2025届高中数学解题方法大合集-分析法讲义

专题7    分析法 【讲】 证明有些数学题时，从题设条件出发难以发现思维的路径和处理的方法，这时，可从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫作分析法． 分析法是数学解题中常用的一种直接证明方法，更是一种由未知到已知、由结论逐步追溯到前提的思考方法．在具体问题的求解过程中，可单独运用分析法或将分析法与综合法相结合，培养“由已知探未知、由未知看须知”的数学思维方式． 类型一 分析法在证明等式中的应用 【典例1】用分析法证明命题“已知求证：”最后要具备的等式为（    ） A．    B．    C．    D． 【方法引导】探求的等价变换，再结合即可得到最后要具备的等式. 【详细解析】要证， 即证，即. 即证， 即证或， 故或， 而为已知条件，也是使等式成立的充分条件. 故选：D 【方法反思】利用分析法证明等式问题的关键是等价变换，本题采用配方法得到是解题的关键. 【典例2】已知α，，且，，求证：． 【方法引导】先利用同角三角函数基本关系的配方关系得到，再利用分析法和化切为弦思想进行证明. 【详细解析】一方面，因为， 故由已知得①． 另一方面，要证， 只需证 即证， 即证， 即证②． ①式与②式相同，故原命题得证． 【方法反思】利用分析法进行等式，要注意其推理格式，往往要和综合法结合使用. 【举一反三】 1． 已知，求证：． 2． 已知的三个内角 A,B,C 成等差数列，且 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，求证：(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1 3． 在中，角的对边分别为，已知，证明：． 类型二 分析法在证明不等式中的应用 【典例1】已知，求证：． 【方法引导】作差比较法是证明代数不等式的常用方法，注意到不等式左边是含a的无理根式，直接作差所得的代数式符号判断比较困难，于是寻找目标不等式成立的充分条件，即只需证成立． 【详细解析】要证，只需证， 因为，故只需证， 即， 从而只需证， 即证，即证， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 【方法反思】 对于含无理根式的不等式证明，当直接运用比较法证明比较困难时，常运用分析法证明原不等式，其中将待证的不等式两边平方是把无理式转化为有理式的常用方法． 【典例2】已知数列满足：，，．记，为数列的前n项和，求证：． 【方法引导】先运用所给已知条件得到．考虑到直接求数列的前n项和比较困难，于是将要证的目标式视为，转化为证明，从而运用分析法证明． 【详细解析】 由，得， 故数列为等比数列，又，则， 所以． 考虑到待证式的右边是一个含n的代数式，记， 令其为数列的前n项和，可得． 故欲证，只要证， 只要证，只要证， 只要证，显然成立， 所以成立． 对两边分别求和，有成立，得证． 【方法反思】证明数列不等式，分析法更加贴近学生的实际思维发展区，将和式的大小比较转化为数列对应项的大小比较，即，容易探求并发现问题的切入点，也为运用综合法证明搭建了思维的“脚手架”． 【举一反三】 4． 已知，且，求证：． 5． 若是不全相等的正数，求证：． 6． 已知数列满足. （1） 求，并猜想的通项公式(不需证明)； （2） 求证:. 类型三 分析法在几何证明中的应用 【典例1】如图，平面ABC，，过点A作SB的垂线，垂足为E，过点E作SC的垂线，垂足为F，求证：． 【方法引导】要证明空间两直线垂直，常转化为证明线面垂直，于是要证，只需证平面AEF，故只需证，从而只需证平面SBC． 【详细解析】要证，只需证平面AEF， 而，，故只需证， 只需证平面SBC， 而，，故只需证， 只需证平面SAB，而，， 故只需证，由题意知平面ABC， 故显然成立，所以． 【方法反思】证明空间两直线垂直，关键是寻找其成立的充分条件，即证其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面． 【典例2】如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面. 【方法引导】要证平面，只需证明平面的内的一条直线，根据三角形的中位线可以得到线线平行. 【详细解析】要证平面，只需证明平面的内的一条直线， 连接交于，连接， 四边形是矩形，是的中点， 是线段的中点， 是的中位线，， 因为成立，且平面，平面， 平面. 【举一反三】 7． 如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）    8． 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1) 设分别为的中点，求证：平面； (2) 求证：平面； 9． 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，为的中心，，，是的中点，与交于点． (1) 证明：平面． (2) 证明：平面平面． 10． 要证成立，应满足的条件是（    ） A． 且 B．且 B． 且 D．，或， 11． 设求证: 12． 已知a，，且，求证：. 13． 已知函数，a、b、c是两两互不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断与的大小关系，并证明你的结论. 14． 如图，在三棱锥中，侧面PAC是边长为2的正三角形，，，E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l.    (1) 证明：l∥平面PBC. (2) 已知平面平面，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角为，异面直线PQ，EF所成角为，且满足，求. 15． 已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点； （Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7    分析法 【讲】 证明有些数学题时，从题设条件出发难以发现思维的路径和处理的方法，这时，可从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫作分析法． 分析法是数学解题中常用的一种直接证明方法，更是一种由未知到已知、由结论逐步追溯到前提的思考方法．在具体问题的求解过程中，可单独运用分析法或将分析法与综合法相结合，培养“由已知探未知、由未知看须知”的数学思维方式． 类型一 分析法在证明等式中的应用 【典例1】用分析法证明命题“已知求证：”最后要具备的等式为（    ） A．    B．    C．    D． 【方法引导】探求的等价变换，再结合即可得到最后要具备的等式. 【详细解析】要证， 即证，即. 即证， 即证或， 故或， 而为已知条件，也是使等式成立的充分条件. 故选：D 【方法反思】利用分析法证明等式问题的关键是等价变换，本题采用配方法得到是解题的关键. 【典例2】已知α，，且，，求证：． 【方法引导】先利用同角三角函数基本关系的配方关系得到，再利用分析法和化切为弦思想进行证明. 【详细解析】一方面，因为， 故由已知得①． 另一方面，要证， 只需证 即证， 即证， 即证②． ①式与②式相同，故原命题得证． 【方法反思】利用分析法进行等式，要注意其推理格式，往往要和综合法结合使用. 【举一反三】 1． 已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由题意可知，两边立方再化简即可求证． 【详解】证明：，， 两边立方得，， 化简得，． ． 2． 已知的三个内角 A,B,C 成等差数列，且 a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，求证：(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1 【答案】见解析 【详解】试题分析：要证 (a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1，即证，整理得只需证c2+a2=b2+ac，结合余弦定理即可证得. 试题解析： 要证 (a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1，即证， 只需证，化简，得， 即 c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c)，所以只需证c2+a2=b2+ac . 因为 △ABC 的三个内角A，B，C成等差数列，所以∠B=60°， 所以，所以a2+c2-b2=ac，所以原式成立. 点睛：本题主要考查了分析法与综合法，解决问题的关键是综合法和分析法各有优缺点，从寻求解题思路来看，综合法由因导果，分析法执果索因.就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁琐，文辞冗长.也就是说分析法宜于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程. 3． 在中，角的对边分别为，已知，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】化切为弦，通分变形，再由两角和正弦公式可得，结合内角和定理及正弦定理可证. 【详解】， ， ， ， 由正弦定理得． 类型二 分析法在证明不等式中的应用 【典例1】已知，求证：． 【方法引导】作差比较法是证明代数不等式的常用方法，注意到不等式左边是含a的无理根式，直接作差所得的代数式符号判断比较困难，于是寻找目标不等式成立的充分条件，即只需证成立． 【详细解析】要证，只需证， 因为，故只需证， 即， 从而只需证， 即证，即证， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 【方法反思】 对于含无理根式的不等式证明，当直接运用比较法证明比较困难时，常运用分析法证明原不等式，其中将待证的不等式两边平方是把无理式转化为有理式的常用方法． 【典例2】已知数列满足：，，．记，为数列的前n项和，求证：． 【方法引导】先运用所给已知条件得到．考虑到直接求数列的前n项和比较困难，于是将要证的目标式视为，转化为证明，从而运用分析法证明． 【详细解析】 由，得， 故数列为等比数列，又，则， 所以． 考虑到待证式的右边是一个含n的代数式，记， 令其为数列的前n项和，可得． 故欲证，只要证， 只要证，只要证， 只要证，显然成立， 所以成立． 对两边分别求和，有成立，得证． 【方法反思】证明数列不等式，分析法更加贴近学生的实际思维发展区，将和式的大小比较转化为数列对应项的大小比较，即，容易探求并发现问题的切入点，也为运用综合法证明搭建了思维的“脚手架”． 【举一反三】 4． 已知，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由条件推出，，从而将问题转化为，化简验证是否成立即可. 【详解】因为，且，所以，， 要证明原不等式成立，只需证明，即证， 从而只需证明，即， 因为，， 所以成立，故原不等式成立． 5． 若是不全相等的正数，求证：． 【答案】证明见解析． 【详解】试题分析：根据基本不等式，得到成立，两边同时取对数，即可证明． 试题解析：证明：∵， ∴， 又上述三个不等式中等号不能同时成立． ∴成立． 上式两边同时取常用对数，得， ∴． 考点：对数的性质；基本不等式的应用． 【方法点晴】本题主要考查了对数函数的图象与性质、基本不等式的应用，其中解答中涉及到不等式与不等关系的证明，基本不等式的应用和对数函数的运算与性质等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中，根据基本不等式和不等关系，得出成立是解答的关键，属于中档试题． 6． 已知数列满足. （1）求，并猜想的通项公式(不需证明)； （2）求证:. 【答案】（1）；猜想；（2）证明见解析. 【解析】（1）求出，即可得答案； （2）根据题意得，再利用放缩法，即可得答案； 【详解】(1) 猜想 (2) 所以 . 【点睛】本题考查不完全归纳法求数列通项公式、放缩法证明数列不等式，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 类型三 分析法在几何证明中的应用 【典例1】如图，平面ABC，，过点A作SB的垂线，垂足为E，过点E作SC的垂线，垂足为F，求证：． 【方法引导】要证明空间两直线垂直，常转化为证明线面垂直，于是要证，只需证平面AEF，故只需证，从而只需证平面SBC． 【详细解析】要证，只需证平面AEF， 而，，故只需证， 只需证平面SBC， 而，，故只需证， 只需证平面SAB，而，， 故只需证，由题意知平面ABC， 故显然成立，所以． 【方法反思】证明空间两直线垂直，关键是寻找其成立的充分条件，即证其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面． 【典例2】如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面. 【方法引导】要证平面，只需证明平面的内的一条直线，根据三角形的中位线可以得到线线平行. 【详细解析】要证平面，只需证明平面的内的一条直线， 连接交于，连接， 四边形是矩形，是的中点， 是线段的中点， 是的中位线，， 因为成立，且平面，平面， 平面. 【举一反三】 7． 如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）    【答案】 【分析】当时，根据线面垂直的判定定理得平面，则 【详解】当时，有． 理由如下：连接，因为平面，平面， 所以， 因为∥，∥，，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 故答案为：    8． 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果； （2）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果； 【详解】（1）由题意， 连接，易知，， ∴点为的中点，∵为为的中点， 在中，，， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由题意证明如下， 取棱的中点，连接， 在等边三角形中，， ∵平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面，故， 又已知，，平面,所以平面． 9． 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，为的中心，，，是的中点，与交于点． (1)证明：平面． (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）取的中点，连接，由已知证得四边形是平行四边形，再由线面平行的判定即可证得平面； （2）由已知可得，可得，又，可得平面，则平面，又平面，所以平面平面． 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为三棱柱的底面是正三角形，是的中点， 所以，， 为的中心， 在上，且 又，， 又与交于点，， ， 四边形是平行四边形，， 又平面， 平面． （2）由（1）知平面即为平面， 三棱柱的底面是正三角形，， 所以，则， 又分别是的中点， 所以，则， 又，平面， 所以平面， 又，所以平面， 又平面， 所以平面平面． 10． 要证成立，应满足的条件是（    ） A． 且 B．且 B． 且 D．，或， 【答案】D 【解析】根据分析法解题原理，转化为不等式成立的充分条件即可. 【详解】要使成立，只要， 只要，只要， 即只要，故只要且，或且． 故选：D. 【点睛】本题考查分析法的应用，考查转化思想，属于基础题. 11． 设求证: 【答案】证明见解析 【分析】根据分析法证明，先两边同时平方，再化为分式小于零的形式，结合已知与不等式的性质即可证明. 【详解】要证明，只要证明， 即证明，，， 即证明，只要证明， ，，∴，，， ∴，， ∴是成立的， 由于上述步步可逆,∴成立. 12． 已知a，，且，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据条件及基本不等式可得，变形得，利用对勾函数的单调性可求得最小值. 【详解】证明：，，且， ，当且仅当时等号成立. 又 ， 设函数，， 由对勾函数的性质可得在区间上单调递减. 又，， ，即. 13． 已知函数，a、b、c是两两互不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断与的大小关系，并证明你的结论. 【答案】，证明见解析. 【分析】先举特例猜测结论，再用递推法给出思路，最后用顺推法给出证明. 【详解】解：事实上，取，，，则，，于是由，猜测. 要证，则只需证，即证，亦即证，展开整理得， 因为，所以只要证，这显然是成立的. 即. 证明如下：因为a、b、c是不相等的正数，所以，因为，所以， 即，从而. 因为是增函数，所以. 即. 故. 14． 如图，在三棱锥中，侧面PAC是边长为2的正三角形，，，E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l.    (1)证明：l∥平面PBC. (2)已知平面平面，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角为，异面直线PQ，EF所成角为，且满足，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）由已知可推得.根据线面平行的判定定理，可得平面.然后根据线面平行的性质定理，可得.进而即可得出证明； （2）取的中点记为，连接，根据平面平面可得出平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：因为分别为的中点， 所以. 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面与底面的交线为， 所以，，从而. 而平面，平面， 所以，平面. （2）取的中点记为，连接， 因为是边长为2的正三角形，所以， 所以，. 又平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 由（1）可知，在底面内过点作的平行线，即平面与底面的交线. 由题意可得，即， 取的中点记为，连接，则. 因为，所以. 以为坐标原点，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，则，，， 设平面的一个法向量为， 则， 即， 取，则，，即是平面的一个法向量， 所以. 又直线与平面所成角为， 于是. 又， 而异面直线所成角为，于是. 假设存在点满足题设，则， 即，所以. 当时，，此时有； 当时，，此时有. 综上所述，这样的点存在，且有. 15． 已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数． （Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点； （Ⅱ）记x0为函数在上的零点，证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析. 【分析】（I）方法一：先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论； （II） 先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式； （ii）方法一：先根据零点条件转化：，再根据放缩，转化为证明不等式，最后构造差函数，利用导数进行证明. 【详解】（I）[方法一]：单调性+零点存在定理法 在上单调递增， ， 所以由零点存在定理得在上有唯一零点． [方法二]【最优解】：分离常数法 函数在内有唯一零点等价于方程在内有唯一实根，又等价于直线与只有1个交点． 记，由于在内恒成立，所以在内单调递增，故． 因此，当时，直线与只有1个交点． （III） ， ， 令 一方面： ， 在单调递增，， ， 另一方面：， 所以当时，成立， 因此只需证明当时，， 因为 当时，，当时，， 所以， 在单调递减，，， 综上，. （ii）[方法一]：分析+构造函数法 ， ，， ，因为，所以， ， 只需证明， 即只需证明， 令， 则， ，即成立， 因此. [方法二]【最优解】：放缩转化法 ． 设，则由得． 从而只要证． 上式左边． 使用不等式可得 【整体点评】（Ⅰ）方法一：直接研究函数的单调性，并根据零点存在定理证得结论，为通性通法；方法二：先分离常数，转化为证明水平直线与函数的图象交点个数问题，为最优解； （Ⅱ）（ⅰ）通过分析，转化，然后构造函数证得； （ⅱ）方法一：构造函数，利用导数研究单调性，求得最小值，然后根据条件放缩转化为证明不等式．利用作差法构造关于实数的函数，利用导数证得此不等式，为该题的通性通法；方法二：利用放缩判定的导函数大于零，确定单调性，得到其最小值，转化为，然后利用不等式放缩证明，运算相对简洁，为最优解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$