2025年河北中考数学冲刺6月押题密卷02

绝密★启用前 2025年河北中考数学冲刺6月押题密卷02 题号 一 二 三 总分 得分 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共12小题） 1．下列各数中，最小的数是（　　） A． B． C． D．（﹣1）2025 2．《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟＝1圭，10圭＝1撮，10操＝1抄，10抄＝1勺，10勺＝1合，则5合为（　　） A．3×104栗 B．3×105栗 C．5×104栗 D．5×105粟 3．如图所示是一游戏转盘，将两个转盘各转一次，然后将指针指向的数相乘，则两次指针指向的数之积为2的概率是（　　） A． B． C． D． 4．如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 5．如图，在平面直角坐标系中，点（2，2）是一个光源，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1），则木杆AB在x轴上的投影A'B'长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 6．若，b＝3，估计的值在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 7．如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠A＝81°，点D在边AB上，连接CD，以点C为圆心，小于线段CD长为半径画弧分别交线段BC，DC于E点，F点，连接EF，以点D为圆心，线段CF长为半径画弧交线段DC于G点，以点G为圆心，线段EF长为半径画弧，该弧交以点D为圆心，线段CF长为半径所画弧于H点，H点位于CD上方，作射线DH交AC于点I，则∠AID的大小为（　　） A．50° B．57° C．60° D．64° 8．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“■”位置的数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　） A．4 B．4 C． D．2 10．如图，在△ABC中，AB＝6cm，∠CAB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．12 D． 11．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，这个会徽的主体图案是由一连串如图2所示的直角三角形演化而成，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝⋯＝An﹣1An．如果设OA1＝1，则OAn﹣1：OAn＝（　　） A． B． C． D． 12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在边AD上，若△CED沿直线CE折叠，点D恰好落在对角线AC上的点F处，连结BF．若，则（　　） A．k2 B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共4小题） 13．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），A（2，0），若反比例函数的图象经过点B，则k＝ 　 　 ． 15．鲁洛克斯三角形又称“圆弧三角形”指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．如图，是一个AB＝3的鲁洛克斯三角形，则这个鲁洛克斯三角形的面积为 　 　 ． 16．如图，抛物线y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于B，D两点．若直线y＝kx﹣k与C2始终有公共点，则k的最大值是　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题） 17．如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：﹣6，0，5，2，﹣3．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． （1）①若摸出的四个小球上分别标有2，﹣6，0，﹣3，计算：2×（﹣6）﹣0﹣（﹣3）； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； （2）将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“□﹣□﹣□﹣□”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 18．根据如图所示的程序，解决下列问题： （1）求C（结果需化简）； （2）若输出的C的结果为3，求输入的x的值． 19．如图是8个台阶的示意图（各拐角均为90°，每个台阶宽、高分别为2和1．A1B1为第一个台阶面，A2B2为第二个台阶面…以此类推，A8M为第八个台阶面，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求直线MN的解析式，并判断点B1是否在直线MN上； （2）点B2，B3，B4，B5，B6，B7　 　 （填“在”或“不在”）直线MN上，点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8在直线 　 　 上（填直线解析式）； （3）嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线y＝mx﹣20m+9（m≠0）表示，若使光线刚好照到所有台阶（包含点M，N），求m的取值范围． 20．为了解某校九年级学生体育现场测试的成绩情况，从九（1）班和九（2）班学生成绩中各随机抽取了10名学生的成绩，嘉琪对两组数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．如图为1班、2班体育测试成绩的频数分布折线图： b．表1：1班体育测试成绩各分数段人数统计表： 成绩（分） 25 26 27 28 29 30 人数（人） 1 1 m 1 1 3 c．表2：两个班级体育测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 班级 平均数 中位数 众数 1班 a b 27、30 2班 27.9 28 c 根据以上信息，回答下列问题； （1）表1中m＝ 　 　 ；请补全图中的折线统计图； （2）表2中a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ； （3）若规定27分及以上为优秀，请结合两个班学生的体育成绩情况，估计该校九年级1500人中此次测试成绩优秀的学生有多少人？ 21．如图，在平面直角坐标系中，半径为的⊙B经过坐标原点O，且与x轴、y轴分别交于点A，C，AC恰为⊙B的直径．过点O作⊙B的切线与AC的延长线交于点D．已知点A的坐标为（4，0）． （1）求tan∠CAO的值； （2）若点D恰好在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式． 22．【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若BC＝10cm，拼接时应将△ABE沿AD平移 　 　 cm． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知DE与BC的数量关系为 　 　 ，AH与DE的位置关系为 　 　 ． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形ABCD沿AC剪开，将筝形EFGH（有两组邻边分别相等的四边形）沿GE剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形BCC′D． （4）若BC＝13cm，AC＝10cm，求CC′的长 23．如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l：y＝x﹣3经过B，C两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知P为线段BC上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N． ①当PM的长度随t的增大而增大时，请直接写出t的取值范围； ②当时，求点P的横坐标； （3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线l′，直接写出当直线l′与这个新图象分别有2个或3个公共点时，n的取值范围或n的值． 24．【问题初探】 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，AC是对角线，AE平分∠DAC，交边CD于点E，作BF⊥AE，垂足为点H，交边AD于点F，交对角线AC于点G． （1）①判断△AFG的形状并说明理由； ②求AF的长； 【问题再探】 （2）如图2，将△AFH沿着点A到点C的方向平移，点A，点F，点H的对应点分别为点A1，点F1，点H1，当点H1落在边CD上时，求A1C的长； 【问题拓展】 （3）如图3，在问题（2）中，当点H1落在边CD上时，将△A1F1H1绕着点A1旋转一周，点F1，点H1的对应点为点F2，点H2，当H2F2与对角线AC垂直时，连接AF2，BF2，求△ABF2的面积．（如果只有一种情况，请写出完整过程．如果不只是一种情况，请任选一种情况写出完整过程，其他情况直接写出结果．） 试卷第2页，总2页 试卷第1页，总1页 学科网（北京）股份有限公司 2025年河北中考数学冲刺6月押题密卷02 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C A D A B D B B B D 一．选择题（共12小题） 1．下列各数中，最小的数是（　　） A． B． C． D．（﹣1）2025 【解答】解：， |﹣2|＝2，|﹣1|＝1， ∵2＞1， ∴﹣2＜﹣1＜1.414＜2.5， ∴， ∴最小的数是， 故选：C． 2．《孙子算经》中记载：“量之所起，起于粟．六粟为一圭，十圭为一撮，十撮为一抄，十抄为一勺，十勺为一合……”可知：6粟＝1圭，10圭＝1撮，10操＝1抄，10抄＝1勺，10勺＝1合，则5合为（　　） A．3×104栗 B．3×105栗 C．5×104栗 D．5×105粟 【解答】解：6粟＝1圭，10圭＝1撮，10撮＝1抄，10抄＝1勺，10勺＝1合，则5合为： 5×6×10×10×10×10＝3×105． 故选：B． 3．如图所示是一游戏转盘，将两个转盘各转一次，然后将指针指向的数相乘，则两次指针指向的数之积为2的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：将两个转盘各转一次，然后将指针指向的数相乘，列表如下： ﹣1 ﹣1 1 2 2 ﹣1×2＝﹣2 ﹣1×2＝﹣2 1×2＝2 2×2＝4 ﹣2 （﹣1）×（﹣2）＝2 （﹣1）×（﹣2）＝2 1×（﹣2）＝﹣2 2×（﹣2）＝﹣4 共有8种等可能出现的结果，其中两次指针指向的数之积为2的结果有3种， 所以两次指针指向的数之积为2的概率为， 故选：C． 4．如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【解答】解：F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短． 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，点（2，2）是一个光源，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1），则木杆AB在x轴上的投影A'B'长为（　　） A．2 B．3 C．5 D．6 【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图， ∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）． ∴PD＝1，PE＝2，AB＝3， ∵AB∥A′B′， ∴△PAB∽△PA′B′， ∴，即， ∴A′B′＝6． 故选D． 6．若，b＝3，估计的值在（　　） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【解答】解：由条件可知， ∵9＜13＜16， ∴，则， 即估计的值在0和1之间， 故选：A． 7．如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠A＝81°，点D在边AB上，连接CD，以点C为圆心，小于线段CD长为半径画弧分别交线段BC，DC于E点，F点，连接EF，以点D为圆心，线段CF长为半径画弧交线段DC于G点，以点G为圆心，线段EF长为半径画弧，该弧交以点D为圆心，线段CF长为半径所画弧于H点，H点位于CD上方，作射线DH交AC于点I，则∠AID的大小为（　　） A．50° B．57° C．60° D．64° 【解答】解：在△CEF和△DHG中， ， ∴△CEF≌△DHG（SSS）， ∴∠HDG＝∠ECF， ∴DI∥BC， ∴∠AID＝∠ACB＝57°， 故选：B． 8．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“■”位置的数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：标记幻方中的相关数字，由题意可得： a 3 1 m 17 b x 1+m+17＝a+m+x，1+m+17＝b+m+3， ∴a＝18﹣x，b＝15， 由a+1+b＝3+17+x，得：（18﹣x）+1+15＝3+17+x， 解得x＝7， 故选：D． 9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为（　　） A．4 B．4 C． D．2 【解答】解：连接CD， ∵AB＝BC，∠BAC＝30°， ∴∠ACB＝∠BAC＝30°， ∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴∠D＝180°﹣∠B＝60°， ∵AD是直径， ∴∠ACD＝90°， ∵∠CAD＝30°，AD＝8， ∴CDAD＝4， ∴AC4， 故选：B． 10．如图，在△ABC中，AB＝6cm，∠CAB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．12 D． 【解答】解：如图所示，设AC与BA′相交于D， 由条件可知∠ABA′＝45°，BA′＝BA＝6，△ABC≌△A′BC′， ∴S△ABC＝S△A′BC′， ∵S四边形AA′C′B＝S△ABC+S阴影部分＝S△A′BC′+S△ABA′， ∴S阴影部分＝S△ABA′， ∴△ADB为等腰直角三角形， ∴∠ADB＝90°，， ∴， ∴S阴影． 故选：B． 11．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，这个会徽的主体图案是由一连串如图2所示的直角三角形演化而成，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝⋯＝An﹣1An．如果设OA1＝1，则OAn﹣1：OAn＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，OA1＝A1A2＝A2A3＝⋯＝An﹣1An，＝1， 由勾股定理得：OA2， OA3， OA42， OA5， … ∴OAn﹣1， OAn， ∴OAn﹣1：OAn：， 故选：B． 12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在边AD上，若△CED沿直线CE折叠，点D恰好落在对角线AC上的点F处，连结BF．若，则（　　） A．k2 B． C． D． 【解答】解：如图，过点C作CM⊥BF于M， 设菱形的边长为a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD＝BC＝a，OB⊥AC， ∵， ∴BF＝ka， 由折叠知CF＝CD＝a， ∴CB＝CF＝a； ∵CM⊥BF， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 在△BOF中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：D． 二．填空题（共4小题） 13．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣3　 ． 【解答】解：若式子在实数范围内有意义， 则x+3≥0， 解得：x≥﹣3， 则x的取值范围是：x≥﹣3． 故答案为：x≥﹣3． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），A（2，0），若反比例函数的图象经过点B，则k＝ 　　 ． 【解答】解：如图所示，分别过点B、D作x轴的垂线，垂足分别为F、E， 设AD与y轴交于G，则∠AED＝∠AFB＝90°， 由条件可知∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝CD，OA＝OE＝2，DE＝3， ∴AE＝OA+OE＝4， ∴， ∴∠AOG＝∠AED＝90°，∠OAG＝∠EAD， ∴△AOG∽△AED， ∴，即， ∴， ∴， ∵∠CDG＝∠AOG＝90°，∠CGD＝∠AGO， ∴△CGD∽△AGO， ∴，即， ∴； ∵∠EAD+∠EDA＝∠EAD+∠FAB＝90°， ∴∠EDA＝∠FAB， ∴△AED∽△BFA， ∴，即， ∴， ∴OF＝OA+AF＝4， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 故答案为：． 15．鲁洛克斯三角形又称“圆弧三角形”指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．如图，是一个AB＝3的鲁洛克斯三角形，则这个鲁洛克斯三角形的面积为 　　 ． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝3，BHBC，∠C＝60°， ∴BH， ∴AH， ∴△ABC的面积BC•AH， ∵扇形CAB的面积， ∴弓形AMB的面积＝扇形CAB的面积﹣△ABC的面积， ∴这个鲁洛克斯三角形的面积3． 故答案为：． 16．如图，抛物线y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于B，D两点．若直线y＝kx﹣k与C2始终有公共点，则k的最大值是　　 ． 【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：（1，0）、（3，0）， ∴设抛物线C2解析式为y＝﹣（x﹣m﹣1）（x﹣m﹣3）， 把B（3，0）代入得0＝﹣（3﹣m﹣1）（3﹣m﹣3），解得m＝2或m＝0（舍去）， ∴抛物线C2解析式为y＝﹣（x﹣2﹣1）（x﹣2﹣3）＝﹣x2+8x﹣15（3≤x≤5）， 如图， ∵直线y＝kx﹣k过点A（1，0）， ∴当直线与C2只有一个交点时，k值最大， 联立， x2+（k﹣8）x+15﹣k＝0， ∴Δ＝（k﹣8）2﹣4（15﹣k）＝0，， ∴k2﹣12k+4＝0， 解得：， ∵唯一交点横坐标3≤x≤5， ∴，解得﹣2≤k≤2， ∴由图可得当时，直线与抛物线C2在3≤x≤5范围内有交点， ∴k的最大值是． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 17．如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：﹣6，0，5，2，﹣3．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． （1）①若摸出的四个小球上分别标有2，﹣6，0，﹣3，计算：2×（﹣6）﹣0﹣（﹣3）； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； （2）将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“□﹣□﹣□﹣□”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 【解答】解：（1）①2×（﹣6）﹣0﹣（﹣3） ＝﹣12﹣0+3 ＝﹣9； ②∵摸出的四个数字的积不为0， ∴摸出的四个数字为﹣6，5，2，﹣3． ﹣6+5+2﹣3 ＝﹣6﹣3+5+2 ＝﹣9+7 ＝﹣2； （2）根据有理数的加法法则可知，当摸出的四个小球上的数字为﹣6，0，5，2时，计算结果最小， 即﹣6﹣0﹣5﹣2＝﹣13． 18．根据如图所示的程序，解决下列问题： （1）求C（结果需化简）； （2）若输出的C的结果为3，求输入的x的值． 【解答】解：（1） ． （2）， 两边同乘x得x﹣2＝3x， 解得x＝﹣1， 经检验，x＝﹣1是原方程的解， ∴输入的x的值为﹣1． 19．如图是8个台阶的示意图（各拐角均为90°，每个台阶宽、高分别为2和1．A1B1为第一个台阶面，A2B2为第二个台阶面…以此类推，A8M为第八个台阶面，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求直线MN的解析式，并判断点B1是否在直线MN上； （2）点B2，B3，B4，B5，B6，B7　在　 （填“在”或“不在”）直线MN上，点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8在直线 　　 上（填直线解析式）； （3）嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线y＝mx﹣20m+9（m≠0）表示，若使光线刚好照到所有台阶（包含点M，N），求m的取值范围． 【解答】解：（1）设直线MN的解析式为：y＝kx+b， ∵每个台阶宽、高分别为2和1， ∴M（0，8），N（16，0）， 将（0，8）和（16，0）代入解析式得：， 解得 ∴， 当x＝14时，， ， ∴B1（14，1）在直线MN上； （2）由（1）问可得B2（12，2）， 当x＝12时，， ∴B2（12，2）在直线， 同理可得B3、B4、B5、B6、B7均在直线上； ∵N（16，0），A1（16，1）， ∴由图可知：将直线向上平移一个单位长度可得：， 点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8在直线， 故答案为：在；； （3）由提交可得16m﹣20m+9＝0， 得， 把M（0，8）代入y＝mx﹣20m+9（m≠0）， ﹣20m+9＝8， 得， ∴． 20．为了解某校九年级学生体育现场测试的成绩情况，从九（1）班和九（2）班学生成绩中各随机抽取了10名学生的成绩，嘉琪对两组数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．如图为1班、2班体育测试成绩的频数分布折线图： b．表1：1班体育测试成绩各分数段人数统计表： 成绩（分） 25 26 27 28 29 30 人数（人） 1 1 m 1 1 3 c．表2：两个班级体育测试成绩的平均数、中位数、众数如下： 班级 平均数 中位数 众数 1班 a b 27、30 2班 27.9 28 c 根据以上信息，回答下列问题； （1）表1中m＝ 　3　 ；请补全图中的折线统计图； （2）表2中a＝ 　27.9　 ，b＝ 　27.5　 ，c＝ 　29　 ； （3）若规定27分及以上为优秀，请结合两个班学生的体育成绩情况，估计该校九年级1500人中此次测试成绩优秀的学生有多少人？ 【解答】解：（1）m＝10﹣1﹣1﹣1﹣1﹣3＝3， 补全图形如下： 故答案为：3； （2）根据平均数计算方法可得：； 10个分数按从小到大顺序排列，最中间的两个分数是27分和28分， 所以，中位数； 2班成绩中，29分出现次数最多，一共出现3次， 故众数c＝29； 故答案为：27.9；27.5；29； （3）根据样本估计总体可得（人）， 答：估计该校九年级1500人中此次测试成绩优秀的学生有1200人． 21．如图，在平面直角坐标系中，半径为的⊙B经过坐标原点O，且与x轴、y轴分别交于点A，C，AC恰为⊙B的直径．过点O作⊙B的切线与AC的延长线交于点D．已知点A的坐标为（4，0）． （1）求tan∠CAO的值； （2）若点D恰好在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式． 【解答】解：（1）由A（4，0）得OA＝4， ∵半径为的⊙B经过坐标原点O，且与x轴、y轴分别交于点A，C，AC恰为⊙B的直径． ∴， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：， ∴， （2）如图，连接OB，过点D作DE⊥x轴于点E， ∴∠EDO+∠DOE＝90°， ∵OD与⊙B相切交于点O， ∴OB⊥OD， ∴∠DOE+∠BOA＝90°， ∴∠EDO＝∠BOA， ∵BA＝OB， ∴∠CAO＝∠BOA， ∴∠EDO＝∠CAO， ∴， 设OE＝m，则DE＝2m， ∵∠CAO＝∠DAE，∠COA＝∠DEA＝90°， ∴△AOC∽△AED， ∴， ∴， 解得， 经检验是所列方程的解，且符合题意， ∴，， ∴点D的坐标为， ∴， ∴经过点D的反比例函数的解析式为． 22．【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若BC＝10cm，拼接时应将△ABE沿AD平移 　10　 cm． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知DE与BC的数量关系为 　　 ，AH与DE的位置关系为 　AH⊥DE　 ． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线） 【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形ABCD沿AC剪开，将筝形EFGH（有两组邻边分别相等的四边形）沿GE剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形BCC′D． （4）若BC＝13cm，AC＝10cm，求CC′的长． 【解答】解：（1）嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形，BC＝10cm，拼接时应将△ABE沿AD平移10cm， 故答案为：10； （2）淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形， ∴AD＝DB，AE＝EC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴； ∵拼接图形BCH2H1是矩形， ∴∠BH1D＝90°， 由拼接知：∠AHD＝∠BH1D＝90°， ∴AH⊥DE， 故答案为：，AH⊥DE； （3）补全剪拼过程和剪拼后的矩形ABCD，如图3即为所作； （4）如图4，连接BD，由拼接知BD＝GE＝CC′，设BD与AC相交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴cm，BO＝OD，BD⊥AC， 在Rt△BOC中，BC＝13cm， 由勾股定理得：cm， ∴BD＝2BO＝24cm， ∴CC′＝BD＝24cm， ∴CC′的长为24cm． 23．如图1，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l：y＝x﹣3经过B，C两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知P为线段BC上一点，设其横坐标为t，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N． ①当PM的长度随t的增大而增大时，请直接写出t的取值范围； ②当时，求点P的横坐标； （3）如图2，将二次函数y＝x2+bx+c在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“W”形状的新图象，再将直线l向上平移n个单位长度，得到直线l′，直接写出当直线l′与这个新图象分别有2个或3个公共点时，n的取值范围或n的值． 【解答】解：（1）在y＝x﹣3中， 令x＝0得y＝﹣3； 令y＝0得x＝3； ∴B（3，0），C（0，﹣3）， 将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）①如图， ∵点P为线段BC上一点， 设其横坐标为t，则0≤t≤3， ∴P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3）， ∴PM＝|t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3）|＝|t2﹣3t|＝|t（t﹣3）|， 当t＝0时，t﹣3＝﹣3，则PM＝0； 当0＜t＜3时，t﹣3＜0，则， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，PM的长度随着t的增大而增大，则此情况， 当t＝3时，t﹣3＝0，则PM＝0； 综上所述，当PM的长度随t的增大而增大时，t的取值范围是； ②由①知PM＝|t2﹣3t|， ∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线， ∴MN＝|2（t﹣1）|＝|2t﹣2|，， ∴或， 则t2﹣4t+1＝0或t2﹣2t﹣1＝0， 解得或或或， ∵0≤t≤3， ∴点P的横坐标为或； （3）在y＝x2﹣2x﹣3中， 令y＝0得0＝x2﹣2x﹣3， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4）， ∴将抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方， 则翻折上来的部分抛物线顶点为（1，4）， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）， 直线l向上平移n个单位长度得到直线l′：y＝x﹣3+n，如图， ∴当直线l′经过点A或与y＝﹣x2+2x+3相切时，直线l′与新图象恰好有三个不同的交点； 当直线l′经过点B时，直线l′与新图象恰好有一个交点， ①当直线l′经过点A（﹣1，0）时，把A（﹣1，0）代入l′：y＝x﹣3+n， 得0＝﹣1﹣3+n， 解得n＝4， 即当n＝4时，直线l′与这个新图象有3个公共点； ②当l′：y＝x﹣3+n与y＝﹣x2+2x+3相切时， 联立，只有一组公共解， 即方程x2﹣x+n﹣6＝0的判别式为0， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4（n﹣6）＝0， 解得， 即当时，直线l′与这个新图象有3个公共点； ③当直线l′经过点B（3，0）时，把B（3，0）代入l′：y＝x﹣3+n， 得0＝3﹣3+n， 解得n＝0， 即当n＝0时，直线l′与这个新图象有1个公共点； ④如图，当时，直线l′与这个新图象有4个公共点； ⑤如图，当时，直线l′与这个新图象有2个公共点； ⑥如图，当0＜n＜4时，直线l′与这个新图象有2个公共点； ⑦如图，当n＜0时，直线l′与这个新图象没有公共点； 综上所述，当直线l′与这个新图象有2个公共点时：；有3个公共点时：或n＝4． 24．【问题初探】 如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，AC是对角线，AE平分∠DAC，交边CD于点E，作BF⊥AE，垂足为点H，交边AD于点F，交对角线AC于点G． （1）①判断△AFG的形状并说明理由； ②求AF的长； 【问题再探】 （2）如图2，将△AFH沿着点A到点C的方向平移，点A，点F，点H的对应点分别为点A1，点F1，点H1，当点H1落在边CD上时，求A1C的长； 【问题拓展】 （3）如图3，在问题（2）中，当点H1落在边CD上时，将△A1F1H1绕着点A1旋转一周，点F1，点H1的对应点为点F2，点H2，当H2F2与对角线AC垂直时，连接AF2，BF2，求△ABF2的面积．（如果只有一种情况，请写出完整过程．如果不只是一种情况，请任选一种情况写出完整过程，其他情况直接写出结果．） 【解答】解：（1）①△AFG是等腰三角形，理由如下： ∵BF⊥AE，AE平分∠DAC， ∴∠AFH＝∠AGH， ∴AF＝AG， 即：△AFG是等腰三角形； ②∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠DAB＝90°，CD＝AB＝4，∠DAE+∠BAE＝90°， ∵AD＝3， ∴AC＝5， ∵AE平分∠DAC， ∴， ∴， ∴DE， ∵AE⊥BF， ∴∠AHB＝90°， ∴∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠DAE＝∠ABF， ∴tan∠DAE＝tan∠ABF， ∴， ∴， ∴AF＝2； （2）由②知， ∠AHF＝∠D＝90°，AD＝3，DE， ∴AE，cos∠DAE， ∵， ∴AH， ∵△AFH沿着点A到点C的方向平移，点A，点F，点H的对应点分别为点A1，点F1， ∴A1H1∥AE， ∴△CA1H1∽△CAE， ∴， ∴， ∴； （3）如图1， 当点F2在AC上方时， 作F2V⊥AB于V，作A1W⊥F2V于W，作A1T⊥AB于T， ∴A1W∥AB， ∴∠CA1W＝∠CAB， ∵∠F2A1H2＝F1A1H1＝∠FAH＝∠GAH， ∴∠F2A1W＝∠BAE＝∠AED， ∴sin∠F2A1W＝sin∠AED， ∴F2W＝A1F2•sin∠AED＝2， ∴WV＝A1T＝AA1•sin∠BAC（5）， ∴， 如图2，’ 当点F2在AC下方时， 作F2X⊥AB于Q，做A1X⊥F2X于X， 可知， F2X（上面F2W的值），QX＝A1T， ∴， 综上所述：△ABF2的面积为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/5 18:14:29；用户：思达教育；邮箱：15200006450@xyh.com；学号：30653724 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$