第一章 空间向量与立体几何综合检测卷（基础篇）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何综合检测卷（基础篇） 【人教A版2019】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知空间向量，，若，则x的值为（   ） A．4 B．6 C． D．－3 3．（5分）（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若．则（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 10．（6分）（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高二上·安徽宣城·期末）在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC的中点，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点E到直线的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，三点共线，则 . 13．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则 ． 14．（5分）（24-25高二上·四川南充·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为与的中点，则点到平面的距离为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)； (3). 16．（15分）（24-25高二上·陕西汉中·期中）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，.    (1)用，，表示向量； (2)若，，，求. 17．（15分）（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 18．（17分）（24-25高二上·全国·课后作业）如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证:，，，四点共面； (2)已知，求的值. 19．（17分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）如图．在四棱锥中，，，，点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何综合检测卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得. 【解答过程】在平行六面体中，==. 故选：C. 2．（5分）（24-25高二上·广东汕尾·期末）已知空间向量，，若，则x的值为（   ） A．4 B．6 C． D．－3 【解题思路】根据向量的线性坐标运算结合向量垂直的坐标运算列式求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 又，所以，解得. 故选：B. 3．（5分）（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若．则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由线面垂直关系可得出，结合空间向量共线的坐标表示可得出结果. 【解答过程】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且，则，所以，，解得，，故. 故选：D. 4．（5分）（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【解答过程】由， 得， 所以， 故选：C． 5．（5分）（24-25高二上·北京·阶段练习）已知空间向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题可知，然后两边同时平方，代入已知数据计算即可. 【解答过程】因为， 所以, 得. 故选：D. 6．（5分）（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【解答过程】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：C． 7．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，若，，且平面，则（　　） A． B． C． D． 【解题思路】由已知可得，可求得，进而利用线面垂直可求得，的值. 【解答过程】因为，，， 所以，解得，所以. 因为，且平面， 所以， 解得，， 所以. 故选：D. 8．（5分）（24-25高二上·辽宁丹东·期末）在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】建立空间直角坐标系求出平面的法向量，再由线面角的向量求法可得结果. 【解答过程】因为两两互相垂直，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 由可设，则， 因此， 显然，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则； 所以， 设直线与平面所成的角为， 所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【解题思路】根据空间向量的定义直接判断. 【解答过程】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 10．（6分）（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据空间向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A，，故A正确， 对于B，由于，则，故，B正确， 对于C，，故与不垂直，故C错误， 对于D，，D正确， 故选：ABD. 11．（6分）（24-25高二上·安徽宣城·期末）在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC的中点，则（    ） A． B．三棱锥的体积为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点E到直线的距离为 【解题思路】对于A，由中位线线线平行即可判断，对于B，由可判断，对于CD，由向量法可判断； 【解答过程】解：对于A，因为E，F分别是棱AB，BC的中点， 所以 因为，所以，故A正确； 对于B，易知平面， 所以 ， 故B正确； 对于C，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以 ， 故C错误； 对于D，， 则， 所以， 所以点E到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，，三点共线，则 26 . 【解题思路】利用向量的共线的坐标表示，可得答案. 【解答过程】由题意，，因为，所以， 所以，，所以. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，，，若，则 ． 【解题思路】利用空间向量的线性运算用基底向量表示后可求系数和. 【解答过程】，． 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二上·四川南充·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为与的中点，则点到平面的距离为 ． 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量公式进行计算. 【解答过程】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，故平面的法向量为， 又，则点到平面的距离为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)； (3). 【解题思路】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 16．（15分）（24-25高二上·陕西汉中·期中）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，.    (1)用，，表示向量； (2)若，，，求. 【解题思路】（1）利用空间向量的线性运算结合图形计算即可； （2）利用空间向量数量积的运算律计算即可. 【解答过程】（1）易知. （2）因为，，， 则 . 17．（15分）（24-25高二上·北京·期中）设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【解题思路】（1）首先利用向量的共线和向量的垂直求出向量的坐标，进一步求出向量的模； （2）利用向量的线性运算和向量的夹角运算求出结果. 【解答过程】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 18．（17分）（24-25高二上·全国·课后作业）如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证:，，，四点共面； (2)已知，求的值. 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明. （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解答过程】（1） 因为 . 又，，有公共点，所以，，，四点共面. （2）因为 . 所以，，.所以. 19．（17分）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）如图．在四棱锥中，，，，点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 【解题思路】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值，再利用余弦值求正弦值即可. 【解答过程】（1）取的中点为，连接，则， 而，故， 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故， 因平面，所以平面， 而平面，故，而， 故以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 故， 故平面与平面夹角的正弦值为. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$