浙江省杭州学军中学（西溪校区）2024-2025学年高二下学期5月阶段测试数学试题

杭州学军中学高二下学期5月份数学测试卷 班级_________姓名_____________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（  ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则（  ） A． B．2 C． D．10 3．已知在平面直角坐标系中，向量，，，则与的夹角为（  ） A． B． C． D． 0.05 0.01 3.841 6.635 4．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ） 附：，附表： A．7 B．8 C．9 D．10 5．已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数图象的对称轴方程为，．则（  ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为2的正方体中，，，，，则下列说法错误的是（  ） A．当时，平面 B．当时，四面体的体积为定值 C．当时，，使得平面 D．三棱锥体积的取值范围为 8．已知实数，设函数，若恒成立，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．若随机变量且，则下列选项正确的是（  ） A． B．的最小值为50 C． D．若，则 10．已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（  ） A．点在动点的轨迹上 B．周长的最小值为 C．当最小时，点的横坐标为4 D．面积的最大值为 11．若图的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为，可划分为两个子集和，，，且图中每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图称为偶图.下列四个图为偶图的是（  ） A． B．   C．   D．   三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12．已知实数，在的二项展开式中，项的系数是135，则的值为 . 13．现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为 ． 14．数列满足，，，若不等式恒成立，则正整数的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 在中，角所对的边分别为，，角的平分线交于点，且． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）若，求的面积． 16．（本题满分15分） 已知函数． （Ⅰ）当时，求的单调性； （Ⅱ）若函数在处取得极小值，求实数的取值范围． 17．（本题满分15分） 如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，为中点.底面为等腰三角形，为的中点. （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）记二面角的大小为.当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 18．（本题满分17分） 已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）. ①证明：； ②当的面积最小时，求直线和直线的方程. 19．（本题满分17分） 某地举行猜灯谜比赛，以个人形式参赛，每轮猜一个灯谜，猜中得10分，猜错得分，参赛者初始积分为0分.若某轮比赛后总积分为0分或低于0分，则被淘汰，不能继续参加后面轮次的猜灯谜活动.已知参赛者甲每个灯谜猜中的概率都是，记其参加了轮比赛后的总积分为. （Ⅰ）求的概率； （Ⅱ）求的概率； （Ⅲ）求甲在参加了轮比赛后被淘汰的概率. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 BABC ACCD BC BCD ABD 12． 13． 14．24 【详解】由得， 两边平方得， 则是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 由得，. 因为，所以，则， 可得， 则正整数的最大值为24. 故答案为：24. 15．【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得． 因为，所以， 所以，故， 又因为，所以． （2）由题意可知， 即，化简可得． 在中，由余弦定理得， 从而，解得或（舍）． 则． 16．【详解】（1）当时，， 则， 令，解得或． 令，解得，所以在上单调递减； 令，解得或，即在，上单调递增． 综上，函数在，上单调递增，在上单调递减． （2）由求导得， ① 当时，恒成立， 令，解得，即在上单调递减； 令，解得，即在上单调递增， 故时，函数在处取得极小值，符合题意； ②当时，令，解得，，且， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，符合题意． ③ 当时，令，解得，此时恒成立且不恒为0， 单调递增，故函数无极值，不符合题意． ④ 当时，令，解得，，且， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，不符合题意． 综上，实数的取值范围是． 17．【详解】（1）因为为等腰三角形，为的中点，所以， 又因为侧面为等腰梯形，为的中点，所以， 又平面， 因此平面， 平面，所以平面平面 （2）在平面内，作， 由（1）中平面平面， 且平面平面，平面，可得平面； 以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 又因为，， 所以即为二面角的平面角，所以， 在中，，易知， 又，可得； 所以，； 即， 设平面的一个法向量为， 所以， 可令，则，即； 当时， ， 设，则在恒成立， 所以在上单调递增，， 即，易知，所以； 易知当时，， 所以当时，直线与平面所成角的正弦的最大值为. 18．【详解】（1）解：由于双曲线的右焦点为，所以. 双曲线的渐近线方程为，即为， 由于点到的一条渐近线的距离为，则. 解得所以的方程为. （2）（ⅰ）证明：显然圆的切线的斜率存在， 设切线的方程为， 由于切线不平行的渐近线，则. 由圆心到切线的距离，得. 由消去得， 由题意知.设， 则， 而 . 则， 则. 所以，即. （ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为，则， . 由（ⅰ）得， 又， 则. 当时，. 此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为. 解法2：由（ⅰ）同理可得， 所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为， 则. 在中，， 在中，， 则， 当时，，即的面积的最小值为3. 此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为. 解法3：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为， 则. 在中，， 在中，， 由于，则， 根据基本不等式得， 得，则，即的面积的最小值为3. 当且仅当等号成立， 根双曲线的对称性知，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为.    19．【详解】（1）用1表示某轮猜中，用表示某轮猜错. 由，则前5轮猜灯谜的情况可以用数列表示为： 1，1，1，1，或1，1，1，，1或1，1，，1，1， 故的概率. （2）由，则前7轮猜谜语的情况可以用数列表示为： 1，1，1，1，，，或1，1，1，，1，，或1，1，，1，1，，或1，1，，1，，1，或1，1，1，，，1，， 故的概率. （3）甲在参加了轮比赛后被淘汰，其比赛情况用1，表示得到的数列，第一项是1，最后一项是，中间项是由个1，个组成的数列，观察中间项组成的新数列，记其前项和为，则对恒成立. 由个1，个组成的数列，共有个. 现在考虑，由个1，个组成，且存在使得的数列的个数. 不妨设满足的的最小值为，则一定有，且为奇数，这个数列的前项有个1和个，将此数列的前项中的1改成，改成1，其他项不变，这样就得到了由个1，个组成的数列； 反过来，由个1，个组成的数列，因为其前项和为2，所以一定存在，使得其前项和大于0，找到这样的的最小值，则前项和为1，且为奇数，前项中有个和个1，将其前项中的改成1，1改成，其他项不变，则得到的数列是由个1，个组成的数列，且. 因此，由个1，个组成，且存在使得的数列的个数，等于由个1，个组成的数列的个数，为. 所以中间项符合条件的数列个数是. 因此，甲在参加了轮比赛后被淘汰的概率. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$