32 直线与圆重难点专题-【高考复习】高中数学重难点系列专题（学生版+解析版）

武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 32 直线与圆重难点专题 常考结论及公式 结论一：圆系方程 （1）过点 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 的圆系方程是  1 2 1 2 1 2 1 1 2 1( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y x x y y y y x x− − + − − + − − − − − = 1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by c− − + − − + + + = ，其中 0ax by c+ + = 是直线 AB 的方程，是待定的系数. （2）过直线 : 0l Ax By C+ + = 与圆 2 2: 0C x y Dx Ey F+ + + + = 的交点的圆系方程 是 2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By C+ + + + + + + = ，是待定的系数. （3）过圆 2 2 1 1 1 1: 0C x y D x E y F+ + + + = 与圆 2 2 2 2 2 2: 0C x y D x E y F+ + + + = 的交 点的圆系方程是 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y F+ + + + + + + + + = ，是待 定的系数. 结论二：点与圆的位置关系 点 0 0( , )P x y 与圆 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 的位置关系有三种 若 2 2 0 0( ) ( )d a x b y= − + − ，则 d r 点 p 在圆外；d r= 点 p 在圆上；d r 点 p 在圆内. 结论三：直线与圆的位置关系 直线 0x By C+ + = 与圆 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 的位置关系有三种： d r 相离 0 ；d r= 相切 0 = ；d r 相交 0  . 其中 2 2 Aa Bb C d A B + + = + . 结论四：直线与圆的位置关系 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 1 2,O O ，半径分别为 1 2,r r ， 1 2OO d= 1 2d r r + 外离 4 条公切线； 1 2d r r= + 外切 3 条公切线； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 1 2 1 2r r d r r−   + 相交 2 条公切线； 1 2d r r= − 内切 1 条公切线； 1 20 d r r  − 内含 无公切线. 结论五：圆的切线方程 （1）已知圆 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = . ①若已知切点 0 0( , )x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 2 2 D x x E y y x x y y F + + + + + + = . 当 0 0( , )x y 在圆外时， 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 2 2 D x x E y y x x y y F + + + + + + = 表示过两个切点的切 点弦方程. ②过圆外一点 0 0( , )P x y 的切线方程可设为 0 0( )y y k x x− = − ，再利用相切条件求 k ， 这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b= + ，再利用相切条件求b ，必有两条切线. （2）已知圆 2 2 2x y r+ = . ①过圆上的点 0 0( , )P x y 的切线方程为 2 0 0x x y y r+ = ； ②斜率为 k 的圆的切线方程为 21y kx r k=  + . 题型一 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【例 1】若 ( )0,2  ，使曲线 2 2cos sin cos sin 1 0x y x y   + + + + = 是圆，则（ ） A． 5 4   = B． 4   = C． 4   = 或 5 4   = D． 2   = 【跟踪训练 1】若点 ( )1,1P 在圆 2 2 0x y x y k+ + − + = 的外部，则实数 k 的取值范围是（ ） A． ( )2− +， B． 1 2, 2   − −    C． 1 2, 2   −    D． ( )2,2− 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 题型二 直线圆的位置关系问题 【例 2】（多选）已知动圆 2 2: ( cos ) ( sin ) 1C x y − + − = ，  )0,2π ，则（ ） A．圆 C与圆 2 2 4x y+ = 相切 B．圆 C与直线 sin cos 1 0x y + − = 相切 C．圆 C上一点M满足 (0,1)CM = ，则 M的轨迹的长度为4π D．当圆 C与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为 1 【跟踪训练 2】（多选）若直线 :l y x m= + 与曲线 2: 3 4C x y y= − − 有公共点，则实数 m可以（ ） A． 1 2 2− − B．2 2 1− C． 3− D． 4− 题型三 圆的切线方程问题 【例 3】（多选）若直线 0x y m+ + = 上存在点 P，过点 P可作圆 2 2: 1O x y+ = 的两条切 线 PA，PB，切点为 A，B，且 90APB = ，则实数 m的取值可以为（ ） A．3 B．2 C．0 D． 1− 【跟踪训练 3】（多选）已知圆 2 2: ( cos ) ( sin ) 1M x y + + − = ， 直线 :l y kx= ，下 面四个命题，其中真命题是（ ） A．对任意实数 k 与 ，直线 l 与圆M 相切 B．对任意实数 k 与 ，直线 l 与圆 M 有公共点 C．对任意实数 ，必存在实数 k ，使得直线 l 与圆M 相切 D．对任意实数 k ，必存在实数 ，使得直线 l 与圆M 相切 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 题型四 两圆的公切线问题 【例 4】（多选）如图， ( )2,0A ， ( )1,1B ， ( )1,1C − ， ( )2,0D − ，弧 CD是以 OD为直径 的圆上的一段圆弧，弧 CB是以 BC为直径的圆上的一段圆弧，弧 BA是以 OA为直径的 圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线 w，则下述正确的是（ ） A．曲线 w与 x轴围成的图形的面积等于 2π B．曲线 w上有 5 个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．弧 CB所在圆的方程为 ( ) 22 1 1x y+ − = D．弧 CB与弧 BA的公切线方程为 2x y+ = 【跟踪训练 4】（多选）已知圆 ( ) ( ) 2 2 : 2 1 1M x y− + − = ，圆 ( ) ( ) 2 2 : 2 1 1N x y+ + + = ，则 下列是M，N两圆公切线的直线方程为（ ） A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． 2 5 0x y− + = D． 2 5 0x y− − = 题型五 弦长问题 【例 5】（多选）已知直线 ( ): 1 0 Rl x my m− + =  ，圆 ( )2 2: ( ) ( 2 1) 1 RC x k y k k− + − − =  ， 则下列选项中正确的是（ ） A．圆心C 的轨迹方程为 2 1y x= − B． 1 2 k = − 时，直线 l 被圆截得的弦长的最小值为 3 C．若直线 l 被圆C 截得的弦长为定值，则 1 2 m = D． 1m = 时，若直线 l 与圆相切，则 2k = 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 【跟踪训练 5】（多选）圆 ( ) 2 2 2: ( 2 ) 3M x k y k− + − = 与圆 2 2: ( 1) 1N x y− + = 交于 ,A B两 点，若 | | 3AB = ，则实数 k 的可能取值有（ ） A．2 B．1 C．0 D． 1− 题型六 最值问题 【例 6】（多选）已知 ,a b 是单位向量，且 | | | |, ( ) ( 2 ) 0a b a b c a b c a+ = − − −  − = ，则下 列说法正确的是（ ） A． 0a b = B．若a k n a =  ，则 n k= C． | |c 的最大值为 2 10 2 + D．c b 的最小值是 1 2 2 − 【跟踪训练 6】已知实数 1x ， 2x ， 1y ， 2y 满足 2 2 1 1 4x y+ = ， 2 2 2 2 4x y+ = ， 1 2 1 2 0x x y y+ = ， 则 1 1 2 24 4x y x y+ − + + − 的最大值是（ ） A．6 B．8 C．6 2 D．12 题型七 定点与定值问题 【例 7】已知圆 C的圆心坐标为 (3,0)C ，且该圆经过点 (0,4)A . (1)求圆 C的标准方程； (2)直线 n交圆 C于 M，N两点，若直线 AM，AN的斜率之积为 2， 求证：直线 n过一个定点，并求出该定点坐标. (3)直线 m交圆 C于 M，N两点，若直线 AM，AN的斜率之和为 0，求证：直线 m的斜率是定值，并求出该定值. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 【跟踪训练 7】已知以点 ( ) 2 , , 0C t t R t t        为圆心的圆与 x轴交于点 O，A，与 y轴交 于点 O､B，其中 O为坐标原点. (1)试写出圆 C的标准方程； (2)求证： OAB的面积为定值； (3)设直线 2 4y x= − + 与圆 C交于 M，N两点，若 =OM ON ，求圆 C的标准方程. 题型八 与圆有关的数学文化试题赏析 【例 8】太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互 转化，相互统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称 为圆O的一个“太极函数”.下列有关说法中： ①对圆 2 2: 1O x y+ = 的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ②函数 ( ) sin 1f x x= + 是圆 ( ) 22: 1 1O x y+ − = 的一个太极函数； ③存在圆O，使得 ( ) e 1 e 1 x x f x + = − 是圆O的太极函数； ④直线 ( ) ( )1 2 1 1 0m x m y+ − + − = 所对应的函数一定是圆 ( ) ( ) ( ) 2 2 2: 2 1 0O x y R R− + − =  的太极函数. 所有正确说法的序号是__________． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 【跟踪训练 8】（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于 特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学 的真实美.平面直角坐标系中，曲线 C： 2 2 | | | |x y x y+ = + 就是一条形状优美的曲线，对 于此曲线，给出如下结论： ①曲线 C围成的图形的周长是2 2π； ②曲线 C围成的图形的面积是 2π； ③曲线 C上的任意两点间的距离不超过 2； ④若 P（m，n）是曲线 C上任意一点， 3 4 12m n+ − 的最小值是 17 5 2 . 2 − 其中正确的结论为（ ） A．① B．② C．③ D．④ 课后突破训练 1．已知方程 2 2 2 2 3 0x y x k+ − + + = 表示圆，则 k 的取值范围是（ ） A． ( , 1)− − B． 1 , 3   − −    C． ( , 1) (3, )− −  + D． 3 , 2   − +    2．已知平面向量 , ,a b c满足 21 1,cos , , 4 3 0 2 a a c b a b= = −  + = ，则 b c− 的最小值是（ ） A． 3 1 2 − B． 3 2 C． 3 D． 3 1− 3．在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，E为BC 中点，M 在 平面 ABCD内，且满足 1MD ME⊥ .则点 MA MB MC MD+ + + 的取 值范围是（ ） A． 5 1 5 1 , 2 2  − +     B． ( ) ( )2 5 1 , 2 5 1 − +  C．  1,2 D． 2,4 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 4．若圆 ( ) ( ) 2 2 : cos sin 1M x y − + − = 0 2  （ ）与圆 2 2: 2 4 0N x y x y+ − − = 交于 A、 B两点，则 tan∠ANB的最大值为（ ） A． 1 2 B． 3 4 C． 4 5 D． 4 3 5．（多选）若复数 z在复平面对应的点为 Z，则下列说法正确的有（ ） A．若 iz = ，则 2 3 14 1 iz z z z+ + + + = − + B．若 1 2z − = ，则 Z在复平面内的轨迹为圆 C．若 iz x y= + ，满足 2i 1z − = ，则 y x 的取值范围为 3,3 −  D．若 =3z ，则 4 4z z+ + − 的取值范围为 8,10 6．（多选）已知点 ( )0 0,P x y 是直线 l： 4x y+ = 上的一点，过点 P作圆 O： 2 2 2x y+ = 的 两条切线，切点分别为 A，B，连接 OA，OB，则（ ） A．当四边形 OAPB为正方形时，点 P的坐标为 ( )2,2 B． PA 的取值范围为 )6,+ C．当△PAB为等边三角形时，点 P的坐标为 ( )2,2 D．直线 AB过定点 1 1 , 2 2       7．（多选）已知曲线 2 2 2 2x y x y+ = + 围成图形 C，则（ ） A．图形 C关于 x轴对称 B．图形 C关于原点对称 C．图形 C的周长是4 2π D．图形 C的面积是8π 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 8．（多选）如图所示，M，N是圆 O： 2 2 4x y+ = 上的两个动点，线 段MO的延长线与直线 l： 3 0x y+ − = 交于点 P，若 45MPN = ，则 下列结论正确的是（ ） A． OP 的最小值为 3 2 2 B． OP 的最大值为2 2 C． 90MON   D． MN 的最大值为2 3 9．（多选）设有一组圆 Ck： ( ) ( ) 2 2 1 2 1x k y k− + + − = ，下列说法正确的是（ ） A．这组圆的半径均为 1 B．直线 2x－y＋2＝0 平分所有的圆 Ck C．存在无穷多条直线 l被所有的圆 Ck截得的弦长相等 D．存在一个圆 Ck与 x轴与 y轴均相切 10．已知圆 2 2 1 : 4 16 0C x y x+ − − = 与圆 2 2 2 : 2 4 0C x y y+ + − = ，则圆 1C 与圆 2C 的公切线 方程是___________________． 11．设 a，b是两个实数，0 a b  ，直线 :l y kx m= + 和圆 2 2 1x y+ = 交于两点 A，B，若对于任意的  ,k a b ，均存在正 数 m，使得 OAB的面积均不小于 3 4 ，则 2b a− 的最大值为 __________． 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 12．已知圆 C经过 ( )0,1A ， ( )( )4, 0B a a  两点. (1)当 1a = 时，圆 C与 x轴相切，求此时圆 C的方程； (2)如果 AB是圆 C的直径，证明：无论 a取何正实数，圆 C恒经过除 A外的另一个定点， 求出这个定点坐标. (3)已知点 A关于直线 3y x= − 的对称点 A也在圆 C上，且过点 B的直线 l与两坐标轴分 别交于不同两点M和 N，当圆 C的面积最小时，试求 BM BN 的最小值； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 1 页 32 直线与圆重难点专题 常考结论及公式 结论一：圆系方程 （1）过点 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 的圆系方程是  1 2 1 2 1 2 1 1 2 1( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0x x x x y y y y x x y y y y x x− − + − − + − − − − − = 1 2 1 2( )( ) ( )( ) ( ) 0x x x x y y y y ax by c− − + − − + + + = ，其中 0ax by c+ + = 是直线 AB 的方程，是待定的系数. （2）过直线 : 0l Ax By C+ + = 与圆 2 2: 0C x y Dx Ey F+ + + + = 的交点的圆系方程 是 2 2 ( ) 0x y Dx Ey F Ax By C+ + + + + + + = ，是待定的系数. （3）过圆 2 2 1 1 1 1: 0C x y D x E y F+ + + + = 与圆 2 2 2 2 2 2: 0C x y D x E y F+ + + + = 的交 点的圆系方程是 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) 0x y D x E y F x y D x E y F+ + + + + + + + + = ，是待 定的系数. 结论二：点与圆的位置关系 点 0 0( , )P x y 与圆 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 的位置关系有三种 若 2 2 0 0( ) ( )d a x b y= − + − ，则 d r 点 p 在圆外；d r= 点 p 在圆上；d r 点 p 在圆内. 结论三：直线与圆的位置关系 直线 0x By C+ + = 与圆 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 的位置关系有三种： d r 相离 0 ；d r= 相切 0 = ；d r 相交 0  . 其中 2 2 Aa Bb C d A B + + = + . 结论四：直线与圆的位置关系 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 1 2,O O ，半径分别为 1 2,r r ， 1 2OO d= 1 2d r r + 外离 4 条公切线； 1 2d r r= + 外切 3 条公切线； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 2 页 1 2 1 2r r d r r−   + 相交 2 条公切线； 1 2d r r= − 内切 1 条公切线； 1 20 d r r  − 内含 无公切线. 结论五：圆的切线方程 （1）已知圆 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = . ①若已知切点 0 0( , )x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 2 2 D x x E y y x x y y F + + + + + + = . 当 0 0( , )x y 在圆外时， 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 2 2 D x x E y y x x y y F + + + + + + = 表示过两个切点的切 点弦方程. ②过圆外一点 0 0( , )P x y 的切线方程可设为 0 0( )y y k x x− = − ，再利用相切条件求 k ， 这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b= + ，再利用相切条件求b ，必有两条切线. （2）已知圆 2 2 2x y r+ = . ①过圆上的点 0 0( , )P x y 的切线方程为 2 0 0x x y y r+ = ； ②斜率为 k 的圆的切线方程为 21y kx r k=  + . 题型一 二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【例 1】若 ( )0,2  ，使曲线 2 2cos sin cos sin 1 0x y x y   + + + + = 是圆，则（ ） A． 5 4   = B． 4   = C． 4   = 或 5 4   = D． 2   = 【答案】A 【分析】可推断cos sin = ，从而分类讨论 4   = 和 5 4   = 两种情况，计算 2 2 4D E F+ − 的值，并判断是否表示圆. 【详解】由题意，cos sin = ， 因为 ( )0,2  ，所以 4   = 或 5 4   = ， 重难点题型归纳与精讲 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 3 页 当 4   = 时，方程为 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 2 2 x y x y+ + + + = ， 化简得 2 2 2 0x y x y+ + + + = ， 此时 2 2 4 2 4 2 0D E F −=+ −  ，不表示圆； 当 5 4   = 时，方程为 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 2 2 x y x y−−− + =− ， 化简得 2 2 2 0x y x y+ + + − = ， 此时 2 2 4 2 4 2 0D E F +=+ −  ，表示圆. 所以 5 4   = . 故选：A 【跟踪训练 1】若点 ( )1,1P 在圆 2 2 0x y x y k+ + − + = 的外部，则实数 k 的取值范围是（ ） A． ( )2− +， B． 1 2, 2   − −    C． 1 2, 2   −    D． ( )2,2− 【答案】C 【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案. 【详解】解：因为点 ( )1,1P 在圆 2 2 0x y x y k+ + − + = 的外部， 所以 1 1 1 1 0 1 1 4 0 k k + + − +   + −  ，解得 1 2 2 k−   . 故选：C． 题型二 直线圆的位置关系问题 【例 2】（多选）已知动圆 2 2: ( cos ) ( sin ) 1C x y − + − = ，  )0,2π ，则（ ） A．圆 C与圆 2 2 4x y+ = 相切 B．圆 C与直线 sin cos 1 0x y + − = 相切 C．圆 C上一点M满足 (0,1)CM = ，则 M的轨迹的长度为4π D．当圆 C与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为 1 【答案】AD 【分析】A 选项，得到圆 C的圆心和半径，求出两圆圆心距等于半径之差，从而两圆内 切； B 选项，求出圆心到直线距离d 不一定等于 1，故 B 错误； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 4 页 C 选项，设出 ( ),M x y ，得到M的轨迹为以点 ( )0,1 为圆心，1 为半径的圆，其周长为2π； D 选项，求出圆 C与坐标轴交点坐标，得到 sin 2S = ，从而得到面积的最大值. 【详解】圆 C的圆心为 ( )cos ,sinA   ，半径为 1，圆 2 2 4x y+ = 的圆心为 ( )0,0O ，半 径为 2，因为 2 2cos sin 1 2 1OA  = + = = − ，所以两圆内切，A 正确； 圆心 ( )cos ,sinA   到直线 sin cos 1 0x y + − = 的距离为   2 2 sin cos sin cos 1 sin 2 1 0,2 sin cos d        + − = = −  + ， d 不一定等于 1，故圆 C与直线 sin cos 1 0x y + − = 不一定相切，B 错误； 设 ( ),M x y ，则 ( )( cos , sin ) 0,1CM x y = − − = ， 所以 cos 1 sin x y   =  − = ，所以 ( ) 22 1 1x y+ − = ， 所以点M的轨迹为以点 ( )0,1 为圆心，1 为半径的圆，其周长为2π，C 错误； D 选项，令 0x = 得： 2 2(0 cos ) ( sin ) 1y − + − = ，解得： 0y = 或 2siny = ， 令 0y = 得： 2 2( cos ) (0 sin ) 1x  − + − = ，解得： 0x = 或 2cosx = ， 所以圆 C与坐标轴交于不同的三点，分别记为 ( ) ( ) ( )0,0 , 2cos ,0 , 0,2sinO A B  ， 则这三点构成的三角形面积 1 1 4sin cos sin 2 2 2 S OA OB   =  = = ， 当 π 4  = 或 5π 4  = 时，三角形面积取得最大值，最大值为 1，D 正确 故选：AD 【跟踪训练 2】（多选）若直线 :l y x m= + 与曲线 2: 3 4C x y y= − − 有公共点，则实数 m可以（ ） A． 1 2 2− − B．2 2 1− C． 3− D． 4− 【答案】BC 【分析】由题知曲线C 是以 (3,2)为圆心，半径为 2 左半圆，进而数形结合求解即可. 【详解】解：由题知 2: 4 3 0C y y x− = −  ，两边平方整理得 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 4 3,0 4x y x y− + − =    ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 5 页 所以，曲线C 是以 (3,2)为圆心，半径为 2 左半圆，如图， 当直线 l 与曲线C 相切时，由 | 3 1 2 ( 1) | 2 2 m +  − + = ，解得 2 2 1m = − ， 当直线过点 ( )3,0 时， 3m = − ， 所以，结合图形可知，实数 m的取值范围是： 3,2 2 1 − − ． 故实数 m可以为 3,2 2 1 − − 内的任意值. 故选：BC 题型三 圆的切线方程问题 【例 3】（多选）若直线 0x y m+ + = 上存在点 P，过点 P可作圆 2 2: 1O x y+ = 的两条切 线 PA，PB，切点为 A，B，且 90APB = ，则实数 m的取值可以为（ ） A．3 B．2 C．0 D． 1− 【答案】BCD 【分析】求出 2PO = ，等价于直线 0x y m+ + = 与圆 2 2 2x y+ = 有公共点结合选项可得 答案． 【详解】若 90APB = ，因为 ,⊥ ⊥PA AO PB BO， 所以 AOB 90 = ，又 1AO BO= = ， 所以四边形 AOBP 是边长为 1 的正方形，所以对角线 2PO = ， 等价于直线 0x y m+ + = 与圆 2 2 2x y+ = 有公共点， 由圆心到直线的距离公式可得 2 2  m ，解之可得  2,2 −m ， 故选：BCD. 【跟踪训练 3】（多选）已知圆 2 2: ( cos ) ( sin ) 1M x y + + − = ， 直线 :l y kx= ，下 面四个命题，其中真命题是（ ） A．对任意实数 k 与 ，直线 l 与圆M 相切 B．对任意实数 k 与 ，直线 l 与圆 M 有公共点 C．对任意实数 ，必存在实数 k ，使得直线 l 与圆M 相切 D．对任意实数 k ，必存在实数 ，使得直线 l 与圆M 相切 【答案】BD 【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求出圆心M 到 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 6 页 直线 l 的距离 d，结合三角函数的值域与选项即可得出结果. 【详解】由题意知， 圆心坐标 ( cos ,sin ) − ，半径为 1， 圆心M 到直线 l 的距离为 2 2 2 | cos sin | 1 | sin( ) | | sin( ) | 1 1 1 k k d k k       − − + + = = = + + + （其中 tan k = ）， 所以对任意实数 k 与 ，直线 l 与圆M 有公共点，且对任意实数 k ， 必存在实数 ，使得直线 l 与圆 M 相切. 故选：BD . 题型四 两圆的公切线问题 【例 4】（多选）如图， ( )2,0A ， ( )1,1B ， ( )1,1C − ， ( )2,0D − ，弧 CD是以 OD为直径 的圆上的一段圆弧，弧 CB是以 BC为直径的圆上的一段圆弧，弧 BA是以 OA为直径的 圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线 w，则下述正确的是（ ） A．曲线 w与 x轴围成的图形的面积等于 2π B．曲线 w上有 5 个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．弧 CB所在圆的方程为 ( ) 22 1 1x y+ − = D．弧 CB与弧 BA的公切线方程为 2x y+ = 【答案】BC 【分析】作出辅助线，分割为一个矩形和一个圆，求出面积之和即可判断 A 选项； 找到整点个数，判断 B 选项； 求出弧 CB所在圆的圆心为 ( )0,1 ，半径为 1，写出圆的标准方程，判断 C 选项； 设出弧 CB与弧 BA的公切线方程，利用点到直线距离等于半径求出公切线方程. 【详解】如图所示，连接 BC，过点 C作 CK⊥x轴于点 K，过点 B作 BL⊥x轴于点 L，则 曲线 w与 x轴围成的图形的面积等于矩形 BCKL的面积加上一个半径为 1 的圆的面积， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 7 页 其中 2, 1BC CK= = ，故 π 2S = + ，故 A 错误； 曲线 w上有 ( )2,0 ，( )1,1 ，( )1,1− ，( )2,0− ，( )0,2 5 个整点， 故 B 正确； 弧 CB所在圆的圆心为 ( )0,1 ，半径为 1，故圆的方程为 ( ) 22 1 1x y+ − = ，故 C 正确； 设弧 CB与弧 BA的公切线方程为 y kx b= + ，根据图象知 0k  ，则 2 1 1 k b k + = + ， 2 1 1 1 b k − = + ，解得 1k = − ， 2 1b = + ，即公切线方程为 2 1x y+ = + ， 故 D 不正确． 故选：BC． 【跟踪训练 4】（多选）已知圆 ( ) ( ) 2 2 : 2 1 1M x y− + − = ，圆 ( ) ( ) 2 2 : 2 1 1N x y+ + + = ，则 下列是M，N两圆公切线的直线方程为（ ） A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． 2 5 0x y− + = D． 2 5 0x y− − = 【答案】ACD 【分析】先判断两圆的位置关系可知，两圆相离，公切线有四条，然后由圆的方程可知， 两圆关于原点 O对称，即可知有两条公切线过原点 O，另两条公切线与直线MN平行， 设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出直线方程，从而解出． 【详解】圆M的圆心为 M（2，1），半径 1 1r = ．圆 N的圆心为 N（－2，－1），半径 2 1r = ．圆 心距 2 5 2d =  ，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点 O对称，则有两条切 线过原点 O，设切线方程为 y＝kx，则圆心到直线的距离 2 2 1 1 1 k k − = + ，解得 k＝0 或 4 3 k = ， 对应方程分别为 y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线 MN平行，而 1 : 2 MNl y x= ，设切 线方程为 1 2 y x b= + ，则 1 1 1 4 b = + ，解得 5 2 b =  ，切线方程为 2 5 0x y− + = ， 2 5 0x y− − = ． 故选：ACD． 题型五 弦长问题 【例 5】（多选）已知直线 ( ): 1 0 Rl x my m− + =  ，圆 ( )2 2: ( ) ( 2 1) 1 RC x k y k k− + − − =  ， 则下列选项中正确的是（ ） 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 8 页 A．圆心C 的轨迹方程为 2 1y x= − B． 1 2 k = − 时，直线 l 被圆截得的弦长的最小值为 3 C．若直线 l 被圆C 截得的弦长为定值，则 1 2 m = D． 1m = 时，若直线 l 与圆相切，则 2k = 【答案】BC 【分析】首先表示出圆心坐标，即可判断 A，再求出直线过定点坐标，由弦长公式判断 B，求出圆心到直线的距离，当距离为定值时，弦长也为定值，即可判断 C，求出圆心 到直线的距离，即可判断 D； 【详解】解：圆 ( )2 2: ( ) ( 2 1) 1 RC x k y k k− + − − =  的圆心坐标为 ( ),2 1C k k + ， 所以圆心C 的轨迹方程为 2 1y x= + ，故 A 错误； 直线 ( ): 1 0 Rl x my m− + =  ，令 1 0 0 x y + =  − = ，解得 1 0 x y = −  = ，即直线 l 恒过点 ( )1,0M − ， 当 1 2 k = − 时圆 2 21: ( ) 1 2 C x y+ + = ，圆心为 1 ,0 2 C   −    ，半径 1r = ，又 1 1 1 2 2 MC   = − − − =    ， 所以直线 l 被圆截得的弦长的最小值为 222 3r MC− = ，故 B 正确； 对于 C：若直线 l 被圆C 截得的弦长为定值，则圆心到直线的距离 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 k m k m k m d m m − + + − + − = = + + 为定值， 所以1 2 0m− = ，解得 1 2 m = ，故 C 正确； 对于 D：当 1m = 时直线 : 1 0l x y− + = ，圆心到直线的距离 ( ) ( ) 22 2 1 1 21 1 k k k d − + + = = + − ， 当 2k  时 1d  ，此时直线与圆不相切，故 D 错误； 故选：BC 【跟踪训练 5】（多选）圆 ( ) 2 2 2: ( 2 ) 3M x k y k− + − = 与圆 2 2: ( 1) 1N x y− + = 交于 ,A B两 点，若 | | 3AB = ，则实数 k 的可能取值有（ ） A．2 B．1 C．0 D． 1− 【答案】BCD 【分析】两圆相减可得公共弦 AB所在的直线方程，又根据 | | 3AB = ，可得到圆心 N 到 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 9 页 直线 AB的距离 1 2 d = ，再利用点到直线的距离公式列出关于 k 的方程，计算可得结果. 【详解】解：因为圆 ( ) 2 2 2: ( 2 ) 3M x k y k− + − = 与圆 2 2: ( 1) 1N x y− + = 交于 ,A B两点， 所以两圆方程相减得直线 AB的方程： ( )2 4 22 1 4 4 3 0k x ky k k− − + + − = ， 由 | | 3AB = ，可得圆心 N 到直线 AB的距离为 3 1 1 4 2 d = − = ， ( ) ( ) 2 4 2 2 2 2 2 1 4 3 1 2 4 1 16 k k k k k − + + −  = − + ， 整理得 ( ) 2 4 2 4 22 1 2 1k k k k+ + = + − ， 0,1, 1k = − 时，满足上式， 2k = 不满足上式， 故选：BCD 题型六 最值问题 【例 6】（多选）已知 ,a b 是单位向量，且 | | | |, ( ) ( 2 ) 0a b a b c a b c a+ = − − −  − = ，则下 列说法正确的是（ ） A． 0a b = B．若a k n a =  ，则 n k= C． | |c 的最大值为 2 10 2 + D．c b 的最小值是 1 2 2 − 【答案】ACD 【分析】利用向量数量积的定义及运算法则可判断 AB，利用坐标法可判断 CD. 【详解】∵ | | | |a b a b+ = − ， ∴ ( ) ( ) 2 2 a b a b+ = − ， 2 2 2 22 2a a b b a a b b+  + = −  + ， ∴ 0a b = ，故 A 正确； 由a k n a =  ，可得 cos , cos ,a k a k n a n a =  ， 即 cos , cos ,k a k n n a= ，则 n k= 不一定成立，故 B 错误； 又 ,a b 是单位向量， 0a b = ， 不妨设 ( ) ( )1,0 , 0,1a b= = ，设 ( ),c x y= ，又 ( ) ( 2 ) 0c a b c a− −  − = ， ∴ ( )1, 1 ( 2, ) 0x y x y− −  − = ， ( )( ) ( )1 2 1 0x x y y− − + − = ， ∴ 2 23 2 0x x y y− + + − = ，即 2 2 3 1 1 2 2 2 x y     − + − =        ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 10 页 由 2 2 3 1 1 2 2 2 x y     − + − =        可知圆心为 3 1 , 2 2 D       ，半径为 2 2 ， ∴ 2 2 max 2 3 1 2 2 10 | | 2 2 2 2 2 c OD +    = + = + + =        ，故 C 正确； 由上可知， 2 1 1 2 2 y   −     ，即 1 2 1 2 2 2 2 2 y−   + ， 又∵ c b y = ， ∴ c b 的最小值是 1 2 2 − ，故 D 正确. 故选：ACD. 【跟踪训练 6】已知实数 1x ， 2x ， 1y ， 2y 满足 2 2 1 1 4x y+ = ， 2 2 2 2 4x y+ = ， 1 2 1 2 0x x y y+ = ， 则 1 1 2 24 4x y x y+ − + + − 的最大值是（ ） A．6 B．8 C．6 2 D．12 【答案】D 【分析】采用数形结合法，将所求问题转化为 ,A B两点到直线 4 0x y+ − = 的距离和的 2 倍，结合梯形中位线性质和三角形三边关系可求. 【详解】 由 2 2 1 1 4x y+ = ， 2 2 2 2 4x y+ = ， 1 2 1 2 0x x y y+ = ，可知，点 ( ) ( )1 1 2 2, ,A x y B x y 在圆上，由 1 2 1 2 0x x y y OA OB+ =  ⊥ ，即 OAB为等腰直角三角形，结合点到直线距离公式 4 2 x y d + − = 可理解为点到直线 4 0x y+ − = 的距离，变形得 4 2x y d+ − = ，即所求问题 可转化为 ,A B两点到直线 4 0x y+ − = 的距离和的 2 倍，作 AM l⊥ 于 M AN l⊥ 于 N ， AB中点为E，MN 中点为F ，由梯形中位线性质可得， 2AM BN EF+ = ，作OT EF⊥ 于T ，OC l⊥ 于C ，连接OE ，则 EF ET TF ET OC EO OC= + = +  + ，当且仅当T 与O 重合， ( ), ,E O T C三点共线时，EF 有最大值，由点到直线距离公式可得 4 2 2 2 OC = = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 11 页 由几何性质可得 2OE = ， max 3 2EF OC OE= + = ，此时 2 6 2AM BN EF+ = = ，故 1 1 2 24 4x y x y+ − + + − 的最大值为 2 6 2 12 = . 故选：D 题型七 定点与定值问题 【例 7】已知圆 C的圆心坐标为 (3,0)C ，且该圆经过点 (0,4)A . (1)求圆 C的标准方程； (2)直线 n交圆 C于 M，N两点，若直线 AM，AN的斜率之积为 2， 求证：直线 n过一个定点，并求出该定点坐标. (3)直线 m交圆 C于 M，N两点，若直线 AM，AN的斜率之和为 0，求证：直线 m的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)依题意，圆 C的半径 2 2| | 3 4 5CA = + = ， 所以圆 C的标准方程是： ( ) 2 23 25x y− + = . (2)当直线 n的斜率不存在时，设 ( , ), ( , )M a b N a b− ，由直线 AM，AN的斜率之积为 2， 得 4 4 2 b b a a − − −  = ， 即 2 216 2b a= − ，又由点 M，N在圆 C上得 ( ) 2 23 25a b− + = ，消去 b得： 2 6 0a a+ = ， 而 0a  ，则 6a = − ，此时 2 0b  ，因此，无解， 当直线 n的斜率存在时，设其方程为 y kx t= + ，由 2 2( 3) 25 y kx t x y = +  − + = 消去 y并整理得： 2 2 2( 1) 2( 3) 16 0k x kt x t+ + − + − = ，设 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y ， 则 1 2 2 2( 3) 1 kt x x k − − + = + ， 2 1 2 2 16 1 tx x k −= + ，直线 AM 斜率 1 1 4 AM y k x − = ，直线 AN 斜率 2 2 4 AN y k x − = ， 则 ( ) ( ) 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 44 4 · 4AM AN tkx t kx t x x k k k k t x x x x x x −+ − + − + =  = + −  + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 ( 1)( 4) ( 4) 2 6 ( 1)( 4) ( 4) 16 16 4 kt k t k t k t k k t k k t t t t − + + − + − + + + − = + −  + = − − + 6 4 2 4 k t t + − = = + ，整理得 6 12t k= − ，此时直线 n： ( 6) 12y k x= + − 过定点 ( )6, 12− − ， 所以直线 n过一个定点，该定点坐标是 ( )6, 12− − . 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 12 页 (3)设直线 AM 方程为： 4y rx= + ，由 2 2 4 ( 3) 25 y rx x y = +  − + = 消去 y并整理得： 2 2( 1) 2(4 3) 0r x r x+ + − = ， 则有点 2 2 2 6 8 4 6 4 ( , ) 1 1 r r r M r r − − + + + + ，而直线 AN ： 4y rx= − + ，同理 2 2 2 6 8 4 6 4 ( , ) 1 1 r r r N r r + − − + + + ， 于是得直线MN 的斜率 2 2 2 2 2 2 4 6 4 4 6 4 31 1 6 8 6 8 4 1 1 MN r r r r r rk r r r r − + + − − + − + += = − − + − + + ， 所以直线 m的斜率是定值，该定值为 3 4 − . 【点睛】思路点睛：与曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与曲线方 程联立， 借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题. 【跟踪训练 7】已知以点 ( ) 2 , , 0C t t R t t        为圆心的圆与 x轴交于点 O，A，与 y轴交 于点 O､B，其中 O为坐标原点. (1)试写出圆 C的标准方程； (2)求证： OAB的面积为定值； (3)设直线 2 4y x= − + 与圆 C交于 M，N两点，若 =OM ON ，求圆 C的标准方程. 【答案】(1) 2 2 2 2 2 4 ( ) ( )x t y t t t − + − = + ( ), 0t R t  (2)证明见解析 (3) 2 2( 2) ( 1) 5x y− + − = 【分析】（1）已知圆心，求出半径，就可圆的标准方程； （2）求出两截距的长度，即可求出面积； （3）由 =OM ON 及弦的垂直平分线必过圆心可知直线OC 斜率，则可求得 t 值，也就 得到圆的方程. (1)圆心 ( ) 2 , , 0C t t R t t        ，圆过原点，所以 2 2 2 4 r t t = + ，则圆的标准方程为 2 2 2 2 2 4 ( ) ( )x t y t t t − + − = + ( ), 0t R t  ； (2)证明：由（1）知，圆的标准方程为 2 2 2 2 2 4 ( ) ( )x t y t t t − + − = + ，令 0x = ，得 4 By t = ， 令 0y = ，得 2Ax t= ，则 1 4 2 4 2 OABS t t =  = ，所以 OAB的面积为定值； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 13 页 (3)由 =OM ON 可知MN 垂直平分线过原点，又弦的垂直平分线必过圆心，可得直线 OC 与直线 2 4y x= − + 垂直，则有 ( 2) 1OCk  − = − ，即 2 ( 2) 1t t  − = − ，解得 2t =  ，所以圆 心 (2,1)C 或 ( 2, 1)C − − ，圆C 的方程为 2 2( 2) ( 1) 5x y− + − = 或 2 2( 2) ( 1) 5x y+ + + = ，由于当圆 的方程为 2 2( 2) ( 1) 5x y+ + + = 时，圆心到直线2 4 0x y+ − = 的距离 4 1 4 9 5 5 5 d − − − = =  ， 直线与圆不相交，故舍去，所以圆 C的标准方程为 2 2( 2) ( 1) 5x y− + − = . . 题型八 与圆有关的数学文化试题赏析 【例 8】太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互 转化，相互统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称 为圆O的一个“太极函数”.下列有关说法中： ①对圆 2 2: 1O x y+ = 的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ②函数 ( ) sin 1f x x= + 是圆 ( ) 22: 1 1O x y+ − = 的一个太极函数； ③存在圆O，使得 ( ) e 1 e 1 x x f x + = − 是圆O的太极函数； ④直线 ( ) ( )1 2 1 1 0m x m y+ − + − = 所对应的函数一定是圆 ( ) ( ) ( ) 2 2 2: 2 1 0O x y R R− + − =  的太极函数. 所有正确说法的序号是__________． 【答案】②④ 【分析】①对已知圆的太极函数进行限制，举出反例即可；②根据太极函数定义验证 函数即可；③先确定函数对称点以确定圆的圆心，再验证是否能平分圆的周长和面积 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 14 页 即可；④确定直线定点为圆心即可确定直线为圆的太极函数. 【详解】对于①，偶函数 0, 1 1 , 1 , 1 x y x x x x −    =   −  − 平分圆O的周长和面积，为圆O的太极函数， 故①说法错误； 对于②， ( ) sin 1f x x= + 关于圆心 ( )0,1 对称，也平分圆O的周长和面积， 所以函数 ( ) sin 1f x x= + 是圆 ( ) 22: 1 1O x y+ − = 的一个太极函数，故②说法正确； 对于③，因为 ( ) ( ) e 1 1 e e 1 1 e x x x x f x f x − − + + − = = = − − − ，所以 ( )f x 为奇函数，关于 ( )0,0 对称， 所以圆O的圆心应为 ( )0,0 ，又因为 ( ) e 1 e 1 x x f x + = − 定义域为 0x x  ，不经过圆心，不能 平分圆O的周长和面积， 所以 ( ) e 1 e 1 x x f x + = − 不是圆O的太极函数，故③说法错误； 对于④，直线 ( ) ( )1 2 1 1 0m x m y+ − + − = 可转化为 ( )2 1 0x y m x y− + − − = ， 则 2 0 1 0 x y x y − =  − − = ，解得 2 1 x y =  = ，即直线恒过圆心 (2,1)，所以平分圆O的周长和面积， 即直线 ( ) ( )1 2 1 1 0m x m y+ − + − = 所对应的函数一定是圆 ( ) ( ) ( ) 2 2 2: 2 1 0O x y R R− + − =  的太极函数，故④说法正确. 故答案为：②④. 【跟踪训练 8】（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于 特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学 的真实美.平面直角坐标系中，曲线 C： 2 2 | | | |x y x y+ = + 就是一条形状优美的曲线，对 于此曲线，给出如下结论： ①曲线 C围成的图形的周长是2 2π； ②曲线 C围成的图形的面积是 2π； ③曲线 C上的任意两点间的距离不超过 2； ④若 P（m，n）是曲线 C上任意一点， 3 4 12m n+ − 的最小值是 17 5 2 . 2 − 其中正确的结论为（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 15 页 【分析】对绝对值里面的 x y， 进行分类讨论，去掉绝对值；根据图象曲线 C是四个半 径为 2 2 的半圆围成的图形，求出周长判断①正确；可以知道曲线 C所围成的面积为四 个半圆的面积与边长为 2 的正方形的面积之和，判断②错误；由曲线 C的图象可知， 曲线C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，判断③错误； 利用点到直线距离判断④正确. 【详解】当 0 0， x y 时，曲线 C的方程可化为 2 21 1 1( ) ( ) 2 2 2 x y− + − = ； 当 0 0， x y 时，曲线 C的方程可化为 2 21 1 1( ) ( ) 2 2 2 x y+ + − = ； 当 0 0， x y 时，曲线 C的方程可化为 2 21 1 1( ) ( ) 2 2 2 x y− + + = ； 当 0 0， x y 时，曲线 C的方程可化为 2 21 1 1( ) ( ) 2 2 2 x y+ + + = ； 由图可知，曲线 C是四个半径为 2 2 的半圆围成的图形， 即曲线 C围成的图形的周长是 1 2 4 2 π 2 2π 2 2     = ，故①正确； 曲线 C所围成的面积为四个半圆的面积与边长为 2 的正方形的面积之和， 从而曲线 C所围成图形的面积为 21 14 π ( 2) 2 π 2 2   + = + ，故②错误； 由曲线 C的图象可知，曲线 C上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的 边长之和， 即 2 2 2 2 2 2 2  + =  故③错误； 因为 ( , )P m n 到直线3 4 12 0x y+ − = 的距离为 2 2 3 4 12 3 4 12 53 4 m n m n d + − + − = = + ，所以 3 4 12 5m n d+ − = ， 当 d最小时，易知 ( , )P m n 在曲线 C的第一象限内的图象上， 因为曲线 C的第一象限内的图象是圆心为 1 1 ( , ) 2 2 ，半径为 1 2 的半圆， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 16 页 所以圆心 1 1 ( , ) 2 2 到3 4 12 0x y+ − = 的距离 2 2 1 1 3 4 12 172 2 103 4 d  +  −  = = + ， 从而 min 2 17 5 2 2 10 d d − = − = ， 即 min 17 5 2 3 4 12 2 − + − =m n ，故④正确. 故选：AD. 【点睛】绝对值问题的处理思路：对绝对值里面的数的正负进行分类讨论，去掉绝对值， 从而确定方程，确定图象. 课后突破训练 1．已知方程 2 2 2 2 3 0x y x k+ − + + = 表示圆，则 k 的取值范围是（ ） A． ( , 1)− − B． 1 , 3   − −    C． ( , 1) (3, )− −  + D． 3 , 2   − +    【答案】B 【分析】根据 2 2 4 0D E F+ −  得到不等式，解得即可. 【详解】解：因为 2 2 2 2 3 0x y x k+ − + + = 表示圆， 所以 ( ) ( ) 22 2 4 2 4 2 3 0D E F k+ − = − − +  ，解得 1 3 k  − ，所以 1 , 3 k    − −    . 故选：B 2．已知平面向量 , ,a b c满足 21 1,cos , , 4 3 0 2 a a c b a b= = −  + = ，则 b c− 的最小值是（ ） A． 3 1 2 − B． 3 2 C． 3 D． 3 1− 【答案】D 【分析】先设 ( )1,0 ,a OA b OB c OC= = = =, ，由 , 3 a c  = 设C 在直线 ( )3 0y x x=  上， 由 2 4 3 0b a b−  + = 得 ( ) 2 2 1b a− = ，进而得出 B 在以 ( )2,0D 为圆心，1 为半径的圆上， 将 b c− 的最小值转化为圆上点到直线上点距离的最小值即可求解. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 17 页 【详解】 建立平面直角坐标系 xOy，设 , ,a OA b OB c OC= = = ，由 1 1,cos , 2 a a c= = ，不妨设 ( )1,0a OA= = ， 又 , 3 a c  = ，不妨设C 在直线 ( )3 0y x x=  上，又 2 4 3 0b a b−  + = 可得 2 4 4 1b a b−  + = ， 即 2 24 4 1b a b a−  + = ， 则 ( ) 2 2 1b a− = ，设 ( )2,0D ，则 2 2OD OA a= = ，则 ( ) 2 1OB OD− = ，即 2 1DB = ，则 B 在 以 ( )2,0D 为圆心，1 为半径的圆上； 又 Ob Cc OB CB− = − = ，则 b c− 的最小值等价于 CB 的最小值，即以 ( )2,0D 为圆心， 1 为半径的圆上一点 到直线 ( )3 0y x x=  上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即 2 3 1 3 1 1 3 − = − + ，则 b c− 的最小值是 3 1− . 故选：D. 【点睛】本题关键点在于建立坐标系后设 ( )1,0 ,a OA b OB c OC= = = =, ，由 , 3 a c  = 得 出C 在直线 ( )3 0y x x=  上，再由 ( ) 2 2 1b a− = 得 B 在以 ( )2,0D 为圆心，1 为半径的圆 上，进而转化为圆上点到直线上点距离的最小值求解即可. 3．在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，E为BC 中点，M 在 平面 ABCD内，且满足 1MD ME⊥ .则点 MA MB MC MD+ + + 的取 值范围是（ ） A． 5 1 5 1 , 2 2  − +     B． ( ) ( )2 5 1 , 2 5 1 − +  C．  1,2 D． 2,4 【答案】B 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 18 页 【分析】先考虑M 的轨迹，再结合该轨迹可在平面直角坐标系中求出 MA MB MC MD+ + + 的取值范围. 【详解】 如图，连接DM ，因为 1DD ⊥平面 ABCD，ME 平面 ABCD， 故 1DD ME⊥ ，而 1D M ME⊥ ， 1 1 1DD D M D= ， 故ME ⊥平面 1DD M ，而DM 平面 1DD M ，故ME DM⊥ . 在平面 ABCD中建立如图所示的平面直角坐标系， 则 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0 , 2,0 , 2,2 , 0,2 , 2,1A B C D E ， 因为ME DM⊥ ，故M 在以DE 为直径圆上（如图所示）， 且圆的方程为： ( )( ) ( )( )0 2 2 1 0x x y y− − + − − = 即 ( ) 2 2 3 5 1 2 4 x y   − + − =    ， 设 ( ),M x y ，则 ( )4 4 .4 4MA MB MC MD x y+ + + = − − ， 故 ( ) ( ) 2 2 4 1 1MA MB MC MD x y+ + + = − + − ， 设 ( )1,1T ，则 ( ) ( ) 2 2 1 1x y− + − 表示 MT ， 由图可得 5 1 5 1 2 2 MT − +   ，故 ( ) ( )2 5 1 2 5 1MA MB MC MD−  + + +  + ， 故选：B. 【点睛】思路点睛：对于空间中的动点的轨迹问题，可利用空间中位置关系的判断方法 找到平面上动点满足的轨迹方程，从而把空间问题平面化. 4．若圆 ( ) ( ) 2 2 : cos sin 1M x y − + − = 0 2  （ ）与圆 2 2: 2 4 0N x y x y+ − − = 交于 A、 B两点，则 tan∠ANB的最大值为（ ） A． 1 2 B． 3 4 C． 4 5 D． 4 3 【答案】D 【分析】分析出 AB为圆M与圆 N的公共弦，且圆M的半径为 1， 2AB  ， 当 M 的坐标为 ( )1,0 时， 2AB = ， 2 2 2 210 3 cos 2 10 5 NA NB AB AB ANB NA NB + − −  = =   由余弦函数的单调性确定 3 cos 5 ANB = 时， ANB 最大，此时 tan ANB 最大，最大值 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 19 页 为 4 3 . 【详解】 2 2 2 4 0x y x y+ − − = 可化为 ( ) ( ) 2 2 1 2 5x y− + − = ， 故圆 N的圆心为 ( )1,2 ，半径为 5 ， 由题意可知：AB为圆 M与圆 N的公共弦，且圆M的 半径为 1， 所以 2AB  且 2 5AB  ，故 2AB  ， 当 M 的坐标为 ( )1,0 时， 2AB = ， 在△NAB中， 2 2 2 210 3 cos 2 10 5 NA NB AB AB ANB NA NB + − −  = =   ， 又  0,πANB  ， cosy x= 在 π 0, 2 x        上单调递减， 故 ANB 为锐角，且当 3 cos 5 ANB = 时， ANB 最大， 又 tany x= 在 π π , 2 2 x    −    上单调递增， 所以当 ANB 最大时， tan ANB 取得最大值，且最大值为 4 3 ， 故选：D 5．（多选）若复数 z在复平面对应的点为 Z，则下列说法正确的有（ ） A．若 iz = ，则 2 3 14 1 iz z z z+ + + + = − + B．若 1 2z − = ，则 Z在复平面内的轨迹为圆 C．若 iz x y= + ，满足 2i 1z − = ，则 y x 的取值范围为 3,3 −  D．若 =3z ，则 4 4z z+ + − 的取值范围为 8,10 【答案】ABD 【分析】根据复数和圆的知识可判断 ABC，对于 D，设 iz x y= + ，由 =3z 可得 2 2 9x y+ = ， 然后 ( ) ( ) 2 22 24 4 4 4 25 8 25 8t z z x y x y x x= + + − = + + + − + = + + − ，然后将此式 平方可求出答案. 【详解】对于 A，若 iz = ，则 2 1z = − ， 3 i= −z ， 4 1z = ，依次循环， 所以 2 3 14 2 1 iz z z z z z+ + + + = + = − + ，故 A 正确； 对于 B，设 iz x y= + ， , Rx y ，则有 ( ) ( ) 2 22 21 1 2 1 4z x y x y− = − + =  − + = ， 可知Z 在复平面内的轨迹为圆，故 B 正确； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 20 页 对于 C，因为复数 z满足 2i 1z − = ，所以点 ( ),x y 的轨迹为以 ( )0 2, 为圆心，以 1 为半径 的圆， 设 y k x = ，即 0kx y ，当此直线与圆相切时有 2 2 1 1 k = + ，解得 3k =  ， 所以 y x 的取值范围为 ( ), 3 3, − −  +  ，故 C 不正确； 对于 D，设 iz x y= + ， , Rx y ，若 =3z ，则有 2 2 9x y+ = ， 令 ( ) ( ) 2 22 24 4 4 4t z z x y x y= + + − = + + + − + 2 2 2 216 8 16 8x y x x y x= + + + + + + − 25 8 25 8x x= + + − ， 则 ( )2 2 250 2 25 64 3 3t x x= + − −   . 令 2 225 64y x= − ，可得 2 27 25y  ， 所以 264 100t  ，于是得8 10t  ，故 D 正确. 故选：ABD 6．（多选）已知点 ( )0 0,P x y 是直线 l： 4x y+ = 上的一点，过点 P作圆 O： 2 2 2x y+ = 的 两条切线，切点分别为 A，B，连接 OA，OB，则（ ） A．当四边形 OAPB为正方形时，点 P的坐标为 ( )2,2 B． PA 的取值范围为 )6,+ C．当△PAB为等边三角形时，点 P的坐标为 ( )2,2 D．直线 AB过定点 1 1 , 2 2       【答案】BCD 【分析】AC 选项，先求出OP 的长，确定点 P位于某圆的方程，与直线 4x y+ = 联立 后利用根的判别式得到 A 错误，C 正确； B 选项，求出圆心到直线 4x y+ = 的距离，从而利用勾股定理求出 PA 最小值，得到 PA 的取值范围； D 选项，确定 , , ,O P A B四点共圆，且OP 为直径，求出圆的方程，与 2 2 2x y+ = 相减后 得到交点弦 AB的方程，确定其过的定点.， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 21 页 【详解】因为四边形 OAPB为正方形，所以对角线 2 2OP OA= = ， 所以点 P位于以原点为圆心，半径为 2 的圆上，即 2 2 4x y+ = ， 联立 4x y+ = 与 2 2 4x y+ = 得： 2 4 6 0x x− + = ， 由 16 24 8 0 = − = −  可知：方程无解，故这样的点 P 不存在，A 错误； 圆心到直线 4x y+ = 的距离为 4 2 2 1 1 = + ，此时 PA 最小，且 ( ) 2 min 2 2 2 6PA = − = ， 所以 PA 的取值范围为 )6,+ ，B 正确； 当△PAB为等边三角形时， 2 2 2PO OA= = ， 则点 P位于以原点为圆心，半径为2 2 的圆上，故 2 2 8x y+ = ， 联立 4x y+ = 与 2 2 8x y+ = 得： 2 4 4 0x x− + = ，解得： 2x = ，此时 2y = 故点 P的坐标为 ( )2,2 ，C 正确； 由题意可知： , , ,O P A B四点共圆，且OP 为直径， 设 ( )0 04,P x x− ，则OP 的中点坐标为 0 0, 2 2 2 x x  −    ， ( ) 22 0 04OP x x= + − ， 故此圆的方程为 ( ) 22 2 2 0 00 0 4 2 2 2 4 x xx x x y + −    − + − + =        ①， 2 2 2x y+ = ②， 两式相减即为直线 AB的方程，即 ( )0 2 4 0x y x y− + − = ， 令 2 4 0 0 y y x − =  − = ，解得： 1 2 1 2 x y  =   =  故直线 AB过定点 1 1 , 2 2       故选：BCD 7．（多选）已知曲线 2 2 2 2x y x y+ = + 围成图形 C，则（ ） A．图形 C关于 x轴对称 B．图形 C关于原点对称 C．图形 C的周长是4 2π D．图形 C的面积是8π 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 22 页 【答案】ABC 【分析】根据曲线方程研究曲线的对称性得图形 C关于 ,x y轴对称，也关于原点对称， 进而讨论图形 C在第一象限中的周长与面积，进而得答案. 【详解】解：对于 A 选项，由于点 ( ) ( ), , ,x y x y− 均满足方程 2 2 2 2x y x y+ = + ，故 A 满足； 对于 B 选项，由于点 ( ) ( ), , ,x y x y− − 均满足方程 2 2 2 2x y x y+ = + ，故 B 满足； 对于 C 选项，由于 ( ) ( ), , ,x y x y− 均满足方程 2 2 2 2x y x y+ = + ， 故结合 A,B 选项得图形 C关于 ,x y轴对称，也关于原点对称，故 当 0, 0x y  ，曲线 2 2 2 2x y x y+ = + 表示圆 ( ) ( ) 2 2 1 1 2x y− + − = 在第一象限的部分，如图，故在第一象限中的轨迹的周长为 2 ， 所以根据对称性得图形 C的周长是4 2π，故 C 正确； 对于 D 选项，由 C 知，图形 C在第一象限中的面积为 1 1 2 2 2 2 2 2    +   = + ，所以 图形 C的面积是4π 8+ ，故错误； 故选：ABC 8．（多选）如图所示，M，N是圆 O： 2 2 4x y+ = 上的两个动点，线段 MO的延长线与 直线 l： 3 0x y+ − = 交于点 P，若 45MPN = ，则下列结论正确的是（ ） A． OP 的最小值为 3 2 2 B． OP 的最大值为2 2 C． 90MON   D． MN 的最大值为2 3 【答案】ABC 【分析】点 O到直线 l上的点的距离即为 OP 的最小值，过点 P作圆 O的切线 (PT T 为 切点 )，则有 2 2| 2 |OP OT ，可判断出选项 AB 的正误；假设 90MON = ，可推出 OP ON= ，不符题意，故选项 C 正确；取 2 2OP = ，此时 135MON = ，可得到 2 2| | 2 cos120 2 3MN OM ON OM ON + −  = ，故选项 D 错误． 【详解】如图所示， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 23 页 过点 P作圆 O的切线 (PT T 为切点 )，则有 45OPT OPN  = ，所以 2 2 2 2| | | 2 | 8OP PT OT OT= +  = ，则 2 2OP  ，又因为 P为直线 l： 3 0x y+ − = 上的 动点，所以点 O到直线 l上的点的距离的最小值为 2 2 0 0 3 3 2 21 1 + − = + ，故 A，B 正确； 若 90MON = ，则 90PON = 与 45 2OPN OP ON =  = = ，不合题意，故 90MON  ，故 C 正确； 当 2 2OP = 时， 2PN ON= = ， 135MON = ， 2 2 2 2| | 2 cos135 | | 2 cos120 2 3MN OM ON OM ON OM ON OM ON= + −   + −  = ，故 D 错误． 故选：ABC． 9．（多选）设有一组圆 Ck： ( ) ( ) 2 2 1 2 1x k y k− + + − = ，下列说法正确的是（ ） A．这组圆的半径均为 1 B．直线 2x－y＋2＝0 平分所有的圆 Ck C．存在无穷多条直线 l被所有的圆 Ck截得的弦长相等 D．存在一个圆 Ck与 x轴与 y轴均相切 【答案】ABC 【分析】可以看出圆 Ck的半径为 1，故 A 正确；圆心为 ( )1.2k k− ，圆心在直线 2x－y ＋2＝0 上，故 B 正确；进而得到存在无数条与直线 2x－y＋2＝0 平行或重合的直线（与 直线 2x－y＋2＝0 的距离小于 1）满足要求；D 选项，得到方程组，发现方程组无解， 故 D 错误. 【详解】对于选项 A：由圆 Ck的方程可知，这组圆的半径均为 1，故 A 正确； 对于选项 B：圆 Ck的圆心坐标为 ( )1.2k k− ，因为 2（k－1）－2k＋2＝0，所以直线 2x －y＋2＝0 过圆 Ck的圆心，故 B 正确； 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 24 页 对于选项 C：由 B 知，直线 2x－y＋2＝0 平分所有的圆 Ck，所以存在无数条与直线 2x －y＋2＝0 平行或重合的直线（与直线 2x－y＋2＝0 的距离小于 1）被所有的圆 Ck截得 的弦长相等，故 C 正确； 对于选项 D：若圆 Ck与 x轴和 y轴均相切，则 1 1 2 1 k k  − =  = ，无解，故 D 错误． 故选：ABC. 10．已知圆 2 2 1 : 4 16 0C x y x+ − − = 与圆 2 2 2 : 2 4 0C x y y+ + − = ，则圆 1C 与圆 2C 的公切线 方程是___________________． 【答案】2 6 0x y+ + = 【分析】先判断两个圆的位置关系，然后根据切点和斜率求得公切线方程. 【详解】圆 2 2 1 : 4 16 0C x y x+ − − = ，即 ( ) 2 22 20x y− + = ，圆心为 ( )1 2,0C ，半径 1 2 5r = . 圆 2 2 2 : 2 4 0C x y y+ + − = ，即 ( ) 22 1 5x y+ + = ，圆心为 ( )2 0, 1C − ，半径 2 5r = . 圆心角 1 2 1 25C C r r= = − ，所以两圆相内切. 由 2 2 2 2 4 16 0 2 4 0 x y x x y y  + − − =  + + − = 解得 2 2 x y = −  = − ， 所以两圆切点的坐标为 ( )2, 2− − ， 1 2 1 0 1 0 2 2 C Ck − − = = − ，所以公切线的斜率为 2− ， 所以公切线的方程为 ( ) ( )2 2 2 ,2 6 0y x x y− − = − + + + = . 故答案为：2 6 0x y+ + = 11．设 a，b是两个实数，0 a b  ，直线 :l y kx m= + 和圆 2 2 1x y+ = 交于两点 A，B，若对于任意的  ,k a b ，均存在正 数 m，使得 OAB的面积均不小于 3 4 ，则 2b a− 的最大值为 __________． 【答案】 2 【分析】设 O到直线 l的距离为 d，利用三角形的面积均不小于 3 4 列不等式，由此求 得d 的取值范围，再利用点到直线的距离公式转化为关于 ,m k 的不等式.根据 k 的取值范 围，求得m 的取值范围，由此求得关于 ,a b的不等式，结合导数求得 2b a− 的最大值. 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 25 页 【详解】设 O到直线 l的距离为 d，则 2 1 3 2 1 2 4 AOBS d d=  −   ， 解得 1 3 2 2 d  ，即 2 1 3 2 21 m k   + ， 所以 2 2 1 3 1 1 2 2 k m k+   + ， 因为  ,k a b ， 0m  时， 2 2 max 1 1 1 1 2 2 k b   + = +    ， 2 2 min 3 3 1 1 2 2 k a   + = +     ， 所以 2 2 1 3 1 1 2 2 b m a+   + ， 因为存在 0m  满足条件， 所以 2 2 1 3 1 1 2 2 b a+  + ， 化简得 2 23 1 2 2 b a −  ，且0 a b  ， 由 2 23 1 2 2 b a −  得 23 2b a + ， 所以 ( )22 3 2 2b a a a f a−  + − = ， 因为 0a  ，解不等式 ( ) 2 6 2 0 2 3 2 a f a a  = −  + 无解， 所以 ( )f a 在 )0,+ 上单调递减， 所以 ( ) ( )0 2f a f = ． 故 2b a− 的最大值为 2 ． 故答案为： 2 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用导数求最值，属于难题. 12．已知圆 C经过 ( )0,1A ， ( )( )4, 0B a a  两点. (1)当 1a = 时，圆 C与 x轴相切，求此时圆 C的方程； (2)如果 AB是圆 C的直径，证明：无论 a取何正实数，圆 C恒经过除 A外的另一个定点， 求出这个定点坐标. (3)已知点 A关于直线 3y x= − 的对称点 A也在圆 C上，且过点 B的直线 l与两坐标轴分 别交于不同两点M和 N，当圆 C的面积最小时，试求 BM BN 的最小值； 【答案】(1) ( ) 2 2 25 2 2 4 x y   − + − =    武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 26 页 (2)证明见解析，定点为 ( )4,1 (3) min 8BM BN = 【分析】（1）圆的半径为 r，则圆心为 ( )2,r ，再根据 ( ) 22 4 1r r= + − 求得 r ，即可得解； （2）设点 ( ),P x y 是圆C 上任意一点，由 AB是圆 C的直径，得 0AP BP = ，从而可求 出圆C 的方程，即可得出结论； （3）根据题意可得点 C在直线 3y x= − 上，要使圆 C的面积最小，则圆 C是以 AA直 径的圆，从而可求出圆C 的方程，进而可求得 B 点的坐标，设出直线 l 的方程，分别求 出 ,M N 的坐标，再根据两点的距离公式结合基本不等式即可得解. （1）解： 1a = 时，圆过 ( )0,1A ， ( )4,1B ， 设圆的半径为 r，则圆心为 ( )2,r ， 则 ( ) 22 4 1r r= + − ，解得 5 2 r = ， 所以圆 C的方程为 ( ) 2 2 25 2 2 4 x y   − + − =    ； （2）证明：设点 ( ),P x y 是圆C 上任意一点， 因为 AB是圆 C的直径，所以 0AP BP = ， 即 ( ) ( ) ( ) ( )( ), 1 4, 4 1 0x y x y a x x y y a−  − − = − + − − = ， 所以圆C 的方程为： ( ) ( )( )4 1 0x x y y a− + − − = ， 则 4x = ， 1y = ，等式恒成立，定点为 ( )4,1 ， 所以无论 a取何正实数，圆 C恒经过除 A外的另一个定点，定点坐标为 ( )4,1 ； （3）解：因点 A关于直线 3y x= − 的对称点 A也在圆 C， 所以点 C在直线 3y x= − 上， 又圆 C的面积最小，所以圆 C是以 AA直径的圆， 过点 A与直线 3y x= − 垂直的直线方程为 1y x= − + ， 由方程组 3 1 y x y x = −  = − + 得 ( )2, 1C − ， 所以圆 C的方程为 ( ) ( ) 2 2 2 1 8x y− + + = ， 武汉市好学途教育 高中数学重难点系列专题 第 27 页 当 4x = 时， 1a = 或 3a = − ，又 0a  ，所以 1a = ，即 ( )4,1B ， 由题意知直线 l斜率存在且不为零，设直线 l的方程为 ( )1 4y k x− = − ， 当 0x = 时 1 4y k= − ，当 0y = ，时 1 4x k = − ， 所以 2 2 2 2 2 2 1 1 1 | | | | 16 16 1 4 2 4 2 2 8BM BN k k k k k k  = +  + = + +   + = ， 当且仅当 2 2 1 k k = ，即 1k =  时取等号， 即 1k =  时， min 8BM BN = .