2026届高三数学一轮复习课时作业3：等式性质与不等式性质

1.3　等式性质与不等式性质 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.若a=(x+1)(x+3)，b=2(x+2)2，则下列结论正确的是(　　) A.a>b B.a<b C.a≥b D.a，b的大小关系不确定 2.已知a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.< B.2a>2b C.a2>b2 D.|a|>|b| 3.已知a，b，x均为实数，下列不等式恒成立的是(　　) A.若a<b，则a2 026<b2 026 B.若a<b，则< C.若ax2 026<bx2 026，则a<b D.若a<b，则ax2 026<bx2 026 4.A，B，C，D四名同学的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是(　　) A.B>C>A>D B.B>C>D>A C.C>B>A>D D.C>B>D>A 5.已知-3<a<-2，3<b<4，则的取值范围为(　　) A.(1，3) B. C. D. 6.已知实数a，b，c满足a+b+c=0且a>b>c，则下列选项错误的是(　　) A.bc>ac B.a2>c2 C.2ac-2bc<a2-b2 D.(a-c)2≤2(a-b)2+2(b-c)2 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知c>b>a，则下列结论正确的是(　　) A.c+b>2a B.> C.> D.< 8.已知实数x，y满足-3<x+2y<2，-1<2x-y<4，则(　　) A.-1<x<2 B.-2<y<1 C.x+y的取值范围是(-3，3) D.x-y的取值范围是(-1，3) 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知0<β<α<则α-β的取值范围是　　　　　　.  10.若a，b同时满足下列两个条件： ①a+b>ab；②>. 请写出一组a，b的值　　　　　　　　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)证明下列不等式： (1)已知a>b>c>d，求证：<；(5分) (2)已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>.(8分) 12.(15分)已知实数a，b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4. (1)求实数a的取值范围；(7分) (2)求3a-2b的取值范围.(8分) 【提升练】 13.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b+c≤3a，则的取值范围为(　　) A.(1，+∞) B.(1，3) C.(0，2) D.(0，3) 14.某超市A，B两种蔬菜连续n天的价格分别为a1，a2，a3，…，an和b1，b2，b3，…，bn，令M={m|am<bm，m=1，2，…，n}，若M中元素个数大于n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B，记作：A<B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是(　　) A.若A<B，B<C，则A<C B.若A<B，B<C同时不成立，则A<C不成立 C.A<B，B<A可同时不成立 D.A<B，B<A可同时成立 15.已知a>b>0，且ab=1，若把，2-(a+b)，按从小到大的顺序排列，则排在中间的数(　　) A.一定是 B.一定是2-(a+b) C.一定是 D.不能确定，与a，b的值有关 16.(2024·九省联考)以max M表示数集M中最大的数.设0<a<b<c<1，已知b≥2a或a+b≤1，则max{b-a，c-b，1-c}的最小值为　　　　　　.  答案精析 1.B 2.B　[取a=1，b=-2，满足a>b，显然有>，a2<b2，|a|<|b|成立，即选项A，C，D都不正确； 指数函数y=2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确.] 3.C　[当a=-2，b=1时，(-2)2 026>12 026，A错误； 当a=0时，没意义，B错误； 由ax2 026<bx2 026，知x2 026>0，所以a<b，C正确； 当x=0时，ax2 026<bx2 026不成立，D错误.] 4.D　[用A，B，C，D表示A，B，C，D四名同学的年龄， 则A>0，B>0，C>0，D>0. 则A+C=B+D，① C+D>A+B，② B>A+D.③ ①+②得C>B，①+③得C>2D，②+③得C>2A， 由于A>0，D>0， 故由③得B>A，B>D， 由①得C-B=D-A， ∵C>B，∴C-B>0，∴D-A>0， ∴D>A， 综上，C>B>D>A.] 5.A　[因为-3<a<-2， 所以4<a2<9， 而3<b<4，即<<， 故的取值范围为(1，3).] 6.B　[因为a+b+c=0且a>b>c，所以a>0，c<0， A选项，bc-ac=(b-a)c>0，故bc>ac，A正确； B选项，不妨设a=1，b=0，c=-1，此时满足a+b+c=0且a>b>c，但a2=c2，B错误； C选项，因为a+b+c=0且a>b>c，所以a-b>0，a+b-2c=a-c+b-c>0， a2-b2+2bc-2ac=(a+b)(a-b)+2c(b-a)=(a-b)(a+b-2c)>0， 所以2ac-2bc<a2-b2，C正确； D选项，2(a-b)2+2(b-c)2-(a-c)2 =2(a-b)2+2(b-c)2-[(a-b)+(b-c)]2 =2(a-b)2+2(b-c)2-(a-b)2-2(a-b)(b-c)-(b-c)2 =(a-b)2+(b-c)2-2(a-b)(b-c) =[(a-b)-(b-c)]2=(a+c-2b)2， 因为a+b+c=0， 所以2(a-b)2+2(b-c)2-(a-c)2=(-b-2b)2=9b2≥0， 故(a-c)2≤2(a-b)2+2(b-c)2，D正确.] 7.AB　[对于选项A，因为c>b>a，所以c+b>2a，故选项A正确； 对于选项B，因为c>b>a，所以c-a>c-b>0，所以>>0，故选项B正确； 对于选项C，取a=-3，b=-2，c=-1，满足c>b>a，此时==-2，==-<，故选项C错误； 对于选项D，当c=1，b=-1，a=-2时，=2，==-，此时>，故选项D错误.] 8.ABD　[因为-3<x+2y<2，-1<2x-y<4， 所以-2<4x-2y<8， 则-5<5x<10，即-1<x<2，故A正确； 又-4<-2x-4y<6，-1<2x-y<4， 所以-5<-5y<10，即-2<y<1，故B正确； x+y=的取值范围是(-2，2)，故C错误； x-y=的取值范围是(-1，3)，故D正确.] 9. 解析　∵0<β<， ∴-<-β<0， 又0<α<，∴-<α-β<， 又β<α，∴α-β>0， 即0<α-β<. 10.a=-1，b=2(答案不唯一) 解析　容易发现，若将①式转化为②式， 需使(a+b)ab<0，即a+b与ab异号， 显然应使a+b>0，ab<0， 当a<0，b>0时，要使a+b>0， 则|a|<|b|， 可取a=-1，b=2； 当a>0，b<0时，要使a+b>0， 则|a|>|b|， 可取a=2，b=-1. 综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 11.证明　(1)∵a>b>c>d， ∴a>b，-d>-c， ∴a-d>b-c>0，则<. (2)∵a>b>0，c<d<0，e<0， ∴-c>-d>0， ∴a-c>b-d>0，b-a<0，c-d<0， 则-===>0， ∴>. 12.解　(1)a=[(a+b)+(a-b)]， 由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4， 得-4≤(a+b)+(a-b)≤6， ∴-2≤[(a+b)+(a-b)]≤3， 即-2≤a≤3， 故实数a的取值范围为[-2，3]. (2)设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b， 则解得 ∴3a-2b=(a+b)+(a-b)， ∵-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4. ∴-≤(a+b)≤1， -≤(a-b)≤10， ∴-4≤3a-2b≤11， 即3a-2b的取值范围为[-4，11]. 13.C　[由已知及三角形三边关系得 所以 则 两式相加得0<<4， 所以0<<2.] 14.C　[对于A，采用特例法：若a1=a2=…=a7=1，a8=4；b1=b2=…=b7=2，b8=3；c1=c2=…=c6=3，c7=1，c8=4，满足A<B，B<C，但A<C不成立，故A错误； 对于B，若a1=a2=…=a6=1，a7=a8=2；b1=b2=…=b6=2，b7=b8=1；c1=c2=…=c6=1.5，c7=c8=3，此时A<B，B<C同时不成立，但A<C成立，故B错误； 对于C，例如蔬菜A连续10天价格为1，2，3，4，…，10，蔬菜B连续10天价格分别为10，9，…，1时， M={1，2，3，4，5}，则M中元素个数为5，n=×10=，此时A<B不成立， 同理，B<A也不成立，即A<B，B<A可同时不成立，故C正确； 对于D，A<B，B<A显然不可能同时成立，故D错误.] 15. B [因为a>b>0，且ab=1， 所以a>1，0<b<1，故>0，2-(a+b)>0，>0， 2-(a+b)÷=2-(a+b)·a·4a=2a-b·a， 因为a-b>0，a>1，所以2a-b·a>1， 所以2-(a+b)÷>1，故2-(a+b)>=， 2-(a+b)÷=2-(a+b)·b·4b=2b-a·b， 因为b-a<0，0<b<1，所以0<2b-a·b<1， 所以0<2-(a+b)÷<1， 故2-(a+b)<=， 综上，<2-(a+b)<.] 16. 解析　令b-a=m，c-b=n，1-c=p，其中m，n，p>0， 所以 若b≥2a，则1-n-p≥2(1-m-n-p)， 故2m+n+p≥1， 令M=max{b-a，c-b，1-c}=max{m，n，p}， 因此故4M≥2m+n+p≥1， 则M≥，当且仅当2m+n+p=1且max{m，n，p}=时，等号成立，如取m=n=p=时可满足等号成立； 若a+b≤1，则1-m-n-p+1-n-p≤1， 即m+2n+2p≥1， M=max{b-a，c-b，1-c}=max{m，n，p}， 则故5M≥m+2n+2p≥1， 则M≥，当且仅当m+2n+2p=1且max{m，n，p}=时等号成立， 如取m=n=p=时可满足等号成立， 综上可知max{b-a，c-b，1-c}的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$