精品解析：2025年6月年福建省厦门第一中学中考数学二模试卷

福建省厦门第一中学2024—2025学年度 第二学期6月学业调研评估 初三年数学学科练习 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 在全球人工智能应用领域，我国AI技术以迅猛的势头崛起．截至2025年2月8日，我国某款AI应用软件的全球下载量已突破次．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数时，理解“一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1”是解题的关键． 根据科学记数法解答即可． 【详解】解：由题意得， 故选：B． 3. 一个几何体的俯视图是圆，这个几何体可能是（　　） A. 长方体 B. 正方体 C. 三棱锥 D. 圆柱 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 根据常见几何体的俯视图，对选项进行分析判断即可． 【详解】解：∵长方体的俯视图为矩形，正方体的俯视图为正方形，三棱锥的俯视图为三角形， ∴选项、选项、选项都不符合题意； ∵圆柱的底面是圆，底面向下放置时，圆柱的俯视图为圆， ∴选项符合题意．  故选：D． 4. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形的外角和为360度，据此求出边数即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个多边形的边数为5，即该多边形是 正五边形， 故选：C． 5. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，要发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行， ，， ∵， ，. . 故选：C． 6. 若k为正整数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握同底数幂相乘的运算法则成为解题的关键． 先根据乘法的意义和积的乘方的运算法则可得，再根据同底数幂乘法的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：B． 7. 如图，在同一平面内，过直线l 上 一 点作，，则直线和直线重合的理由 （ ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：D． 8. 为加强体育锻炼，增强学生体魄，九（1）班同学举办了足球、篮球、乒乓球、跳绳四个活动项目．该班同学全员参与活动（每人仅参与一项），人数分布情况的扇形统计图和条形统计图（条形图的高度从高到低排列）如图所示，已知条形统计图不小心被撕了一块，则条形统计图中“（ ）”内应填的活动项目是（ ） A. 足球 B. 乒乓球 C. 篮球 D. 跳绳 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相结合，根据统计图求出每个活动的人数是解题关键．先根据统计图求出总人数，进而得出每个活动的人数，即可得到答案． 【详解】解：由扇形统计图可知，乒乓球所对圆心角最小， 乒乓球的人数最少，占， 由条形统计图可知，人数最多为人，人数最少为 人，即乒乓球的人数为 人， 总人数为（人）， 足球人数为（人）， 另一种活动人数为（人）， 按照人数从高到低排列，位于第三的是足球， 故选：A． 9. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 10. 将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形 中，点，点，则二次函数与矩形 有交点时 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时 取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时 取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于 的方程求解，最后总结得出 的范围即可，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是， ，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数经过点，此时 取最小值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， ∴ 的最小值是； 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时 取最大值， 将代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴ 的最小值是 ； 综上，， 故选：． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 列代数式表示“a的相反数与b的和”是___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，理解代数式的语言描述是解题的关键． 根据题意直接列代数式即可． 【详解】解：列代数式表示“a的相反数与b的和”是． 故答案为：． 12. 若是方程的两个根，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， 故答案为：2． 13. 如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过点__________________． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．根据一次函数的图象与性质进行解答即可． 【详解】解： 一次函数， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 点A在第四象限， 一次函数的图象不可能经过点A， 故答案为：A． 14. 将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到的距离为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角的度量、等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点，掌握这些基础知识点是解题关键． 连接，过点O作于点H，根据题意得出，再由等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，结合三线合一及勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点O作于点H， ∵点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵直径的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为， 故答案为：． 15. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度为_______cm． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据题意得出，，根据平行线的性质得出，即可证明，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：如图，过点 作于 ， 由题意可知：，，，，，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为： 16. 已知函数，，若无论 取何值，总取，，中的最小值，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线相交的问题，根据直线解析式作出图形并利用数形结合的思想成为解题的关键． 先根据题意画出草图，然后根据图象确定取最大值的点，最后联立两直线解析式构建解方程组求解即可． 【详解】解：如图：把和联立方程组得：，解得：，可求得交点 的坐标为， 把和联立方程组得：，求得交点 的坐标为， 把和联立方程组得：，求得交点 的坐标为， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 总取，，中的最小值， 的最大值为 ， 故答案为：2． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数、二次根式及三角函数的混合运算，掌握相关运算的运算法则及特殊角的三角形函数值是解题的关键． 根据零次幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数及绝对值的意义分别进行计算，合并后即可得解． 【详解】解： ． 18. 已知：如图，点P为矩形 内一点，，求证：． 【答案】 证明：∵四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】欲证明只要证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定． 19. 如图，某品牌的电水壶启动后需要6分钟将 的水加热到 ，然后水温逐渐降回，降温过程中的水温 y（）与水壶启动后用时x（分）成反比例关系、据研究，当水温降至 时，比较适宜饮用． （1）求降温过程中的水温y（）与水壶启动后用时x（分）的函数关系式．并写出自变量的取值范围． （2）直接回答：一壶水烧开后，经过多长时间适宜饮用？ 【答案】（1）（） （2）分钟 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法； （1）由题意可得当时，，由待定系数法求出解析式，当时， 求出 ，即可求解； （2）当时，求出 ，即可求解； 理解 、的实际意义，能熟练利用待定系数法进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：设， 当时，， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：， ， 故水温y（）与水壶启动后用时x（分）的函数关系式：（）； 【小问2详解】 解：当时， ， 解得：， （分钟）， 故一壶水烧开后，经过分钟时间适宜饮用． 20. 智慧食堂是一种结合了计算机、大数据、物联网和人工智能等先进技术的新型餐饮管理模式．智慧食堂的核心理念是以用户为中心，提供个性化的就餐体验，并通过优化食堂全流程的ERP 系统来提升管理效率．某学校食堂管理员通过智慧食堂软件系统，随机抽取中午在学校食堂用餐的20名学生，收集到他们午餐消费金额x（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息： a． 20名学生午餐消费金额数据：14， 14， 15， 15， 17， 17， 18， 18， 18， 18， 19， 19， 19， 19， 19，19， 20， 20， 20， 20． b．20名学生午餐消费金额数据的频数分布表： 消费金额 频数 4 2 a 4 根据以上信息，回答下列问题： （1）该调查属于 调查，表格中a的值为 ． （2）该组数据的众数为 ，中位数为 ． （3）为了合理膳食结构，学校食堂推出 ， ， 三种价格不同的营养汤．据调查，午餐消费金额在的学生中有选择营养汤，消费金额在 ≥的学生中有选择营养汤，其余参与调查的学生选择营养汤或 营养汤或不选营养汤．若每天中午约有名学生在食堂用餐，则估计食堂每天中午需准备营养汤的份数． 【答案】（1）抽样，10； （2），； （3）准备B营养汤的份数为份． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、众数和中位数，以及用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）根据抽样调查和全面调查的定义可知，该调查属于抽样调查；用样本人数减去其余三组的人数，即可求出a的值； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）用总人数乘以样本中选择B营养汤的人数作战的比例求解即可． 【小问1详解】 解：该调查属于抽样调查， 表格中a的值为， 故答案为：抽样，10； 【小问2详解】 解：该组数据中，出现了 次，次数最多， 该组的众数为； 把这组数据从小到大排列后，第10个和第11个数分别为18，19， 中位数为， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：（份）， 即估计食堂每天中午需准备B营养汤的份数为份． 21. 如图，在四边形 中，， ， 相交于点O，． （1）找出图中与相等的角，并说明理由． （2），请用无刻度的直尺和圆规作菱形，点E，F分别在边 ， 上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）， 理由如下： ， ， 在与中， ， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形， ， ； （2） 菱形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图一复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合平行线的性质，全等三角形的判定证明，则，进而可得四边形 为平行四边形，从而可得结论． （2）作线段 的垂直平分线，分别交 ， 于点 ， ，连接 ， 即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，菱形即为所求． ∵四边形 为平行四边形， ∴， ∵ 垂直平分 ， ∴，且 经过点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 则四边形即为所求． 22. 如图为淋浴喷头的简易示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长， 与墙壁的夹角，喷出的水流 与 形成的夹角． （1）求B点与墙壁的距离； （2）住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在C处，使，，安装师傅应将支架A固定在离地面多高的位置？（参考数据：，，，，，）． 【答案】（1）B点与墙壁的距离 （2）安装师傅应将支架A固定在离地面高的位置 【解析】 【分析】（1）过点B作，根据，即可求解； （2）易得，过点B作于点H，过点A作于点F，过点C作于点G，通过证明四边形为矩形，推出，，证明四边形为矩形，得出，，则，进而得出，证明四边形为矩形，得出，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：过点B作， ∵，，， ∴， 答：B点与墙壁的距离． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 过点B作于点H，过点A作于点F，过点C作于点G， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，，又， ∴， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 答：安装师傅应将支架A固定在离地面高的位置． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，根据解直角三角形的方法和步骤求解． 23. 如图，在中，，，过A，C两点的交 于点D，过点D作的切线交 于点E，连接 ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接、 ， ，， ， , , ， 是的切线， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，正切函数，弧长公式等； （1）连接、 ，由圆周角定理得，由切线的性质得，即可得证； （2）过 作交于 ，过 作交于 ，延长交 于 ，由勾股定理得，由正切函数得，由勾股定理得，同理可得，结合弧长公式，即可求解； 理解圆的定义，掌握等腰三角形的性质，切线的性质，能熟练利用勾股定理，正切函数，弧长公式进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过 作交于 ，过 作交于 ，延长交 于 ， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 24. 项目式学习：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形 为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 【概念理解】 （1）如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ． （2）如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为 其目标矩形的纵横比 ． 【联系实际】 （3）如图和图，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，C到 的距离为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）． 【应用拓展】 （4）为方便救助溺水者，拟在图的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）． （5）据调查，拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高．当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长． （救生圈大小忽略不计） 【答案】（1）1；（2）；（3）；（4）可挂6个，最左侧一个救生圈悬挂点E的坐标为；（5）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合应用、运用待定系数法求函数解析式、二次函数的应用等知识点，是读懂题意、理解目标矩形和纵横比是解题的关键． 概念理解： （1）由新定义知圆的目标矩形的纵横比； （2）根据目标矩形的纵横比的定义，可得线段的目标矩形纵横比； 联系实际： （3）由点C到 的距离为5米，知，又抛物线目标矩形的纵横比，可得，，，再用待定系数法得； 应用拓展： （4）抛物线，得与横轴交点、，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴成轴对称，由得桥面可挂6个，进而确定最左侧一个救生圈悬挂点的坐标； （5）如图，当水位达到最高时，水位线为，当时，，，，在中，勾股定理求得长度即可． 【详解】解：概念理解： （1）∵足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的长和宽都为圆的直径， ∴目标矩形的纵横比； 故答案为：1； （2）根据目标矩形的纵横比的定义，线段的目标矩形纵横比． 故答案为：； 联系实际： （3）如图：     ∵点C到 的距离为5米，， ∴， ∵抛物线目标矩形的纵横比， ∴，解得：， ∵抛物线关于y轴对称， ∴、， 设抛物线的表达式为， 把代入得：，解得：， ∴； 应用拓展： （4）∵如图2：相邻两救生圈悬挂点的水平间距为，且关于y轴对称，     ∴， ∴左侧可挂3个，桥面可挂6个． ∵最左侧位于拱面上方处， ∴最左侧一个救生圈悬挂点E的坐标为． （5）如图3，当水位达到最高时，水位线为．     ∵救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方， ∴当时，，，， 在中，由勾股定理得：． 答：救生绳至少需． 25. 在矩形 中，，点P从点C出发，在线段 上向点B以每秒的速度移动，以点P为圆心，为半径作．设运动时间为t秒．解答下列问题： （1） （用含t的代数式表示）． （2）如图2，在运动过程中，是否存在t的值，使得与直线 相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当与直线 相切时，切点为E，T为弧上的任意一点，过点T作的切线分别交 ， 于点M、N，设长度为x． ①求证：为定值； ②记的面积为，的面积为，当时，求x的值． 【答案】（1） （2） （3）①2；②或． 【解析】 【分析】（1）直接根据题意用t表示出； （2）由相切以及圆的相关定义可知，由勾股定理可得，再由，然后将相关条件代入求解即可； （3）①由与直线 相切可得四边形是正方形，所以，再利用全等三角形的判定与性质、，从而的周长，进而完成即可；②先证明，进而得到，代入，解得或，再分类讨论利用面积求出x值即可． 【小问1详解】 解：∵点P从点C出发，在线段 上向点B以每秒的速度移动，连接， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图：过P作于点Q， 当与直线 相切时， 为半径，此时， ∵， ∴， ∴，即，解得； 【小问3详解】 解：①如图，过P作于点E， 当与直线 相切时，为半径，此时， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ 与圆相切， 与圆相切， 与圆相切， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴的周长； ∵是半径， ∴， ∴； ②∵ 与圆相切， 与圆相切， 与圆相切， ∴， ∵， ∴， ∴ 同理可证：， ∴ ， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得或； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得，解得，； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：（不合题意舍去），（不合题意舍去）； 综上，x的值为或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、解一元二次方程、解直角三角形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门第一中学2024—2025学年度 第二学期6月学业调研评估 初三年数学学科练习 （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意：所有答案都必须写在答题卷指定的框内位置，答在框外一律不得分． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在全球人工智能应用领域，我国AI技术以迅猛的势头崛起．截至2025年2月8日，我国某款AI应用软件的全球下载量已突破次．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个几何体的俯视图是圆，这个几何体可能是（　　） A. 长方体 B. 正方体 C. 三棱锥 D. 圆柱 4. 若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是（ ） A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 5. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，要发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若k为正整数，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在同一平面内，过直线l 上 一 点作，，则直线和直线重合的理由 （ ） A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短 C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8. 为加强体育锻炼，增强学生体魄，九（1）班同学举办了足球、篮球、乒乓球、跳绳四个活动项目．该班同学全员参与活动（每人仅参与一项），人数分布情况的扇形统计图和条形统计图（条形图的高度从高到低排列）如图所示，已知条形统计图不小心被撕了一块，则条形统计图中“（ ）”内应填的活动项目是（ ） A. 足球 B. 乒乓球 C. 篮球 D. 跳绳 9. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘 内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形 中，点，点，则二次函数与矩形 有交点时的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 列代数式表示“a的相反数与b的和”是___________________． 12. 若是方程的两个根，则的值为_______． 13. 如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过点__________________． 14. 将一个量角器与一把无刻度透明直尺如图所示摆放，直尺的边与量角器分别交于点A，B，C，D，点C，点D分别对应量角器的刻度为120，60，若量角器的直径的长为，则点O到 的距离为__________ ． 15. 如图1是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图2所示，此时水面宽度 为_______cm． 16. 已知函数，，若无论取何值， 总取，，中的最小值，则 的最大值为________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知：如图，点P为矩形 内一点，，求证：． 19. 如图，某品牌的电水壶启动后需要6分钟将 的水加热到 ，然后水温逐渐降回，降温过程中的水温 y（）与水壶启动后用时x（分）成反比例关系、据研究，当水温降至 时，比较适宜饮用． （1）求降温过程中的水温y（）与水壶启动后用时x（分）的函数关系式．并写出自变量的取值范围． （2）直接回答：一壶水烧开后，经过多长时间适宜饮用？ 20. 智慧食堂是一种结合了计算机、大数据、物联网和人工智能等先进技术的新型餐饮管理模式．智慧食堂的核心理念是以用户为中心，提供个性化的就餐体验，并通过优化食堂全流程的ERP 系统来提升管理效率．某学校食堂管理员通过智慧食堂软件系统，随机抽取中午在学校食堂用餐的20名学生，收集到他们午餐消费金额x（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息： a． 20名学生午餐消费金额数据：14， 14， 15， 15， 17， 17， 18， 18， 18， 18， 19， 19， 19， 19， 19，19， 20， 20， 20， 20． b．20名学生午餐消费金额数据的频数分布表： 消费金额 频数 4 2 a 4 根据以上信息，回答下列问题： （1）该调查属于 调查，表格中a的值为 ． （2）该组数据的众数为 ，中位数为 ． （3）为了合理膳食结构，学校食堂推出， ， 三种价格不同的营养汤．据调查，午餐消费金额在的学生中有选择营养汤，消费金额在≥的学生中有选择营养汤，其余参与调查的学生选择营养汤或 营养汤或不选营养汤．若每天中午约有名学生在食堂用餐，则估计食堂每天中午需准备营养汤的份数． 21. 如图，在四边形 中，，， 相交于点O，． （1）找出图中与相等的角，并说明理由． （2） ，请用无刻度的直尺和圆规作菱形，点E，F分别在边 ， 上（保留作图痕迹，不写作法）． 22. 如图为淋浴喷头的简易示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长， 与墙壁的夹角，喷出的水流 与 形成的夹角． （1）求B点与墙壁的距离； （2）住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在C处，使，，安装师傅应将支架A固定在离地面多高的位置？（参考数据：，，，，，）． 23. 如图，在 中， ，，过A，C两点的 交 于点D，过点D作 的切线交 于点E，连接 ． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 项目式学习：人工智能视觉识别 项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框． 概念学习：在平面直角坐标系中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形 为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比． 【概念理解】 （1）如图，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 ． （2）如图，铅笔经过计算机识别后的图形为线段，表达式为 其目标矩形的纵横比 ． 【联系实际】 （3）如图和图，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称，C到 的距离为5米，其目标矩形的纵横比，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）． 【应用拓展】 （4）为方便救助溺水者，拟在图的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并在图坐标系下求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）． （5）据调查，拱顶离水面最大距离为，该河段水位在此基础上再涨达到最高．当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长． （救生圈大小忽略不计） 25. 在矩形 中，，点P从点C出发，在线段 上向点B以每秒的速度移动，以点P为圆心，为半径作．设运动时间为t秒．解答下列问题： （1） （用含t的代数式表示）． （2）如图2，在运动过程中，是否存在t的值，使得与直线相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当与直线 相切时，切点为E，T为弧 上的任意一点，过点T作的切线分别交 ， 于点M、N，设长度为x． ①求证：为定值； ②记的面积为，的面积为，当时，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $