精品解析：2025届重庆市七校联盟高三三模数学试题

重庆市七校联盟 2025 年春高三三诊考试 数学试题 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数单调性解不等式，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 2. 复数与都是纯虚数，则的虚部为（ ） A. B. i C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】令，且，并化简纯虚数列方程求参数，即可得. 【详解】由题设，令，且， 则为纯虚数， 所以，可得，即的虚部为. 故选：C 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示，列式求解. 【详解】由，得，则， 由，得，所以. 故选：C 4. 已知，则数列前2025项的第1百分位数是（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】所求为数列的前2025项从小到达排列后的第21项，由此即可求解. 【详解】因为，故所求为数列的前2025项从小到达排列后的第21项， 当时，， 当时，， 故数列的前2025项有个，个， 所以数列的前2025项从小到达排列后的第21项为. 故选：A. 5. 已知等比数列的前项和为，若，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比的求和公式即可求解. 【详解】由可知公比，则， 解得， 故选：D. 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、二次函数单调性及分段函数单调性列式求解. 【详解】依题意，函数在上单调递减，则，解得， 又函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 故选：B 7. 已知直线与圆相交于M、N两点，则的最大值为（ ）． A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点， 方法一：取中点B，易得，进而可得出答案. 方法二：设、夹角为，将平方，结合数量积的运算律及余弦定理化简即可得解. 【详解】由，得， 令，解得， 所以直线过定点， 由得圆心，半径 方法一：如图，取中点B， ， 当且仅当两点重合时取等号， 所以的最大值为. 方法二：（平方法）设、夹角为， ， 当与垂直时，最小，并且最小值为， 此时，即． 故选：B. 8. 不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得到是的一个根，从而得到之间的关系式为，消元并利用均值不等式求解即可. 【详解】由题意可得，需满足是的一个根， 即，且，所以， ， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：A. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量，且，随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二项分布期望、方差公式计算判断A，C；利用正态分布期望、方差的性质计算判断B，D作答. 【详解】对于A，随机变量，由，得，A正确； 对于C，，则，C错误； 对于B，随机变量，则， ，B正确； 对于D，，D正确． 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数关于点中心对称 C. 函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称 D. 函数在上不单调，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由三角恒等变换化简函数.求出函数的周期判断A选项；求出函数对称中心判断B选项；由函数的平移得到平移后的函数解析式，从而知道函数的对称性判断C选项；求出其导函在对应区间上的值域，由题意建立不等式组，解得的取值范围判断D选项. 【详解】函数， 对于A选项：∵，∴，A选项正确； 对于B选项：令，解得，∴是函数的一个对称中心，B选项不正确； 对于C选项：平移后的函数，函数图像关于轴对称，C选项正确； 对于D选项：，当时，，∴，要想函数不单调，则，∴，D选项正确. 故选：ACD. 11. 将函数的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列（其中），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意求导，极值点即时，再转化为两函数的交点，通过作图分析即可逐项判断. 【详解】，令，即， 所以数列从左往右如图所示， 时，即，所以在单调递增， ，故A错误； 根据图像可知，所以，故B正确； ，所以，故C错误； 由题知存在使，此时， 又，且在单调递增，所以， 即，故D正确； 故选：BD. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的余弦展开式求出，再由正弦的二倍角公式可得答案. 【详解】因为， 所以， 则 . 故答案为：. 13. 双曲线的左顶点为A，点、均在上，且关于原点对称，若直线、的斜率之积为2，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题可得，由直线、的斜率之积为2，可得，然后由在上，可得，据此可得答案. 【详解】由题，设，因、关于原点对称，则， 则，又在上， 则， 则. 故答案为： 14. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由正方体的性质可得点到的距离即为点平面的距离，在平面中，由可确定点的轨迹为圆，进而可确定点在直线上，且，根据正方体的性质和为直角三角形，进而可得 三棱锥外接球的半径为，进而可得. 【详解】由题意点到平面的距离最大时，三棱锥的体积取最大值， 由正方体的性质可知平面平面，且平面平面， 故点到的距离即为点平面的距离， 如图以正方形的边为轴建立平面直角坐标系，则，， 设，则由可得， 整理得，故点的轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故点到的最大距离为，此时点在直线上， 由正方体的性质可得平面，又平面， 故，为直角三角形，同理也为直角三角形， 故的中点到的距离都相等，即为三棱锥外接球的球心， 其半径， 故其表面积为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题先需根据确定点的轨迹为圆，当三棱锥的体积取最大值时，可确定点的位置，进而根据正方体的性质可得为外接球的直径，进而可得. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）若，求的面积； （2）若，求. 【答案】（1）2 （2）或 【解析】 【分析】（1）将已知条件代入即可； （2）利用余弦定理求出，然后利用正弦定理边化角，结合和差公式、二倍角公式化简可得. 【小问1详解】 在中，． 因为， 所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 因为，所以， ，由正弦定理得． 因为，所以． 化简得，即， 所以，整理得． 因为，所以， 解得，或，所以，或． 16. 已知函数，函数在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）讨论的零点个数. 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）求导得到表达式，由求出，再利用求出b. （2）根据第（1）问得到和，令，对求导判断的单调性，依据正负，判断的单调性，得出最小是，算出小于0，再根据零点存在性定理即可判断零点个数. 【小问1详解】 求导得到， 根据函数在点处的切线方程为，得到. 把代入得， 因为，所以，即. 又，解得. 【小问2详解】 由第（1）问知，. 令，求导得. 当，，在递减； 当，，在递增. ，，所以存在唯一使，即. 当，，在递减； 当，，在递增，所以. ，又，， 根据零点存在定理，在和各有一个零点，共2个零点. 17. 在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点． （1）求证：平面； （2）若平面，求二面角余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 连接，取的中点，连接、， 结合已知可得且， 所以四边形为平行四边形，所以为中点， 因为为的中点，为中点，则，且， 因为为的中点，则，且， 则，且，故四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为，，为的中点，则， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，则，故， 因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设平面的一个法向量为， ，， 由，令，则，， 可得平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为，， 由，令，则，， 可得平面的一个法向量为， 所以，， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以，二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的离心率，其上、下顶点分别为，右焦点为，斜率为的直线交于不同的两点、.当过点且时，. （1）求的方程； （2）当直线、的斜率都存在时，若，求证:直线过定点； （3）在（2）的条件下，当的面积取得最大值时，求的值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由离心率可得椭圆的方程为，求出直线方程并与椭圆方程联立，结合乘积求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算推理得证. （3）利用（2）中信息求出弦长，进而表示出三角形面积，利用导数探讨最大值条件即可. 【小问1详解】 由椭圆的离心率，得，解得， ，椭圆的方程为，即， 直线的斜率且过点，方程为， 由，解得或，不妨令， 由，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，设直线的方程为，， 由消去得， ，， ，解得，直线的方程为， 所以直线恒过定点. 【小问3详解】 由（2）得， ，点到直线的距离， 则的面积，令， 函数，求导得， 当时，；当时，， 因此函数上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值， 所以当的面积取得最大值时，. 19. 已知一个袋子中有个红球，个黑球，，这些球除颜色外完全相同. （1）当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球.某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分，否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束. ①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率； ②若规定甲乙摸球次数的总和达到（，，且为常数）时也停止比赛，设随机变量为比赛结束时的摸球次数，求随机变量的数学期望. （2）将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是的数学期望，求证:当时， 【答案】（1）①；②； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）①利用独立事件的乘法公式计算即可； ②分析出的可能取值，再计算分布列和数学期望即可； （2）先写出的可能取值，再计算分布列和均值，最后合理放缩即可. 【小问1详解】 ①设事件为第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球， 第6次摸球后比赛结束，需满足前5次分差为1，第6次摸球后分差变为2, 分两种情况：前5次甲比乙多1分，第6次乙摸黑球（甲得分加1，分差变为2； 前5次乙比甲多1分，第6次乙摸红球（乙得分加1，分差变为2. ; 第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率为. ②由题意知的可能取值为，， 则，，， ，. 其概率分布如下： 2 4 6 所以， 设， ， 所以， 所以， 所以 【小问2详解】 由题意知可能取值为，， 则，，， 则其概率分布如下： ， 因为， 所以 ， 又因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市七校联盟 2025 年春高三三诊考试 数学试题 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 复数与都是纯虚数，则的虚部为（ ） A. B. i C. D. 1 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，则数列前2025项的第1百分位数是（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 5. 已知等比数列的前项和为，若，则公比（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆相交于M、N两点，则的最大值为（ ）． A. B. C. 4 D. 8. 不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量，且，随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数关于点中心对称 C. 函数的图像向左平移个单位，得到的函数图像关于轴对称 D. 函数在上不单调，则的取值范围为 11. 将函数的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列（其中），则（ ） A. B C D. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 双曲线的左顶点为A，点、均在上，且关于原点对称，若直线、的斜率之积为2，则的离心率为______. 14. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为_______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）若，求面积； （2）若，求. 16. 已知函数，函数在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）讨论的零点个数. 17. 在如图所示的五面体中，四边形与均为等腰梯形，，，，，，、分别为、的中点，与相交于点． （1）求证：平面； （2）若平面，求二面角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率，其上、下顶点分别为，右焦点为，斜率为的直线交于不同的两点、.当过点且时，. （1）求的方程； （2）当直线、斜率都存在时，若，求证:直线过定点； （3）在（2）的条件下，当的面积取得最大值时，求的值. 19. 已知一个袋子中有个红球，个黑球，，这些球除颜色外完全相同. （1）当，时，甲乙进行摸球比赛，按先甲后乙依次轮流摸球.某人摸球时从袋子中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摸到红球得一分，否则对方得一分（记为一次摸球），规定当一方比另外一方多2分时胜出，比赛结束. ①求第6次摸球后比赛结束，且甲乙共摸到3次红球的概率； ②若规定甲乙摸球次数的总和达到（，，且为常数）时也停止比赛，设随机变量为比赛结束时的摸球次数，求随机变量的数学期望. （2）将口袋中的球随机逐个取出，并放入编号为的盒子中，其中第次取出的球放入编号为的盒子，随机变量表示最后一个取出的黑球所在的编号的倒数，是的数学期望，求证:当时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $