精品解析：云南省文山市第一中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

2026届高二年级下学期4月月考数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可. 【详解】，， . 故选：C. 2. 一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记抽取黄球的个数为X，则由题意可得X服从超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式求解即可. 【详解】记抽取黄球的个数为X，则X服从超几何分布，其分布列为 ，，1，2． 所以，． 或． 故选：D． 3. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二项分布概率计算公式即可解得 【详解】由已知位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为，则不被治愈的概率为 所以位患者中恰有1为患者被治愈的概率为 故选：B 【点睛】结论点睛：二项分布概率公式，n是试验次数，k是指定事件发生的次数，p是指定事件在一次试验中发生的概率，考查学生的逻辑能力与运算能力，属于基础题. 4. 已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a b 若E(X)＝，则D(X)的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中分布列中概率之和为1，利用期望公式列方程，解方程求参数，再利用方差公式计算即得结果. 【详解】由分布列的性质可知a＋b＋＝1，所以a＋b＝. 又E(X)＝－a＋＝，解得a＝，b＝， 所以D(X)＝. 故选：C. 5. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理即可得到结果． 【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种排法， 再排其余4节，有种排法， 根据乘法原理，共有种排法， 故选：B． 6. 射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8，若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是（ ） A. 0.8 B. 0.992 C. 1 D. 1.24 【答案】D 【解析】 【分析】 由题设条件知，射击一次的概率是0.8，射击两次的概率是，射击三次的概率是，由此能求出射击次数的期望值. 【详解】记射击次数为随机变量X，则X的所有可能取值为1，2，3 . 故选：D. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望，是基础题.注意理解射击次数的取值及其相应的概率的求法. 7. 大熊猫活到十岁的概率是，活到十五岁的概率是，若现有一只大熊猫已经十岁了，则他活到十五岁的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设事件A=“大熊猫活到十岁”，则P（A）=0．8，设事件B=“大熊猫活到十五岁”，则P（B）=0．6，那么可知，,根据条件概率可知，一只大熊猫已经十岁了，则他活到十五岁的概率为． 考点：条件概率． 8. 有朋自远方来，乘火车､船､汽车､飞机来的概率分别为，迟到的概率分别为，则他迟到的概率为（ ） A. 0.285 B. 0.075 C. 0.145 D. 0.65 【答案】A 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即得. 【详解】由题意可得，他迟到的概率为. 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB选项，由二项分布知识即可判断选项正误；分析可知，由题可得对应概率即可判断C；根据期望的性质分析判断D. 【详解】AB选项，由题可得. 则，，故AB正确； CD选项，因为， 则，故C错误； 则，故D正确. 故选：ABD. 10. 二项式的展开式中的系数是，则其中正确命题的序号是（ ） A. B. 展开式中含项的系数是 C. 展开式中含项 D. 展开式中常数为40 【答案】AB 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项公式,令x的指数为2,求出r值,从而可得x2的系数,进而可求得a值,即可判断选项A; 令x的指数为6,求出r值,即可判断选项B; 令x的指数为-1,求出r值,即可判断选项C; 令x的指数为0,求出r值,从而可求得常数项,即可判断选项D 【详解】二项式的展开式的通项公式为 对于A：令8-2r=2,解得r=3,所以展开式中x2的系数，解得，故A正确； 对于B：二项式即，展开式的通项公式为. 令8-2r=6,解得r=1,所以展开式中含x6项的系数是，故B正确； 令8-2r=-1；解得；不为整数；故展开式中不含项；故C错误； 令8-2r=0,解得r=4,所以展开式中常数项为，故D错误. 故选：AB. 11. 一批袋装食盐标准质量为，随机抽取100袋食盐，规定误差的绝对值不超过就认为合格．假设误差服从正态分布，样本误差的均值为0，方差为4．则下列结论正确的是（ ）（参考数据：若则 A. 抽取的100袋食盐的均值为 B. 抽取的100袋食盐的标准差为4 C. 这批袋装食盐的合格率约为 D. 这批袋装食盐的质量在区间的约占 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平均数、方差、标准差、正态分布的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，设袋食盐的质量为（），设， 依题意可知： 样本误差的均值为0，即 ，所以， 所以抽取的100袋食盐的均值为，A选项正确. 对于B，样本误差的方差为4， 所以抽取的100袋食盐的方差为4，标准差为，所以B选项错误. 对于C，依题意，规定“规定误差的绝对值不超过就认为合格”， 根据， 可知这批袋装食盐的合格率约为，C选项正确. 对于D，， ， 所以这批袋装食盐的质量在区间的约占，D选项正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校要从7名男生和3名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望______（结果用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】ξ的可能能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望E (ξ). 【详解】学校要从7名男生和3名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则ξ的可能能取值为0，1, 2, 3, ， ， ， 数学期望， 故答案为： 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题. 13. 抛掷两枚质地均匀的骰子，已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，则第二枚骰子的点数也是偶数的概率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】记事件第一枚骰子的点数是偶数，事件第二枚骰子的点数是偶数，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件第一枚骰子的点数是偶数，事件第二枚骰子的点数是偶数， 则，，因此，. 故答案为：. 14. 某高中计划2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生志愿者到A、B、C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为________． 【答案】150 【解析】 【分析】利用间接法，先将学生安排出去，再排除不符合题意的情况即可. 【详解】先将学生安排出去，共有种排法， 若5名学生都去同一个社区，共有种排法； 若5名学生去2个社区（每个社区至少安排1名志愿者），共有种排法； 所以符合题意的所有排法的总数为. 故答案为：150. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的乘积为256. （1）求的值； （2）求展开式中含项的系数. 【答案】（1） （2）-1792 【解析】 【分析】（1）令可得，展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和为，由题意列方程求解. （2）根据题意结合二项展开式中的通项公式运算求解. 【小问1详解】 令可得，展开式中各项系数之和为， 且展开式中的二项式系数之和为， 由题意可得，解得. 【小问2详解】 的展开式的通项为：， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为. 16. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为、、，三家产品数所占比例为，将三家产品混合在一起． （1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲厂生产的概率？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干条件，利用全概率公式即可得到答案； （2）根据题意利用贝叶斯公式即可求解． 【小问1详解】 设事件表示“取到的产品为正品”，，，分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”， 由已知，，， ，，． 由全概率公式得：． 【小问2详解】 由贝叶斯公式得． 17. 甲､乙两颗卫星同时独立的监测某一台风，在同一时段内，甲､乙预报台风准确的概率分别为，在该时段内，求： （1）甲､乙同时预报台风准确的概率； （2）至少有一颗卫星预报台风准确的概率； （3）若甲独立预报4次，恰有3次预报准确的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算即得； （2）采用间接法，利用所求事件的对立事件的概率求解即可； （3）依题意甲独立预报准确的次数服从二项分布，利用二项分布概率公式计算即得. 【小问1详解】 记“甲预报台风准确”为事件，“乙预报台风准确”为事件， 则“甲、乙同时预报台风准确”可表示为事件，由题意，事件相互独立， 又，故. 【小问2详解】 因“至少有一颗卫星预报台风准确”的对立事件为“两颗卫星都没有预报准确”， 故至少有一颗卫星预报台风准确的概率为. 【小问3详解】 设甲独立预报准确的次数为，依题意，， 则，即甲独立预报4次，恰有3次预报准确的概率为. 18. 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：，，，并整理得到如下的频率分布直方图： （1）求a的值； （2）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望、方差； （3）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为．有同学认为，你认为正确吗？说明理由． 【答案】（1）0.3 （2）分布列为： 0 1 2 ，； （3）不正确，理由见为： 由于样本具有随机性，所以是随机变量，受抽样结果的影响， 因此有可能更接近，也有可能更接近， 所以不恒成立，所以这种说法不正确. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质，列出方程，即可求得的值； （2）由4组无人驾驶汽车的数量比为，得到行驶里程在和抽取的车辆数，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望和方差的公式，即可求解； （3）由于样本具有随机性，且是随机变量，有可能更接近，也有可能更接近，即可得到结论. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图的性质，可得，解得. 【小问2详解】 解：由4组无人驾驶汽车的数量比为：， 若采用分层抽样抽取10辆汽车，则行驶里程在，这一组的无人驾驶汽车有辆，在行驶里程，这一组的无人驾驶汽车有辆， 由题意知，随机变量的可能取值为， 可得， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 则期望为， 方差为. 【小问3详解】 略 19. 如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有，，，，四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是，南干道有，，两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为，．某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响． （1）求北干道的，，，个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率； （2）若南干道被堵塞路段的个数为，求的分布列及数学期望； （3）若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 （3）高峰期选择南干道路线较好，理由如下： 设北干道被堵塞路段的个数为，则， 所以． 因为，所以高峰期选择南干道路线较好． 【解析】 【分析】（1）正难则反，先求出四个路段全通勤的概率，用1减去即可求解； （2）确定，结合独立事件概率公式写出分布列，即可求解； （3）设北干道被堵塞路段的个数为，则，求出，比较，大小即可求解. 【小问1详解】 记北干道的，，，四个易堵塞路段至少有一个被堵塞为事件A， 则； 【小问2详解】 由题意可知的可能取值为0，1，2， ， ， ． 随机变量的分布列为： 0 1 2 ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高二年级下学期4月月考数学试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a b 若E(X)＝，则D(X)的值是（ ） A. B. C. D. 5. 某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（ ） A. B. C. D. 6. 射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8，若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是（ ） A. 0.8 B. 0.992 C. 1 D. 1.24 7. 大熊猫活到十岁的概率是，活到十五岁的概率是，若现有一只大熊猫已经十岁了，则他活到十五岁的概率是 A. B. C. D. 8. 有朋自远方来，乘火车､船､汽车､飞机来的概率分别为，迟到的概率分别为，则他迟到的概率为（ ） A. 0.285 B. 0.075 C. 0.145 D. 0.65 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 二项式的展开式中的系数是，则其中正确命题的序号是（ ） A. B. 展开式中含项的系数是 C. 展开式中含项 D. 展开式中常数为40 11. 一批袋装食盐标准质量为，随机抽取100袋食盐，规定误差的绝对值不超过就认为合格．假设误差服从正态分布，样本误差的均值为0，方差为4．则下列结论正确的是（ ）（参考数据：若则 A. 抽取的100袋食盐的均值为 B. 抽取的100袋食盐的标准差为4 C. 这批袋装食盐的合格率约为 D. 这批袋装食盐的质量在区间的约占 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校要从7名男生和3名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望______（结果用最简分数表示） 13. 抛掷两枚质地均匀的骰子，已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，则第二枚骰子的点数也是偶数的概率是__________. 14. 某高中计划2024年寒假安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生志愿者到A、B、C三个社区协助反诈宣传工作，每个社区至少安排1名志愿者，每个志愿者只能安排到1个社区，则所有排法的总数为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的乘积为256. （1）求的值； （2）求展开式中含项的系数. 16. 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为、、，三家产品数所占比例为，将三家产品混合在一起． （1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲厂生产的概率？ 17. 甲､乙两颗卫星同时独立的监测某一台风，在同一时段内，甲､乙预报台风准确的概率分别为，在该时段内，求： （1）甲､乙同时预报台风准确的概率； （2）至少有一颗卫星预报台风准确的概率； （3）若甲独立预报4次，恰有3次预报准确的概率. 18. 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日趋成熟．为了尽快在实际生活中应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试．某机构调查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车，按照每辆车的行驶里程（单位：万公里）将这些汽车分为4组：，，，并整理得到如下的频率分布直方图： （1）求a的值； （2）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本．从样本中行驶里程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求X的分布列和数学期望、方差； （3）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为．若用分层抽样的方法从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为;若用简单随机抽样的方法从上述无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为．有同学认为，你认为正确吗？说明理由． 19. 如图，某市有南、北两条城市主干道，在出行高峰期，北干道有，，，，四个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率都是，南干道有，，两个交通易堵塞路段，它们被堵塞的概率分别为，．某人在高峰期驾车从城西开往城东，假设以上各路段是否被堵塞互不影响． （1）求北干道的，，，个易堵塞路段至少有一个被堵塞的概率； （2）若南干道被堵塞路段的个数为，求的分布列及数学期望； （3）若按照“平均被堵塞路段少的路线是较好的高峰期出行路线”的标准，则从城西开往城东较好的高峰期出行路线是哪一条？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $