2026届高三数学一轮复习课时作业5：基本不等式的综合应用

1.5　基本不等式的综合应用 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知a>0，b>1，ab-a=1，则a+b的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 2.已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13 B.12 C.9 D.4 3.已知实数x，y>0+=2，且x+y≥m恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A. B.(-∞，9] C. D.[9，+∞) 4.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a<0成立，则实数a的取值范围是(　　) A.a< B.0≤a≤ C.a> D.a> 5.(2024·宿州模拟)定义：对于数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m).已知正整数t满足t≡11(mod 6)，将符合条件的所有t的值按从小到大的顺序排列，构成数列{an}.设数列{an}的前n项和为Sn，则的最小值为(　　) A.12 B.14 C.16 D.18 6.(2025·长沙模拟)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半.已知△ABC的周长为12，c=4，则此三角形面积最大时，A等于(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2024·宜宾模拟)已知x>0，y>0，且2x+y=1，若≤x+2y恒成立，则实数m的可能取值为(　　) A. B. C.3 D. 8.若a>1，b>1，且ab=e2，则(　　) A.2e≤a+b<e2+1 B.0<ln a·ln b≤1 C.2-1≤ln a+logab<2 D.aln b的最大值为e 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2024·南京模拟)若正实数x，y满足x+y=2，且≥M恒成立，则M的最大值为　　　　.  10.已知函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0，+∞)，其中a>b，则的最小值为　　　　.  四、解答题(共28分) 11.(13分)已知函数f(x)=x+(x>1). (1)求f(x)的最小值；(6分) (2)若a2+6a≤f(x)恒成立，求a的取值范围.(7分) 12.(15分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来持续增长.某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)；(7分) (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？(8分) 【提升练】 13.(2025·德阳模拟)设双曲线-=1(a>0)的离心率为e，则当e2+a2取最小值时，e等于(　　) A. B.2 C. D.3 14.(2024·咸阳模拟)已知函数f(x)=2 026x-2 026-x，若m>0，n>1，且f +f =f(sin 2 026π)，则+的最小值为　　　　　　.  15.出入相补是指一个平面(或立体)图形被分割成若干部分后面积(或体积)的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC=b，BC=a(b≥a)，AB=c，图中两个阴影三角形的周长分别为l1，l2，则的最小值为　　　　　　.  16.已知椭圆+=1(a>b>0)，经过仿射变换则椭圆变为了圆x'2+y'2=a2，并且变换过程有如下对应关系：①点P(x0，y0)变为P'；②直线斜率k变为k'=k，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为S'=S，对应图形面积比不变；④点、线、面位置关系不变(平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等).过椭圆+y2=1内一点P作一直线与椭圆相交于A，B两点，则△AOB的面积的最大值为　　　　　　.  答案精析 1.C 2.C　[因为|MF1|+|MF2|=6， 所以|MF1|·|MF2| ≤==9， 当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立， 所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.] 3.A　[由+=2，可得+=1， 又因为x，y>0， 则x+y=(x+y)· =+2++ ≥+2=， 当且仅当=， 即y=2x=3时取等号， 所以(x+y)min=， 由x+y≥m恒成立， 可得m≤(x+y)min=， 即实数m的取值范围为.] 4.A　[当x∈(0，2]时，由ax2-2x+3a<0， 可得a(x2+3)<2x， 由题意得a<， 因为=≤=，当且仅当x=(x>0)， 即x=时，等号成立， 所以当x∈(0，2]时，的最大值为，故a<.] 5.C　[由题意可知an=6n-1，n∈N*， 则数列{an}是等差数列， 所以Sn==3n2+2n， 可得= =6+4 ≥12+4=16， 当且仅当n=1时，取得最小值16.] 6.C　[由题可知a+b=8，c=4，p=6， 则S== ≤×=4， 当且仅当a=b=4时取等号， 所以此时三角形为等边三角形， 故A=60°.] 7.ABC　[由x>0，y>0，得xy>0， ≤x+2y恒成立， 即≤=+恒成立， 又+=(2x+y)=5++≥5+2=9， 当且仅当x=y=时，等号成立， 故≤9，即-9=≤0， 即 解得m<1或m≥.] 8.ABD　[由a>1，b=>1， 得1<a<e2， 因为函数f(a)=a+b=a+在(1，e)上单调递减，在[e，e2)上单调递增，所以2e≤a+b<e2+1，故A正确； 因为ab=e2，所以有ln a+ln b=2，于是0<ln a·ln b≤=1，当且仅当a=b=e时，等号成立，故B正确； ln a+logab=ln a+=ln a+=ln a+-1， 设t=ln a∈(0，2)，所以φ(t)=t+-1在(0，)上单调递减，在[，2)上单调递增， 所以φ(t)=t+-1∈[2-1，+∞)，故C错误； 设λ=aln b，所以ln λ=ln aln b=ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确.] 9.1 解析　∵正实数x，y满足x+y=2， ∴xy≤==1，∴≥1， 又≥M恒成立， ∴M≤1，即M的最大值为1. 10.2 解析　函数f(x)=ax2+2x+b的值域为[0，+∞)， 令ax2+2x+b=0， 则有 即ab=1，且a>0， 所以= =(a-b)+， 又a>b，所以a-b>0， 则(a-b)+ ≥2=2， 当且仅当a-b=，且ab=1， 即a=，b=时等号成立， 即的最小值为2. 11.解　(1)f(x)=x+ =x-1++1， 因为x>1，所以x-1>0， 所以x-1++1 ≥2+1=7， 当且仅当x-1=，即x=4时，等号成立， 所以f(x)的最小值为7. (2)由(1)知函数f(x)的最小值为7， 因为a2+6a≤f(x)恒成立， 所以a2+6a≤7，解得-7≤a≤1， 所以a的取值范围是[-7，1]. 12.解　(1)由题意可得W(x)= 所以W(x)= (2)当0<x≤40时， W(x)=-2x2+140x-400， 当x=35时，W(x)取最大值， W(35)=2 050(万元)； 当40<x≤100时， W(x)=-x-+1 700 =-+1 700 ≤-2+1 700=1 580， 当且仅当x=60时，等号成立， 因为2 050>1 580， 故当该产品的年产量为35 台时，所获年利润最大，最大年利润为2 050万元. 13.C　[双曲线-=1(a>0)的离心率为e=， e2+a2=+a2=2++a2 ≥2+2=4， 当且仅当=a2，即a=1时取等号， 此时e==.] 14.2 解析　因为f(x)=2 026x-2 026-x， 所以f(-x)=2 026-x-2 026x =-(2 026x-2 026-x)=-f(x)， 所以f(x)是奇函数，f(0)=0， 若m>0，n>1， 则f +f  =f(sin 2 026π)=f(0)=0， 所以f =-f  =f， 又f(x)在R上单调递增， 所以-2=-， 即+=2，n+2m=2mn， 则2m=， 所以+ = =3n+2m-4=3n+-4 =3(n-1)+ ≥2=2， 当且仅当3(n-1)=， 即n=1+时，等号成立， 所以+的最小值为2. 15. 1+ 解析　如图1，易知△BDE∽△ACB， 且BD=CD-BC=b-a， 所以==， 所以l1=(a+b+c)； 如图2，易知△GFH∽△ACB，且FG=a， 所以==， 所以l2=(a+b+c)， 所以==1+ =1+=1+， 又因为a2+b2≥2ab，所以≤1， 当且仅当a=b时取等号， 所以≥1+=1+， 所以的最小值为1+. 16. 1 解析　+y2=1，a=2，b=1， 由仿射变换 椭圆方程变换为x'2+y'2=4， P变换为P'(1，1)，如图所示，设圆的半径为r，点O'到直线A'B'的距离为d，则r=2， 所以S'△A'O'B'=×2·d=·d≤=2， 当且仅当d=时，等号成立， 而S'△A'O'B'=2S△AOB， 所以S△AOB≤1，即△AOB的最大面积为1. 学科网（北京）股份有限公司 $$