精品解析：云南省玉溪师范学院附属中学2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题

玉溪师院附中2026届高二年级下学期期中考试 数学试卷 出题教师：陈照辉 审题教师：罗金东 一､单选题（每个小题仅有一个选项符合题目要求，每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量、满足，，且、的夹角为，则（ ） A B. C. D. 4 现将中国古典长篇小说四大名著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》全部分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则分配方法共（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 5. 若角的终边过点，则 A. B. C. D. 6. 某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱柱中，若，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每小题有多个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选不得分，每小题6分，共18分） 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A. 函数的最小正周期为2 B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 若方程在上有两个不等实数根，则． 10. 已知为双曲线的右焦点，经过点的直线交的两条渐近线于两点，为坐标原.若，则以下说法正确的是（ ） A. 是的角平分线 B. C. 两条渐近线夹角余弦值为 D. 双曲线的离心率为 11. 已知函数，下列命题正确的有（ ） A. 可能有2个零点 B. 一定有极小值，且0是极小值点 C. 时， D. 若存在极大值点，且，其中，则 三､填空题（每小题5分，共计15分，第14小题，第一空2分，第二空3分） 12. 在的展开式中，的系数为_______，（用数字作答） 13. 函数在处的切线方程为_______ 14. 将1，1，1，1，2，4，6，8这8个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），则不同的填数方法共有______种；若填入的每行数之和为偶数，则不同的填数方法共有______种（用数字作答）. 四､解答题（本大题共5小题，共计77分，写出必要的解答过程以及演算步骤） 15. 已知锐角的内角的对边分别为且； （1）求角； （2）如图，边垂直平分线交于，交边于，求长． 16. 设等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 17. 如图，在圆锥中，底面圆直径，母线，若点是上靠近点的三等分点，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极值点； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，即点关于M的一个共轭点为，已知椭圆C的离心率为，且椭圆C过点． （1）求椭圆M的方程； （2）求点A关于M的所有共轭点的坐标； （3）设点P，Q在M上，且，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪师院附中2026届高二年级下学期期中考试 数学试卷 出题教师：陈照辉 审题教师：罗金东 一､单选题（每个小题仅有一个选项符合题目要求，每小题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算计算即可. 【详解】由，得. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集含义即可得到答案. 【详解】根据交集含义知. 故选：C 3. 已知向量、满足，，且、的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算率可求出的值. 【详解】向量、满足，，且、夹角为， 所以， 所以. 故选：C. 4. 现将中国古典长篇小说四大名著《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》全部分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则分配方法共（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4本名著分为3组，②将分好的三组分给甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将4本名著分为3组，有种分法； ②将分好的三组分给甲乙丙三人，有种情况， 则有种分配方法； 故选：D． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 5. 若角的终边过点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：利用三角函数的定义求出、的值，再利用二倍角公式可得出的值； 解法二：利用三角函数的定义求出，再利用二倍角公式以及弦化切的思想求出的值． 【详解】解法一：由三角函数的定义可得，， ，故选D． 解法二：由三角函数定义可得， 所以， ，故选D． 【点睛】本题考查三角函数的定义与二倍角公式，考查同角三角函数的定义，利用三角函数的定义求值是解本题的关键，同时考查了同角三角函数基本思想的应用，考查计算能力，属于基础题． 6. 某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件，根据条件概率计算公式求解. 【详解】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件， 则， ， 所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是. 故选：D. 7. 在正三棱柱中，若，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用结合已知条件求解即可. 【详解】因为在正三棱柱中，若， 所以，， 所以， 设点A到平面的距离为， 因为， 所以， 所以，得. 故选：A 8. 已知分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角比证明点为椭圆短轴端点，然后根据的面积为列式即可得出答案. 详解】解析：如图， 设圆与轴切于点，与切于点， 设椭圆与轴正半轴交于点，下面证明，重合， 设，， ，而， 与重合，即点是短轴的端点， ，，则，所以， 故选：C. 二､多选题（每小题有多个选项符合题意，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选不得分，每小题6分，共18分） 9. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A. 函数的最小正周期为2 B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 若方程在上有两个不等实数根，则． 【答案】BC 【解析】 【分析】首先通过图象的最值确定的值，再根据图象上两点的横坐标求出周期，进而得到的值，然后将特殊点代入函数求出的值，最后根据正弦函数的对称轴性质以及方程根的对称性来逐一分析选项. 【详解】由函数图象可知， 表示振幅，所以.  函数的图象过点和，这两点间的距离是个周期，即，那么，故A错误；  根据正弦型函数的周期公式（），可得，所以.   把点代入中，得到，即. 因为，所以，，解得，故B正确； 由上分析可得：. 令，解得. 当时，，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 函数的图象在上，其对称轴为，即. 若方程在上有两个不等实数根，根据正弦函数图象的对称性可知.所以，故D错误.  故选：BC. 10. 已知为双曲线的右焦点，经过点的直线交的两条渐近线于两点，为坐标原.若，则以下说法正确的是（ ） A. 是的角平分线 B. C. 两条渐近线夹角的余弦值为 D. 双曲线的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线的性质、角平分线定理、余弦定理、二倍角公式以及离心率等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】根据双曲线渐近线的对称性可知A选项正确. B选项中，因为在中，OF为的平分线， 所以，所以，所以B选项正确. C中，设，则， 由余弦定理得， 所以C选项错误. D中，因为， 所以，即，所以， 所以D选项正确. 故选：ABD 11. 已知函数，下列命题正确的有（ ） A. 可能有2个零点 B. 一定有极小值，且0是极小值点 C. 时， D. 若存极大值点，且，其中，则 【答案】BD 【解析】 【分析】首先讨论的情形，再分的正负讨论函数的单调性和极值，由此可判断ABC的正误，；对于D，容易得到极大值点的值，再代入，得到关于的一元三次方程，此方程已经有一解，故可以因式分解求出，由此可判断D选项. 【详解】函数的定义域为，当时，为二次函数， 由抛物线性质可知存在极小值点，极小值为，此时无零点； 当时，可求得导函数，令，得或， 当时，可求得当时，；当时，， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 故此时存在极小值点，极小值为， 存在极大值点，极大值为； 当时，可求得当时，；当时，， 所以在和上单调递增，，在上单调递减， 故此时存在极小值点，极小值为， 存在极大值点，极大值为； 对于A，当时，无零点； 当时，因为在上单调递增，在和上单调递减， 而极小值为，所以只有1个零点； 当时，因为在和上单调递增，在上单调递减， 而极大值为，极小值为，所以只有1个零点，故A错误； 对于B，由以上分析，不论取何值，一定有极小值，且0是极小值点，故B正确； 对于C，当时，即时，此时在上单调递减， 又，所以，故C错误； 对于D，由上述分析可知，则， 由题意知，即， 此方程已有一根，故可因式分解为， 解得与相异的根，则，故D正确； 故选：BD. 三､填空题（每小题5分，共计15分，第14小题，第一空2分，第二空3分） 12. 在的展开式中，的系数为_______，（用数字作答） 【答案】-80 【解析】 【分析】直接利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】在的展开式中，的系数为 故答案为：-80 13. 函数在处的切线方程为_______ 【答案】 【解析】 【分析】先求导数，计算切线斜率和切点坐标，再利用点斜式写出切线方程即可． 【详解】因为，所以切线斜率， 又因为，所以切点为， 所以所求切线方程为，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的方程，属于基础题. 14. 将1，1，1，1，2，4，6，8这8个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），则不同的填数方法共有______种；若填入的每行数之和为偶数，则不同的填数方法共有______种（用数字作答）. 【答案】 ①. 1680 ②. 912 【解析】 【分析】应用分步分类计数原理，结合排列组合数求8个数填入格子的不同的填数方法，讨论数字1的填入方式，结合排列组合数求填入的每行数之和为偶数的填数方法. 【详解】首先任选4个格子填1，有种，再将余下的4个数填入其它4个格子，有种， 所以，不同填数方法共有种， 要使填入的每行数之和为偶数，第1、2行填1的个数有三种情况， 若，即第1行0个1，第2行4个1，此时有种； 若，即第1行、第2行各2个1，此时有种； 若，即第1行4个1，第2行0个1，此时有种； 所以共有种. 故答案为：1680，912 四､解答题（本大题共5小题，共计77分，写出必要的解答过程以及演算步骤） 15. 已知锐角的内角的对边分别为且； （1）求角； （2）如图，边的垂直平分线交于，交边于，求长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，化简计算即可求得结果； （2）由已知可得，在中，由正弦定理可求得，在中，由计算即可求得结果. 【详解】（1）， 由正弦定理得， 则，即， 又是锐角三角形的内角，故 （2）是等腰三角形， 且是一个底角，故为的中点，则， 在中，， 由正弦定理得， 故，故在中，． 16. 设等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用可求得数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法可求得. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 也满足，故对任意的，， 则，即是等差数列，合乎题意， 故对任意的，. 【小问2详解】 ， 17. 如图，在圆锥中，底面圆的直径，母线，若点是上靠近点的三等分点，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 如图连接， 因为底面圆的直径，所以为的中点， 因为点为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图取的中点，连接，则， 如图建立空间直角坐标系，因为底面圆的直径，母线， 所以，又点是上靠近点的三等分点，连接，则， 所以，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极值点； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）是函数的极小值点； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极值点. （2）分离参数并构造，再利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 由，得，当时，；当时，， 所以是函数的极小值点. 【小问2详解】 当时，不等式， 设，依题意，，， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的取值范围是. 19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，即点关于M的一个共轭点为，已知椭圆C的离心率为，且椭圆C过点． （1）求椭圆M的方程； （2）求点A关于M的所有共轭点的坐标； （3）设点P，Q在M上，且，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率定义，点在椭圆上和椭圆的性质列方程组可得； （2）根据题中定义，通过解方程组进行求解即可； （3）将直线方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式、椭圆弦长公式、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆M的方程为. 【小问2详解】 设点A关于M的共轭点的坐标为，由题意有， 消去得，解得， 即点A关于M的共轭点有且只有一个，坐标为，即为本身. 【小问3详解】 因为，所以， 所以设直线方程为：， 将其与椭圆方程联立有，消去得． 由解得． 又设，则． 则． 又设到直线距离为，则． 由（2）知，点A关于M的共轭点有且只有一个，坐标为，故所围成的图形为， 则其面积为 ， 当且仅当，即取等号． 故点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $