第4讲 万有引力定律及其应用-【勤径学升】2026年高考物理一轮总复习教师用书

第四章曲线运动与万有引力定律回 (2)小球自第1次至第n次通过最高点的总时间为 (1)物块没有看作质点对实验是否有影响？ 气，弹黄测力计示数即向心力大小：所 t,所T=1 (选填“是”或“否”)。 (2)物块、b、c的密度之比为 Fr 以n FT (3)物块，b,c与转盘之间的动摩擦因数之比为 ()R 4元2R4π(n-1)R 答案 F 解析(1)物块的形状和大小相同，做圆周运动的 (1)ON的长度R(2)m-1)R 半径相同，所以物块没有看作质点对实验没有 3.如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动 影响。 摩擦因数的大小设计了该装置。已知固定于转轴 (2)当物块随转盘缓慢加速过程中，物块所需的向 上的角速度传感器和力传感器与电脑连接，通过一 心力先由静摩擦力提供，当达到最大静摩擦力后由 不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好拉直，物块随 绳子的拉力和最大静摩擦力提供，即F。=F十mg 转盘缓慢加速。在电脑上记录如图乙所示图像。 =ram,所以有F=mrm”一mg,题图乙中图线的 换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验， 斜率为mr,与纵轴的截距为一：mg,根据题图乙知 得到物块a、b、c分别对应的三条直线，发现a与c a的斜率k=m,r=1kg·m,b的斜卓k.=mr 的纵截距相同，与c的横截距相同，且符合一定的 1kg·m,c的斜率k,=m,=立kg·m,所以，b 数量关系。回答下列问题： c的质量之比为2：2：1，因为体积相同，所以物块 a,b、c的密度之比为2·2：1。 传感器 (3)由圆图乙知a的纵轴截距一4，m,g=一1N,b 的纵轴哉距一，m,g=一2N,c的纵轴俄距 w2·2 一4mg=一1N,结合质量之比得到物块a,b.c与 转盘之问的动摩擦因数之北为1：2：2。 答案(1)否(2)2：21(3)1：2：2 第4讲 万有引力定律及其应用 目标袅求】 1.理解开普物行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题 2.掌握计算天体质量和密度的方法。 [对应学生用书P82] 必备知识 固双基 【知识总览】 【微点辨析】 (1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭 (1)轨道定律：所有的行星绕太阳运 圆。 (/) 动的轨道都是口椭圆，太阳处在椭圆 开普勒 的一个☑焦点上 (2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化 (2)面积定律：行星与太阳的连线在 的，离太阳越远，运行速率越大。(×) 行星运 万 相等的时间内扫过的图面积相等 (3)只有天体之间才存在万有引力 动定律 有 (3)周期定律：所有行星的轨道的 (×) ④半长轴的三次方与它的圆公转周 (4)只要知道两个物体的质量和两个物体 力定律 期的二次方的比值都相等 之间的距离，就可以由F=Gm严计算 (1)公式：F=⑥Gmm,G=☑6.67 物体间的万有引力 (×) 用 万有引 (5)地面上的物体所受地球的引力方向 ×10-N·m/kg 力定律 定指向地心。 (/) (2)应用：①天体表面重力加速度的 (6)两物体间的距离趋近于零时，万有引 计算：②天体质量和密度的估算 力趋近于无穷大 (×) 147⑧ 回高考一轮总复习·物理 精研考点 提能力⑦ [对应学生用书P83] 考点1 开普勒三定律的理解和应用（互动共研） 精讲导学 针对训练 1.行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 1,某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗 工由开普勒第二定律可得号4A=号4山r,号· 1 行星的轨道上有a,b,c,d四个对 2·山·，解得总-三，即行星在两个 1 称点。若行星运动周期为T,则 △1·n= 该行星 位置的速度之比等于到太阳的距离倒数之比，近日 A.从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间 点速度最大，远日点速度最小。 B.从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的 行型 运动时间 太阳 Ca到6的时同，>子 3开普勒第三定律号=k中，k值只与中心天体的质 DC至d的时同，> 解析据开普勒第二定律可知，行星在近日点的速 量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能 度最大，在远日点的速度最小，行星由a到b运动 用在同一中心天体的两星体之间。 时的平均速事大于由c到d运动时的平均速事，而 例1](2023·撕江卷)太阳系各行星几乎在同一 平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰 君长ab等于藏长cd,故从a到b的运动时间小于 好运行到某地外行星和太阳之间，且三者儿乎排成 从c到d的运动时问，同理可知，从d经a到b的 一条直线的现象，称为“行星冲日”，已知地球及各 运动时间小于从b经c到d的运动时间，A,B鲻误： 地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表： 从a经b到c的时间和从c经d到a的时间均为 行星名称 地球火星木星土星 天王星海王星 可得=<=>，C错溪D运角 T 轨道半径RAU1.0155.29.5 19 30 答案D 侧相邻两次“冲日”时闻间隔约为 A.火星365天 2,国产科幻巨作《流浪地球》开创了中国科幻电影的 B.火星800天 C.天王星365天 D.天王星800天 新纪元，引起了人们对地球如何离开太阳系的热烈 讨论。其中有一种思路是不断加速地球使其围绕 解析 银指开音药第三定体有下-好得T了 太阳做半长轴逐渐增大的椭圆轨道运动，最终离开 太阳系。假如其中某一过程地球刚好围绕太阳做 T。。设相邹两次“冲日”时问何隔为，则 椭圆轨道运动，地球到太阳的最近距离仍为R,最 2x=(-)，解得1= T 远距离为？R(R为加速前地球与太阳间的距离)， R。 1- 则在该轨道上地球公转周期将变为 () A.8年 B.6年 由表格中的数据可得1，= ≈800天.t R C.4年 D.2年 R+7R 解析由开誓勒第三定律得： R 2 T 解 ≈369天，故进B T T. :R 1- 得T1一8年，选项A正确。 答案B 答案A ®148 第四章曲线运动与万有引力定律回 考点2万有引力定律的理解（互动共研） 精讲导学 针对训练 1,万有引力与重力的关系 3.某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重 的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g,“极 力mg,二是提供物体随地球自转的向心力F。 点”处的重力加速度为g2,若已知自转周期为T,则 在本道上 G Mm 该天体的半径为 =mg1十mwR R A.r B.4x' 在两极上 &7T B:T C,5-51)Tr D.g,十k)T 4π 4π 在一般 万有引力60等于重力mg与向心力F。的 位置 解析在“授点”处mg GMm:在其表面“赤道” 矢量和 R 处GMm二mg,=m平 R:解得R=g,名)T 说明：越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转 4π 所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即 故选C。 Mm-mg 答案C 4.中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一 号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录， 2.不同位置处重力加速度的比较 最大下潜深度超过了10000米，首次实现了无缆 地面 地下 天上 无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。 若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内 任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下 列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小 g和下潜深度h的关系图像可能正确的是() 两极（或不 赤道 计自转) GMr GM 8-R r GM g= R GM R GM(R-h) (R+h) Roa [例2] 火星的质量约为地球质量的。·半径约为地 D 解析设地球的质量为M,地球的半径为R,“海斗 球半径的2，则同一物体在火星表面与在地球表面 一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R一h为半 受到的引力的比值约为 径的球体的质量为M',则根据密度相等有M= A.0.2 B.0.4 M C.2.0 D.2.5 ,由于球壳对球内任一质点的万有引 3(R-h) 解析万有引力表达武为F=G”严，则月一物 力为零，根据万有引力定伴有G%)=mg,联 体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为 E-M=0,4,选项B正确， 立以上有式并鉴理可得g一(R一)，由该表达 F到Mtrk 式可知D正确，A.B、C错误. 答案B 答案D 149⑧ 回高考一轮总复习·物理 考点3 天体质量密度的计算（方法模型） 2h 精讲导学 月球表面的自由落体加速度大小g= 使用 已知 (2)不考虑月球自转的影响，有G Mmt R 利用公式 表达式 备注 方法 量 得月球的质量M=2hR Gm生" r.T 2hR 4x 4x2 M Gr m节r GT (3)月球的密度p= 3h 2πRGr。 只能得 3 F,) 利用运 r 到中心 答案(1)2h (2)2hR 行天休 天体的 Gr (3)。3h 2πRGt Gm中=m 质量 类型2利用“环绕法”计算天体质量和密度 v.T G"4”_ vT m一2xG [例4]（多选）已知引力常量G,地球表面处的重力 计 加速度g,地球半径R,地球上一个昼夜的时间T (地球自转周期)，一年的时间T:(地球公转周期)， 利用天 地球中心到月球中心的距离L,地球中心到太阳 体表面 Gm中m 中心的距离Lg。你能计算出 () E.R 用g三 重力加 R G 速度 A.地球的质量m=&尽 G中n p B.太阳的质量m:= 4π2L, 利用近 3xr GT. 地卫显 利用运 r.T. 4π GTR 只需测 行天体 当r=R时 C,月球的质量mm 4πL 出其运 GT 密 mwp· P= 3元 GT 行周期 3π 的 D.太阳的平均密度p一GT 利用天 G别中闲 解析对地球表面的一个物体m。来说，应有 体表面 用R三 R 3g 重力加 g、R p= AGR mog Gmm,所以地球质量m=及，故A项 G 速度 正德地珠绕太阳运动，有C二m,用一 类型突破 4πL3 类型1 利用“重力加速度法”计算天体质量和 GT,故B项正确：同理，月球绕地球运动， 密度 能求出地球质量，无法求出月球的质量，救C项错 [例3]宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤 误：由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均 从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。 密度，故D项错误。 若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间1落到 答案AB 月球表面。已知引力常量为G,月球的半径为R。 求：（不考虑月球自转的影响） 针对训练 (1)月球表面的自由落体加速度大小g月 5.(2024·黑古辽)如图(a),将一弹簧振子竖直悬挂， (2)月球的质量M。 (3)月球的密度p 以小球的平衡位置为坐标原点O,竖直向上为正方 解析(1)月球表面附近的物体做自由落体运动， 向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放， 其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如 有h=2g州t, 图(b)所示（不考虑自转影响）。设地球，该天体的 ®150 第四章曲线运动与万有引力定律何 平均密度分别为和，地球半径是该天体半径 6.(2023·辽宁卷)在地球上观察，月球和太阳的角直 径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球 的n倍。的值为 ( 绕地球运动的周期为T,,地球绕太阳运动的周期 为T:,地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳 的平均密度之比约为 21 地球 眼 角直丝 某天休 f- n① 小球 太阿 A() 战（于） (a) (b) c) n》 A.2n B受 c.2 解析 设月球绕地球运动的轨道半径为，地球绕 解析在地球表面，小球处于平衡位置时有mg =k·2A,在该天体表面，小球处于平衡位置时有 大阳运功的轨道辛径为，根暑G恤=m其，可 0一从联立解得受-子在里球表后有6 4π 4 很公mnmA=mrG2二m地T个支r,其 R 5 =mg,星球的密度p-又V=音R,解得p= 约片三=R·P三 R m,联立可得公 3 xk 4 R·则公-及-名，C正镜 P:g2R n ()装D 答案C 答案D [对应学生用书P85] 创新情境 拓视野 “填补法”求解万有引力 运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律 的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要 引力大小为F=GMm=G 体现了等效思想。 (2R+2R) 典例剖析 506R ,则剩余部分对质点的万有引力大小为F [例们有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在 =F-F,解得E=G 41Mm ,故进C。 450R 距离球心O为3R的地方有 2R- 答案 C 一质量为m的质点。先从M 中挖去一半径为的球体， 培优训练 如图所示，已知引力常量为G,则剩余部分对质点 1.如图所示，两个质量均为M的球分别位于半圆环 的万有引力大小为 A.G B.G M 和子圆环的圆心，半圆环和号 9R 4R 圆环分别是由相同的圆环截 C.G IMm 450R D.G 7Mm 36R 去一半和所得，环的粗细忽 解析半径为R且密度均匀的完整球体对距离球 略不计，若图甲中环对球的万有引力为F,则图乙 心O为3R且质量为m的质点的万有引力大小为 中环对球的万有引力大小为 (3R,挖去部分的质量为M F-G Mm =G Mm, A.F c 4×专（受）gM,挖去部分对质点的万有● 4 解析题因甲中半圈环对球的引力为下，得到}国 环对球的引力大小为号F,将乙环分底三个国 151型 回高考一轮总复习·物理 环，关于圆心对称的两个图环对球的万有引力的 解析由题意知，所挖出小球的半径为费，质量为 合力为零，故题图乙中圆环对球的万有引力大小等 公，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力为 于号F,故专B, MX M 8 G 答案B 小为F=G 18R,将所挖出的其中 2.如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直 (R+) 径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个 个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外 放在球外与大球靠在一起。若 MM 挖去的小球的球心、球外小球 小球的万有引力为E=G88-GM (2R)7256R,填入右 球心、大球球心在一条直线上， 侧原位置小球对球外小球的万有引力为F= 则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约 M×M 为（已知引力常量为G) G 88 GM R R,大球中剩余部分对球外小球的万 A.0.01G R B.0.02G 有引力大小为F=F-F-F,≈0.04G R,选项 C.0.05G D正确。 D.0.04 GM R 答案D 课时检测训练16 万有引力定律及其应用 对应学生用书P356 三基础对点练 道运行时 对点练1开普勒三定律的理解和应用 A.周期约为144h 1,为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星 B.近月点的速度大于远月点的速度 C近月点的速度小于在冻结轨道运行时近月点的 P,其轨道半径约为地球半径的16倍：另一地球卫 速度 星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的 D.近月点的加速度大于在冻结轨道运行时近月点 周期之比约为 ( 的加速度 A.2t1 B.4;1 解析设鹊桥二号在捕获轨道，冻结轨道半长轴 C.8:1 D.16:1 分别为r,2,鹊桥二号在捕获轨道，冻结轨道运 解析 由开香彩常三定作得子=， T 行的周期分别为T:、T2:根据开普勒第三定律有 示一京·代入载据解得T≈28h.A错说，跨 )-√ 8,C正确。 桥二号在捕获轨道运行时，根据开普勒第二定律 答案C 可知，鹊桥二号与月球的连线在相等的时何内扫 2.(2024·安徽卷) 过的面积相等，因此鹊桥二号在近月点附近，相等 捕块轨道 2024年3月20日， 近力点 的时间内通过的弧长更长，运行的速度大，在远月 我国探月工程四期 冻结轨道 点附近，相等的时间内通过的弧长更短，运行的速 远月点 “鹊桥二号”中继星 度小，因此鹊桥二号在近月点的速度大于远月点 成功发射升空。当抵达距离月球表面某高度时， 的速度，B正确：根据卫星变轨原理可知，鹊桥二 “鹘桥二号”开始进行近月制动，并顺利进入捕获轨道 号在捕获轨道近月点需要减速才能进入冻结轨道 运行，如图所示，轨道的半长轴约为51900km。后经 运行，所以鹊桥二号在捕获轨道运行时近月点的 多次轨道调整，进入冻结轨道运行，轨道的半长轴约 速度大于在冻结轨道运行时近月点的速度，C错 为9900km,周期约为24h。则鹊桥二号”在捕获轨 误：在近月点，根据万有引力定律和牛頓第二定 ®152