2025年河北中考数学冲刺6月押题密卷01

绝密★启用前 2025年河北中考数学冲刺6月押题密卷01 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一．选择题（共12小题） 1．下面给出的四个数，使式子（﹣2）+□的结果为正数的是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 2．我国的传统节日“春节”已被列入联合国教科文组织《人类非物质文化遗产代表作名录》．今年春节期间，某景区游客12万人次，景区门票价格168元/人．以此计算，今年该景区春节期间门票总收入用科学记数法表示为（　　） A．2.016×108元 B．2.016×107元 C．0.2016×107元 D．2016×104元 3．如图，是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（　　） A．① B．② C．③ D．④ 4．泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AD为BC边上的高，CD＝2，将△ADC 沿直线AD折叠得到△ADC′，则BC′＝（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 6．电影《刘三姐》中有这样一个场景，罗秀才唱道：“把300条狗分成4群，每个群里狗的数量都是奇数．其中一个群狗的数量少，另外三个群狗的数量多且数量相同．问：“应该如何分？”刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出一种答案：“99条打猎去，99条看羊来，99条守门口，剩下3条给财主．”设数量少的狗群中有狗x条，则正确的是（　　） A．数量多的狗群每个群有狗（300﹣x）条 B．依题意 C．x有最小值，但没有最大值 D．x＝3是正确解，但不是唯一解 7．将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A的坐标为（5，0），双曲线y（x＞0）经过点C，且OB•AC＝40，则k的值为（　　） A．12 B．﹣12 C．24 D．﹣24 9．如图所示，扇形OAB的圆心角为120°，P为弧AB的中点，若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，D是CB延长线上一点，∠ACB与∠ABD的角平分线交于点E，连接AE．若要求∠BAE的度数，只需要知道下列哪个角的度数（　　） A．∠ABC B．∠ACB C．∠BAC D．∠AEB 11．如图，在数轴上有一动点P，将点P沿数轴做如下移动，第一次点P向右平移2个单位长度到达点P1，第二次将点P1向左移动4个单位长度到达P2，第三次将点P2向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点Pn，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若P1、P2互为相反数，则点P表示0； 乙：若点P表示﹣1，点Pn到原点的距离为15，则n＝15； 丙：当n为奇数时|Pn﹣Pn﹣1|＝2n； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 12．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（　　） A． B．1 C． D． 评卷人 得 分 二．填空题（共4小题） 13．在数轴上，介于和之间的整数是 　 　 ． 14．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．在图2中，∠ACD的度数为　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，AC⊥x轴于点C，延长AC交反比例函数的图象于点B，点D为OC的中点，连接AD、BD，若△ABD的面积为4，则k的值为 　 　 ． 16．如图1，有三个边长为2的正方形并排放置在直线l上． （1）如图2，若中间的正方形绕其中点O旋转45°，则点O到直线l的距离为 　 　 ； （2）将（1）中旋转后的正方形向上平移至图3的位置，使两侧正方形的顶点分别落在BC，CD边上，则点A到直线l的距离为 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题） 17．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，且a≠0）的两根分别是x1，x2，根据求根公式可以推出x1+x2，x1x2． （1）运用：若一元二次方程2x2+x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2＝　 　 ． （2）类比探究：小芳同学发现．请你试证明：． （3）若x1，x2是关于x的方程x2+（m﹣1）xm2﹣1＝0的两个实数根，且m﹣1，求m的值． 18．在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点，要求用尺规作图的方法在BC上找一点E，连结DE，使得，现有甲、乙、丙三位同学的做法如下： （1）①做法正确的同学有 　 　 ； ②请选择你认为正确的一种做法给出证明； （2）用尺规作图（图丁）的方法画出一种不同于以上三位同学的画法． 19．为了提高学生对人工智能的兴趣和应用能力，某校社团活动拟开设五种人工智能项目：A、智能机器人设计与编程，B、AI绘画与图象识别，C、机器学习与数据分析，D、AI伦理辩论与情景剧，E、小程序与智能硬件结合开发．为了解学生最喜欢以上哪种人工智能项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），根据调查数据绘制成下面的两幅统计图，请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是　 　 ，扇形统计图中E对应圆心角的度数为　 　 °； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2400名学生，请你估计该校最喜欢“B、AI绘画与图象识别”的学生人数． 20．随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间0.1﹣0.6秒之间，低于人类驾驶员0.8﹣2秒的反应时间． 总停车距离（l）＝反应距离（tv）+制动距离：记作为：（1：从感知到车停共经过的距离，单位米；t：感知、计算的反应时间，单位秒；v：刹车前行车速度，单位米/秒；a：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下： 车速x（千米/时） 72 108 … 停车距离l（米） 35 71.25 … （1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离l与刹车前行车速度v的函数表达式； （2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以64.8千米/时的速度在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距s＝27米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算． ①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时（v≥60千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到5.7°，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？ （参考数据：每个车道的宽度为d＝3.75米，sin5.7°＝0.099，cos5.7°＝0.995，tan5.7°＝0.1） 21．【问题原型】如图①，四边形ABCD是正方形，AB＝4．点E是边BC的中点，点F是边CD上一点，且DF＝1．连结AE、AF、BF，且AE、BF交于点G，求△AFG的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长DC、AE，且DC、AE相交于点M．易知△AEB≌△MEC且△ABG∽△MFG，求得的值，从而得到△ABG和△AFG的面积比，进而求出△AFG的面积． 以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形ABCD中， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠M． ∵点E是边BC的中点， ∴BE＝CE． ∵∠AEB＝∠MEC， ∴△AEB≌△MEC． ∴CM＝AB＝4． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出△AFG的面积是　 　 ． 22．如图1，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点（A，B除外），点D，E在AB上，满足AD＝AC，BE＝BC，CD，CE的延长线分别交⊙O于点F，G．记∠CAB＝α． （1）若α＝30°，求∠FCG的度数； （2）连结FG，求证：； （3）如图2，连结并延长BF，AG交于点H，若 ①求的值； ②请直接写出cosα的值． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），P是抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是 　 　 ； （3）设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当3≤d≤6时，求m的取值范围； （4）已知平面内一点M的坐标为（m，﹣m），点Q的坐标为（﹣m﹣2，﹣m），连结PM、QM，以PM、QM为边构造矩形PMQN．当m≤1，且抛物线的顶点到MQ所在直线的距离等于矩形一边的长度时，直接写出m的值． 24．如图1，在正方形ABCD中，P为对角线AC上一点，且PE⊥BC，垂足为E． 【知识技能】 （1）图1中线段AP和BE之间的数量关系是　 　 ． 【数学理解】 （2）若将图1中的△CEP绕点C顺时针旋转，使P点落在CD上，连接AP，BE，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【拓展探索】 （3）在（2）的基础上，延长AP，BE交于点F，若DP＝PC＝2，求BF的长． 2025年河北中考数学冲刺6月押题密卷01 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B D A C D C B D C C 题号 12 答案 A 一．选择题（共12小题） 1．下面给出的四个数，使式子（﹣2）+□的结果为正数的是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 【解答】解：根据有理数的加法法则，可知□表示的数是正数，且绝对值大于|﹣2|， 即□表示的数大于2， 故选项D符合题意． 故选：D． 2．我国的传统节日“春节”已被列入联合国教科文组织《人类非物质文化遗产代表作名录》．今年春节期间，某景区游客12万人次，景区门票价格168元/人．以此计算，今年该景区春节期间门票总收入用科学记数法表示为（　　） A．2.016×108元 B．2.016×107元 C．0.2016×107元 D．2016×104元 【解答】解：科学记数法表示数可得： 120000×168＝20160000＝2.016×107． 故选：B． 3．如图，是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【解答】解：根据三视图特征及轴对称图形、中心对称图形性质逐项分析判断如下： A、去掉①后，左视图分两列，第1列有3个小正方形，第2列有2个小正方形，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B、去掉②后，左视图分两列，第1列有3个小正方形，第2列有2个小正方形，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； C、去掉③后，左视图分两列，第1列有3个小正方形，第2列有1个小正方形，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D、去掉④后，左视图分两列，第1列有2个小正方形，第2列有2个小正方形，构成一个大正方形，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 4．泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，共有8种等可能的结果，其中买中“藕粉哪吒”的结果有1种， ∴买中“藕粉哪吒”的概率为． 故选：A． 5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AD为BC边上的高，CD＝2，将△ADC 沿直线AD折叠得到△ADC′，则BC′＝（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，CD＝2， ∴∠C＝60°， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， 在Rt△ADC中，， 在Rt△ABC中，， ∵将△ADC 沿直线AD折叠得到△ADC′， ∴C′D＝CD＝2，∠ADC′＝∠ADC＝90°， ∴B、C′、D三点共线， ∴BC′＝BC﹣C′D﹣CD＝8﹣2﹣2＝4， 故选：C． 6．电影《刘三姐》中有这样一个场景，罗秀才唱道：“把300条狗分成4群，每个群里狗的数量都是奇数．其中一个群狗的数量少，另外三个群狗的数量多且数量相同．问：“应该如何分？”刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出一种答案：“99条打猎去，99条看羊来，99条守门口，剩下3条给财主．”设数量少的狗群中有狗x条，则正确的是（　　） A．数量多的狗群每个群有狗（300﹣x）条 B．依题意 C．x有最小值，但没有最大值 D．x＝3是正确解，但不是唯一解 【解答】解：A、设数量少的狗群中有狗x条，则狗群数量多的每个群为条，此选项错误，不符合题意； B、依题意应该是：，此选项错误，不符合题意； C、依题意得（x为奇数）， 解得：1≤x＜75（x为奇数），故x的最小值为1，x的最大值为73．此选项错误，不符合题意； D、由C可知，1≤x＜75（x为奇数），故x＝3是正确解，但不是唯一解，符合题意，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 7．将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【解答】解：由题意知，在Rt△DEF中，∠EDF＝60°， ∵AB∥DF， ∴∠1＝∠EDF＝60°， 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A的坐标为（5，0），双曲线y（x＞0）经过点C，且OB•AC＝40，则k的值为（　　） A．12 B．﹣12 C．24 D．﹣24 【解答】解：∵四边形OABC为菱形，且OB•AC＝40， ∴S菱形OABC20， ∴S△OAC＝10， 如图，作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥y轴，垂足为E， ∵S△OAC10， ∴CD＝4， 在Rt△COE中，OC＝OA＝5，OE＝CD＝4， ∴CE3， ∴C（3，﹣4）． ∵点C在反比例函数图象上， ∴k＝﹣12． 故选：B． 9．如图所示，扇形OAB的圆心角为120°，P为弧AB的中点，若，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接PB，PO，设PO与AB交于点Q，如图所示： 由条件可知∠AOP＝∠BOP＝60°，△AOP是等边三角形， 同理△BOP为等边三角形， ∴∠AOP＝∠BPO＝60°，AO＝BP＝AP＝BO， ∴AO∥BP， ∴四边形AOBP为菱形， ∵， ∴， 在Rt△BOQ中，BQ＝OB•sin60°， ∴， 由中心对称图形性质可知S△APQ＝S△BOQ， ∴， 故选：D． 10．如图，在△ABC中，D是CB延长线上一点，∠ACB与∠ABD的角平分线交于点E，连接AE．若要求∠BAE的度数，只需要知道下列哪个角的度数（　　） A．∠ABC B．∠ACB C．∠BAC D．∠AEB 【解答】解：作EH⊥BD于点H，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交CA的延长线于点G， ∵∠ACB与∠ABD的角平分线交于点E， ∴EH＝EF，EH＝EG， ∴EF＝EG， ∴AE平分∠BAG， ∴∠BAE∠BAG（180°﹣∠BAC）， ∴只需要知道∠BAC的度数即可求出∠BAE的度数． 故选：C． 11．如图，在数轴上有一动点P，将点P沿数轴做如下移动，第一次点P向右平移2个单位长度到达点P1，第二次将点P1向左移动4个单位长度到达P2，第三次将点P2向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点Pn，甲、乙、丙三位同学给出以下结论： 甲：若P1、P2互为相反数，则点P表示0； 乙：若点P表示﹣1，点Pn到原点的距离为15，则n＝15； 丙：当n为奇数时|Pn﹣Pn﹣1|＝2n； 对于三人的观点，以下说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对 C．甲、丙对，乙不对 D．甲对，乙、丙不对 【解答】解：甲：设点P表示x， 则P1表示的数为x+2，P2表示的数为x﹣2， P1、P2互为相反数， ∴x+2+x﹣2＝0，解得：x＝0， ∴点P表示0，故甲说法正确； 乙：∵点P表示﹣1； ∴P1表示的数为1； P2表示的数为﹣3； P3表示的数为3； P4表示的数为﹣5 P5表示的数为5； P6表示的数为﹣7； ⋯； ∴当n为奇数时，Pn＝n；当n为偶数时，； ∵点Pn到原点的距离为15， ∴n＝15或n＝14，故乙说法错误； 丙：设点P表示x， ∴P1表示的数为x+2； P2表示的数为x+2﹣4＝x﹣2； P3表示的数为x﹣2+6＝x+4； P4表示的数为x+4﹣8＝x﹣4； P5表示的数为x﹣4+10＝x+6； P6表示的数为x+6﹣12＝x﹣6； ⋯； ∴当n为奇数时，Pn＝x+n+1；当n为偶数时，Pn＝x﹣n； ∴|Pn﹣Pn﹣1|＝|x+n+1﹣（x﹣n+1）|＝2n，故丙说法正确； 综上可知：甲、丙对，乙不对， 故选：C． 12．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（　　） A． B．1 C． D． 【解答】解：如图：连接NE，设直线NE与AB边的交点为P， 由折叠可知点P、E、G、N四点共线，且PE＝GN， 设正方形ABCD的边长为2a，则CN＝a，正方形ABCD的面积为4a2， 由题意可得： ∴由折叠可知正方形EFGH的面积正方形ABCD的面积， ∴正方形EFGH的边长， ∴． 故选：A． 二．填空题（共4小题） 13．在数轴上，介于和之间的整数是 　3　 ． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴介于和之间的整数是3， 故答案为：3． 14．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．在图2中，∠ACD的度数为　72°　 ． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴其每个内角为108°，且AB＝BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠BCA＝（180°﹣108°）÷2＝36°， ∴∠ACD＝∠BCE﹣∠BCA＝108°﹣36°＝72°． 故答案为：72° 15．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，AC⊥x轴于点C，延长AC交反比例函数的图象于点B，点D为OC的中点，连接AD、BD，若△ABD的面积为4，则k的值为 　﹣12　 ． 【解答】解：设点A坐标为（a，）（a＜0，k＜0），则点B坐标为（a，）， ∴OC＝﹣a，AB＝AC+BC＝||+||， ∵点D为OC的中点， ∴CD＝ODOCa， ∴SABDAB•CD（a）4， 解得k＝﹣12， 故答案为：﹣12． 16．如图1，有三个边长为2的正方形并排放置在直线l上． （1）如图2，若中间的正方形绕其中点O旋转45°，则点O到直线l的距离为 　　 ； （2）将（1）中旋转后的正方形向上平移至图3的位置，使两侧正方形的顶点分别落在BC，CD边上，则点A到直线l的距离为 　　 ． 【解答】解：（1）如图2，连接AC， 根据题意得AC⊥l，点O在AC上， 在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，OA＝OC， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得；， ∴， ∴点O到直线l的距离为， 故答案为：； （2）如图3，连接AC并延长交直线l于点H，连接EF交AC于点G， 同理得：A、O、C、H共线，且EF⊥AH，EC＝FC， ∴∠EGC＝∠FGC＝90°， ∵∠GCE＝∠GCF＝45°， ∴∠GEC＝∠GFC＝45°， ∴GE＝GF＝GC， 由题意得EF＝GH＝2， ∴GE＝GF＝GC＝1， ∴CH＝GH﹣GC＝1， 由（1）知， ∴， ∴点A到直线l的距离为， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 17．若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，且a≠0）的两根分别是x1，x2，根据求根公式可以推出x1+x2，x1x2． （1）运用：若一元二次方程2x2+x﹣1＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2＝　　 ． （2）类比探究：小芳同学发现．请你试证明：． （3）若x1，x2是关于x的方程x2+（m﹣1）xm2﹣1＝0的两个实数根，且m﹣1，求m的值． 【解答】解：（1）一元二次方程的两根分别是x1，x2，则， 故答案为：； （2）证明：由题意可得，， ∴； （3）∵x1，x2是关于x的方程的两个实数根， ∴x1+x2＝1﹣m，，， ∴，， 整理得m2﹣6m+8＝0， 解得m1＝2，m2＝4， ∴m＝2． 18．在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点，要求用尺规作图的方法在BC上找一点E，连结DE，使得，现有甲、乙、丙三位同学的做法如下： （1）①做法正确的同学有 　甲丙　 ； ②请选择你认为正确的一种做法给出证明； （2）用尺规作图（图丁）的方法画出一种不同于以上三位同学的画法． 【解答】解：（1）做法正确的同学有甲丙． 故答案为：甲丙； 甲：由作图可知AE平分∠BAC， ∵AB＝AC， ∴BE＝EC， ∵AD＝DB， ∴DE是△ABC的中位线； （2）如图丁中，点E即为所求． 19．为了提高学生对人工智能的兴趣和应用能力，某校社团活动拟开设五种人工智能项目：A、智能机器人设计与编程，B、AI绘画与图象识别，C、机器学习与数据分析，D、AI伦理辩论与情景剧，E、小程序与智能硬件结合开发．为了解学生最喜欢以上哪种人工智能项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），根据调查数据绘制成下面的两幅统计图，请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是　300　 ，扇形统计图中E对应圆心角的度数为　90　 °； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2400名学生，请你估计该校最喜欢“B、AI绘画与图象识别”的学生人数． 【解答】解：（1）本次调查的样本容量是45÷15%＝300（人）， 扇形统计图中E对应圆心角的度数为360°90°， 故答案为：300，90°； （2）300﹣81﹣69﹣45﹣75＝30（人），补全条形统计图如下： （3）2400552（人）， 答：估计该校最喜欢“B、AI绘画与图象识别”的学生人数为552人． 20．随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间0.1﹣0.6秒之间，低于人类驾驶员0.8﹣2秒的反应时间． 总停车距离（l）＝反应距离（tv）+制动距离：记作为：（1：从感知到车停共经过的距离，单位米；t：感知、计算的反应时间，单位秒；v：刹车前行车速度，单位米/秒；a：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下： 车速x（千米/时） 72 108 … 停车距离l（米） 35 71.25 … （1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离l与刹车前行车速度v的函数表达式； （2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以64.8千米/时的速度在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距s＝27米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算． ①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？ ②当汽车在高速行驶时（v≥60千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到5.7°，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？ （参考数据：每个车道的宽度为d＝3.75米，sin5.7°＝0.099，cos5.7°＝0.995，tan5.7°＝0.1） 【解答】（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时＝20米/秒；108千米/时＝30米/秒； ∴经过（20，35）和（30，71.25） 可得， 解得 ∴； （2）①结论：不能在货物前停车． 由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时＝18米/秒， ， ∴29.25米＞27米， ∴不能在货物前停车． ②避险不成功，理由如下： 智能汽车感知、计算所反应的时间为0.6﹣0.1＝0.5秒，此时汽车已行进9米， 即OA＝9， ∴AB＝27﹣9＝18， 由题意得，∠BAC＝5.7°， ∴， ∴避险不成功． 21．【问题原型】如图①，四边形ABCD是正方形，AB＝4．点E是边BC的中点，点F是边CD上一点，且DF＝1．连结AE、AF、BF，且AE、BF交于点G，求△AFG的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长DC、AE，且DC、AE相交于点M．易知△AEB≌△MEC且△ABG∽△MFG，求得的值，从而得到△ABG和△AFG的面积比，进而求出△AFG的面积． 以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形ABCD中， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠M． ∵点E是边BC的中点， ∴BE＝CE． ∵∠AEB＝∠MEC， ∴△AEB≌△MEC． ∴CM＝AB＝4． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出△AFG的面积是　　 ． 【解答】解：【问题探究】在正方形ABCD中， ∵AB∥CD，∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝4， ∴∠BAE＝∠M， ∵点E是边BC的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△MCE中， ， ∴△AEB≌△MEC（AAS）， ∴AB＝CM＝4， ∴FM＝CF+CM＝CD﹣DF+CM＝4﹣1+4＝7， ∵∠GAB＝∠M，∠AGB＝∠MGF， ∴△ABG∽△MFG， ∴； 【问题解决】 ∵， ∴， ∴， 如图，过点F作FH⊥AB于H， ∴∠AHF＝∠BAD＝∠D＝90°， ∴四边形AHFD是矩形， ∴FH＝AD＝4， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22．如图1，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点（A，B除外），点D，E在AB上，满足AD＝AC，BE＝BC，CD，CE的延长线分别交⊙O于点F，G．记∠CAB＝α． （1）若α＝30°，求∠FCG的度数； （2）连结FG，求证：； （3）如图2，连结并延长BF，AG交于点H，若 ①求的值； ②请直接写出cosα的值． 【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵α＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵AD＝AC，BE＝BC， ∴∠ADC＝75°，∠BEC＝60°， ∴∠FCG＝45°； （2）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝α， ∴∠ABC＝90°﹣α， ∵AD＝AC，BE＝BC， ∴，， ∴∠FCG＝45°． 连结OF，OG， 则∠FOG＝2∠FCG＝90°， ∴FGOG， ∵AB＝2OG， ∴； （3）解：①∵四边形AGFB是圆内接四边形， ∴∠HFG＝∠HAB，∠HGF＝∠HBA， ∴△HFG∽△HAB， ∴， ∵， ∴设BF＝a，FH＝3a，则BH＝4a， ∴，， ∴， ∴； ②连接BG、AF，过F作FH⊥AB于点H， 由①得BF＝a，FH＝3a，AGa，GH＝2a， ∵∠FCG＝45°， ∴∠CBF＝∠FCG＝45°， ∵∠BGH＝90°， ∴△BGH是等腰直角三角形， ∴BG＝GH＝2a， 在Rt△BAG中，ABa， ∵AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴∠BDF＝∠ADC， ∵∠FBA＝∠FCA， ∴△FBD∽△ACD， ∴FB＝FD＝a， 在Rt△ABF中，AF3a， 由等面积可得FHa， ∴BHa， ∴BD＝2BHa， ∴AD＝AB﹣BDa， ∴cosα． 23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c（b、c为常数）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0），P是抛物线上一点，其横坐标为m． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是 　0≤y≤2　 ； （3）设抛物线在P、B两点之间的部分（包括P、B两点），记为图象G．若图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d，当3≤d≤6时，求m的取值范围； （4）已知平面内一点M的坐标为（m，﹣m），点Q的坐标为（﹣m﹣2，﹣m），连结PM、QM，以PM、QM为边构造矩形PMQN．当m≤1，且抛物线的顶点到MQ所在直线的距离等于矩形一边的长度时，直接写出m的值． 【解答】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为yx2+x； （2）∵yx2+x（x﹣1）2+2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 当﹣1≤x≤2时，函数y有最大值2， 当x＝﹣1时，y（﹣1）2﹣10， 当x＝2时，y22+2， ∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是0≤y≤2， 故答案为：0≤y≤2； （3）∵P是抛物线上一点，其横坐标为m， ∴P（m，m2+m），又B（3，0）， 当m＜3时，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d， 则d＝2﹣（m2+m）m2﹣m， ∵3≤d≤6， ∴3m2﹣m6， 解得：1﹣2m≤1或1≤m≤1+2（舍去）； 当m＞3时，则d＝0﹣（m2+m）m2﹣m， ∵3≤d≤6， ∴3m2﹣m6， 解得：1≤m≤5； 综上所述，1﹣2m≤1或1≤m≤5； （4）∵P（m，m2+m），M（m，﹣m），Q（﹣m﹣2，﹣m）， ∴PM∥y轴，QM∥x轴， ∵抛物线的顶点为（1，2）， ∴抛物线的顶点到MQ所在直线的距离等于2+m， 当2+m＝PM时，点P与顶点重合，此时m＝1； 当2+m＝QM时，点P在点Q的左侧或右侧， ∴2+m＝|m﹣（﹣m﹣2）|， 解得：m＝0或m， ∴m的值为1或0或． 24．如图1，在正方形ABCD中，P为对角线AC上一点，且PE⊥BC，垂足为E． 【知识技能】 （1）图1中线段AP和BE之间的数量关系是　　 ． 【数学理解】 （2）若将图1中的△CEP绕点C顺时针旋转，使P点落在CD上，连接AP，BE，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【拓展探索】 （3）在（2）的基础上，延长AP，BE交于点F，若DP＝PC＝2，求BF的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ACB＝45°，∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴， ∵PE⊥BC，∠ACB＝45°， ∴△PEC是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴图1中线段AP和BE之间的数量关系是， 故答案为：； （2）（1）中的结论是否仍然成立； 证明：如图2，作HB⊥BE且HB＝BE，则△BHE是等腰直角三角形，连接AH，HE， ∵HB⊥BE， ∴∠HBE＝∠ABC＝90°， ∴∠HBE﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE，即∠HBA＝∠EBC， 在△HBA和△EBC中， ， ∴△HBA≌△EBC（SAS）， ∴AH＝CE，∠AHB＝∠CEB， ∴∠AHE＝∠AHB﹣∠BHE＝∠AHB﹣45°， ∵∠HEP＝360°﹣∠BEC﹣∠HEB﹣CEP＝360°﹣∠BEC﹣45°﹣90°＝225°﹣∠BEC， ∴∠AHE+∠HEP＝∠AHB﹣45°+225°﹣∠BEC＝180° ∴AH∥PE， 又∵AH＝CE＝PE， ∴四边形AHEP是平行四边形， ∴AP＝HE， ∵△BHE是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）如图3，过点B，D作AF的垂线，垂足为K，M， ∵∠BAD＝∠BAK+∠MAD＝90°，∠MAD+∠ADM＝90°， ∴∠ADM＝∠BAK， 在△ADM和△BAK中， ， ∴△ADM≌△BAK（AAS）， ∴AM＝BK， ∵四边形ABCD是正方形，DP＝PC＝2， ∴AD＝DC＝4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）知四边形AHEP是平行四边形， ∴HE∥AP， ∴BK⊥HE， 由（2）知△BHE是等腰直角三角形， ∴BK平分∠HBE， ∴， ∴△BKF是等腰直角三角形， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$