24.2　直角三角形的性质 课件-2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

直角三角形的性质 第24章　解直角三角形 24.2 1 探究与应用 课堂小结与检测 探究与应用 探究一　直角三角形斜边上的中线的性质 回顾旧知 1.直角三角形的两个锐角有怎样的关系? 2.直角三角形的三边之间有怎样的关系? 解:直角三角形的两个锐角互余. 解:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 返回目录 3 按下面的步骤进行操作: (1)画一个Rt△ABC,∠ACB=90°. (2)量一量斜边AB的长度. (3)找到斜边的中点,用字母D表示. (4)画出斜边上的中线. (5)量一量斜边上的中线CD的长度,看看CD与AB有什么数量关系. 猜想:直角三角形斜边上的中线与斜边之间有何数量关系? 操作猜想 返回目录 4 解:图略.经过画图和测量可知,CD=AB,故猜想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 返回目录 如图24-2-1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.求证: CD=AB. 推理证明 图24-2-1 证明:如图,延长CD至点E,使DE=CD,连结AE,BE. ∵CD是斜边AB上的中线,∴AD=DB. 又∵DE=CD,∴四边形ACBE是平行四边形. 又∵∠ACB=90°,∴四边形ACBE是矩形, ∴CE=AB,∴CD=CE=AB. 返回目录 6 细 琢磨 返回目录 7 1.文字语言:直角三角形斜边上的中线等于　　　　　　.  2.几何语言:如图24-2-2,在△ABC中,∠ABC=90°. ∵O为AC的中点, ∴BO=　　　=　　　=　　　.  概括新知 图24-2-2 斜边的一半 AO CO AC 返回目录 8 如图24-2-3,在Rt△ABC中,CD,CE分别是斜边AB上的中线和高, CD=8,CE=5,则Rt△ABC的面积是(　　) A.80 B.60 C.40 D.20 应用一　利用直角三角形斜边上的中线的性质进行计算 例 1 图24-2-3 C 返回目录 9 如图24-2-4,在△ABC中,AD是高,E,F分别是AB,AC的中点.若AB=11,AC=10,则四边形AEDF的周长为　　　　.  例 2 图24-2-4 21 返回目录 10 如图24-2-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D, ∠BCD=18°,E是斜边AB的中点,则∠DCE的度数为(　　) A.30° B.36° C.45° D.54° 例 3 图24-2-5 D 返回目录 11 用两个完全相同的含30°角的三角尺是否能摆出一个等边三角形?由此你能得出在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边之间的数量关系吗? 探究二　直角三角形中30 °角所对的直角边与斜边的关系 操作发现 解:用两个完全相同的含30°角的三角尺能摆出一个等边三角形.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 返回目录 12 如图24-2-6,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=30°.求证:BC=AB. 推理证明 图24-2-6 证明:如图,作斜边AB上的中线CD,则CD=AB=AD=BD (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半). ∵∠A=30°,∴∠B=60°, ∴△CDB是等边三角形, ∴BC=BD=AB. 返回目录 13 在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于　　 　　.  概括新知 斜边的一半 返回目录 14 如图24-2-7,在△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=3,求BC的长. 应用二　利用直角三角形中30 °角所对的直角边与斜边的关系进行计算 例 4 图24-2-7 解:在△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,AB=3, ∴AC=2AB=6. ∵AB2+BC2=AC2, ∴BC===3,故BC的长为3. 返回目录 15 含30 °角的直角三角形性质的“两点注意” (1)前提条件是直角三角形,而且有一个角是30°; (2)该性质讲述了30°角所对的直角边与斜边的关系,常与勾股定理结合建立方程求边长. 知 关键 返回目录 16 变式1 如图24-2-8,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上的一点, ∠BCD=∠A=30°,BC=4 cm,求AD的长. 图24-2-8 解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4 cm, ∴AB=2BC=8 cm,∠B=60°. ∵∠BCD=30°,∴∠B+∠BCD=60°+30°=90°, ∴∠CDB=90°,∴BD=BC=2 cm, ∴AD=AB-BD=8-2=6(cm). 返回目录 变式2 如图24-2-9,在Rt△ABC中,∠A=90°,D是AB上一点,且BD=CD=6,∠DBC=15°,求△BCD的面积. 图24-2-9 解:∵BD=CD=6,∠DBC=15°, ∴∠DCB=∠DBC=15°, ∴∠ADC=∠DBC+∠BCD=30°. ∵∠A=90°,∴AC=CD=3, ∴△BCD的面积为BD·AC=×6×3=9. 返回目录 【延伸拓展】 在直角三角形中构造斜边中线解决问题 已知:如图24-2-10所示,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点.求证:MN⊥BD. 图24-2-10 返回目录 证明:如图,连结BM,DM. ∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点, ∴BM=AC=DM. ∵N是BD的中点,∴MN⊥BD. 返回目录 直角三角形斜边中线辅助线的作法 (1)有直角,有中点,连中线; (2)有直角,无中点,取中点,连中线; (3)有中点,无直角,造直角,连中线. 学 方法 返回目录 21 | 认知逻辑 | 课堂小结与检测 返回目录 22 | 课堂检测 | 1.如图24-2-11,一棵树在一次强台风中在离地面4米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为 (　　) A.10米 B.12米 C.8米 D.16米 图24-2-11 B 返回目录 2.在直角三角形中,两条直角边长分别为5,12,则斜边上的中线长为 (　　) A.13 B.12 C.6 D.6.5 D 返回目录 3.如图24-2-12,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,∠D=90°, AB=2,CD=1.求BC和AD的长. 图24-2-12 解:延长AD,BC交于点F,得Rt△ABF和Rt△CDF,且∠F=30°,如图. 在Rt△ABF中,由AB=2,∠F=30°,得AF=2AB=4, ∴BF===2, 同理可得CF=2,DF=, ∴BC=BF-CF=2-2,AD=AF-DF=4-. 返回目录 谢谢 26 $$