第一章 空间向量与立体几何综合检测卷（提高篇）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何综合检测卷（提高篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．（5分）（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 3．（5分）（24-25高一下·陕西西安·期末）在正四面体中，是的中心，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 5．（5分）（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 6．（5分）（24-25高二上·北京·期中）已知不重合的平面与平面，若平面的法向量，，，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能 7．（5分）（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在四面体中，平面平面是边长为6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·广东深圳·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量满足，则与夹角为钝角 D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为 10．（6分）（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则 C．若，则 D．若与夹角为锐角，则 11．（6分）（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，是线段上动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．的最小值为 C．若P为线段的中点，则平面与平面夹角余弦值为 D．若是线段的中点，则到平面的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ． 13．（5分）（24-25高二上·云南·期中）如图所示，在平行六面体中，，，，则 . 14．（5分）（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 .    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 16．（15分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 17．（15分）（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 18．（17分）（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 19．（17分）（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【解题思路】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【解答过程】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A. 2．（5分）（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【解题思路】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解. 【解答过程】 在四棱锥P-ABCD中，有， 再由点E为棱PC的中点，，所以， ， 由底面ABCD是平行四边形，得， 所以， 又因为，所以，即， 故选：A. 3．（5分）（24-25高一下·陕西西安·期末）在正四面体中，是的中心，，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意得到，，然后求数量积即可. 【解答过程】 因为为正四面体，是的中心， 所以，， 所以 . 故选：D. 4．（5分）（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【解题思路】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【解答过程】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 5．（5分）（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【解题思路】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；由题意得出，结合空间向量数量积的坐标运算可判断B选项；分析可得且，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【解答过程】因为向量，， 对于A选项，若，则，解得，A错； 对于B选项，若，则，解得，B错； 对于C选项，若为钝角，则且， 解得且，C错； 对于D选项，若在上的投影向量为， 即，则，解得，D对. 故选：D. 6．（5分）（24-25高二上·北京·期中）已知不重合的平面与平面，若平面的法向量，，，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能 【解题思路】求出平面的一个法向量，利用空间位置关系的向量证明可得结论. 【解答过程】设平面的一个法向量为， 所以，令，可得， 即可知 易知两法向量既不垂直也不平行，所以平面、平面相交但不垂直. 故选：C. 7．（5分）（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在四面体中，平面平面是边长为6的正三角形，是等腰直角三角形，是的中点，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，利用它们数量积为0求解即可. 【解答过程】连接，由为等边三角形，则， 又平面平面，是交线，平面， 所以平面，又平面，所以, 因为为等腰三角形，是的中点，所以， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， ， ． 设平面的一个法向量为，则 取，则． 因为平面，所以，解得． 故选：A. 8．（5分）（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则平面与平面夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据面面垂直的性质定理，可得平面，故以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量法直接求解面面角的余弦值即可. 【解答过程】如图，连接， 因为为中点， 所以， 又平面底面，平面底面平面， 所以平面，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，由 ， 可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，则， 设平面的一个法向量为， 则有，令，得，得， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·广东深圳·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．若空间向量满足，则与夹角为钝角 D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为 【解题思路】A项，由空间向量的模为实数可知；B项，由系数和为，整理变形为，由平面向量基本定理可知共面；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由单位向量与投影向量的定义可得. 【解答过程】A项，空间向量不能比较大小， 而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； B项，由可得， 则， 即，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，与方向相同的单位向量为 ， 由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 10．（6分）（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则 C．若，则 D．若与夹角为锐角，则 【解题思路】对于A：结合向量垂直的性质即可求解；对于B：利用投影的几何意义即可求解；对于C：结合向量的四则运算即可求解； 对于D：根据向量的夹角公式即可求解. 【解答过程】对于A： ， ， 又，， 即：， 解得：，故A选项正确； 对于B：在上的投影向量为：，即， 代入坐标化简可得：， 故，无解，故B选项错误； 对于C： ， ，解得：，故C选项正确； 对于D： 与夹角为锐角， ，解得：， 且与不共线，即，解得：， 所以与夹角为锐角，解得：，故D选项正确； 故选：ACD. 11．（6分）（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，是线段上动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面平面 B．的最小值为 C．若P为线段的中点，则平面与平面夹角余弦值为 D．若是线段的中点，则到平面的距离为 【解题思路】根据正方体中蕴含的垂直关系可判断AB的正误，建立空间直角坐标系，利用向量法计算C中的面面角的余弦和D中点到平面距离后可判断它们的正误. 【解答过程】A：由题意面，面，故平面平面，A对； B：由题意面，面，则， 又是线段上动点，与重合时最小，为，B对； 对于CD，由正方体可建立如图所示的空间坐标系， 则， 因为为的中点，则，故， 设平面的法向量为，则， 所以，取， 而平面的法向量为，故， 平面与平面夹角余弦值为，故C错误， 而，平面，平面，故平面， 故到平面的距离即为到平面的距离， 而，故到平面的距离，故D成立. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ． 【解题思路】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再借助空间向量基本定理求解即得. 【解答过程】在四面体中，由分别为线段的中点， 得， 而，由空间向量基本定理得：， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·云南·期中）如图所示，在平行六面体中，，，，则 . 【解题思路】由空间向量的线性运算及数量积的运算即可求解. 【解答过程】根据空间向量的线性运算， 可得，， 因为且，， 所以 . 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为 .    【解题思路】建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量公式求解即可. 【解答过程】    如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系； 由题意，，，，则，， 设平面的法向量， 由，得，令，解得，， 则平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则, 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【解题思路】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【解答过程】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 16．（15分）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【解题思路】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值； （2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值． 【解答过程】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴，解得. （2）∵， ∴， 即， 解得. 17．（15分）（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【解题思路】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【解答过程】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 18．（17分）（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 【解题思路】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面. 【解答过程】（1）    如图建立空间直角坐标系， 则， 则，           由，     可得，得证. （2）设平面的法向量为，因，    则，令，可得，                因，故得，         又平面，所以，平面. 19．（17分）（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 【解题思路】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角； （3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【解答过程】（1）连接，交于点，连接， 点是的中点，点是的中点， 所以 ,平面,平面， 所以 平面； （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）， ，设， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，，当时，， 则的长为或. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$