第01讲 相交线与平行线（7知识点+12大考点+5拓展训练+复习提升）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版2024）

第01讲 相交线与平行线 （7知识点+12大考点+5拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【注意】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 知识点 2 对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 知识点 3 同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 【补充】如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 知识点 4 余角和补角的性质 余角的性质：同角（等角）的余角相等； 补角的性质：同角（等角）的补角相等； 知识点 5 平行线的判定与性质的区别 条件 结论 作用 判定 同位角相等 两直线平行 由角的数量关系确定直线的位置关系 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 性质 两直线平行 同位角相等 由直线位置关系得到角的数量关系 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质. 【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 知识点 6 平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 知识点 7 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 考点一：相交线 例1．如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 【变式1-1】下列说法中正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫平行线 B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 C．互相垂直的两条线段一定相交 D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式1-2】有下列四种说法：①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直．其中正确的是 【变式1-3】如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 【变式1-4】平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有 对． 考点二：对顶角 例2．如图，直线，相交于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，直线和相交于点O，，射线平分，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，为液面，于点，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为 ． 【变式2-3】小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则 度． 【变式2-4】如图，直线与相交于点O，过点O作射线，且． (1)_______． (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 考点三：垂线 例3．如图，欲在河岸上某处点修建一水泵站，将水引到村庄处，可在图中画出垂直，垂足为，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【变式3-1】如图，点是直线外一点，点，，，，在直线上，，比较线段，，，，的长短，其中最短的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小．如图，工厂A处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在点 （填B或C）处受到的危害较小． 【变式3-3】如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为 (2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________； (3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）． 【变式3-4】如图，点在直线上，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为 ； ②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由． 考点四：同位角、内错角、同旁内角 例4．如图，直线分别交的两边于点，下列说法不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【变式4-1】科技是国家强盛总基，创新是民族进步之魂．如图，将一架飞机抽象成几何图形，其中与构成同位角的（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 【变式4-3】如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角：⑤与是对顶角，其中说法正确的是 ．（填序号） 【变式4-4】【新考向】如图，直线与直线交于点D． (1)写出的同位角，的内错角和的同旁内角； (2)在图中画出的对顶角； (3)若于G，且，求的度数． 考点五：平行公理 例5．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D．在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行 【变式5-1】在如图所示的平面内，点P是直线l外一点，过点P可作a条直线l的垂线和b条直线l的平行线，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【变式5-2】如图，在三角形中，已知．，，，，，有下列结论：①与不是同旁内角；②点A到直线的距离为2.4；③过点A仅能作一条直线与垂直；④过B点有且只有一条直线与直线平行．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 【变式5-4】现有一条直线及其外的一点． (1)①用三角板在直线上找一点，使的长度最短； ②理论依据是________； (2)①过点画的平行线； ②这样的平行线可以画________条． 考点六：平行线的判定 例6．如图，下列条件不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【变式6-2】如图，若将木条绕点旋转后使其与木条平行，则旋转的最小角度为 ． 【变式6-3】如图，在四边形中，点在边的延长线上，连接，如果添加一个条件，使得，那么可添加的条件为 （写出一个即可）． 【变式6-4】如图，直线，交于点，，分别平分和，且. (1)请判定直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数. 考点七：平行线的性质 例7．如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，直线经过顶点，且与边交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，是上一点，且直线与的夹角，则直线绕点按逆时针方向至少旋转 度，才能使． 【变式7-2】如图，直线，的顶点落在直线上，点落在直线上．若，，．求的度数．    【变式7-3】如图，点，在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点，交于点，过点作交的延长线于点，若，求的度数． 【变式7-4】已知，点在直线与之间，连接．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，求证∶． 考点八：根据平行线的性质探究角的关系 例8．如图，已知，和分别平分和，若，，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【变式8-1】小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 【变式8-2】如图，已知，则三者之间的关系是 ． 【变式8-3】如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有 ． 【变式8-4】已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出的度数：______． (2)如图2，点M为直线下方的动点，连接，平分，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； 考点九：平行线的性质在生活中的应用 例9．如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于 ． 【变式9-3】光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 【变式9-4】在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 考点十：平行线的判定与性质证明 例10．如图，在三角形中，过点作于点，点在上，过点作，若于点，延长至点，连接，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 【变式10-1】把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____，理由如下： （已知）， ， 又（已知）， _____（______）， ， ， 又（已知）， ， （_______）． 【变式10-2】已知：如图，，，垂足分别为D，G，． 求证：为的平分线． 证明：，（已知）， （________________）． （________________）． ________（________________）， ________（________________）． 又（已知）， ________________（等量代换）， 即为的平分线． 【变式10-3】已知点是直线，所确定的平面内的一点． (1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？ (2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若，，求的度数． 【变式10-4】如图1，是直线上两点，点在点左侧，过点的直线与过点的直线交于点．直线交直线于点，满足点在线段上，． (1)求证：； (2)如图2，点在直线、之间，平分，平分，点在同一直线上，且，求的度数； (3)在（2）的条件下，若点是直线上一点，直线交直线于点，点在点左侧，请直接写出和的数量关系．（题中所有角都是大于且小于的角） 考点十一：利用平移的性质求解 例11．如图，面积为的以每秒的速度沿射线方向平移，平移2秒后所得图形是（点在线段上），若，则图中的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为 ． 【变式11-2】如图，边长为4的等边三角形与等边三角形互相重合，将三角形沿直线l向右平移m个单位长度，在整个平移过程中，当点C、E是线段的三等分点时， ． 【变式11-3】如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当的周长为16，时，求四边形的周长； (2)已知的面积为12，．当所扫过的面积为18时，求a的值． 【变式11-4】如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 考点十二：平移作图 例12．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移以后的； (2)连接，则这两条线段的关系是______； (3)求线段AB在平移过程中扫过区域的面积？ 【变式12-1】如图，线段和相交于点M，交于点N． (1)将线段沿线段所示的方向平移，使点M与点E重合，在图中画出平移后的线段； (2)若小梦测量出，求和的度数． 【变式12-2】如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留作图痕迹）： (1)画出； (2)连接、，那么线段与线段的关系是______； (3)平移过程中，线段扫过的面积为______． 【变式12-3】在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点位置如图所示． (1)将先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点，请画出平移后的； (2)若连接，则这两条线段之间的数量关系是 ，位置关系是 ； (3)如果点P是线段的中点，画出平移后点P的对应点Q的位置．（利用网格点和直尺画图）． 【变式12-4】如图、在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． (1)作出平移后的； (2)连接、，线段、之间的关系是______； (3)画格点，使得直线； (4)在上找一点，使得写出的面积是． 【变式12-1】 拓展训练一：相交线的压轴问题 1．如图，直线、相交于点，平分，，垂足为．若，则的度数是 2．如图，直线相交于点，，平分，若，则的度数为 ． 3．如图，直线相交于点是直角． (1)若，则______． (2)若，求的度数． (3)若，求和的度数． 4．点为直线上一点，在直线同侧任作一个，使得． (1)如图1，过点作射线，当恰好为的角平分线时，请直接写出与之间的倍数关系，即______（填一个数字）； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的角平分线，另作射线，使得平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，作射线，使得，求的度数． 5．已知：如图，直线与直线交点O，，平分． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数． 拓展训练二：平行线的判定与性质压轴 1．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 3．课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．    解：过点作，所以　　，　　， 又因为， 所以．    解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图1，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．    4．综合与探究    (1)如图1，，，则与之间的数量关系为 ；如图2，，，则与之间的数量关系为 ． (2)在图3中，，，，，求的度数． (3)在图4中，，，，平分，试探究、与之间的数量关系． 5．在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．    (1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数； (2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 拓展训练三：利用平行线的性质探究角之间的关系 1．综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 2．已知，为两直线间的一点． (1)如图①，若与的平分线相交于点，，求的度数； (2)如图②，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？为什么？ (3)如图③，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，则与有何数量关系？为什么？ 3．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 4．已知，点A，B在直线上，点C，D在直线b上，且AD⊥BC于E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是_______． 5．已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、． (1)如图1，若，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数； (3)如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________． 拓展训练四：角中的动点问题 1．如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 2．综合与实践： 如图1，，． (1)如图1，设，，求、之间的数量关系； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，直接写出的度数． 3．已知：如图，直线，直线与、分别交于E、F两点．过F作射线平分，交于点G．射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q．        (1)如图1，当经过点E时，求证：平分； (2)当点P在运动过程中，作的角平分线，交射线于点M，试探究与的数量关系，请写出你的猜想并加以证明． 4．如图，已知，O为直线上一点，动点E，F在直线上（F在E的右侧）且满足在外部且平分交于点N． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若射线上有一点满足，请探究与之间的数量关系并说明理由； (3)如图3，若，射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，当射线和射线平行时，求出的值． 5．如图1，，为之间任意一点． (1)若平分平分．求证：； (2)如图2，若，且的延长线交的角平分线于点的延长线交的角平分线于点，猜想的运算结果并且证明你的结论； (3)如图3，若点是射线之间一动点，平分平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论． 拓展训练五：平移综合题 1．如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向平移个单位，得到长方形，若的长度为，则的值为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 2．将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．48 C．46 D．50 3．如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．下列结论：①；②；③阴影部分的周长为12cm；④若，则的周长比四边形的周长少；⑤若的面积比的面积大，则；其中正确结论为 （请填序号） 4．如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ． 5．如图，在中，已知，点E，F分别在边上．将沿直线折叠，使点B落在点D处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则的值为 ．    1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，是的平分线，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）现将两个直角三角尺作如图摆放，，，直线过点，在直线上．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；② ；③平分；④平分． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，点E是四边形外一点，连接交于点F，连接，已知，，点G是上的一点，连接，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，平分，若，则 ． 7．（24-25七年级下·浙江温州·期中）光在不同介质中的传播速度不同，故从一种介质射向另一种介质时，光会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，已知点在射线上，，，则的度数= ． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知,,分别平分和，且交于点，若，则 （含的代数式表示） 9．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，是锐角，平分，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接，若在整个平移过程中，和中一个角是另一个角的3倍，则 ． 10．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，分别为直线上两点，且射线绕点以3度/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以12度/秒的速度逆时针旋转至射线后立即以8度/秒的速度顺时针返回．当与重合时，两条射线都停止运动，设旋转时间为（秒），当时，的值为 秒． 11．（23-24七年级下·浙江文章·期中）一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当 °时，． 12．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图已知，，，与互补．试判断与的位置关系，并说明理由． 13．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示是超市购物车的侧面示意图，扶手框顶框底，车轮两支脚架． (1)求的度数． (2)若支脚架所在的直线垂直于，试判断与支脚架的位置关系，并说明理由． 14．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)试说明：； (2)若与互余，试说明：． 15．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，直线分别交，于点，，直角三角板如图放置，，直线. (1)求的度数. (2)将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，得到三角板，旋转的时间为秒. ①当三角板的一边与直线平行时，求的值； ②三角板绕点旋转的同时，直线绕点以每秒的速度逆时针旋转到，若，求的值. 16．（23-24七年级下·浙江·期中）如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究： (1)探究反射规律，如图3 ①若，则___________（用含的代数式表示）． ②若光线，判断与的位置关系，并说明理由． (2)模拟应用研究 在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点（如图4），因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数． 17．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图1，点分别在直线和上，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒． (1)①的度数为___________（用的代数式表示）； ②当射线经过点时，此时的度数为____________． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点，过点作交直线于点，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 18．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图1，已知，为与之间一点，点，分别在直线上，且平分，连接． (1)求与的数量关系． (2)如图的角平分线分别交直线和线段的延长线于点和． ①已知，求的度数． ②若，且三等分，求的度数． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 相交线与平行线 （7知识点+12大考点+5拓展训练+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短.如图，点P与直线m上的各点连线中，线段PO最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 【注意】 1）垂线段是一个几何图形，而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，容易出现概念混淆的错误； 2）过直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条是垂线段，且垂线段是最短的. 知识点 2 对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶点 一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线 ∠1=∠2，∠3=∠4 邻补角 有公共顶点 两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线. ∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180° ∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180° 知识点 3 同位角、内错角、同旁内角 角的名称 位置特征 基本图形 图形结构特征 同位角 在截线的同侧，在被截两条直线同侧 形如字母“F” 内错角 在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线的同侧，在被截两条直线之间 形如字母“U” 【补充】如图，两条直线a、b被第三条直线c所截，构成8个角，简称为“三线八角”，其中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角. 知识点 4 余角和补角的性质 余角的性质：同角（等角）的余角相等； 补角的性质：同角（等角）的补角相等； 知识点 5 平行线的判定与性质的区别 条件 结论 作用 判定 同位角相等 两直线平行 由角的数量关系确定直线的位置关系 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 性质 两直线平行 同位角相等 由直线位置关系得到角的数量关系 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质. 【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 知识点 6 平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 知识点 7 图形的平移 1.定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种 移动，叫做平移变换，简称平移。 2.平移三要素：图形的原来位置、平移的方向、平移的距离。 3. 平移的性质 （1）对应点的连线平行(或共线)且相等 （2）对应线段平行(或共线)且相等； （3）对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。 4.平移作图的步骤和方法：平行线法、对应点连线法、全等图形法 （1）找关键点； （2）过每个关键点作平移方向的平行线，截取与之相等的距离，标出对应点 （3）连接对应点。将原图形的各个特征点按规定的方向平移，得到相应的对称点，再将各对称点进行相应连接，即得到平移后的图形 考点一：相交线 例1．如图，下面的说法正确的是（　　） A．点P在直线m上 B．直线m和n相交于点O C．可以表示成或 D．射线和射线表示同一条射线 【答案】B 【分析】本题主要考查点和线的位置关系，角的表示以及相关的数学语言，根据点和线的位置关系以及数学语言判断即可． 【详解】解：A．点P在直线m外，该选项错误； B．直线m和n相交于点O，该选项正确； C．可以表示成，该选项错误； D．射线和射线表示不同射线，该选项错误． 故选：B． 【变式1-1】下列说法中正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫平行线 B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 C．互相垂直的两条线段一定相交 D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理、点到直线的距离的概念、平面内两直线的位置关系等是解题的关键．根据平行线的判定、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系等求解判断即可． 【详解】解：A．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故A说法不符合题意； B．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故B说法不符合题意； C．平面内，互相垂直的两条直线一定相交，而平面内，互相垂直的两条线段不一定相交，故C说法不符合题意； D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D说法符合题意； 故选：D． 【变式1-2】有下列四种说法：①经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④在同一平面内，两条直线的位置只有两种：相交和垂直．其中正确的是 【答案】② 【分析】本题考查了补角的定义，两直线的位置关系，垂线的性质，同角的余角，熟练掌握以上性质定理是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直，故①错误； 一个角的补角不一定大于这个角，也可能等于或小于这个角，例如：90度角的补角也是90度，两角相等，故②错误； 如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等，故③正确； 在同一平面内，两条直线的位置：相交和平行或重合，故④错误； 故答案为：②． 【变式1-3】如图所示的长方体，观察并回答下列问题． (1)用符号表示两条棱的位置关系： ①______；    ②______； ③______；    ④______． (2)与所在的直线不相交，它们______平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在______内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】(1)①，③，②，④ (2)不是，同一平面 【分析】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的判定方法，垂直的定义． （1）平行线的判定方法，垂直的定义即可判断； （2）由图形即可得到答案． 【详解】（1）根据图可知，，，， 故答案为：①，③，②，④； （2）与所在的直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线． 故答案为：不是，同一平面． 【变式1-4】平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有 对． 【答案】12002 【分析】本题考查了相交线与平行线，对顶角等知识，任意两条相交线形成两对对顶角，故一条（与原来3000条直线都不平行）与原来3000条互相平行的直线可以形成对对顶角，据此解答即可． 【详解】解：不平行的两条直线组成的一组直线可以形成两对对顶角，这样的两条直线可以找到(组)． 故答案为：12002． 考点二：对顶角 例2．如图，直线，相交于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对顶角相等可得，再根据垂直的定义可得，从而可得的度数． 本题考查了垂线，对顶角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 【详解】解：∵直线，相交于点O， ∴， ∵， ∴， ， 故选：B． 【变式2-1】如图，直线和相交于点O，，射线平分，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，对顶角线段，先由对顶角线段得到，再由角平分线的定义得到，再由角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【变式2-2】当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，为液面，于点，一束光线沿射入液面，在点处发生折射，折射光线为，点为的延长线上一点，若入射角，折射角，则的度数为 ． 【答案】/14度 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，根据对顶角相等求出，再计算角的差即可． 【详解】解：点为的延长线上一点， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，由对顶角相等得出，结合题意计算即可得解，熟练掌握对顶角相等是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】如图，直线与相交于点O，过点O作射线，且． (1)_______． (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）由对顶角相等即可求解； （2）根据，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴ 考点三：垂线 例3．如图，欲在河岸上某处点修建一水泵站，将水引到村庄处，可在图中画出垂直，垂足为，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是（   ） A．两点之间，线段最短 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：画出垂直，垂足为，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是垂线段最短； 故选：C． 【变式3-1】如图，点是直线外一点，点，，，，在直线上，，比较线段，，，，的长短，其中最短的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线段最短，解答即可． 本题考查了垂线段最短，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是垂线段，故最短， 故A，C，D都是错误的，B正确， 故选：B． 【变式3-2】噪声污染对人、动物、仪器仪表以及建筑物等均会构成危害，其危害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．人距离声源越远，听到的声音越小，受到的危害就越小．如图，工厂A处有大型生产机器会产生较大噪声，人站在点 （填B或C）处受到的危害较小． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短．根据垂线段最短解答． 【详解】∵， ∴， ∴在B处受到的然危害小． 故选：B． 【变式3-3】如图，网格线的交点叫格点，格点是的边上的一点（请用无刻度的直尺借助网格的格点画图，保留画图痕迹）． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为 (2)线段___________的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是___________（用“”号连接），理由是___________； (3)图中的余角是___________（不再标注其它字母）． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 (3)和 【分析】本题主要考查了画垂线，点到直线的距离，垂线段最短和余角的定义，正确作出对应的图形是解题的关键； （1）如图所示，取格点H，连接交于E，则点E和射线即为所求；如图所示，取格点F，连接，则点F和射线即为所求； （2）点到直线的距离为该点向该直线作垂线，该点与垂足的距离，据此可得第一空答案，根据垂线段最短可得第二、三空的答案； （3）根据度数之和为90度的两个角互余，结合三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴线段的长度是点到直线的距离，线段、这两条线段大小关系是，理由是垂线段最短； （3）解：∵， ∴， ∴的余角是和． 【变式3-4】如图，点在直线上，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为 ； ②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)①8；②线段更长，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，点到直线的距离，垂线段最短，数形结合是解答本题的关键． （1）根据角的和差计算即可； （2）①根据点到直线的距离解答即可； ②根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解： ， . ， ； （2）解：①∵，， ∴点到的距离为， 故答案为：8； ②线段更长， 理由：， ∴， ， ∴， ∴， 在线段中，线段更长． 考点四：同位角、内错角、同旁内角 例4．如图，直线分别交的两边于点，下列说法不正确的是（   ） A．和是内错角 B．和是同旁内角 C．和是同旁内角 D．和是同位角 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、和是内错角，原说法正确，不符合题意； B、和是同旁内角，原说法正确，不符合题意； C、和是同位角，原说法错误，符合题意； D、和是同位角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】科技是国家强盛总基，创新是民族进步之魂．如图，将一架飞机抽象成几何图形，其中与构成同位角的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同位角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，与构成同位角的是， 故选：A． 【变式4-2】如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】C 【分析】本题考查了同旁内角、对顶角、同位角、内错角，熟练掌握各类角的概念是解题的关键．根据同旁内角、对顶角、同位角、内错角的定义和所在位置关系，即可判断各个角之间的关系． 【详解】A、同旁内角：在截线同侧，在两条被截线之间，那么与是同旁内角，故A正确，不符合题意； B、对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，那么与是对顶角，故B正确，不符合题意； C、同位角：在截线同侧，在两条被截线同一方，那么与不是同位角，故C错误，符合题意； D、内错角：在截线两侧，在两条被截线之间，那么与是内错角，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式4-3】如图，给出下列结论：①与是同旁内角；②与是同位角；③与是内错角；④与是同位角：⑤与是对顶角，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题考查了同旁内角，同位角，内错角，对顶角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据定义，一一判断即可． 【详解】解：①与是同旁内角，故符合题意；②与是同位角，故符合题意；③与不是内错角，故不符合题意；④与不是同位角，故不符合题意；⑤与是邻补角，故不符合题意；． 故答案为：①②． 【变式4-4】【新考向】如图，直线与直线交于点D． (1)写出的同位角，的内错角和的同旁内角； (2)在图中画出的对顶角； (3)若于G，且，求的度数． 【答案】(1)的同位角和；的内错角是；的同旁内角是和 (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了三线八角，垂线的定义，对顶角的定义； （1）根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个判断即可； （2）根据对顶角的定义画图即可；对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线． （3）由垂直得到，再根据对顶角得到． 【详解】（1）解：与是直线、被所截形成的同位角； 与是直线、被所截形成的同位角； 与是直线、被所截形成的内错角； 与是直线、被所截形成的同旁内角； 与是直线、被所截形成的同旁内角； （2）解：如图，分别延长和得到射线、，则的对顶角是； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点五：平行公理 例5．下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D．在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理，垂线的性质，点到直线的距离及直线和直线的位置关系，根据平行公理，垂线的性质，点到直线的距离的定义及直线和直线的位置关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，该选项说法错误，不符合题意； 、在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，该选项说法错误，不符合题意； 、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，该选项说法错误，不符合题意； 、在同一平面上，不重合的两条直线，如果它们不相交，那么就一定平行，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 【变式5-1】在如图所示的平面内，点P是直线l外一点，过点P可作a条直线l的垂线和b条直线l的平行线，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查平面内垂线和平行线的基本性质．熟练掌握过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直以及经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行这两个重要性质，是解题的关键． 先分别依据垂线和平行线的性质确定、的值，再将其代入计算出结果． 【详解】在平面内，根据垂线的性质，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 。所以过点作直线的垂线，． 在平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。所以过点作直线的平行线， ． 将，代入，可得 ． 故选：C． 【变式5-2】如图，在三角形中，已知．，，，，，有下列结论：①与不是同旁内角；②点A到直线的距离为2.4；③过点A仅能作一条直线与垂直；④过B点有且只有一条直线与直线平行．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离、同旁内角、平行线的性质、垂线的性质，解决本题的关键是熟练掌握相关的知识． 根据同旁内角的定义，对①进行判断；根据三角形的面积公式，对②进行判断；根据垂线的性质对③进行判断；根据平行线的性质，对④进行判断即可． 【详解】解：与是直线和被直线所截的同旁内角，故①错误； ∵，，，，， ∴三角形的面积， ∴， ∴ ∴点到直线的距离，故②正确； ∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， ∴过点仅能作一条直线与垂直，故③正确 ∵在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过直线外一点有且只有一条直线与直线平行，故④正确 故选：C． 【变式5-3】已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个判断：①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中正确的是 ．（填写所有正确的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查两直线的位置关系，平行公理，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确； ②如果，，那么，正确； ③如果，，那么，错误，应该是； ④如果，，那么，正确． 故答案为：①②④． 【变式5-4】现有一条直线及其外的一点． (1)①用三角板在直线上找一点，使的长度最短； ②理论依据是________； (2)①过点画的平行线； ②这样的平行线可以画________条． 【答案】(1)①图见解析②垂线段最短 (2)①图见解析②1 【分析】本题考查画垂线和平行线，垂线段最短和平行公理： （1）①作即可；②根据垂线段最短作答即可； （2）①利用直尺和三角板画平行线即可；②根据平行公理，得到只能画1条． 【详解】（1）解：①如图，点即为所求； ②理论依据为：垂线段最短； 故答案为：垂线段最短； （2）①由题意，作图如下： ②这样的平行线可以画1条， 故答案为：1． 考点六：平行线的判定 例6．如图，下列条件不能证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定； 根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、由可得，不符合题意； B、由可得，不符合题意； C、由可得，不符合题意； D、由可得，不能得出，符合题意； 故选：D． 【变式6-1】如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故不符合题意； B、∵，∴，故符合题意； C、∵，∴，故不符合题意； D、∵，∴，故不符合题意； 故选：B． 【变式6-2】如图，若将木条绕点旋转后使其与木条平行，则旋转的最小角度为 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．根据同位角相等两直线平行可得当时，，进而算出答案． 【详解】解：∵当时， ∴旋转的最小角度为， 故答案为：． 【变式6-3】如图，在四边形中，点在边的延长线上，连接，如果添加一个条件，使得，那么可添加的条件为 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，内错角相等，两直线平行；据此即可求解． 【详解】解：添加的条件为：， 理由：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-4】如图，直线，交于点，，分别平分和，且. (1)请判定直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数. 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键． （1）由角平分线定义可得，则可求得，从而可求得，即可判定； （2）由（1）可知，再根据对顶角性质求解即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 考点七：平行线的性质 例7．如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，直线经过顶点，且与边交于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．先求得的度数，根据平行线的性质即可求得答案的度数，继而求得的度数． 【详解】解：如图， ∵直角三角板的直角顶点C在直线m上，， ∴， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式7-1】如图，是上一点，且直线与的夹角，则直线绕点按逆时针方向至少旋转 度，才能使． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线．熟练掌握平行线的性质与判定，是解决本题的关键． 根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【详解】解：， ． ． 故答案为：． 【变式7-2】如图，直线，的顶点落在直线上，点落在直线上．若，，．求的度数．    【答案】 【分析】由直线，所以，结合，，，即可得答案． 【详解】解：直线， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 【变式7-3】如图，点，在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点，交于点，过点作交的延长线于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由题意，结合图形，得到，从而证得两直线平行； （2）根据题意，得到的度数，利用角平分线的定义以及平行线的性质得的度数，，即可得解． 【详解】（1）解：为平角， 又， ， ； （2）解：如图所示， ，    ， ， ， ，    又为的角平分线， ， ， ，    ， ． 【变式7-4】已知，点在直线与之间，连接．    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，求证∶． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）如图1，过点E作，    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴； （2）如图2，过点E作，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 考点八：根据平行线的性质探究角的关系 例8．如图，已知，和分别平分和，若，，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，由角平分线的定义可得，，作，，则，再结合平行线的性质计算并比较即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和分别平分和， ∴，， 如图，过点作，过点作， ， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式8-1】小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，如图，，交于点，，，平分，若设，，则和之间的关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，若两直线平行，则同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，灵活应用平行线的性质是解题的关键．过点作，由平行公理得，根据平行线的性质得，，由角平分线的定义得，由，得到含有和的等式，化简即可得到和之间的关系． 【详解】解：如图， 过点作， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 即． 故选：C． 【变式8-2】如图，已知，则三者之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，掌握这三个性质定理是解题的关键． 根据平行线的性质得到，，，再结合代入整理即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】如图，把一张对边互相平行的纸条，沿折叠，则以下结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④⑤ 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕是角平分线，结合平行线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵折叠， ∴，；故⑤正确； ∵， ∴，，， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴，；故②④正确； ∵， ∴；故③正确； 故答案为：①②③④⑤ 【变式8-4】已知点A，B，C，D，E均为定点，直线，点P为射线上一个动点（点P不与点A重合），连接， (1)如图1，当点P在线段上时，若，，直接写出的度数：______． (2)如图2，点M为直线下方的动点，连接，平分，当点P在线段上时，连接，若平分，用等式表示与之间的数量关系，并证明； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的有关计算； （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，由角的和差，即可求解； （2）过作，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，，结合角平分线的定义及角的和差，即可得证； 能根据题意添加辅助线，并能熟练平行线的判定及性质，角平分线的定义进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：过作， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， 证明：过作，过作， ， ， ， ， ， ， 平分， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点九：平行线的性质在生活中的应用 例9．如图，水平放置的长方体容器，容器里装有某溶液，光线射向容器液面，折射后光线由方向变成方向．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到，求出，结合，即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：C． 【变式9-1】如图，图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯的图片，图2是它的平面示意图，已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，那么上折臂与路灯的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【变式9-2】2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作，，则，根据平行线得到，，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，，点在点右边，点在点右边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与水平线的夹角为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查平行线性质的应用，由，可得，，由反射的性质可得，由此可解． 【详解】解：， ， 由题意知，， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式9-4】在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】 ① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ； ② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)①；②与所成锐角的度数为 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明； （2）过点F作交于点G，则，根据平行线的性质即可证明； （3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解；②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：过点F作交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：①如图，作，则， ，， ， 故答案为：； ② 过点E作， 由题意可知：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即：与所成锐角的度数为． 考点十：平行线的判定与性质证明 例10．如图，在三角形中，过点作于点，点在上，过点作，若于点，延长至点，连接，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）根据，，可得，得，进而得，可得结论； （2）根据，可以设，根据，可得，由得到，根据，求出x的值，进而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：， 设， ， ， ， ， ， ，即 ． 【变式10-1】把下面解答过程中的理由或数学式补充完整． 如图，．试判断：与的位置关系？并说明理由． 解：与的位置关系是_____，理由如下： （已知）， ， 又（已知）， _____（______）， ， ， 又（已知）， ， （_______）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，平行公理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 根据平行线的判定和性质，垂直的定义，平行公理，等量代换思想解答即可． 【详解】解：与的位置关系是，理由如下： （已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【变式10-2】已知：如图，，，垂足分别为D，G，． 求证：为的平分线． 证明：，（已知）， （________________）． （________________）． ________（________________）， ________（________________）． 又（已知）， ________________（等量代换）， 即为的平分线． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；； 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、垂直的定义、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据平行线的性质与判定、垂直的定义、角平分线的定义即可证明． 【详解】证明：，（已知）， （垂直的定义）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， （等量代换）， 即为的平分线． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等；；． 【变式10-3】已知点是直线，所确定的平面内的一点． (1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？ (2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）首先过点M作，易得，，进而可得，由同旁内角互补，两直线平行可得，进而可得，； （2）作， 可得，根据两直线平行，内错角相等，即可证得； （3）由（2）知，，先求出，进而可得，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：结论 ：， 理由：如图1所示，过点M作， ∴， ∵， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论 ：， 如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 【变式10-4】如图1，是直线上两点，点在点左侧，过点的直线与过点的直线交于点．直线交直线于点，满足点在线段上，． (1)求证：； (2)如图2，点在直线、之间，平分，平分，点在同一直线上，且，求的度数； (3)在（2）的条件下，若点是直线上一点，直线交直线于点，点在点左侧，请直接写出和的数量关系．（题中所有角都是大于且小于的角） 【答案】(1)见解析 (2) (3)和的数量关系为或或或． 【分析】本题考查了平行线性质和判定，角平分线性质，解题的关键在于利用“分类讨论”的数学思想解决问题． （1）如图，过点作，利用平行线性质推出，再结合平行线判定定理即可证明； （2）过点作，结合平行线性质，以及角平分线性质得到，，再结合，，代换求解，即可解题； （3）根据点在点左侧，分四种情况①当点在延长线上时，②当点在线段上时，③当点在延长线上时（在平行线之间），④当点在延长线上时（且在直线下方），结合平行线性质求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ， ， ， ， ； （2）解：过点作， ， ， ， ，平分，平分， ， ， ，， ， 解得； （3）解：①当点在延长线上时， ， ， ，平分， ， ， 即和的数量关系为； ②当点在线段上时， ， ， ，平分， ， ， 即和的数量关系为； ③当点在延长线上时（且在平行线之间）， ， ， ，平分， ， ， 即和的数量关系为； ④当点在延长线上时（且在直线下方）， ， ， ， ， 即和的数量关系为； 综上所述：和的数量关系为或或或． 考点十一：利用平移的性质求解 例11．如图，面积为的以每秒的速度沿射线方向平移，平移2秒后所得图形是（点在线段上），若，则图中的四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平移的性质．根据平移的性质求出，设的边上的高为，求出，利用四边形的面积为即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，， 由平移的性质可得， ， ∵， ∴， ∴， 设的边上的高为， 则， 解得， ∴四边形的面积为 故选：C 【变式11-1】如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键．根据的平移过程，分点在上和点在的延长线上两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵， ， ， ， 解得：， ， ②当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ②当时， 由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或． 故答案为：或或 【变式11-2】如图，边长为4的等边三角形与等边三角形互相重合，将三角形沿直线l向右平移m个单位长度，在整个平移过程中，当点C、E是线段的三等分点时， ． 【答案】8或2 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的距离即为对应点所连线段的长度这一性质是解题的关键；若C、E是线段的三等分点时，分两个三角形完全不重叠时；两个三角形部分重叠时，分别画出图形求解即可． 【详解】解：如图，两个三角形完全不重叠时，因为C、E是线段的三等分点，所以，由平移的性质可知， 所以； 如图，两个三角形部分重叠时，因为C、E是线段的三等分点，，所以， 解得：， 综上所述，m的值为8或2． 故答案为：8或2． 【变式11-3】如图，将沿直线向右平移a个单位到的位置． (1)连接，当的周长为16，时，求四边形的周长； (2)已知的面积为12，．当所扫过的面积为18时，求a的值． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查的是平移的性质，熟记平移的性质是解本题的关键； （1）如图，连接，根据平移的性质可得，，再进一步求解即可； （2）如图，作于H，先求解，再结合所扫过面积即梯形的面积，进一步计算即可. 【详解】（1）解：如图，连接， 根据平移的性质可知，， ∵的周长为16， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． （2）解：如图，作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴所扫过面积即梯形的面积， 则， 解得：． 答：a的值为． 【变式11-4】如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵的周长为， ∴ ∴阴影部分的周长为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 依题意，， ∴， （3）解： ∵，设，则 如图，连接， ∵， ∴ ∴ 解得： 即 故答案为：． 考点十二：平移作图 例12．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，将按照某方向经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)画出平移以后的； (2)连接，则这两条线段的关系是______； (3)求线段AB在平移过程中扫过区域的面积？ 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)20 【分析】本题考查作图平移变换，平移的性质，平行四边形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质可得答案． （3）求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：由平移的性质得，， ∴这两条线段的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． （3）解：线段在平移过程中扫过区域的面积为． 答：线段AB在平移过程中扫过区域的面积为20． 【变式12-1】如图，线段和相交于点M，交于点N． (1)将线段沿线段所示的方向平移，使点M与点E重合，在图中画出平移后的线段； (2)若小梦测量出，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了利用平移的性质作图，作垂线，平行线的性质，直角三角形的性质，理解作图的方法是解决本题的关键． （1）首先根据平移的性质，即可画得； （2）根据平行线的性质及直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式12-2】如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留作图痕迹）： (1)画出； (2)连接、，那么线段与线段的关系是______； (3)平移过程中，线段扫过的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)10 【分析】本题考查了平移作图和平移的性质，熟知平移的性质是解题的关键； （1）根据平移的性质画图即可； （2）利用平移的性质即可得到结论； （3）线段扫过的面积为平行四边形的面积，再求面积即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：连接、，那么线段与线段的关系是，； 故答案为：， （3）解：如上图，线段扫过的面积为平行四边形的面积， 且的面积． 【变式12-3】在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点位置如图所示． (1)将先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点，请画出平移后的； (2)若连接，则这两条线段之间的数量关系是 ，位置关系是 ； (3)如果点P是线段的中点，画出平移后点P的对应点Q的位置．（利用网格点和直尺画图）． 【答案】(1)见解析 (2)，． (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质、格点作图等；熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）先确定点D，E、F的位置，然后连线即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）根据网格特点确定即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由平移的性质可知，，． 故答案为：，． （3）解：如图，线段是所在矩形的对角线， ∴作出线段是所在矩形的另一对角线，两对角线的交点即为的中点， ∴点Q即为所求． 【变式12-4】如图、在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． (1)作出平移后的； (2)连接、，线段、之间的关系是______； (3)画格点，使得直线； (4)在上找一点，使得写出的面积是． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图——平移变换，平移的性质，平行线的性质，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由点和点的位置可确定平移方式为“向右平移个格，向下平移个格”，即可确定、点平移后的对应点、，最后顺次连接、、三点即可； （2）根据图形平移后，对应点连成的线段平行且相等即可求解； （3）将向上平移过点，即可得到点； （4）找到格点，过格点作的平行线交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，连接、， 由图可知，线段、之间的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等； （3）如图，点即为所求； （4）如图，点即为所求． 【变式12-1】 拓展训练一：相交线的压轴问题 1．如图，直线、相交于点，平分，，垂足为．若，则的度数是 【答案】 【分析】本题是几何图形中角度的计算，考查了垂直定义，角平分线定义，根据对顶角的性质得，再根据垂直定义得，然后根据角平分线定义得，由此根据可得出答案．理解垂直定义，角平分线定义，对顶角相等，熟练掌握角的计算是解题的关键． 【详解】解：：∵直线、相交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的度数是． 故答案为：． 2．如图，直线相交于点，，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角相等，设，则，得，进而由垂直得，再根据角平分线的定义得，求出可得的度数，最后根据对顶角相等即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，直线相交于点是直角． (1)若，则______． (2)若，求的度数． (3)若，求和的度数． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了相交线成的角．熟练掌握邻补角，平角，余角，角的和与差倍分关系，是解题的关键． （1）根据，可得，再由，可得，结合，即可求解； （2）根据，可得， （3）由已知可得，得，得，即得． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．点为直线上一点，在直线同侧任作一个，使得． (1)如图1，过点作射线，当恰好为的角平分线时，请直接写出与之间的倍数关系，即______（填一个数字）； (2)如图2，过点作射线，使恰好为的角平分线，另作射线，使得平分，求的度数； (3)在（2）的条件下，若，作射线，使得，求的度数． 【答案】(1)2 (2)，详见解析 (3)或，详见解析 【分析】（1）由题意得出，再由角平分线的定义进行计算，即可得出结果； （2）设，由角平分线定义和已知得出，，即可得出结果； （3）分别用x表示出，列方程求出x，再分别讨论的位置即可得解． 【详解】（1）；理由如下： ∵． ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）∵为的角平分线，平分， ∴设， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 当在左侧时，， ， 当在右侧时，． 【点睛】本题考查了角平分线定义、角的互余关系、邻补角定义、角的计算及解一元一次方程等知识点；熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． 5．已知：如图，直线与直线交点O，，平分． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，，在直线的下方，若平分，平分，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】该题主要考查了角的和差倍分运算以及角平分线的定义、垂直定义、对顶角相等，解题的关键是找到图中角度之间的关系，列出等式； （1）根据垂直的定义得出根据角平分线的定义得出等量代换即可证明； （2）根据角平分线的定义得出，再根据角的和差倍分计算即可得出，结合（1）即可求解； 【详解】（1）， 平分， ， ， ， ， 平分． （2）平分，平分， ， ， ， ， ， 由（1）知 ， ∴． 拓展训练二：平行线的判定与性质压轴 1．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． 2．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用． 3．课题学习：平行线的“等角转化”功能． (1)阅读理解：如图，已知点是外一点，连接、，求的度数．阅读并补充下面推理过程．    解：过点作，所以　　，　　， 又因为， 所以．    解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将、、“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． (2)方法运用：如图1，已知，求的度数； (3)深化拓展：已知直线，点为平面内一点，连接、． ①如图2，已知，，请直接写出的度数； ②如图3，请判断、、之间的数量关系，并说明理由．    【答案】(1)； (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等即可得出结论； （2）过点作，根据两直线平行同旁内角互补得出，，即可得到最后结论； （3）①的度数为，过点作，根据平行线性质求得，，即可求得的度数；②，过点作，根据平行线性质得到，，即可退出最后结论． 【详解】（1）解：过点作， ，， 又因为， 所以；    （2）解：如图，过点作，   ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①的度数为；    理由：过点作， ， ， ， ， ， ， ； ②，    理由：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质进行推理． 4．综合与探究    (1)如图1，，，则与之间的数量关系为 ；如图2，，，则与之间的数量关系为 ． (2)在图3中，，，，，求的度数． (3)在图4中，，，，平分，试探究、与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，同位角相等，等量代换，即可；平行线的性质，内错角相等，同旁内角互补，即可； （2）根据平行公理，平行线的性质，即可； （3）延长，交于点，根据平行线的性质，得，，，根据等量代换，得，再根据平角等于，等量代换，即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）延长，交于点， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴．      【点睛】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，平角的性质． 5．在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．    (1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数； (2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，；，；， 【分析】（1）先求出，再利用两直线平行同旁内角互补求出的度数，根据即可得出结果； （2）利用平行线性质得到，，，平分，平分，得到，根据，即可得到最后结果； （3）根据四边形的内角和及平行线的性质得出关于和的关系式，根据题意得出的范围，在范围内找到和都是正整数的所有可能的情况． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）如图，过点作，   ， ， ，，， 平分，平分， ，， ，， ； （3），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，是正整数， 存在符合要求的正整数和，分别为： 当时，，不符合题意，舍去； 当时， ，符合题意； 当时，，不是整数不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 【点睛】本题考查平行线的性质，利用平行线的性质、角平分线的定义、四边形的内角和等知识把问题解决，其中作平行线、分类讨论是解决本题的关键． 拓展训练三：利用平行线的性质探究角之间的关系 1．综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）不成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用平行线的性质即可解答； （2）作，利用平行线的性质即可解答； （3）过点作，利用平行线的性质和角平分线的计算即可解答． 【详解】（1），， ， ，， ； （2）不成立，理由如下： 如图，作， ，， ， ，， ，即； （3）如图，过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， 在四边形中，． 2．已知，为两直线间的一点． (1)如图①，若与的平分线相交于点，，求的度数； (2)如图②，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？为什么？ (3)如图③，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，则与有何数量关系？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，，，，由角平分线的定义可得，，即可得出结论； （2）由平行线的性质可得，，，，由角平分线的定义可得，，再由平角的定义即可得出结论； （3）由平行线的性质可得，，，，由角平分线的定义可得，，再由四边形内角和即可得出结论． 【详解】（1）解：如答图①，过点C作，． ∵， ∴， ∴，，，． ∵与的平分线相交于点D， ∴，， ∴． ∵， ∴． （2）解：． 理由如下：如答图②，过点C作，． ∵， ∴， ∴，，，． ∵与的平分线相交于点D， ∴，， ∴ ， ∴． （3）解：． 理由如下：如答图③，过点C作，． ∵， ∴， ∴，，，． ∵的平分线与的平分线所在的直线相交于点D， ∴，． ∵ ， ∴． 3．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】操作判断： 迁移探究： 拓展应用：不变， 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键： [操作判断]：过点E作，则，从而，，进而可得与的数量关系； [迁移探究]：对顶角相等，结合（1）中结论进行求解即可； [拓展应用]：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】［操作判断］：如图1，过点E作 ， ，， ∵ ∴    故答案为： ［迁移探究］：如图2，由（1）可知： ，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ［拓展应用］：不变， 理由如下：过点E作 ， ， 设，则， 、分别平分、 ， 4．已知，点A，B在直线上，点C，D在直线b上，且AD⊥BC于E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是_______． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识， （1）如图1中，过作．利用平行线的性质即可解决问题． （2）如图2中，作，，设，，可得，证明，，推出即可解决问题． （3）分两种情形分别画出图形求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，过作． ∵， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2中，作，， 设，， 由（1）知：，， ， ， ， 同理：， ， ； （3）解：如图，设交于． 当点在内部时， ， ， 平分， ， ， ，， ， ． 当点在直线的下方时， ， ， 平分， ， ， ，， ， ∴， 综上所述：或． 5．已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、． (1)如图1，若，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数； (3)如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，准确识图、熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，证明，得，，则，即可得出结论； （2）过点作，先求出，根据平分，设，得，则，由（1）的结论得，即可求解； （3）设点在的延长线上，过点作，再分以下两种情况：①当时，设，根据平分，设，则，由（1）的结论得，得，，则，再根据即可求解；②当时，设，则，设，则，由（1）的结论得，同①得，根据，即可得出，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点作（点在点的左侧），如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作（点在点的左侧），如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， 设， ∵ ∴， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∴； （3）解：设点在的延长线上，过点作（点在点的右侧）， ∵的延长线为的三等分线， 有以下两种情况： ①当时，如图所示： 设，则， ∴， ∴， ∵平分， 设， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②当时，如图所示： 设，则， ∴， ∵平分， 设， ∴， ∴， 由（1）的结论得：， 同①得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 综上所述：或． 故答案为：或． 拓展训练四：角中的动点问题 1．如图1，直线，直线、及直线把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六个部分．点P是其中的一个动点，连接、，观察、、三个角．规定：直线、、上的各点不属于①、②、③、④、⑤、⑥六个部分中的任何一个部分． (1)当动点P落在第①部分时，求证：． (2)探究：当动点P落在第②、③、⑤部分时，、、之间的关系是怎样的？请直接写出、、之间满足的关系式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当动点P落在第②部分时，， 当动点P落在第③部分时，， 当动点P落在第⑤部分时，． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，熟记性质并灵活运用是解题的关键，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，内错角相等． （1）首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可； （2）当动点P落在第②部分时，首先过点作的平行线，交于点，进而利用平行线的性质得出即可；当动点P落在第③部分时，过点向右作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补用表示出，用表示出，然后结合图形整理即可得解．当动点P落在第⑤部分时，如图， 过点向右作，则，，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点， ，， ， ，， ； （2）解：当动点P落在第②部分时，，理由如下： 如图，过点作的平行线，交于点， ， ， ，， ； ； 如图，当动点P落在第③部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 如图，当动点P落在第⑤部分时，，理由如下： 过点向右作，则， ， ， ， ， ． 2．综合与实践： 如图1，，． (1)如图1，设，，求、之间的数量关系； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化， (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的读数为或 3．已知：如图，直线，直线与、分别交于E、F两点．过F作射线平分，交于点G．射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q．        (1)如图1，当经过点E时，求证：平分； (2)当点P在运动过程中，作的角平分线，交射线于点M，试探究与的数量关系，请写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据是角平分线，可得得到，由根据，得到，则为等腰三角形，又因为为垂线，可得为角平分线，从而证得结论； （2）分两种情况讨论，当点在的延长线上时，令，分别用表示出与，然后再代换即可找到它们之间的关系；当点在线段上时，在四边形中根据四边形内角和以及外角定理可以得到，然后再结合与之间的关系，通过代换可找到与的数量关系． 【详解】（1）证明：    ∵， ∴， 又∵为角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴平分． （2）解：如下图，当在的延长线上时，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， 由：， ∴， 当点在线段上时，    由图一可知，①， 即：②， ， 即：③， 由①②③可知： ④， 又∵， ∴， 有， ， 由④⑤可知 ， ， 即， 综上：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的性质是求解的关键． 4．如图，已知，O为直线上一点，动点E，F在直线上（F在E的右侧）且满足在外部且平分交于点N． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若射线上有一点满足，请探究与之间的数量关系并说明理由； (3)如图3，若，射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从与射线重合的位置出发，绕点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，当射线和射线平行时，求出的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，余角的计算，一元一次方程的应用，分类计算 （1）根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质计算的度数即可． （2）设，则，根据，，得到，结合平分，得到，根据，得到，利用平行线的性质得， ，根据．消去x即可得到与之间的数量关系． （3）根据，，得到，，然后分解析中四种情况，根据平行线的判定，分类计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：与之间的数量关系为：．理由如下： 设，则， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴． （3）解：∵，，， ∴，， ∴， 当时，，， 如图，当时，， ∴， 解得； 如图，当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时， 如图，当时，， ∵，， ∴， ∴， 解得； 如图，当时，， ∵，， ∴， ∴， 解得，舍去； 综上所述，当或或时，射线和射线平行． 5．如图1，，为之间任意一点． (1)若平分平分．求证：； (2)如图2，若，且的延长线交的角平分线于点的延长线交的角平分线于点，猜想的运算结果并且证明你的结论； (3)如图3，若点是射线之间一动点，平分平分，过点作于点，请猜想与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（）根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可求解，进而证明结论； （）分别过,作，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的性质和，即可求解； （）根据垂线的定义可求得，再根据角平分线的定义可求解； 本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，灵活运用平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ∵平分,平分， ∴，， ∴，即； （2）如图，分别过,作，， ∵， ∴， ∴， ， ，， ∴，， 同理：， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵， ∴， （3），理由： ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 拓展训练五：平移综合题 1．如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向向右平移个单位，得到长方形，第次平移将长方形沿的方向平移个单位，得到长方形，若的长度为，则的值为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 【答案】A 【分析】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出平移间距离的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出n即可． 【详解】解：，第1次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形，第2次平移将长方形沿的方向向右平移5个单位，得到长方形… ，，， ， 的长为：； ，， ， 解得：． 故选：A． 2．将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．48 C．46 D．50 【答案】B 【分析】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为40，求得，根据图中长方形的周长为58，求得，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为40，可得，， 解得：， 如图，∵图2中长方形的周长为58， ∴， ∴， 根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∴ ； 故选：B． 3．如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，且与相交于点，连接．下列结论：①；②；③阴影部分的周长为12cm；④若，则的周长比四边形的周长少；⑤若的面积比的面积大，则；其中正确结论为 （请填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了三角形的面积和平移的性质，利用线段转化和面积转化，可以求解． 【详解】解：由平移性质可得，，，故①正确，②不正确； 阴影部分的周长为，③正确； 时，四边形的周长为，的周长比四边形的周长少，④不正确； ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴边上的高h为， ∴， ∴， ∴，故⑤正确， 故答案为：①③⑤． 4．如图，在三角形中，，是锐角，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点，，的对应点分别是，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ． 【答案】或或 【分析】根据题意得，再由的平移过程，分成两种情况考虑：（1）点在线段上；（2）点在外，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系后即可得解． 【详解】解：依题得：， 分两种情况考虑： （1）点在线段上，过点作，如下图： ， ， ， ，， ， 又， ； ， ， 又， ； （2）点在外时，过点作，如下图： ， ， ，， ， 又， ， 即； ， 由图可知，， 此情况不成立； 综上，或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的知识点是平移的性质、平行公理的应用、平行线的性质、几何图形中的角度计算，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 5．如图，在中，已知，点E，F分别在边上．将沿直线折叠，使点B落在点D处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则的值为 ．    【答案】12 【分析】由折叠的性质和平移的性质可得、、，再根据可得，再结合可得，最后代入即可解答． 【详解】解：由折叠的性质可得：； 由平移的性质可得：，， ∴， ∴ ∵，即， ∴，， ∴． 故答案为12． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平移的性质等知识点，理解折叠和平移的性质是解答本题的关键． 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，是的平分线，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平分线的定义、平行线的性质．首先根据角平分线的定义，可得，再根据两直线平行内错角相等可知，即得． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）现将两个直角三角尺作如图摆放，，，直线过点，在直线上．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，根据直角三角尺可得，过点作交于点，得，然后逐一判断即可．解题的关键是掌握：直角三角尺中各个角的度数及平行线的性质． 【详解】解：∵将两个直角三角尺作如图摆放，且，， ∴， 过点作交于点， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，故选项A不符合题意； ∴，故选项C不符合题意； ∵，， ∴，故选项D符合题意． 故选：D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，过点作，则，由平行线的性质结合角平分线的定义可得，，设，，则，，表示出，结合，计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作， ， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴由①②可得：， 故选：C． 4．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；② ；③平分；④平分． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】延长交于点I，根据角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余和平行线的性质即可解答． 此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：延长交于点I， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 故①正确； ∴， 故②正确； ∵， ∴， 无法判定， 故③错误； ∵， ∴， 无法判定， 故④错误, 故选：B． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，点E是四边形外一点，连接交于点F，连接，已知，，点G是上的一点，连接，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定及角的和差关系，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，，然后根据平行线的性质可进行排除选项． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由于的度数无法求出，所以由并不能得到； 故选D． 6．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意得到，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：平分， ，， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·浙江温州·期中）光在不同介质中的传播速度不同，故从一种介质射向另一种介质时，光会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线从水中射向空气时发生折射，光线变成，已知点在射线上，，，则的度数= ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角的和差等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 先根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知,,分别平分和，且交于点，若，则 （含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意数形结合思想的运用． 过点作，利用平行线的性质可证得可以得到与的关系，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作，如图： ， ， ，， 又∵，， ∴，， ， ， ， ∴，， ， ， ， ， 故答案为： ． 9．（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，是锐角，平分，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接，若在整个平移过程中，和中一个角是另一个角的3倍，则 ． 【答案】或或 【分析】此题考查了平移的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是分情况讨论． 根据题意画出图形，分三种情况讨论，然后分别根据平移的性质和平行线的性质，结合和中一个角是另一个角的3倍求解即可． 【详解】如图所示，当时， ∵将沿着射线方向平移得到， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； 如图所示，当时 同理可得 ∴ ∴； 如图所示，当时 同理可得， ∴ ∴ 综上所述，或或． 故答案为：或或． 10．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，分别为直线上两点，且射线绕点以3度/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以12度/秒的速度逆时针旋转至射线后立即以8度/秒的速度顺时针返回．当与重合时，两条射线都停止运动，设旋转时间为（秒），当时，的值为 秒． 【答案】12或24 【分析】本题考查平行线的性质，分和两种情况，根据平行线的性质，列出方程进行求解即可．正确的画图，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：与重合所需时间为，旋转至射线所需时间为：；， ∵， ∴， 当时，如图， ∵， ∴，即：， 解得：； 当时，如图： 同理：，即：， 解得：； 综上：或； 故答案为：12或24． 11．（23-24七年级下·浙江文章·期中）一副三角板按如图所示（共顶点）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点位置始终不变），当 °时，． 【答案】或 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 分两种情况进行讨论：①当时；②当时，利用平行线的判定条件即可求解： 【详解】解：由题意得，， 如图， 当时，可得； ②如图， 当时，可得， 则． 故答案为：或； 12．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图已知，，，与互补．试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】；理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据得出，则，进而推出，则，根据平行线的性质及垂直的定义即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： ， ， ， 与互补， ， ， ， ， ． 13．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图所示是超市购物车的侧面示意图，扶手框顶框底，车轮两支脚架． (1)求的度数． (2)若支脚架所在的直线垂直于，试判断与支脚架的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)平行，理由见解析． 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行性的性质可得，再由，即可求解； （2）根据题意可得， 从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 又∵ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)试说明：； (2)若与互余，试说明：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线判定定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）结合角平分线定义得到，即可证明； （2）结合题意得到，再根据等量代换得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，直线分别交，于点，，直角三角板如图放置，，直线. (1)求的度数. (2)将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，得到三角板，旋转的时间为秒. ①当三角板的一边与直线平行时，求的值； ②三角板绕点旋转的同时，直线绕点以每秒的速度逆时针旋转到，若，求的值. 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）设与交于点，根据平行线的性质，即可求解； （2）①根据，只有一种情形，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②，根据，或建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，设与交于点， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ （2）解：①如图1，， 只有一种情形， 则'， ， 。 ②如图2，此时。， ， ， 。 如图3，此时 ， ， 。 综上，若，则的值为或。 16．（23-24七年级下·浙江·期中）如图1，自行车尾灯是由塑料罩片包裹的若干个小平面镜组成，利用平面镜反射光线，以提醒后方车辆注意．小亮所在学习小组对其工作原理进行探究，发现以下规律：如图2，EF为平面镜，，分别为入射光线和反射光线，则．请继续以下探究： (1)探究反射规律，如图3 ①若，则___________（用含的代数式表示）． ②若光线，判断与的位置关系，并说明理由． (2)模拟应用研究 在行驶过程中，后车驾驶员平视前方，且视点会高于反射点（如图4），因此小亮认为反射光线应与水平视线成一定角度．学习小组设计了如图5所示的模拟实验装置，使入射光线，当与所成夹角为时，求的度数． 【答案】(1)① ②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是列代数式，图形的变化规律和平行线的性质，熟练掌握上述知识点并找出题目中各角的关系是解题的关键． （1）①根据，即可得出结果； ②先求出，，再根据，可得，即，得出，可求出，即可； （2）延长交于点，根据，得出，又因为，得出，根据，求出，则，即可由求解． 【详解】（1）解：①，， ， 故答案为：； ②，理由如下： ，， ， 同理，， ， ， 即， ， ， ； （2）解：延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图1，点分别在直线和上，，射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒． (1)①的度数为___________（用的代数式表示）； ②当射线经过点时，此时的度数为____________． (2)在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线与射线所在直线的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在转动过程中，若射线与射线交于点，过点作交直线于点，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，t值为秒或秒． (3)与的数量关系发生变化，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）①根据旋转角度等于旋转速度乘以时间，列式即可；②由，得，则，求解得，即可求解． （2）分三种情况：当射线与射线的反向延长线相交于G，且时 ；当射线与射线相交于G，且时；当射线与射线相交于G，且时；分别求解即可． （3）当时，射线与射线交于点，求得，即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图， ∵射线从射线的位置开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴ 故答案为：； ②如图： ∵ ∴ ∴， 解得：， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：当射线与射线的反向延长线相交于G，且时 ，如图， ∵ ∴ ∵， ∴ 解得：； 当射线与射线相交于G，且时，如图， ∵，， ∴ 解得：（不符合题意，舍去）； 当射线与射线相交于G，且时，如图， ∵ ∴ 解得：； 综上，存在，射线与射线所在直线的夹角为，t值为秒或秒． （3）解：与的数量关系要发生变化． 理由：当时，射线与射线交于点，如图， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴与的数量关系要随着t的发生而变化． 18．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图1，已知，为与之间一点，点，分别在直线上，且平分，连接． (1)求与的数量关系． (2)如图的角平分线分别交直线和线段的延长线于点和． ①已知，求的度数． ②若，且三等分，求的度数． 【答案】(1) (2)①②或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）过点作，得到，得到，再根据角的和差关系即可得出判断； （2）①角平分线的定义推出，平行线的性质，得到即可； ②根据平行线的性质，结合角平分线的定义，对顶角，分别得到，，根据，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①∵，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵三等分， ①当时， ∵，由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当时， ∵，由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$