精品解析：浙江省杭州市2025年九年级下学期学业水平模拟测试(二)数学试卷

浙江省杭州市2025年九年级下学期学业水平模拟测试（二）数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. -8的倒数是（　　） A. -8 B. 8 C. - D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，-8×(-)=1，即可解答． 【详解】解：根据倒数的定义得：-8×(-)=1， 因此-8的倒数是-． 故选：C． 【点睛】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方以及完全平方公式逐项计算即可． 【详解】解：A、∵，选项A不正确，不符合题意； B、∵，选项B不正确，不符合题意； C、∵，选项C正确，符合题意； D、∵，选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及完全平方公式，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变． 完全平方公式是(a±b)2=a2±2ab+b2． 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 扇形 B. 正方形 C. 等腰直角三角形 D. 正五边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，准确判断是解题的关键． 根据中心对称图形和轴对称图形的识别判断即可； 【详解】解：A．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故该选项错误； B．正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故该选项正确； C． 等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故该选项错误； D． 正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故该选项错误． 故选B． 4. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从三个方面看物体，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：从左面看，得到的平面图形是， 故选：B． 5. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位，得到， 再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 6. 定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则 的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查定义新运算规则，解一元一次方程，解答本题的关键是理解新运算规则． 根据新运算规则，得到一元一次方程，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 解得 ． 故选C． 7. 如图， ， 是 的弦， ， 是 的半径，点 为 上任意一点（点 不与点 重合），连接．若，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的度数可能是 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 8. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度，如图，将长度与旗杆 高度相同的拉绳 拉到如图的位置，测得（ 为水平线），测角仪 的高度为1米，则旗杆 的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，先证四边形是矩形，得出，设，则，利用三角函数解即可． 【详解】解：由题意知， 四边形是矩形， ， 设， ， 在中，， 解得， 旗杆 的高度为， 故选A． 9. 如图，在 中， 分别交于点D，E，交 于点F，，，则 的长为（　　） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出 即可． 【详解】∵ ，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键． 10. 如图，在正方形 中， ，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线 ，射线 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接 ， ，．设点M运动的路程为，的面积为 ，下列图像中能反映 与 之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，求出 与 之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， 故 与 之间函数关系为二次函数，图像开口向上， 时，函数有最小值6， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出 与 之间函数关系式，再判断 与 之间函数类型． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 将用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中， 是正整数，正确确定的值和 的值是解题的关键．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为， 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在函数中，自变量 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件得出，解一元一次不等式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故在函数中，自变量 的取值范围是， 故答案为：． 13. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 原式先提取公因式a，再利用完全平方公式因式分解，即可解答． 【详解】解：． 故答案为． 14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，弧AB的长为2π，则扇形AOB的面积为______． 【答案】4π． 【解析】 【详解】试题解析：∵∠AOB=90°，弧AB的长为2π， ∴=2π， 解得：r=4， ∴扇形的面积为=4π． 考点：1．扇形面积的计算；2．弧长的计算． 15. 不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 16. 如图，点 在双曲线上，连接 ，分别以点O、A为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 ，交 轴于点 ，若，则点 的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定，连接 ，由作图方法可得 垂直平分 ，，则由等边对等角和三角形内角和定理可得，设，则，，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图所示，连接 ， 由作图方法可得 垂直平分 ， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点 在双曲线上， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 17. 小宝掷一个质地均匀的骰子两次，骰子的6个面分别刻有1到6的点数，则两次向上一面的点数之和不大于4的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的计算，列举法求概率．先列出所有等可能的结果数，找出向上的一面点数之和不大于4的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：结果如下图所示： 由图可知，共有36种等可能的结果，其中两次向上一面的点数之和不大于4的情况有6种， 两次向上一面的点数之和不大于4的概率是， 故答案为：． 18. 一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有________个． 【答案】38 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形，发现规律，计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得：第①个图形有个， 第②个图形有个， 第③个图形有个， 第④个图形有个， …， 故第⑩个图形有个, 故答案为：． 19. 在ΔABC中，若AB=,AC=4，∠B=30°，则=__________________. 【答案】或 【解析】 【详解】试题解析：分两种情况进行讨论: ①如图，作 于 , ②作 于 , 故答案为或. 20. 如图，点 为 内部一点，连接 、 ，且，，，若，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】延长 交 于 ，过 作交 延长线于 ，过 作于点 ，先证明，，得到，设．则，再利用勾股定理得到，根据三角形面积可以求出 ，从而得出答案． 【详解】解：如图，延长 交 于 ，过 作交 延长线于 ，过 作于点 ． 则 ， ， ， ， ， ．即， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 或 （舍去）， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，勾股定理，含30度角的直角三角形特征，等边对等角，一元二次方程的求解，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握相关知识为解题关键． 三、解答题（其中题各7分，题各8分，题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出a的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 原式 【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段 和线段 ，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以 为斜边的 ，点 在小正方形的顶点上，且在直线 的下面； （2）在方格纸中画出以 为一边的等腰 ，点 在小正方形的顶点上，且 的面积为，连接 ，直接写出 的长． 【答案】（1） 如图： 即为所作， ； （2） 如图， 即为所作， 【解析】 【分析】本题考查了作图—复杂作图，直角三角形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据直角三角形的性质并结合网格特点作图即可； （2）根据等腰三角形的定义结合 的面积为作图即可，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由勾股定理可得， 如图，取格点 ，使得， ∵ 的面积为， ∴点 到 的距离为 ，即 即为所作， 由勾股定理可得：． 23. 某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． （1）求本次被调查的学生人数； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1200名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？ 【答案】（1）40； （2）条形统计图补充为： （3）90． 【解析】 【分析】（1）用喜欢跳绳的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数； （2）用总人数乘以足球所占的百分比即可求得喜欢足球的人数，用总数减去其他各小组的人数即可求得喜欢跑步的人数，从而补全条形统计图； （3）用样本估计总体即可确定最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少． 【详解】（1）观察条形统计图与扇形统计图知：喜欢跳绳的有10人，占25%，故总人数有10÷25%=40人； （2）喜欢足球的有40×30%=12人，喜欢跑步的有40﹣10﹣15﹣12=3人， （3）全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多1200×=90人． 24. 在 中，点E在 边上，点F在 边上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，设 交 于点G， 交 于点H，连接，若E是 边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以为边的所有平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADE=∠CBF，AD=CB． ∵∠DAE=∠BCF， ∴． ∴DE=BF． （2）DGHE，EGHC，GAFH，GFBH 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，全等三角形的判定定理和性质即可证明． （2）根据平行四边形的性质可得FA=BF=EC=DE，，根据全等三角形的判定定理和性质，三角形的中位线定理可得GH=FA=BF=EC=DE，，即可得到DGHE，EGHC，GAFH，GFBH． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵E是CD的中点， ∴DE=EC． ∵DE=BF， ∴DE=BF=EC． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，． ∴． ∴． ∴FA=BF=EC=DE． ∵， ∴∠GED=∠GAF，∠GDE=∠GFA，∠HCE=∠HFB，∠HEC=∠HBF． ∴，． ∴GE=GA，HE=HB． ∴点G是AE中点，点H是BE中点． ∴GH是△EAB的中位线． ∴，． ∴GH=FA=BF=EC=DE，． ∴四边形DGHE是平行四边形，四边形EGHC是平行四边形，四边形GAFH是平行四边形，四边形GFBH是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定定理和性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形中位线定理，综合应用这些知识点是解题关键． 25. 初四学年为了鼓励学生的文体生活，组织了一次文体活动，准备一次性购买若干支钢笔和签字笔作为奖品，已知每支签字笔的价格是每支钢笔价格的，且用80元购买签字笔的数量比用80元购买钢笔的数量多3支． （1）购买一支钢笔和一支签字笔各需多少元？ （2）学校准备购买钢笔和签字笔共80支，根据规定，购买的总费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 【答案】（1）购买一支钢笔需16元，一支签字笔需10元 （2）学校最多可以购买50支钢笔 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出不等式与分式方程是解此题的关键． （1）设购买一支钢笔需 元，则购买一支签字笔需元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设学校购买支钢笔，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【小问1详解】 解：设购买一支钢笔需 元，则购买一支签字笔需元． 由题意得， 解得 ． 经检验 是原方程的解． ． 答：购买一支钢笔需16元，一支签字笔需10元． 【小问2详解】 解：设学校购买支钢笔． 由题意，得． 解得． 答：学校最多可以购买50支钢笔． 26. 已知四边形 内接于． （1）如图1，求证： 为 直径； （2）如图2，于 ，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下， 为上一点，连接 交 于点 ，若，，求线段 的长． 【答案】（1）证明： 四边形 内接于 ， ， ； ． ． 为 直径． （2）证明：如图，连接 ． ， ． ， ． 在 上取一点 ，使，连接 ． ． ， ， ． 为 直径， ． ． ． （3） 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形的性质得，再由得 ，即可求证； （2）连接 ．由弧相等得；在 上取一点 ，使，连接 ．则可得，从而有，由得，从而可证明结论成立； （3）连接BD，过点 作，交 延长线于点 ．．设．，；延长 交 延长线于点．则可得，从而有；延长 交 延长线于点 ，则易得，从而．设，．易得，则可证明，有．再证明，由对应边成比例求得．过点作，交 延长线于点 ．易证，有．再证明，则由相似三角形的性质求得．连接 ，由勾股定理求得，设，则，在中，由勾股定理建立方程即可求得t的值，从而求得 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接 ，过点 作，交 延长线于点 ． ． ， ． 设． ． ． ∴． ， ． ， ． 延长 交 延长线于点． ． ． ． 延长 交 延长线于点 ． 为 直径， ． ． ．设． ． 四边形 内接于 ， ． ． ． ， ． ． ， ． ． 过点作，交 延长线于点 ． ． ． ． ． ． ． ， ． ． ， ． ， ． （舍去）． ． 连接 ． 在 中，． 设， ． ． 在中，， ． ． ． 27. 已知直线 的解析式为，直线 交 轴于点 ，交 轴于点． （1）如图1，求 的值； （2）如图2，点 为延长线上一动点，点 在 轴正半轴上，连接，且，设点 的横坐标为的面积为 ，求 与 的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，在 的延长线上取点 ，连接交 轴于点 ，取的中点 ，连接并延长交于点，当时，求 的值． 【答案】（1）3 （2） （3）4.5 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与几何综合，全等三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）求出一次函数与坐标轴的交点，然后利用面积得出方程求解即可； （2）由题意，得．过 作于点 ．结合图形及线段间的关系确定，然后利用求解即可； （3）连接 ．根据三角形中位线的性质得出，过 作轴交于 ．连接，过点 作于 ．过 作于 ，则．利用全等三角形及相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：． 令， ． ， 令． ． （舍）． 即 的值为3． 【小问2详解】 ． ． 由题意，得．过 作于点 ． ． ． ． ． 即． 【小问3详解】 连接 ． ∵E是中点，， 是的中位线． ∴． ． 过 作轴交于 ． ． ， ． ， 连接． ， ． ． ． ， ∴， ． ， ． ． 过点 作于 ． ． ， ． ． 设，则， ． 过 作于 ，则． ． ． ． 即 ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市2025年九年级下学期学业水平模拟测试（二）数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. -8的倒数是（　　） A. -8 B. 8 C. - D. 2. 下列运算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 扇形 B. 正方形 C. 等腰直角三角形 D. 正五边形 4. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则 的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 7. 如图， ， 是 的弦， ， 是 的半径，点为 上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度，如图，将长度与旗杆 高度相同的拉绳 拉到如图的位置，测得（ 为水平线），测角仪 的高度为1米，则旗杆 的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在 中， 分别交于点D，E，交 于点F，，，则 的长为（　　） A. B. C. 2 D. 3 10. 如图，在正方形 中， ，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线 ，射线 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接 ， ，．设点M运动的路程为，的面积为 ，下列图像中能反映 与 之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 将用科学记数法表示为___________． 12. 在函数中，自变量 的取值范围是___________． 13. 因式分解：___________． 14. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，弧AB的长为2π，则扇形AOB的面积为______． 15. 不等式组的解集是___________． 16. 如图，点在双曲线上，连接，分别以点O、A为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点 ，作直线 ，交 轴于点 ，若，则点 的坐标为_________． 17. 小宝掷一个质地均匀的骰子两次，骰子的6个面分别刻有1到6的点数，则两次向上一面的点数之和不大于4的概率是______． 18. 一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有________个． 19. 在ΔABC中，若AB=,AC=4，∠B=30°，则=__________________. 20. 如图，点 为 内部一点，连接 、 ，且，，，若，则___________． 三、解答题（其中题各7分，题各8分，题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段 和线段 ，点A、B、D、E均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以 为斜边的 ，点 在小正方形的顶点上，且在直线 的下面； （2）在方格纸中画出以 为一边的等腰 ，点 在小正方形的顶点上，且 的面积为，连接 ，直接写出 的长． 23. 某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）． （1）求本次被调查的学生人数； （2）补全条形统计图； （3）该校共有1200名学生，请估计全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数多多少？ 24. 在 中，点E在 边上，点F在 边上，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，设 交 于点G， 交 于点H，连接，若E是 边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以为边的所有平行四边形． 25. 初四学年为了鼓励学生的文体生活，组织了一次文体活动，准备一次性购买若干支钢笔和签字笔作为奖品，已知每支签字笔的价格是每支钢笔价格的，且用80元购买签字笔的数量比用80元购买钢笔的数量多3支． （1）购买一支钢笔和一支签字笔各需多少元？ （2）学校准备购买钢笔和签字笔共80支，根据规定，购买的总费用不超过1100元，则学校最多可以购买多少支钢笔？ 26. 已知四边形 内接于． （1）如图1，求证： 为 直径； （2）如图2，于 ，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，为上一点，连接 交 于点 ，若，，求线段 的长． 27. 已知直线 的解析式为，直线 交 轴于点，交 轴于点． （1）如图1，求的值； （2）如图2，点为延长线上一动点，点 在 轴正半轴上，连接，且，设点的横坐标为的面积为 ，求 与 的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，在 的延长线上取点，连接交 轴于点 ，取的中点 ，连接并延长交于点，当时，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $