辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

沈阳市回民中学2024级高二下学期期中考试 数学 命题人：高二数学组校对人：高二数学组 考试时间：120分钟考试分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.命题“x∈R,x2+x+1>0”的否定为() A.x∈R,x2+x+1<0 B.x∈R,x2+x+1≤0 C.∀xER,x2+x+1≤0 D.x∈R,x2+x+1<0 【答案】B 【解析】【详解】命题Vx∈R,x2+x+1>0”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是x∈R,x2+x+1≤0.故选：B 2命题-之<0的一个充分不必要条件是《) 2x+1 A. B.-1 r2 C.-1<x<2 D.-1<x< 【答案】A 【详解】不等式子<0等价于-22x+<0,解得<2 2x+1 找充分不必要条件，即找集合 的真子，仅A 1 是原解集真子集， 3.设等比数列{a}的前n项和为Sn,且S2=3a4,则公比q= A 1 B. C.2 D.3 3 【答案】C 4.函数f(x)=(x-1)e的图象大致为() 6 2 5 -2 【答案】B 【详解】令f'(x)=e,可得：当x<0时，f'(x)<0,当x>0时，f'()>0, 1 所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞，0)，单调递增区间为(0，+∞)， 当x<1时，f(x)<0恒成立，又f(x)=0→x=1, 可知函数∫()仅有一个零点，即B选项正确. -n+2 4+-=(). 5.已知等差数列a,}和私}的前n项和分别为8，工，若元3+4，则6，++4 26 26 13 A. 111 B. 13 37 C.111 D. 37 【答案】A【详解】由等差数列的性质可得： 4+4 24-24&_” -n+2 b4+b:+b3b:3b’Ihb31+4 2 则A-14-11+213 ,11b3×11+437:即=13 37, 4+4=2×s=2x1326 b+6+么3b337111,故选：A. 6.己知数列{a}的首项4=1，且满足4+1+4=3×2”，则4的值为() A.-1025 B.1023 C.-1023 D.1025 【答案】D 【详解】因为a4H+a,=3×2”，所以a+1-2H=-(4-2”),即{a.-2”}是以-1为首项，-1为公比的等比数列， 故4n-2”=(1)”,即4=2”+(-1)”，令n=10,得40=1025. 7.己知正数数列{a}是公比不等于1的等比数列，且4，ao26=1，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若 f)=则a)-a++a（） A.2025 B.4050 C.2026 D.4052 【答案】D 【详解】因为正数数列{a,}是公比不等于1的等比数列，且4：a4m6=1所以4a=44如=4a2' 令T=f(a)+f(a2)+…+f(a26),则T=fa026)+f(as)+…+f(4), 六27=f(4)+fax)+fa)+ja)++fas)+fa)=4x2026,T=4052故选：D 8.记函数f(x)的导函数为f"(),已知f(2)=1,且x∈R,f'(x)<f(x),若关于x的不等式f(a+1)<e-在 x∈[1,2]上有解，则a的取值范围为() A.（-n,1) 2 1 C.(1,+o) 0,2 【答案】B 【详解】令g(x)f儿回，则g)-'国f(因<0，g(y单调递减，由far+1)<e,可得fa+:月 e e f+/,即gar+1)<g(2),所以当x∈L2到时，m+1>2有解，即a>上有解，所以a> eaxH 2 故a的取值范围为2+ (1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.下列命题中，正确的是() A.方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 1 B.若随机变量服从二项分布B43,则。 =动-品 C.某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变 D.若随机变量服从正态分布N(1,o2),P(5<2)=0.84,则P(0<5<2)=0.68 【答案】ABD 10.下列说法不正确的是() A.若a<b<0,则a2<b<b2 B.集合A={-2,1},B={x=2},若A∩B=B,则实数a的取值集合为{-1,2} C.y=lnr+的最小值为2 Inx ,D.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件 【答案】ABC 11.·大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用.已知大衍数列{a}满足a=0, a,+n+1,n为奇数 a+1= a,+n,n为偶数 ，则正确的有() A.4=12 B.d=2n2-n C.a2m+1=m-1+41 D.数列{(-1)”an}的前20项和为120 【答案】AC 【详解】对于A,由题意可得4=4+1+1=2,4=4+2=2+2=4，a4=43+3+1=8, 3 4=4+4=8+4=12,故A正确；对于B,因为2n为偶数，所以a+1=42n+2n,又因为2n+1为奇数， am+2=a#1+(2n+1)+1=4t1+(2n+2), 所以42m+2=4m+41+2,所以☑m+2-4m=4n+2,则42m=凸+(a4-42)+(a-a4)+…+(a2m-4m-2) =2+(4+2)+(8+2到++[4u-)+习=40-)0+1-+31=2i,故B错误； 2 对于C,因为2n为偶数，所以凸H=am+2n, 因为2n-1为奇数，所以4m=m+(2n-1)+1=a1+21,所以4mH=4m-1+21+21=m-1+4n,故C正确： 对于D,数列{(-1)”an}的前20项的和为S0, 所以S。=-4+4-4+a--4g+a=(a-4)+(a:-4)++4-4g=21+2++10)）=2×1010+1110, 2 故D错误。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.在等差数列{a}中，若4+am-1=130,且前m项和Sm=260,则m= 【答案】4 【详解】因为数列{a}为等差数列，所以a+am-1=4+am=130, 根据等差数列前n顶和公式S-4+严=130m=651=260, 2 2 解得m=4.故答案为：4 13. 已知P(A)=0.6,P(BA)=0.8,则P(AB)= 0.08 14.己知函数 (x)=Ix,g(x)=e'-ax ,若x∈[1，e],∈(0,1]使得f(:)>8(x2)成立，则实数a的取值范围 是 【答案】 (e,+n) 【分析】借助导数计算可得f(s)。=0,则可得g()<0在01上有解，参变分离可得a>血(x+在（叫上有解， 构造函数h(x)=- _血x+,利用导数求出该函数在(0,1上的最小值即可得解。 1 【详解】f'()= L.x-lx 1-Inx, x2 x 则当x∈Le]时，f()1-血x之0，即f()在Le上单调递增， x2 4 则/sm-J0)-1-0:由xee,eo叫使得c)户gc)成立. 则g()<0在(0,1上有解，即e在(0,1上有解，令 a> )=e,re(0],则 (x)-G-D50 x2 故h(x)在(o1上单调递减，则a>hL=e,即实数a的取值范围是(e,+o) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15已知首项为1的正项数列a,}满足V口-瓦=4 (1)求4； (2)求{a}的通项公式： (3)求数列 的前n项和Su an+an 【答案】(1)4 (2)n2 (3)、n n+1 【小间1详解】4=1.a-反=4瓜-石-4即石-14，解得a=4 【小问2详解】有1)餐瓜-反-4=1，所以小回}是首项为1，公差为1的等数列， Va=n,则a,=n2 【小问3详解11 1111 aa n+n (n+1)nnn+l 8-1名月}+1-1” 1 、2 223 ,故数列 =的前n项和Sn= nn+1n+1n+1 an+an n+1 16.已知函数f(x)=x2+alnr. (1)当a=-2,求函数f(x)的单调性和极值： (2)若函数gx)=f(x)+2在[24]上是单调增函数，求实数a的取值范围 【答案】(1)f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，+∞)，极小值是1，无极大值 (2)[-7,+0) 【详解】(1)函数f(=r+al血x的定义域为(0，+o),当a=-2时，f(y)=2x-2-2x-1+1, 当x变化时，∫(x),f(x)的变化情况如下： x (0,1) 1 (1,+∞) f(x) 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 故f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，+∞)，极小值是f1)=1,无极大值 ②)由题意得g8)=x+anx+二，x>0,8四)=2x+子，“函数8(0在[2,4]上是单调增函数， 1 g()20在2上恒成立，即a子2在2上恒成立，令M)是2，N)-是<0在2上担 成立，.h(x)在[2,4]单调递减，∴.h(x)a=h(2)=-7,.a≥-7，所以，实数a的取值范围是-7，+∞）. 17.为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了 100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长≥2小时” 和“整理错题时长<2小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150 分)分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x,单位：小时）与对应数学成绩（记为 变量y,单位：分)，得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 0 1 2 2 3 4 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据α=0.001的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？ 并解释所得结论的实际含义： 6 (2)请你结合第(1)问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某 名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：X= n(ad-be)2 n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0 0.050 0.010 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 2-g-列 经验回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： a=-b标. 到 【答案】(1)认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，答案见解析 (2)y=92.4+11.8x,145.5分，该结果与实际得分不一定相符合，原因见解析 【解析】 【分析】(1)根据独立性检验的概念，求出X，判断假设是否成立即可； (2)根据最小二乘估计公式求出经验回归方程，进而计算估计结果，判断其是否符合事实即可. 【小问1详解】 零假设为H,：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关， 根据表中数据可得，x2-100×60×40-20×10)250 16.67>10.828=x01: 40×60×50×50 3 根据小概率值=0.001的X独立性检验，我们推断H,不成立， 即认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，该推断犯错误的概率不超过0.001. 【小问2详解】 由数据得，元=0+1+2+2+3+4=2，=91+105+116+119+125+140=116. 6 6 含0g-0y-刃-2(25+（←1140x0-0x3+1k9+2x24-=18. 5-时10,6.26-列 2(s-列 18-18,a=7-际=-16-18x2924, 10 所以y关于x的经验回归方程为)=92.4+11.8x. 7 将x=4.5代入经验回归方程得少=92.4+11.8×4.5=145.5， 所以预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为145.5分. 该结果与实际得分不一定相符合，原因是把每周整理错题时长为4.5小时的学生数学成绩作为一个子总体，数学成 绩为145.5分是这个子总体的均值的估计值，影响数学成绩还有其他的因素（言之合理即可）. 18.已知数列{a}的首项4=1，{a,}的前n项和为S,且S1=2S+n+1(n∈N) (1)证明数列{a+}是等比数列； 2冷f四)=(a+Dx+(a,+D++a+1,求函数f(田在点x=1处的导数f'(四， 【答案】(1)证明见解析(2)f'()=(n-1)2+2 【详解】(1)因为Sm1=2Sn+n+1(neN),所以Sn=2S,1+n(n≥2)，所以 a=2a.+1(n≥2)→4+1+1=2(a.+1)(n22),又4+1=2，S2=2S1+2即4+1=2(a+1), 所以数列{4+1}是公比和首项均为2的等比数列. （2)由(1)a=2”-1,所以f(=2x+2x++2,所以f(9=12+2-2x+32x2++n2x 所以f0=12+22+32++n-2,设=12+22+32++n-2 所以27=12+2-2+32++m-2,所以-五=2+2+2++2-n24_20-2）n2=0-川2m-2 1-2 所以工=0m-1)2+2,所以f'①=(0n-12+2 19.己知函数f(x)=nx-xe-2+x-ln2. (1)求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程. (2)设f(x)的导函数为f(x),证明：'(x)存在唯一零点 (3)求f(x)的最大值 【答案】(1)3x+2y-6=0(2)证明见解析(3)1-n2 【详解】1)已知f()=hx-e+x-h2,则f(2=h2-2+2-h2=0,f()=名&+0e2+1, 则2)-3+1=-多所以切线方程为)y-0=3-2),即3x+2y-6=0 (2)由(1)f()=1-《+10e2+1,其定义域为(0，+o),设g)=(x)=1-c+1e2+1, 则g()=京(x+2e2<0,所以g)在(0，+)上单调递减，由g)=1-2e1+1=2-2>0, e 8 g)-}3心+1=一子0，根据零点存在性定理可知g在L)上存在唯一专点，即了)存在唯一专点 (3)由(2)知f"'(x)在(0，+o)上单调递减，且存在唯一零点x∈(1,2)，使得∫'(x)=0, 当0<x<时，f"(x)>0,f(x)在(0，)上单调递增；当x>时，f'(x)<0, ∫(x)在(，+)上单调递减；所以∫(x)的最大值为f(). 名，化简为2=1 因为了)0，所以名6+0e210.印6+e=号1若， 则6-2=-n,而f(xg)=h-6e2+名-h2=hmg-e*-2+6-h2=2-6-6×+6-h2=1-n2, 故f(x)的最大值为1-ln2. 9沈阳市回民中学2024级高二下学期期中考试 数学 命题人：高二数学组校对人：高二数学组 考试时间：120分钟考试分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1、命题“x∈R,x2+x+1>0”的否定为() A.3x∈R,x2+x+1<0 B.3x∈R,x2+x+1≤0 C.xER,x2+x+1≤0 D.VxER,x2+x+1<0 2命题“-2<0”的一个充分不必要条件是（) 2x+1 1 A-2x<1 C.-1<x<2 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且S2=3a,则公比g= A方 B C.2 D.3 4.函数f(x)=(x-1)e*的图象大致为() B D.0 5。已知等差数列{a,}和亿，}的前n项和分别为S,工，若三=+2 a3+as T,3n+4,则 =（) a+b6+05 A益 B C.13 111 D.3 37 6.已知数列{a,}的首项4=1，且满足a41+a,=3×2”,则ao的值为（) A.-1025 B.1023 C.-1023 D,1025 7.已知正数数列{an}是公比不等于1的等比数列，且aao26=1,试用推导等差数列前n项和的方法探求：若 f=年，则fa)+f()++faw=（） A.2025 B.4050 C.2026 D.4052 8,记函数f(x)的导函数为f'(x),已知f(2)=1,且x∈R,f'(x)<f(x),若关于x的不等式f(ar+1)<e在 1 x∈[1,2]上有解，则a的取值范围为( A.（-o,1） B.(经+o C.(1,+o∞) ( 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.下列命题中，正确的是() A.方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 B.若随机变量n服从二项分布B 则 P-)- C.某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变 D.若随机变量服从正态分布N(1,o2),P(5<2)=0.84,则P(0<5<2)=0.68 10.下列说法不正确的是（) A.若a<b<0,则a2<ab<b B.集合A={-2,},B={xax=2},若A∩B=B,则实数a的取值集合为{-l,2 C.y=mx+的最小值为2 Inx D.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件 11.大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用.已知大衍数列{an}满足4=0， an+n+1,n为奇数 an+,n为偶数 则正确的有() A.45=12 B.aan =2n2-n C.a2n1=a42m-1+4n D.数列{(-1)°an}的前20项和为120 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在等差数列{an}中，若a2+am-1=130,且前m项和Sm=260,则m= 13.已知P(A=0.6,P(A)=0.8,则P(AB)= 14.已知函数 (x)=血x,g)=e-x ,若x∈[，©]，3x2∈(0，使得f()>g(x)成立，则实数a的取值范围 x 是 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知首项为1的正项数列{a,}满足口1-瓦。=44， (1)求a2; (2)求{a}的通项公式： 1 (3)求数列 的前n项和Sn an+√an 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x2+alnx. (1)当a=-2,求函数f(x)的单调性和极值； 2)诺函数g()=f)+在2,4]上是单调增函数，求实数a的取值范围。 17.(本小题满分15分) 为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100 名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长≥2小时”和“整 理错题时长<2小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分 为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量x,单位：小时）与对应数学成绩（记为 变量y,单位：分)，得到如下数据： 学生编号 1 2 3 5 6 0 1 2 2 3 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据α=0.001的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？ 并解释所得结论的实际含义； (2)请你结合第(1)问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测某 名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合，原因是什么？ 参考数据与公式：X2= n(ad-be)2 n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.050 0.010 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 2(5-0y-列 经验回归方程=a+x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：6= a=-玩. 2列 18.(本小题满分17分) 已知数列{an}的首项a=1,{an}的前n项和为Sn,且Sn1=2Sn+n+1(neN) (1)证明数列{an+是等比数列； 2)冷f)=(4+Dx+(a,+D++a,+x,求函数f(在点x=1处的导数f(0. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=lnx-xe*-2+x-n2 (1)求曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程 (2)设f(x)的导函数为f”(x),证明：f'(x)存在唯一零点. (3)求f(x)的最大值. 4