100到250之间， 设订购这种健身器材 套，则 ， 由题意，得： ． 整理，得 ． 解得 ，或 (舍去)． 即支付货款24万元，订购这种健身器材200套． （2）设销量为 套的地方，利润为 元． 当 时， ， 当 时， ． 当 时，最大 ． 当 时， ． 随 的增大而增大．当 时，最大 ． 综上，在销量不超过300套的地方，公司的利润最大是122500元． 10．（2025·山东济宁·三模）某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设销售价应定为每件x元， 当涨价时：由题意可得： ， 整理得： ， 解得： 或 （舍去）， 所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元； 当降价时：由题意可得： ， 整理得： ， 解得： （舍去）或 ， 所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元； 综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选D． 11．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，在矩形 中， ， 是 的中点，连接 ，点 从点 出发，沿 向点 运动，到点 停止，点 在 上， ，连接 ，当 的面积是10时， 的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了一元二次方程与图形面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质，根据题意分 在 的左侧和右侧，分类讨论，分别画出图形，设 ，根据 的面积是10，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ， ∵在矩形 中， ， 是 的中点， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， 又∵ ∴ 是等腰直角三角形， ∴ 设 ， 当 在 点的左侧时， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当 的面积是10时， 解得： （负值舍去） 如图，当 在 点的右侧时， ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当 的面积是10时， 解得： （负值舍去） 当点 在 的右侧时，不合题意； 综上所述， 或 , 故答案为：2或 ． 12．（2025·云南红河·三模）某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有 人，则应列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该小组有 人，则每人需提 条建议，根据该小组一共收到72条建议，即可得出关于 的一元二次方程． 【详解】解：设这个小组有 人，则每人需提 条建议， 则由题意得： ， 故答案为： ． 13．（2025·福建厦门·三模）如图，一钢球从长 的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加 ．（提示：本题中，距离 平均速度 时间 ， ，其中 是开始时的速度， 是 秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可知， ， ， ，则 ，然后列出 ，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ∴ ， ∴ ， 解得： （负值已舍去）， 故选： ． 解不等式（组） 1．（2025·广东深圳·三模）下面是某同学解不等式 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 根据以上材料，解答下列问题： (1)第一步去分母的依据是 ． (2)在解答过程中，从第___步开始出错，错误原因是 ． (3)原不等式的正确解集为 ． 【答案】(1)不等式的基本性质 (2)四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误） (3) 【分析】本题主要考查了解不等式，理解并掌握解不等式的方法和步骤是解题关键． （1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）第四步，系数化1时，不等号的方向没有发生改变出错，即可获得答案； （3）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质． 故答案为：不等式的基本性质； （2）在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）． 故答案为：四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）； （3） ， 去分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， 即原不等式的正确解集为 ． 故答案为： ． 2．（2025·安徽合肥·三模）已知实数 满足 ， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了完全平方公式，不等式的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 将 代入 得到 ，即可求出 ；然后由 得到 ，代入 得到 ． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ； ∵ ∴ ∴ ． 故选：A． 3．（2025·安徽淮北·三模） 已知实数 满足 ，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，分式的加减等知识，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．根据不等式的性质可判断A和B，先求 ， ，然后根据不等式的性质可判断C和D． 【详解】解： ， ，故A错误； ， ， ， ，故B错误； ， ， ， ，故C错误； ， ，故D正确． 故选：D． 4．（2025·陕西咸阳·三模）解不等式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据去分母，移项，合并同类项，系数化为1求出不等式的解集即可． 【详解】解： ， 去分母，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ． 5．（2025·安徽淮北·三模）如图，图1为四等分数字转盘，图2为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后（若指针指在边界处，则重转），两个转盘指针指向的数字的积满足不等式 的解的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列表法球概率，解一元一次不等式，先列表得出所有符合条件的结果，再求出不等式的解集，根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 第一次        第二次 1 3 1 2 3 4 一共有12种符合条件的结果，每种结果出现的可能性相同． 解不等式 ， 解得 ， 可知符合条件的有3，4，3，6，9，12，共6种， 所以两个转盘指针指向数字的积满足不等式的解得概率是 ． 故选：C． 6．（2025·安徽蚌埠·三模）关于 的一元一次不等式 的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出不等式的解集，再把解集用数轴表示出来即可．本题考查了求不等式的解集，在数轴上表示不等式解集，熟练掌握用数轴表示不等式解集是解题的关键． 【详解】解： ， 解得： ， 在数轴上表示为： 故选：B． 7．（2025·安徽蚌埠·三模）已知点 是一次函数 的图象一点，若 是该直线上另一点，且 ，则关于 的取值范围在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，求不等式的解集，理解题意是解题关键．利用待定系数法确定 ，然后将点B代入，求不等式的解集，在数轴上表示出来即可 【详解】解：∵点 是一次函数 的图象一点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是该直线上另一点，且 ， ∴ ， ∴ ， 在数轴上表示如下： ， 故选：A． 8．（2025·河南安阳·三模）已知不等式 的一个解是 ，则 的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，有理数大小比较，将 代入不等式求出a的范围，即可得出结果． 【详解】解： 不等式 的一个解是 ， ， ， ， 则 的值可以是5， 故选：D． 9．（2025·安徽六安·三模）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式解集．熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤和在数轴上表示不等式解集的方法是解题的关键． 首先按去分母、移项、合并同类项、化系数为1的步骤求出不等式的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可求解． 【详解】解：去分母，得 移项，得 合并同类项，得 ， 化系数为1，得 ， 解集在数轴上表示为： 故选：A． 10．（2025·陕西榆林·三模）解不等式： ，并写出该不等式的非负整数解． 【答案】 ；非负整数解为0，1 【分析】本题考查求不等式的整数解，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而求出不等式的非负整数解即可． 【详解】解：去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并，得： 系数化1，得： ∴原不等式的非负整数解为0，1． 11．（2025·河南信阳·三模）一元一次不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解： ， 由 得， ， 由 得， ， ∴不等式组的解集为 ， ∴不等式组的解集在数轴上表示为 故选： ． 12．（2025·浙江温州·三模）解不等式组 ，并把解集表示在数轴上． 【答案】 ，见详解 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到； 【详解】解： 解①式得： ， 解②式得： ， 表示在数轴上的解集如下： 故不等式组的解集为： 13．（2025·湖北·三模）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．先求出每一个不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，进行判断即可． 【详解】解： ， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴不等式组的解集为 ； 在数轴上表示解集如图： 故选：B． 14．（2025·河南漯河·三模）不等式组 的所有整数解的和为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组，求不等式组的整数解，是解题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，得到不等式组的解集和整数解，即可解答． 【详解】解： 解①，得 ， 解②，得 ， ∴原不等式的解集为 ， ∴x的整数解为 ， 则 ． 故答案为10． 不等式（组）的实际应用 1．（2025·广东东莞·三模）北京烤鸭不仅是一道美食，更是中华民族美食瑰宝中的璀璨明珠．为保证口感，北京烤鸭的标准鸭子重量 一般不低于 ，不高于 ．下面用不等式表示这一范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列不等式，根据不低于 EMBED Equation.DSMT4 表示为“ ”，不高于 表示为“ ”，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：B． 2．（2025·安徽合肥·三模）一辆汽车行驶 需8.4升汽油，一名工程师花费2880元将发动机的耗油量降到每 需6.4升汽油．若汽油的价格每升7.2元，问此辆汽车至少行驶多少 才能弥补这2880元的改造费用？ 【答案】汽车至少要行驶 才能弥补改造所需的费用 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设汽车需要行驶 才能弥补改造所需的费用，根据题意列不等式，求出 的取值范围即可解题． 【详解】解：设汽车需要行驶 才能弥补改造所需的费用． 由题意得 ， 化简得 ， 解得 ， 即汽车至少要行驶 才能弥补改造所需的费用． 3．（2025·山东聊城·三模）圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高 的柜子里（如图1）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量x（个） 1 2 3 4 5 6 … 总高度h（ ） 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17 … 请帮圆圆算一算，一次性放进高 的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（   ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】C 【分析】本题考查函数关系式，一元一次不等式，解决本题的关键是从题表中梳理出总高度与杯子之间的数量关系．根据表格可知，每增加一个杯子高度增加 ，得到 ，根据杯子总高度不大于 列关于 的一元一次不等式求解． 【详解】解：由表格可得，每增加一个杯子，总高度增加 ， 则当放进x个杯子时，总高度 ． 要一次性放进高 的柜子里，则 ， 解得， ， 则 的最大值为29， 故选：C． 4．（2025·广西崇左·三模）为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购1顶太阳帽和2把太阳伞共需要50元． (1)求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价； (2)若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每顶太阳帽的进价为10元，每把太阳伞的进价为20元 (2)购进太阳帽400顶、太阳伞200把可使销售所获利润最大，最大利润为4000元 【分析】（1）设每顶太阳帽的进价为a元，每把太阳伞的进价为b元．根据题意，得 ，解方程组求解即可． （2）设购进太阳帽x顶，则购进太阳伞 把，构造不等式，利用一次函数增减性解答即可．   本题考查了方程组的应用，不等式的应用，一次函数的性质的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设每顶太阳帽的进价为a元，每把太阳伞的进价为b元．    根据题意，得 解得   ．                                                   答：每顶太阳帽的进价为10元，每把太阳伞的进价为20元． （2）解：设购进太阳帽x顶，则购进太阳伞 把．    根据题意，得 ， 解得 ， 设销售所获利润为w元，则 ．     ∵ ． ∴w随x的减小而增大， ∵ ， ∴当 时w的值最大， （把） 答：购进太阳帽400顶、太阳伞200把可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 5．（2025·湖南娄底·三模）袁隆平爷爷多次说：“中国人要把饭碗牢牢地端在自己的手里！”为扩大粮食生产规模，稻田公园生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机，已知购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元． (1)求购进1件甲种农机和1件乙种农机各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机共10件，且投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)购进1件甲种农机和1件乙种农机各需 万元和 万元 (2)方案一：购进甲种农机 件，购进乙种农机 件；方案二：购进甲种农机 件，购进乙种农机 件；方案三：购进甲种农机 件，购进乙种农机 件． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设购进1件甲种农机和1件乙种农机各需 万元和 万元，根据购进1件甲种农机和1件乙种农机共需2万元，购进2件甲种农机和3件乙种农机共需5.5万元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进甲种农机 件，根据投入资金不少于9.5万元且不超过12万元，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设购进1件甲种农机和1件乙种农机各需 万元和 万元，由题意，得： ，解得： ， 答：购进1件甲种农机和1件乙种农机各需 万元和 万元； （2）解：设购进甲种农机 件，则购进乙种农机 件，由题意，得： ， 解得： ， ∵ 为整数， ∴ ， ∴ ； ∴共有3种购买方案：方案一：购进甲种农机 件，购进乙种农机 件； 方案二：购进甲种农机 件，购进乙种农机 件； 方案三：购进甲种农机 件，购进乙种农机 件． 6．（2025·贵州毕节·三模）某工厂计划购买A，B两种工艺品共400件奖励优秀员工．已知A种工艺品的单价比B种工艺品的单价高50元，用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同． (1)A，B两种工艺品的单价各为多少元？ (2)若该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，则该工厂共有几种购买方案？ 【答案】(1)A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元 (2)该工厂共有0种购买方案 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为 元，根据用600元单独购买A种工艺品与用450元单独购买B种工艺品的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品 件，根据该工厂计划购买A，B两种工艺品总费用不超过30500元，且购买A种工艺品不少于5件，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设A种工艺品的单价为x元，则B种工艺品的单价为 元． 根据题意，得 ， 解得 ． 经检验 是分式方程的解， ∴ ． 答：A种工艺品的单价为200元，B种工艺品的单价为150元． （2）解：设购买A种工艺品m件，则购买B种工艺品 件． 根据题意，得 ， 此不等式组无解． ∴该工厂共有0种购买方案． 求参数 1．（2025·河南周口·三模）关于 的一元一次不等式组 的解为 ，则 的取值范围为 ． 【答案】 ． 【分析】本题考查不等式组解集的确定，关键在于理解参数 与第二个不等式解集之间的包含关系．通过比较两个不等式解集的范围，可确定 的取值范围．本题解第二个不等式，结合两个不等式的解集关系，即可分析参数 的取值范围． 【详解】解：由 ，得到 ，即 ， 已知不等式组的解集为 ， 则第一个不等式 的解集必须包含第二个不等式 的解集， 因此 的取值范围应满足 ． 故答案为： ． 2．（2025·黑龙江佳木斯·三模）已知关于x的不等式组 只有两个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查的是根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，求解不等式组的解集为 ，再根据整数解的含义可得答案． 【详解】解： ， 由①得 ， 由②得 ， ∵原不等式组有且只有两个整数解， ∴ ，且 的整数值为 ， ， ∴ ． 故答案为： ． 3．（2023·四川绵阳·三模）若关于x 的一元一次不等式组 至少有2个整数解，且关于y 的分式方程 的解是非负整数，则满足条件的整数m 的和是 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键． 先解不等式组，确定m的取值范围 ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得 ，由分式方程有非负整数解，确定出m的值，相加即可得到答案． 【详解】解不等式组 得 ∵不等式组至少有 个整数解， ， 解得 解关于 的分式方程 得 ∵分式方程的解是非负整数， 解得 且m为奇数， 又∵ ， ∴ ，解得 ∴m取 ， ，3， ∴满足条件的整数 的和是 4．（2025·黑龙江佳木斯·三模）若关于x的分式方程 的解是非正数，则m的取值范围是（   ） A． B． 且 C． 且 D． 【答案】A 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，时刻注意分母不为 这个条件．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出 ，根据方程的解为非正数求出 的范围即可． 【详解】解： 分式方程去分母得： ， 解得： ， 由方程的解是非正数，得到 ，且 ， 解得： ． 故选：A． 5．（2025·河南周口·三模）已知 是方程 的解，那么实数 的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解及解一元一次方程，理解方程的解的概念，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．将 代入分式方程，得到关于m的一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：把 代入原方程可得 ， 解得： ， 故答案为：3． 6．（2025·安徽蚌埠·三模）若关于x的分式方程 的解是负数，则a的取值范围是（    ） A． B． 且 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解．先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】 解：去分母得： ， 解得： ， ∵方程的解是负数， 且 ， 解得： ， 故选：C． 7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于 的分式方程 的解是非负数，则 的取值范围是（   ） A． 且 B． 且 C． 且 D． 且 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的解．先利用m表示出x的值，再由x为非负数求出m的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以 得， ， 解得 ， ∵x为非负数， ∴ ，解得 ． ∵ ， ∴ ，即 ． ∴m的取值范围是 且 ． 故选：A． 8．（2025·甘肃定西·三模）已知关于x的分式方程 无解，则a的值是（   ） A． B．3或0 C． 或4 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将方程去分母，整理得 ．分两种情况讨论：①若 ，则该整式方程无解，原分式方程无解，可求得此时 ；②若 ，则整式方程的解为 ，根据原分式方程无解，得到当 时， ，从而求得 ．综合即可解答． 【详解】解： ， 方程两边同乘 ，得 ， 整理，得 ， ①若 ，则该整式方程无解，原分式方程无解， 此时 ； ②若 ，则整式方程的解为： ， ∵原分式方程无解， ∴当 时， ， 即 ， ∴ 或 ， 解得： ， 综上所述，a的值为4或 ． 故选：C． 题型01 题型02 题型03 题型04 题型05 题型06 题型07 题型08 题型09 题型10 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$