精品解析：山西省晋中市榆次区2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷

榆次区2024-2025学年第二学期期中学业水平质量监测题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 企业标识是展示企业形象的重要元素．以下是部分山西省国企的标识，其文字上方的部分既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 2. 自2024年起，国家卫健委启动实施“体重管理年”活动．体重指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的一个常用标准，计算公式是．如图，14岁男生不低于26.1为肥胖，则14岁男生肥胖时BMI满足的不等关系为（ ） 13～15岁学龄儿童青少年性别年别BMI筛查超重与肥胖界值 单位为 年龄（岁） 男生 女生 超重 肥胖 超重 肥胖 25.2 22.2 25.0 21.9 25.7 22.6 25.6 22.3 26.1 22.8 25.9 22.6 26.4 23.0 26.3 22.9 26.6 23.2 26.6 引自：《学龄儿童青少年超重与肥胖筛查）（WST586-2018） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用不等式表示， 根据不低于用“”表示即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 3. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据判定定理“”即可求证，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， 故选：． 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 5. 用反证法证明“是无理数”时，应先假设（ ） A. 是无理数 B. 是有理数 C. 是正数 D. 是实数 【答案】B 【解析】 【分析】先假设不是无理数即有理数，解答即可． 本题考查了反证法，熟练掌握方法的基本内涵是解题的关键． 【详解】解：先假设不是无理数即有理数， 故选：B． 6. 如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若的周长为，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据将向右平移得到，故，再结合的周长为，则四边形的周长是，即可作答． 【详解】解：∵将向右平移得到， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴ 则四边形的周长是， 故选：D． 7. 解不等式组时，在同一条数轴上表示不等式①②的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，并在数轴上表示不等式组的解集即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：A． 8. 如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得，，可判断选项都不符合题意， 因为与不一定平行，所以符合题意，于是得到问题的答案，正确理解旋转角的概念及旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到， ∴，，，但与不一定平行， 故不符合题意， 符合题意， 故选：． 9. 如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等，由线段垂直平分线的性质得，即得，由直角三角形两锐角互余得，进而由三角形外角性质可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（ ） A. B. 25 C. D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，再结合三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握角平分线的性质定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ， ∵，分别平分，，于点D，， ∴，， ∵的面积是50， ∴， ∴， ∴， ∴，即的周长为， 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，如果，则_______°． 【答案】65 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．根据三角形内角和定理和等边对等角进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：65． 12. 如图，是等边三角形的中线，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理、等边对等角、三角形内角和定理，根据等腰三角形的三线合一定理可知，，根据等腰三角形的两个底角相等可以求出，根据角之间的关系可以求出的度数． 【详解】解：是等边三角形， ， 是等边三角形的中线， ，， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，小杰将①号“鱼”先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到了②号“鱼”．小颖认为②号“鱼”也可以由①号“鱼”经过一次平移得到，则平移的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查图形的平移及平移特征，勾股定理，直接利用勾股定理计算解答即可． 【详解】解：平移的距离为， 故答案为：． 14. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系， 只需要找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点D在边上，且，点E是边上的一个动点（不与点A，B，重合），连接，当是等腰三角形时，线段的长度为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握分类讨论是关键． 分类讨论，根据勾股定理、等腰三角形性质、含30度角的直角三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：过点作交于点， ∵，，， ， 设，则， 在中，， 即， ，（负值已舍去）， ； 当时， ∵， ∴； 当时， 过点作交于点， ， ∵，， ， ， ， ∴点A与点E重合，不符合题意； 当时， 过点作交于点， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，（负值舍去）， ， ∴； 综上分析，线段的长度为或； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，涉及解一元一次不等式及不等式组解决的求法，先分别解不等式组中的一元一次不等式，再由“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”求不等式组的解集即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式组解集的求法步骤是解决问题的关键． 【详解】解： 解：解不等式①得：， 解不等式②得：． 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如下： ∴原不等式组的解集为． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：． （1）平移，使点A的对应点为点． ①将平移到的过程可描述为，先向右平移______个单位长度，再_______； ②请在图中画出平移后的； （2）请以点B为对称中心，画出与成中心对称的． 【答案】（1）①1，向下平移6个单位长度； ②如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）①结合平移的性质可得答案． ②根据平移的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． 【小问1详解】 解：①由题意得，将平移到的过程可描述为，先向右平移1个单位长度，再向下平移6个单位长度； 故答案为：1；向下平移6个单位长度． ②略 【小问2详解】 略 18. 下面是小宁同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：去分母，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，合并同类项，得． 第三步 两边都除以，得． 第四步 任务： （1）以上解题过程中，第一步的依据是_______； （2）第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是_______． （3）请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】（1）不等式的基本性质2 （2）二，去括号时，漏乘3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）由题意得，第一步的依据是不等式的基本性质2； （2）第二步去括号时，漏乘3，据此可得答案； （3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，第一步的依据是不等式的基本性质2； 【小问2详解】 解：观察可知，第二步开始出现错误，错误原因是去括号时，漏乘3； 【小问3详解】 解：解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以，得． 19. 某校学生会组织七年级和八年级共100名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1700个，最多需要多少名七年级学生参加活动？ 【答案】最多需要60名七年级学生参加活动 【解析】 【分析】题目主要考查不等式的应用，理解题意，列出不等式求解是解题关键． 设需要x名七年级学生参加活动，则需要名八年级学生参加活动．根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设需要x名七年级学生参加活动，则需要名八年级学生参加活动． 根据题意，得． 解这个不等式，得． 答：最多需要60名七年级学生参加活动． 20. 已知：如图，在锐角三角形中，，两条高与相交于点O．求证：． 【答案】 证明：∵是的高， ∴． ∴（直角三角形的两个锐角互余）． ∴． ∵， ∴（等边对等角）． ∴， 即． ∴（等角对等边）． 【解析】 【分析】根据两条高的条件可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而由等腰三角形的判定可得结论成立． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形高的含义，掌握等腰三角形的判定与性质是关键． 21. 某校积极响应加快建设体育强国的号召，准备扩建乒乓球训练馆，因而需要新增一些乒乓球拍和乒乓球．经询问，某超市销售某品牌的乒乓球拍和乒乓球，每副乒乓球拍的标价为24元，每个乒乓球的标价为3元．超市为促销，特向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一个乒乓球，超出的乒乓球按定价付款； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都打九折． 王老师准备到该超市购买乒乓球拍50副，乒乓球x个． （1）设王老师采用方案一所需费用为元，采用方案二所需费用为元，请分别写出，与x之间的函数关系式； （2）请你帮助王老师选择最省钱的购买方案． 【答案】（1）， （2）当时，选两种方案都可以；当时，选方案一比较省钱；当时，选方案二比较省钱 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解此题的关键． （1）根据优惠方案列出函数关系式即可； （2）分三种情况列不等式（或方程），解答即可． 【小问1详解】 解：，即， ，即； 【小问2详解】 解：由，得，解得； 由，得，解得； 由，得，解得． 答：当时，选两种方案都可以；当时，选方案一比较省钱；当时，选方案二比较省钱． 22. 阅读与思考 下面是果果同学的数学日记片段，请认真阅读并完成相应的任务． 3月28日 星期五 晴 对含角的三角形的进一步探索 在复习第一章《三角形的证明》时，我发现在基本的几何图形中，通过增加新的几何元素，会出现新的结论．下面是我对含角的三角形进行的一些探究．如图1，在中，，． 【初步探究】 如图2，在图1的基础上，作的角平分线，可以得到． 如图3，在图1的基础上，作边的垂直平分线分别交边于点D，E，也可以得到． 【深入探究】 如图4，在图1的基础上，作的高线，发现了线段与的数量关系． 【拓展延伸】 如图5，在中，，，我发现利用上面的探究结论可以用尺规作图找到边的三等分点． 任务： （1）求证：（从图2、图3中选择一个进行证明即可）； （2）请直接写出图4中线段与的数量关系； （3）请在图5中找到边的一个三等分点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1） 选择图2 证明：过点D作，垂足为点E． 在中，， ． 又是的角平分线，， ． 在中，， ． ． ， ． 选择图3 证明：连接． 在中，， ． 是的垂直平分线， ． ． ． 在中，， ． ． ． ． （2） （3） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线线的性质； （1）选择图2，过点D作，垂足为点E，根据角平分线的性质得到，然后根据的直角三角形的性质解答即可；选择图3，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后根据的直角三角形的性质解答即可； （2）根据的直角三角形的性质解答即可； （3）作边的垂直平分线或过点A作交于点P，根据的直角三角形的性质即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 23. 综合与实践 问题情境： 数学课上，同学们利用等腰直角三角形纸片进行探究活动．如图，在中，，．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点． 操作探究： （1）如图，边与边交于点，边分别与边，交于点，． 如图，点恰好为边的中点时，判断的形状，并说明理由； 试猜想图中线段与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （2）将绕点顺时针旋转，当线段与直线垂直时，垂足为点，直线与直线，分别交于点，．直接写出四边形的面积． 【答案】（）点恰好为边的中点时，的形状是等腰直角三角形，理由： ∵，，将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵，点为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是等腰直角三角形； 线段与的数量关系为：，理由： ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （）或． 【解析】 【分析】（）利用旋转的性质和等腰直角三角形的性质得到，，利用等腰三角形的性质和等腰直角三角形的定义解答即可； 利用旋转的性质和等腰直角三角形的性质得到，，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用等式的性质解答即可； （）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点在的延长线上时，画出图形，利用等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质和旋转的性质求得线段， ， ，再利用四边形的面积解答即可；当点在上时，利用等腰直角三角形的性质和四边形的面积解答即可. 【详解】（）略 略 （）当点在的延长线上时，如图， 由题意得：，， ∵，， ∴， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形的面积 ； 当点在上时，如图， 由题意得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形的面积 ， 综上，当线段与直线垂直时， 四边形的面积为或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，分类讨论的思想方法，熟练掌握旋转的性质并熟练运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆次区2024-2025学年第二学期期中学业水平质量监测题（卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 企业标识是展示企业形象的重要元素．以下是部分山西省国企的标识，其文字上方的部分既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 自2024年起，国家卫健委启动实施“体重管理年”活动．体重指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的一个常用标准，计算公式是．如图，14岁男生不低于26.1为肥胖，则14岁男生肥胖时BMI满足的不等关系为（ ） 13～15岁学龄儿童青少年性别年别BMI筛查超重与肥胖界值 单位为 年龄（岁） 男生 女生 超重 肥胖 超重 肥胖 25.2 22.2 25.0 21.9 25.7 22.6 25.6 22.3 26.1 22.8 25.9 22.6 26.4 23.0 26.3 22.9 26.6 23.2 26.6 引自：《学龄儿童青少年超重与肥胖筛查）（WST586-2018） A. B. C. D. 3. 用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（ ） A. B. C. D. 4. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 用反证法证明“是无理数”时，应先假设（ ） A. 是无理数 B. 是有理数 C. 是正数 D. 是实数 6. 如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若的周长为，则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 解不等式组时，在同一条数轴上表示不等式①②的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度，得到，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别平分，，于点D．若，的面积是50，则的周长为（ ） A. B. 25 C. D. 50 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，如果，则_______°． 12. 如图，是等边三角形的中线，，则______． 13. 如图，小杰将①号“鱼”先向右平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到了②号“鱼”．小颖认为②号“鱼”也可以由①号“鱼”经过一次平移得到，则平移的距离为________． 14. 如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，则关于x的不等式的解集为________． 15. 如图，在中，，，，点D在边上，且，点E是边上的一个动点（不与点A，B，重合），连接，当是等腰三角形时，线段的长度为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式组． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：． （1）平移，使点A的对应点为点． ①将平移到的过程可描述为，先向右平移______个单位长度，再_______； ②请在图中画出平移后的； （2）请以点B为对称中心，画出与成中心对称的． 18. 下面是小宁同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：去分母，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，合并同类项，得． 第三步 两边都除以，得． 第四步 任务： （1）以上解题过程中，第一步的依据是_______； （2）第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是_______． （3）请直接写出该不等式的正确解集． 19. 某校学生会组织七年级和八年级共100名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1700个，最多需要多少名七年级学生参加活动？ 20. 已知：如图，在锐角三角形中，，两条高与相交于点O．求证：． 21. 某校积极响应加快建设体育强国的号召，准备扩建乒乓球训练馆，因而需要新增一些乒乓球拍和乒乓球．经询问，某超市销售某品牌的乒乓球拍和乒乓球，每副乒乓球拍的标价为24元，每个乒乓球的标价为3元．超市为促销，特向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一副乒乓球拍送一个乒乓球，超出的乒乓球按定价付款； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都打九折． 王老师准备到该超市购买乒乓球拍50副，乒乓球x个． （1）设王老师采用方案一所需费用为元，采用方案二所需费用为元，请分别写出，与x之间的函数关系式； （2）请你帮助王老师选择最省钱的购买方案． 22. 阅读与思考 下面是果果同学的数学日记片段，请认真阅读并完成相应的任务． 3月28日 星期五 晴 对含角的三角形的进一步探索 在复习第一章《三角形的证明》时，我发现在基本的几何图形中，通过增加新的几何元素，会出现新的结论．下面是我对含角的三角形进行的一些探究．如图1，在中，，． 【初步探究】 如图2，在图1的基础上，作的角平分线，可以得到． 如图3，在图1的基础上，作边的垂直平分线分别交边于点D，E，也可以得到． 【深入探究】 如图4，在图1的基础上，作的高线，发现了线段与的数量关系． 【拓展延伸】 如图5，在中，，，我发现利用上面的探究结论可以用尺规作图找到边的三等分点． 任务： （1）求证：（从图2、图3中选择一个进行证明即可）； （2）请直接写出图4中线段与的数量关系； （3）请在图5中找到边的一个三等分点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 23. 综合与实践 问题情境： 数学课上，同学们利用等腰直角三角形纸片进行探究活动．如图，在中，，．将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点． 操作探究： （1）如图，边与边交于点，边分别与边，交于点，． 如图，点恰好为边的中点时，判断的形状，并说明理由； 试猜想图中线段与的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： （2）将绕点顺时针旋转，当线段与直线垂直时，垂足为点，直线与直线，分别交于点，．直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $