精品解析：云南省文山市第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

高二年级数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点分布的期望即可求解. 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ． 故选:D． 2. 生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则（ ） 温度（） 病毒数量（万个） A. B. C. D. m的值暂时无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据回归直线过样本中心点可得解. 【详解】由已知，， 即样本中心为， 又回归方程为， 即， 解得， 故选：B. 3. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得，进而求解. 【详解】，，所以， 所以. 故选：D 4. 如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 125种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理依次涂色即可. 【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种． 故选：A. 5. 无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙S2000系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 变小 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布性质可知a、b不变，可得结论. 【详解】由正态分布性质可知a、b不变，所以不变. 故选：C． 6. 关于二项式，若展开式中含的项的系数为21，则（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算展开式中项系数和项系数，进而可求解. 【详解】展开式中项系数为：，项系数为：, 所以展开式中含的项的系数， 解得， 故选：D 7. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对函数求导，将代入导函数求得斜率，根据两直线垂直斜率的关系求解即可. 【详解】因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因为切线与直线垂直，所以， 所以. 故选：. 8. 现有位老师，位女同学，位男同学，派这些人去参加两项活动.要求老师参加活动时至少带上一位男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一人参加，若不同的参与活动的方法有种，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分老师带一位女同学和两位同学两种情况分别求满足要求的方法，由条件列方程求. 【详解】若老师参加活动时只带一名女生则符合要求的安排方法数为， 若老师参加活动时带两名女生则符合要求的安排方法数为， 所以符合要求的参与活动的方法， 由已知， 所以， 所以. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令即可判断A；令即可判断B；根据二项式展开式的通项公式计算即可判断C；令即可判断D. 【详解】A项：令，则，故A正确； B项：令，则①， 所以，故B错误； C项：，所以， ，所以，所以，故C正确； D项：令，则②， ①+②可得：，故D正确． 故选：ACD 10. 已知随机变量、分别服从正态分布和二项分布，即，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性可判断A选项；利用正态分布的特点求出、的值，利用二项分布可求得、的值，可判断BC选项；利用独立重复试验的概率公式可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，，，则，C对； 对于D选项，，D错. 故选：ABC. 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个极值点，则 B. 当时，函数在上有最小值 C. 当时，函数有一个零点 D. 当时，函数在上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数极值点与导数的关系可判断A选项；当时，利用导数分析函数在上的单调性，利用函数的最值与导数的关系可判断B选项；当时，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断C选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断D选项. 【详解】对于A，函数有两个极值点，即方程有两个不等的实根， 此时，，则，故A错误； 对于B，当时，设的两个不等的实根分别为、，且， 由韦达定理可得，必有， 当时，，此时函数在上单调递减， 当时，，此时函数在上单调递增， 故函数在上有最小值，故B正确； 对于C，当时，，， 令，可得或， 当时，，此时函数在区间上单调递增， 当时，，此时函数在区间上单调递减， 当时，，此时函数在区间上单调递增. 所以，函数的极大值为，极小值为，作出函数的图象如图所示， 由图可知，函数有两个零点，故C错误； 对于D，当且时，，故函数在上单调递增，故D正确， 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量的概率分布为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由概率之和为计算即可得. 【详解】由概率之和为可得， 即，解得. 故答案为：. 13. 某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有90%的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则的值是________． 对工作满意 对工作不满意 男 女 附：，其中． 【答案】或 【解析】 【分析】由列不等式，由此求得的取值范围，进而确定正确答案. 【详解】补全列联表如下： 对工作满意 对工作不满意 合计 男 女 合计 依题意，， 解得，而，所以的值为或. 故答案为：或 14. 为激励高三学子的学习热情，数学老师开发了一款小游戏程序，同学们表现优秀时可参与一次.游戏规则如下： 第一步，在图①所示的棋盘内，学生点击摇奖，程序会随机放上7枚黑棋； 第二步，学生自行选择空格放上枚白棋； 最终，每当有枚棋子在同一行、列或对角线上时，称为连成一条线.若未连成线，则获 安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏.小明点击摇奖后，出现了图③的情况，若他随机地放 上白棋，则他获二等奖的方法数有______种；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，枚黑棋中恰有枚在第一列”的条件下，她获一等奖的方法有______种. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于第空，根据条件，结合图形，即可求解；对于第间，根据条件，结合图形，分类讨论，再排除重复情况，即可求解. 【详解】对于小明，在图③的情况下，再放枚白棋形成二条线的不同情况有种， 对于小红，枚棋子形成三条线的形状（下称为“三线”）必然由一行、一列和一对角线构成， 由于第一列已经确定，所以当第一或四行连上时，对角线还有种情况； 当第二行或三行连上时，对角线还有种情况，因此“三线”共有种, 由于小红总能保证奖励最大化，所以只需随机出来的形状恰好是“三线”去掉枚棋子（下称为“准三线”）即可. 因此，从第一列之外的枚棋子中去掉枚形成的“准三线”共种, 但是，有一些“准三线”可以由多个“三线”得到. 其一，第一列和某一对角线形成的“准三线”，可以由个不同的“三线”得到（如下图）， 重复计算的“准三线”，可以以由个不同的“三线”得到（如下图），重复计算的“准三线”有次； 其二，第一列和第二行或三行形成的“准三线”，可以由个不同的“三线”得到（如下图）， 重复计算的“准三线”有次.因此，“准三线”实际上只有种, 故答案为：，. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某市统计了2024年4月每一天的空气质量指数，将其分为、、、的组，画出频率分布直方图如图所示.若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. （1）从月的天中任取天，求至少有天空气质量达标的概率； （2）若年月的天中有天空气质量达标，请完成下面列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联? 月份 空气质量 合计 达标 不达标 月 月 合计 附：，其中. 【答案】（1） （2） 月份 空气质量 合计 达标 不达标 月 月 合计 ，不能认为空气质量是否达标与月份有关联 【解析】 【分析】（1）求出月份的空气质量达标、不达标的天数，利用组合计数原理、古典概型的概率公式、对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）完善列联表，提出零假设空气质量是否达标与月份无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 根据题意可得，解得， 所以月份的空气质量达标的天数为， 所以月份的空气质量不达标的天数为， 所以从月的天中任取天，至少有天空气质量达标的概率为. 【小问2详解】 列联表如下： 月份 空气质量 合计 达标 不达标 月 月 合计 零假设空气质量是否达标与月份无关，则， 所以根据小概率值，没有充分理由推断不成立， 所以不能认为空气质量是否达标与月份有关联. 16. 某AI公司为了解用户对于公司手机APP软件使用的满意情况，在五个不同地区随机抽取用户进行调研，调查结果如表： 地区 I区 II区 III区 IV区 V区 调研用户（人数） 250 100 200 500 350 满意率 0.5 0.3 0.7 0.6 0.5 （某区满意率是指：该区调研用户中满意人数与该区调研用户总人数的比值） 假设用户是否满意相互独立． （1）从所有的调研用户中随机抽取1人，求这个用户满意的概率； （2）用上表数据中每地区使用软件的满意率估计该地区某用户使用软件满意的概率．从I区所有使用该软件的用户和II区所有使用该软件的用户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望； 【答案】（1） （2） 0 1 2 0.35 0.5 0.15 ． 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式求解； （2）的可能取值为，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【小问1详解】 由题意知，样本中五个地区的回访用户的总数是： ， 满意的用户人数， 故所求概率为． 【小问2详解】 根据题意，． 设事件为“从I区所有使用该软件的用户中随机抽取的人满意”， 事件为“从II区所有使用该软件的用户中随机抽取的人满意”，且、为独立事件． 根据题意，估计为0.5，估计为0.3. 则； ； ． 的分布列为 0 1 2 0.35 0.5 0.15 的期望． 17. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，由切点和导数的几何意义得到切线斜率，结合点斜式方程得出结果； （2）问题转化成的恒成立问题，可分离参数处理. 【小问1详解】 当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为，又， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ，由题意得，恒成立． 令，则，且在单调递增， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又，当且仅当，故． 18. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示． 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 （1）当甲出场比赛时，求球队输球的概率； （2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率； （3）如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能的出场位置. 【答案】（1）0.32 （2） （3）边锋，理由如下： 同（2） 由于，所以甲球员最可能的出场位置是任边锋. 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式分别计算出甲球员在担任边锋、前卫、中场时赢球的概率，最后相加得到甲球员参加比赛时，球队赢球的概率，再用1去减即可． （2）根据条件概率的计算公式即可求解， （3）由三个位置上的出场几率，即可做出判断. 【小问1详解】 设表示“甲球员担当边锋”； 表示“甲球员担当前卫”； 表示“甲球员担当中场”； 表示“球队赢了某场比赛”， 则 ， 该球队某场比赛输球的概率为， 【小问2详解】 由（1）知： , 所以 ， 所以球员甲担当前卫的概率为 【小问3详解】 甲球员最可能的出场位置是任边锋，理由略. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若仅有一个极值点，求的取值范围； （3）若在上存在唯一零点，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，判断导数的正负，得解； （2）求导，问题转化为在上仅有一个变号零点，得，运算得解； （3）由（2），分和讨论函数的单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 因为， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 的定义域为， 设（对称轴为）， 因为仅有一个极值点， 所以在上仅有一个变号零点， 有， 解得，即的取值范围为. 【小问3详解】 由（2），知当即时，， 在上单调递增，又， 所以在上无零点，不符合题意； 当，即时， 在上单调递增， 若，即时， 当时，，即在上单调递增，又，不符合题意； 若，即时， 当时，，即在上单调递减，又，也不符合题意； 若，即时， 存在，使得， 当时，时，， 故在上单调递减，在上单调递增，， 当，即，即时， 存在唯一的，使得， 故函数在上存在唯一零点时， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 2. 生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则（ ） 温度（） 病毒数量（万个） A. B. C. D. m的值暂时无法确定 3. 已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ） A. 60种 B. 80种 C. 100种 D. 125种 5. 无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙S2000系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 变小 6. 关于二项式，若展开式中含的项的系数为21，则（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. -1 7. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值是（ ） A. B. C. 2 D. 8. 现有位老师，位女同学，位男同学，派这些人去参加两项活动.要求老师参加活动时至少带上一位男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一人参加，若不同的参与活动的方法有种，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知二项展开式，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机变量、分别服从正态分布和二项分布，即，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，下列说法正确的是（ ） A. 函数有两个极值点，则 B. 当时，函数在上有最小值 C. 当时，函数有一个零点 D. 当时，函数在上单调递增 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量的概率分布为，则_________. 13. 某单位为了调查性别与对工作的满意程度是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如下表所示，其中，且，若有90%的把握可以认为性别与对工作的满意程度具有相关性，则的值是________． 对工作满意 对工作不满意 男 女 附：，其中． 14. 为激励高三学子的学习热情，数学老师开发了一款小游戏程序，同学们表现优秀时可参与一次.游戏规则如下： 第一步，在图①所示的棋盘内，学生点击摇奖，程序会随机放上7枚黑棋； 第二步，学生自行选择空格放上枚白棋； 最终，每当有枚棋子在同一行、列或对角线上时，称为连成一条线.若未连成线，则获 安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏.小明点击摇奖后，出现了图③的情况，若他随机地放 上白棋，则他获二等奖的方法数有______种；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，枚黑棋中恰有枚在第一列”的条件下，她获一等奖的方法有______种. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某市统计了2024年4月每一天的空气质量指数，将其分为、、、的组，画出频率分布直方图如图所示.若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. （1）从月的天中任取天，求至少有天空气质量达标的概率； （2）若年月的天中有天空气质量达标，请完成下面列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联? 月份 空气质量 合计 达标 不达标 月 月 合计 附：，其中. 16. 某AI公司为了解用户对于公司手机APP软件使用的满意情况，在五个不同地区随机抽取用户进行调研，调查结果如表： 地区 I区 II区 III区 IV区 V区 调研用户（人数） 250 100 200 500 350 满意率 0.5 0.3 0.7 0.6 0.5 （某区满意率是指：该区调研用户中满意人数与该区调研用户总人数的比值） 假设用户是否满意相互独立． （1）从所有的调研用户中随机抽取1人，求这个用户满意的概率； （2）用上表数据中每地区使用软件的满意率估计该地区某用户使用软件满意的概率．从I区所有使用该软件的用户和II区所有使用该软件的用户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望； 17. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围. 18. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析．球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示． 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.5 0.3 0.2 球队胜率 0.6 0.8 0.7 （1）当甲出场比赛时，求球队输球的概率； （2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率； （3）如果某场比赛该运动队获胜，求在该场比赛中甲最可能的出场位置. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若仅有一个极值点，求的取值范围； （3）若在上存在唯一零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $