精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期6月份月考数学试题 一、单选题 1. 已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则（ ） A. 11 B. 14 C. 11或23 D. 14或23 2. 已知数列，，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，其前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ） A. 4 B. 9 C. 10 D. 12 6. 已知数列满足，若，则数列的前16项和为（   ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处取得极小值，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或2 8. 是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 是等比数列 10. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知恰有1个零点，则实数a的可能取值是（ ） A. B. C. 0 D. 三、填空题 12. 数列的最大项为第项，则__________. 13. 若函数与直线相切，则实数的值为__________. 14. 函数在上的最小值为______． 四、解答题 15. 在等差数列中，，． （1）求通项公式及其前项和的最小值； （2）若数列为等比数列，且，，求的前项和． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若当时，恒成立，求的取值范围． 17. 已知数列中，，，且数列为等差数列． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 18. 已知函数. （1）若为函数的极大值点，求的值； （2）若，恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数 （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求实数a的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二下学期6月份月考数学试题 一、单选题 1. 已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则（ ） A. 11 B. 14 C. 11或23 D. 14或23 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可. 【详解】由题意可得，成等差数列，则， 即， 即，即， 解得或. 故选：D. 2. 已知数列，，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得. 【详解】对于数列，，则，， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 同理可知，数列是首项为，公差为的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为，公差为的等差数列， 故. 故选：D. 3. 已知数列满足，其前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据裂项相消法求前n项和为，从而可得的值. 【详解】因为， 所以， 故. 故选：C. 4. 已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可设，，利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以. 故选：D. 5. 已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ） A. 4 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再判断数列的单调性，求数列的最大的项. 【详解】因为中，， 当时，； 当时，，用代替得：， 两式相减得：. 又， 所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以. 所以， 由或. 所以数列中，有：，即数列中，最大，且. 故选：B 6. 已知数列满足，若，则数列的前16项和为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知等式通过作差法求出数列的通项公式，再对进行裂项，最后利用裂项相消法求出数列的前项和. 【详解】根据的关系求出，然后使用裂项相消法可得. ①， 当时，， 当时，②， ①-②得，所以， 显然也满足上式，所以，所以， 记数列的前项和为，则 故选：A 7. 已知函数在处取得极小值，则m的值为（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】利用极值点的导数值为0，再进行检验，即可得解. 【详解】求导得，则， 解得：或， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极小值， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极大值，故舍去， 故选：A. 8. 是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合偶函数的性质即可进一步得解. 【详解】是定义在上的偶函数， 当时，令，则，所以在上单调递减， 当时，，即， 当时，，即， 即当时，的解集为， 因为函数是定义在上的偶函数，由其对称性可知： 当时，的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题 9. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. 当且仅当时，取得最大值 C. D. 是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出数列的通项公式，再作差可判断A选项；结合二次函数可判断B选项；利用降标作差可判断C选项；利用等比数列的定义可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 故数列为递减数列，故A正确； 因二次函数的对称轴为，且开口朝下， 则当或时，取得最大值，故B错误； 当时，， 则， 又，符合上式，故，故C正确； 令，则，则是等比数列，故D正确. 故选：ACD 10. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】设切点，利用导数的几何意义得到切线方程为，结合条件得到，求出，即可求解. 【详解】设切点，因为，则， 则切线方程为，又， 所以，又切线过点， 所以，整理得到， 即，所以或， 当时，切线方程为，即， 当时，切线方程为，即， 故选：BD. 11. 已知恰有1个零点，则实数a的可能取值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】将可得，构造函数，利用导数求解单调性，即可结合函数的图象求解. 【详解】令，得， 令，则， 故当且时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递增， 且，当时，，当时，， 作出的大致图象如下， 恰有1个零点，即方程只有一个解， 则与只有一个交点，观察图象可知，或， 结合选项可知，选项A和选项D符合题意. 故选：AD 三、填空题 12. 数列的最大项为第项，则__________. 【答案】5或6. 【解析】 【分析】由题意列出不等式即可求解. 【详解】∵数列的最大项为第项， ∴，即，即， 由于是正整数，所以或. 故答案为：5或6. 13. 若函数与直线相切，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标，求导数表示斜率，结合切线过原点可计算切点横坐标，进而算出的值. 【详解】设切点为， 由得，，故切线斜率， 由直线可知切线过，故， ∴，解得， ∴. 故答案为：. 14. 函数在上的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】求导，运用导函数研究原函数的单调性，即可求出最小值. 【详解】得 ，在上，， 所以当时，； 可得的增区间为， 当时，， 可得的减区间为， 又， 所以在上的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15. 在等差数列中，，． （1）求通项公式及其前项和的最小值； （2）若数列为等比数列，且，，求的前项和． 【答案】（1），最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，再由等差数列的前项和公式，即可得到结果； （2）根据题意，由等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 因为，所以，解得， 所以. 所以. 因为，所以当或时取得最小值， 且最小值为. 【小问2详解】 由（1）可得：，， 所以等比数列的公比为， 所以，所以等比数列的前项和. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先对函数求导，结合导数与单调性关系对进行分类讨论，然后结合恒成立与最值关系转化即可求解. 【小问1详解】 当时，，则． 又，所以切线方程为，即． 【小问2详解】 ． 当时，在上恒成立，则在上单调递增， 又，所以恒成立，满足题意； 当时，，，不符合题意． 综上，的取值范围为． 17. 已知数列中，，，且数列为等差数列． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 【答案】（1） （2）证明：因为， 所以 ，故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故， 所以，故. 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）若为函数的极大值点，求的值； （2）若，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，求出的值，然后结合极值点的定义验证即可； （2）由参变量分离法可得，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，则， 因为为函数的极大值点，则，解得， 此时，， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 此时，函数在处取得极大值，合乎同意. 综上所述，. 【小问2详解】 对任意的，，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. 19. 已知函数 （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求实数a的取值集合． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）求导即可得到，再由极值的定义，代入计算，即可得到结果； （2）求导即可得到，然后分与讨论，即可得到结果； （3）根据题意，分以及讨论，然后结合（2）中的结论，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以． 令，得；令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 因为，所以． 当时，在上单调递增． 当时，令，得，令，得． 故在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递增． 因为，所以当时，，不满足题意． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以．若，则． 令，则，所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以，所以，即实数的取值集合为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $