2026届高三数学一轮复习课时作业4：基本不等式

1.4　基本不等式 【基础练】 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知m>0，n>0，mn=81，则m+n的最小值是(　　) A.9 B.18 C.9 D.27 2.若x>0，则函数y=的最小值为(　　) A.6 B.7 C.10 D.11 3.(2024·亳州模拟)已知x>0，y>0，2x+y=xy，则2x+y的最小值为(　　) A.8 B.4 C.8 D.4 4.(2025·连云港模拟)设a>0，b>-1，且a+b=1，则+的最小值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 5.(2024·漯河模拟)设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则的最大值为(　　) A.4 B.2 C.3 D.1 6.已知x>2，且x-y-2=0，则++的最小值是(　　) A.2 B.3 C.4 D.9 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.若m>0，n>0，且m+2n=1，则下列结论正确的是(　　) A.mn≤ B.+≥ C.+≥9 D.m2+4n2≤ 8.下列说法正确的是(　　) A.函数y=2x+(x<0)的最大值是-4 B.函数y=的最小值是2 C.函数y=x+(x>-2)的最小值是6 D.若x+y=4，则x2+y2的最小值是8 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(2025·南京模拟)已知x>则x+的最小值为　　　　　　.  10.已知5x2y2+y4=1(x，y∈R)，则x2+y2的最小值是　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求： (1)xy的最大值；(6分) (2)2x+y的最小值.(7分) 12.(14分)已知下列求最小值的方法： 求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值. 解：利用平均值不等式，对任意非负实数a，b，c，有a+b+c≥3(当且仅当a=b=c时等号成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，当且仅当x=1时等号成立，即当且仅当x=1时，x3-3x取到最小值-2. (1)请模仿上述例题，求x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值；(提示：对任意非负实数a，b，c，d，有a+b+c+d≥4当且仅当a=b=c=d时等号成立)(4分) (2)求x3-x，x∈[0，+∞)的最小值；(5分) (3)求出当a>0时，x3-ax，x∈[0，+∞)的最小值.(5分) 【提升练】 13.正数a，b满足a>b，ab=4，则的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 14.(多选)(2025·宿迁模拟)如图，四边形ABDC为梯形，其中AB=a，CD=b，且a<b，O为对角线的交点.有4条线段(GH，KL，EF，MN)夹在两底之间.GH表示平行于两底且与它们等距离的线段(即梯形的中位线)，KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的有(　　) A.若a=3，b=6，则KL=3 B.EF= C.存在a，b使得EF>GH D.MN= 15.若x1，x2，…，x2 026均为正实数，则x1++++…++的最小值为　　　　　　. 　 16.已知x>1，y>1，a=log2x，b=log2，且+=2，则xy2的最小值为　　　　　　.  答案精析 1.B 2.D　[∵x>0， ∴y==x++1 ≥2+1=11， 当且仅当x=，即x=5时，等号成立， ∴函数y=的最小值为11.] 3.A　[方法一　由x>0，y>0， 2x+y=xy， 可得y=>0，则x>1， 则2x+y=2x+= = =2(x-1)++4 ≥2+4=8， 当且仅当2(x-1)=， 即x=2时，等号成立， 所以2x+y的最小值为8. 方法二　由x>0，y>0，2x+y=xy，得+=1， 所以2x+y=(2x+y) =++4 ≥2+4=8， 当且仅当=，2x+y=xy， 即x=2，y=4时，等号成立， 所以2x+y的最小值为8.] 4.B　[因为a>0，b>-1，则b+1>0，因为a+b=1，则a+(b+1)=2， 所以+ =[a+(b+1)] = ≥=2， 当且仅当 即时，等号成立， 因此+的最小值为2.] 5.D　[因为正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则z=x2+y2-xy， 所以== ≤=1， 当且仅当=(x>0，y>0)， 即x=y时，等号成立， 故的最大值为1.] 6.D　[由题意得x=y+2>2，所以y>0， 所以+=+=++1 ≥2+1=3(当且仅当y=2时取等号)， 所以+的最小值为3. 又因为++=， 所以++的最小值是9.] 7.AC　[对于A，若m>0，n>0，且m+2n=1，则有mn=·m·2n ≤=， 当且仅当m=，n=时等号成立，故A正确； 对于B，=1+2， 由A可得mn≤，故1+2≤2， 所以+≤，故B不正确； 对于C，+=(m+2n)=5++≥5+2=9， 当且仅当m=n=时等号成立，故C正确； 对于D，≥=，即m2+4n2≥，当且仅当m=，n=时等号成立，故D不正确.] 8.ACD　[A选项，对于函数y=2x+(x<0)， 2x+=- ≤-2=-4， 当且仅当-2x=，即x=-1时等号成立，所以A选项正确； B选项，y==+≥2=2， 当=时，无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误； C选项，对于函数y=x+(x>-2)，x+2>0， x+=x+2+-2 ≥2-2=6， 当且仅当x+2=，即x=2时等号成立，所以C选项正确； D选项，由基本不等式得≥，所以x2+y2≥2·=2×22=8， 当且仅当x=y=2时等号成立，所以D选项正确.] 9. 解析　由于x>，所以2x-1>0， 所以x+=++ ≥2+=， 当且仅当=，即x=时等号成立，所以x+的最小值为. 10. 解析　方法一　∵5x2y2+y4=1， ∴y≠0且x2=， ∴x2+y2=+y2=+ ≥2=， 当且仅当=， 即x2=，y2=时取等号， ∴x2+y2的最小值为. 方法二　由5x2y2+y4=1， 可得y2(5x2+y2)=1， 即4y2(5x2+y2)=4， 又4=4y2(5x2+y2) ≤ =(x2+y2)2， ∴≥，即x2+y2≥， 当且仅当5x2+y2=4y2=2， 即x2=，y2=时取等号， ∴x2+y2的最小值是. 11.解　(1)因为x>0，y>0， 根据基本不等式，30=x+2y+xy≥2+xy(当且仅当x=2y=6时取等号)， 令=t(t>0)， 则t2+2t-30≤0， 解得-5≤t≤3，又t>0， 所以0<t≤3，即0<≤3， 所以0<xy≤18，故xy的最大值为18. (2)由x+2y+xy=30可知，y=>0，0<x<30，2x+y=2x+=2(x+2)+-5 ≥2-5=11， 当且仅当2(x+2)=， 即x=2时取等号， 所以2x+y的最小值为11. 12.解　(1)因为x∈[0，+∞)， 利用a+b+c+d≥4， 当且仅当a=b=c=d时等号成立， 得到x4+1+1+1≥4x， 所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3， 当且仅当x=1时等号成立， 即x4-4x的最小值为-3. (2)因为x∈[0，+∞)，利用a+b+c≥3， 当且仅当a=b=c时等号成立， 得到x3++≥x， 所以x3-x=x3++--x≥x--x=-， 当且仅当x=1时等号成立， 即x3-x的最小值为-. (3)因为x∈[0，+∞)，且a>0， 利用a+b+c≥3， 当且仅当a=b=c时等号成立， 得到x3++≥ax， 所以x3-ax=x3++--ax ≥ax--ax=-， 当且仅当x==时等号成立， 即x3-ax的最小值为-. 13.C　[由题意得a>0，b>0，a-b>0，则= ==a-b+ ≥2=4， 当且仅当a-b=2且ab=4，即a=+1，b=-1时，等号成立.] 14. ABD [对于A，因为梯形ABLK与梯形KLDC相似， 所以=，可得KL==， 当a=3，b=6时，可得KL=3，所以A正确； 对于B，因为AB∥CD，所以∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA， 所以△OAB∽△ODC，可得==， 又由△COE∽△CBA，可得==， 可得OE=，同理可得OF=，所以EF==，所以B正确； 对于C，由梯形的中位线的性质，可得GH=， 由基本不等式知，当a>0，b>0，且a≠b时，可得GH=>， 又由<=，所以EF<GH， 所以C不正确； 对于D，设梯形ABNM，MNDC，ABDC的面积分别为S1，S2，S，高分别为h1，h2，h， 则2S1=2S2=S， 即(a+MN)h1=(b+MN)h2=(a+b)h， 解得h1=，h2=， 根据题意知h1+h2=+=h，解得MN=，所以D正确.] 15.4 解析　原式=++…++++x1 ≥2++…++++x1=++…++++x1 ≥2+…++++x1 =+…++++x1 ≥…≥+x1≥2=4， 当且仅当=xi(i=1，2，3，…，2 026，xi>0)， 即x1=x2=…=x2 026=2时，等号成立， 故x1++++…++的最小值为4. 16. 4 解析　因为x>1，y>1， 所以a=log2x>0，b=log2>0， 所以x=2a，y=22b，所以xy2=2a·24b=2a+4b， a+4b=(a+2b)+2(b+1)-2 =[(a+2b)+2(b+1)]-2 =-2 ≥-2 =-2=， 当且仅当即a=b=时取等号，所以xy2≥=4. 即xy2的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$