专题2.6 绝对值与相反数（6大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.6 绝对值与相反数（6大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1.理解概念：掌握相反数代数、几何定义与性质； 2.基本运算：能化简多重符号，区分其与倒数； 3.基本技能培养：借助数轴直观理解，培养数感与运算能力； 4.拓展延伸：初步运用数形结合、方程思想、分类讨论解决数轴上的动点问题。 二、【知识梳理】 【知识点1】绝对值定义： 一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点2】绝对值几何意义和代数意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即= 【知识点3】绝对值性质 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有; （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 【知识点4】相反数定义与性质： 1.代数意义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数； 2.几何意义：两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，这两点关于原点对称; 3.相反数的数学表达：若两个有理数a和b互为相反数，则一定有a+b=0; 反之，若两个有理数相加等于零，即a+b=0，则a和b互为相反数; 相反数等于本身的数只有 0. 【知识点5】多重符号的化简： 多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个，化简结果为正；若有奇数个，化简结果为负。可总结为：“+” 的个数不影响化简结果，可以直接省略，一个正数前面有偶数个 “-”，结果为正，有奇数个 “-”，结果为负。 【知识点6】相反数的特殊情况： 倒数等于本身的数有 1 和 - 1，而相反数等于本身的数只有 0，要注意区分这两个概念。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】绝对值的几何意义...........................................................2 【题型二】求一个数的绝对值...........................................................2 【题型三】绝对值的非负性.............................................................2 【题型四】绝对值的大小比较...........................................................3 【题型五】相反数的定义...............................................................3 【题型六】化简多重符号...............................................................3 【题型七】绝对值的应用...............................................................4 【拓展延伸】 【题型八】相反数与方程思想...........................................................4 【题型九】数轴两点之间距离（分类讨论）...............................................5 【题型十】数轴上的动点问题（分类讨论、方程思想）.......................................5 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“”难度系数0.85，“”难度系数0.65，“”难度系数0.4. 【夯实基础】 【题型一】绝对值的几何意义 【例题1】（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 【变式1】（2025·河南周口·二模）下列数轴上四个点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在数轴上表示数a、b、c的结果如图所示，把、、按照由小到大的顺序排列，并用“<”连接 ． 【题型二】求一个数的绝对值 【例题2】（24-25七年级上·重庆永川·期末）已知，，且，则的值为 ． 【变式1】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）的值是（   ） A．2025 B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）若，且，则 ；若，则 ． 【题型三】绝对值的非负性 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则（　　） A．或 B．或 C． D． 【变式1】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 【变式2】（24-25七年级上·河南·阶段练习）若x为有理数，则式子的最小值为 ． 【题型四】绝对值的大小比较 【例题4】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列各式比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·广东广州·期中）比较大小： （用“”或“”表示）． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）比较下列每组数的大小： （1）与； （2）与． 【题型五】相反数的定义 【例题5】（2025·山东滨州·二模）如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·云南昭通·期中）的相反数是 ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）分别写出和的相反数； （2）a的相反数是2.4，写出a的值． 【题型六】化简多重符号 【例题6】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）（1）画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来 （2）把以上各数用“”连接起来． 【变式1】（24-25七年级上·福建漳州·期中）下列各组两个数互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．3和 D．和 【变式2】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）已知点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，，，若点 C 所表示的数为 m，则点 A 所表示的数为 ．（用含 m 式子表示） 【题型七】绝对值、相反数的应用 【例题7】（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 （1）这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； （2）若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【变式1】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g （1）最接近标准质量的是几号篮球； （2）如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为a和b，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【变式2】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）点A，B，C，D，E在数轴上的位置如图所示，解答下列问题： （1）写出点A， B， C， D， E分别表示什么数？ （2）写出其中哪些数是互为相反数？ 并说明它们到原点的距离有什么关系？ 【拓展延伸】 【题型八】相反数与方程思想 【例题8】（2024七年级上·全国·专题练习）求a为何值时，式子与的值满足下列条件： （1）相等； （2）互为相反数． 【变式1】（23-24六年级上·山东泰安·期末）已知与互为相反数，则的值是 ． 【变式2】（21-22七年级下·海南·期中）若关于x的方程与关于x的方程的解互为相反数，则m的值为（） A．0 B．4 C．5 D．6 【题型九】数轴两点之间距离（分类讨论） 【例题9】（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为时，点P，Q之间的距离（P，Q两点之间的距离用表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． （1） 个单位长度； （2）式子表示的意义为 ． 【变式1】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）我们知道，一个数的绝对值可理解为数轴上表示这个数的点到原点的距离，故可以写成．推广到一般情况，若两个数分别对应数轴上两个点，则即表示两点之间的距离若有理数满足，则的值为 ． 【变式2】（23-24七年级上·广东汕头·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为（　  　），的最大值为（　  　） A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 【题型十】数轴上的动点问题（分类讨论、方程思想） 【例题10】（2024七年级上·全国·专题练习）在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则、两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点，，表示的数为，，． （1）直接写出结果， ， ． （2）设点P在数轴上对应的数为． ①若点P为线段的中点，则 ． ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ． （3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在、之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在、之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（22-23七年级下·广东广州·开学考试）在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，动点、分别从、同时出发，以每秒个单位、每秒个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为数，，，，且，满足，点在点的右侧且到点的距离为8个单位长度，点表示的数是12；动点从点出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点从点出发，以2个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒． （1）则_____________；_____________； （2）从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________；（用含的式子表示） （3）从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________．（用含的式子表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 绝对值与相反数（6大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1.理解概念：掌握相反数代数、几何定义与性质； 2.基本运算：能化简多重符号，区分其与倒数； 3.基本技能培养：借助数轴直观理解，培养数感与运算能力； 4.拓展延伸：初步运用数形结合、方程思想、分类讨论解决数轴上的动点问题。 二、【知识梳理】 【知识点1】绝对值定义： 一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点2】绝对值几何意义和代数意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即= 【知识点3】绝对值性质 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有; （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 【知识点4】相反数定义与性质： 1.代数意义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数； 2.几何意义：两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，这两点关于原点对称; 3.相反数的数学表达：若两个有理数a和b互为相反数，则一定有a+b=0; 反之，若两个有理数相加等于零，即a+b=0，则a和b互为相反数; 相反数等于本身的数只有 0. 【知识点5】多重符号的化简： 多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个，化简结果为正；若有奇数个，化简结果为负。可总结为：“+” 的个数不影响化简结果，可以直接省略，一个正数前面有偶数个 “-”，结果为正，有奇数个 “-”，结果为负。 【知识点6】相反数的特殊情况： 倒数等于本身的数有 1 和 - 1，而相反数等于本身的数只有 0，要注意区分这两个概念。 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】绝对值的几何意义...........................................................2 【题型二】求一个数的绝对值...........................................................3 【题型三】绝对值的非负性.............................................................4 【题型四】绝对值的大小比较...........................................................5 【题型五】相反数的定义...............................................................6 【题型六】化简多重符号...............................................................7 【题型七】绝对值的应用...............................................................8 【拓展延伸】 【题型八】相反数与方程思想..........................................................10 【题型九】数轴两点之间距离（分类讨论）..............................................12 【题型十】数轴上的动点问题（分类讨论、方程思想）......................................14 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 ★【题型一】绝对值的几何意义 【例题1】（24-25七年级上·广东广州·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据绝对值的意义即可求解． 解：∵， ∴， 故答案为：． ★【变式1】（2025·河南周口·二模）下列数轴上四个点表示的数中，绝对值最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题，熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数． 根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论． 解：由图可知：点到原点的距离最短， 所以在这四个数中，绝对值最小的数是． 故选：C． ★【变式2】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）在数轴上表示数a、b、c的结果如图所示，把、、按照由小到大的顺序排列，并用“<”连接 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，根据数轴上点的位置，绝对值的意义解题即可． 解：∵，且靠近，且远离， ∴， 故答案为：． 【题型二】求一个数的绝对值 ★【例题2】（24-25七年级上·重庆永川·期末）已知，，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了化简绝对值求代数式的值．熟练掌握绝对值，求代数式的值，是解题的关键． 根据，， ，得，分与两种情况代入计算即可． 解：，，，，，， 当时，，当时，， 故答案为：或． ★【变式1】（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）的值是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据负数的绝对值等于它的相反数求解即可得． 解：∵， ∴， 故选：B． ★【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）若，且，则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； 根据绝对值的意义进行化简计算即可求解； 解：， 或， ， ； ， ， ； 故答案为：； 【题型三】绝对值的非负性 ★【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，则（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，求代数式的值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键； 根据绝对值的意义，求得和的值，代入求解即可； 解：， ，， 解得：，， ； 故选：C ★【变式1】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）若与b互为相反数，则a b（用“”“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的非负性，得到，即可得出结果． 解：∵与b互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． ★【变式2】（24-25七年级上·河南·阶段练习）若x为有理数，则式子的最小值为 ． 【答案】2024 【分析】此题主要考查了非负数的性质．直接利用绝对值的性质得出的最小值为0．进而得出答案． 解：∵， ∴时，取最小值，最小值为2024． 故答案为：2024． 【题型四】绝对值的大小比较 ★【例题4】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列各式比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比较大小，熟练掌握有理数比较大小法则是解题关键； 根据有理数比较大小法则，逐项判断即可． 解：A. ∵，，∴，原比较错误，故此选项不符合题意； B. ，原比较错误，故此选项不符合题意； C. ∵，，∴，原比较错误，故此选项不符合题意； D.∵，，∴ ，原比较正确，故此选项符合题意； 故选：D． ★【变式1】（24-25七年级上·广东广州·期中）比较大小： （用“”或“”表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查负数大小的比较，掌握相关知识是解题的关键． 根据两负数比较大小，绝对值大的反而小解答即可； 解：，， ， 故答案为：． ★【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）比较下列每组数的大小： （1）与； （2）与． 【答案】（1）；（2）． 【分析】此题主要考查了有理数大小比较，绝对值和相反数的意义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）首先根据相反数和绝对值的意义化简各数，然后根据正数大于负数比较即可； （2）首先根据绝对值的意义化简，然后根据两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 解：（1）解：，， ∵， ∴； （2）解：， ∵ ，， ∴， ∴． 【题型五】相反数的定义 ★【例题5】（2025·山东滨州·二模）如图，数轴上点表示的数的相反数为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点表示的数，求一个数的相反数；根据数轴知点P表示的数为2，即可求得其相反数． 解：由数轴知，数轴上点表示的数为2，则其相反数为； 故选：C． ★【变式1】（23-24七年级上·云南昭通·期中）的相反数是 ． 【答案】 【分析】根据相反数：“只有符号不同的两个数”，以及去括号法则，进行求解即可． 解：的相反数是； 故答案为：． ★【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）分别写出和的相反数； （2）a的相反数是2.4，写出a的值． 【答案】（1）7，；（2） 【分析】本题考查了相反数，解题关键是明确只有符号不同的两个数互为相反数． （1）根据相反数的意义求解即可； （2）根据相反数的意义求解即可． 解：（1）的相反数是7，的相反数是； （2）因为2.4与互为相反数， 所以a的值是． 【题型六】化简多重符号 ★【例题6】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）（1）画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来 （2）把以上各数用“”连接起来． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较，熟练掌握数轴的性质是解题的关键． （1）先化简各数，然后根据正负数的定义在数轴上表示出来即可； （2）根据数轴上左边的数总比右边的数小即可得出结果． 解：（1），， 如下图所示： （2） ★【变式1】（24-25七年级上·福建漳州·期中）下列各组两个数互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．3和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查相反数概念，化简多重符号，化简绝对值，解题的关键在于熟练掌握相关概念．先化简多重符号与绝对值，再结合相反数概念判断各项，即可解题． 解：A、和，不互为相反数，不符合题意； B、和，互为相反数，符合题意； C、3和互为倒数，不符合题意； D、和，不互为相反数，不符合题意； 故选：B． ★【变式2】（24-25七年级上·安徽宣城·期中）已知点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，，，若点 C 所表示的数为 m，则点 A 所表示的数为 ．（用含 m 式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和数轴可以用含m的式子表示出点B表示的数，本题得以解决． 解：解∶∵O为原点，，，点C所表示的数为m， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数为：． 故答案为：． 【题型七】绝对值、相反数的应用 ★【例题7】（24-25七年级上·吉林·单元测试）在一次体检过程中，七（3）班班长记录了该班6名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 0 （1）这6名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； （2）若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则6名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】（1）小杰的视力最差，理由见分析；（2）6名学生中有2人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，绝对值，有理数大小的比较，理解正负数的意义是解答关键． （1）根据负数数值越小表示视力越差，结合表格中数值求解； （2）求出6名学生数据的绝对值，分别比较大小，即可求解． 解：（1）解：小杰的视力最差． ∵， ∴最小，与标准差的最多， ∴小杰的视力最差． （2）解：∵，，，，， 所以6名学生中有2人需要配戴眼镜． ★【变式1】（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g （1）最接近标准质量的是几号篮球； （2）如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为a和b，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】（1）3号；（2）见分析． 【分析】本题考查了绝对值的应用；理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 解：（1）解：由题意得 因为， 所以3号篮球最接近标准质量； （2）解：由题意得 如果，那么结果为b的质量好一些， 如果，那么结果为a的质量好一些， 如果，那么两个篮球的质量一样好． ★【变式2】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）点A，B，C，D，E在数轴上的位置如图所示，解答下列问题： （1）写出点A， B， C， D， E分别表示什么数？ （2）写出其中哪些数是互为相反数？ 并说明它们到原点的距离有什么关系？ 【答案】（1）点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为；（2）点表示的数和点表示的数，互为相反数，它们到原点距离相等． 【分析】本题主要考查了数轴表示数，相反数等知识点， （1）根据数轴的位置解答即可； （2）找到在原点两侧且到原点的距离相等的点表示的数即可解答； 熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． 解：（1）解：由数轴知：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为； （2）解：由（1）知，点表示的数和点表示的数，互为相反数， 由数轴知，它们到原点距离相等． 【拓展延伸】 【题型八】相反数与方程思想 ★【例题8】（2024七年级上·全国·专题练习）求a为何值时，式子与的值满足下列条件： （1）相等； （2）互为相反数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相反数，解一元一次方程，通过相等以及互为相反数的条件列出代数式是解题的关键． （1）根据两个式子的值相等，即可得到，解方程即可； （2）式子与的值互为相反数，则和是0，据此即可列方程求解． 解：（1）解：由题意，得， 移项、合并同类项，得， 所以当时，式子与的值相等． （2）解：由题意，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边同时除以3，得， 所以当时，式子与的值互为相反数． ★【变式1】（23-24六年级上·山东泰安·期末）已知与互为相反数，则的值是 ． 【答案】9 【分析】此题主要考查解一元一次方程，相反数的性质． 首先根据题意，可得：；然后根据解一元一次方程的方法，求出m的值即可． 解：∵与互为相反数， ∴ ． 故答案为：9． ★★【变式2】（21-22七年级下·海南·期中）若关于x的方程与关于x的方程的解互为相反数，则m的值为（） A．0 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分别求出两个方程的解，根据解互为相反数，则可求得m的值． 解：解方程， ∴ 解得： 解方程，得 由题意得： ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【点拨】本题考查了解一元一次方程、相反数的应用等知识，根据相反数列出方程是解题的关键． 【题型九】数轴两点之间距离（分类讨论） ★★【例题9】（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为时，点P，Q之间的距离（P，Q两点之间的距离用表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． （1） 个单位长度； （2）式子表示的意义为 ． 【答案】（1）15；（2）点M到A，B两点的距离之和 【分析】此题考查了数轴的有关知识、绝对值的化简和数轴上两点间距离． （1）代入两点间的距离公式即可求得的长； （2）根据表示的意义进行解答即可． 解：（1）解：∵点A，B表示的数分别是，10， ∴； 故答案为：15； （2）解：式子表示的意义为：点到A，B两点的距离之和； 故答案为：点到A，B两点的距离之和． ★★【变式1】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）我们知道，一个数的绝对值可理解为数轴上表示这个数的点到原点的距离，故可以写成．推广到一般情况，若两个数分别对应数轴上两个点，则即表示两点之间的距离若有理数满足，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴及数轴上两点间的距离的知识，根据表示的是与所对应的点的距离，表示的是与所对应的点的距离，再进行分情况即可解答，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 解：当点在与之间时， 此时恒成立，无解； 当点在左侧时， ，解得：； 当点在右侧时， ，解得：； 故答案为：或． ★★【变式2】（23-24七年级上·广东汕头·期中）绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为（　  　），的最大值为（　  　） A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和，当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，即可解答； （2）表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差，当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，即可解答． 解：∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和， ∴当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，最小值为． ∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差， ∴当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，最大值为． 故选：C 【题型十】数轴上的动点问题（分类讨论、方程思想） ★★【例题10】（2024七年级上·全国·专题练习）在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则、两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点，，表示的数为，，． （1）直接写出结果， ， ． （2）设点P在数轴上对应的数为． ①若点P为线段的中点，则 ． ②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ． （3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在、之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在、之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）①1，②；（3）1，，7或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案； （2）①根据线段中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案； ②若点为线段上的一个动点，则，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案； （3）先求出点表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案． （1）解：，， 故答案为：，． （2）①∵点P为线段的中点， ∴， ∴，解得． 故答案为：． ②∵点P为线段上的一个动点， ∴， 故答案为：． （3）点M表示的数为，； 当时，点N表示的数为； 当时，点N表示的数为，． 当时，，解得或； 当时，，解得或． ∴存在t值，使得，，，7或． ★★【变式1】（22-23七年级下·广东广州·开学考试）在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，动点、分别从、同时出发，以每秒个单位、每秒个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设运动的时间为秒，表示出点、点在数轴上所表示的数，进而求出线段，、、、，即可作出选择． 解：设运动的时间为秒， 运动后点所表示的数为，点所表示的数为， ， 、，线段的长度不是的整数倍，本选项不符合题意； 、，线段的长度不是的整数倍，本选项不符合题意； 、，线段的长度不是的整数倍，本选项不符合题意； 、，线段的长度始终是的整数倍，本选项符合题意． 故选：． 【点拨】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和数轴上两点之间距离的计算方法是正确得出答案的关键． ★★【变式2】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为数，，，，且，满足，点在点的右侧且到点的距离为8个单位长度，点表示的数是12；动点从点出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点从点出发，以2个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒． （1）则_____________；_____________； （2）从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________；（用含的式子表示） （3）从运动到的过程中，点表示的数是_____________；从运动到的过程中，点表示的数是_____________．（用含的式子表示） 【答案】（1）；；（2）；；（3）； 【分析】本题考查了列代数式，非负数的性质，数轴上的动点问题． （1）由非负数的性质得； （2）进而得点A所表示的数为，点B所表示的数为，点C所表示的数为4．根据题意列式即可； （3）依题意得点P从点A运动到点B所用的时间为3秒，点P从点B运动到点C所用的时间为1秒，进而可得点P表示的数；再由点Q从点D运动到点C所用的时间为4秒，点Q从点C运动到点B所用的时间为8秒，进而可得点Q表示的数． 解：（1）解：∵， ∴， 解得：； 故答案为：；； （2）解：由（1）得点A所表示的数为，点B所表示的数为， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数为4， 又∵点D所表示的数为12， ∴从运动到的过程中，点表示的数是；从运动到的过程中，点表示的数是； 故答案为：；； （3）解：∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数，点B，C之间的距离， ∵动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动， ∴点P从点A运动到点B所用的时间为：（秒）， 又∵点P在线段上的运动速度为（个单位/秒）， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为（秒）， ∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：； ∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（秒）， ∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：（个单位/秒）， ∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：秒）， ∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：． 故答案为：；． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$