精品解析：江西省南昌市第十九中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

南昌十九中2024-2025学年下学期期中考试高二数学试卷 命题人： 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知数列等差数列，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 2. 是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 在等比数列中，若，前3项和，则公比的值为（ ） A 1 B. C. 1或 D. 或 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. ， D. 5. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 12 D. 21 7. 已知数列、通项公式分别为和（），设这两个数列的公共项构成集合A，则集合元素的个数为（ ） A. 166 B. 168 C. 169 D. 170 8. 数列为等比数列，其中，，，为函数的导函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 10. 已知函数的导数为，若存在，使得，则是称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是( ) A. B. 递增数列 C. D. 数列周期数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_______. 13. 已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第___项． 14. 试写出一个无穷等比数列，同时满足①；②数列单调递减；③数列不具有单调性，则当时，__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，若 （1）求数列的通项公式. （2）证明:数列为等差数列. 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 17. 已知函数在点处的切线方程为． （1）求a，b的值； （2）求证：． 18. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求证：数列是等比数列； （2）求证：数列是等差数列； （3）求数列的前n项和． 19. 已知（其中为自然对数的底数）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程， （2）当时，判断是否存在极值，并说明理由； （3），求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南昌十九中2024-2025学年下学期期中考试高二数学试卷 命题人： 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知数列等差数列，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】解：在等差数列中，所以， 所以； 故选：A 2. 是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得单调性，进而得到的可能图象. 【详解】由的图象可得， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增. 则仅有选项C符合以上要求. 故选：C 3. 在等比数列中，若，前3项和，则公比的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的首项为，根据题意列出方程组，求解即可. 【详解】解：设等比数列的首项为，公比为， 所以有方程组， 解得或. 故选：C． 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先对函数求导，令导数大于0，结合定义域即可求出函数的单调递增区间. 【详解】因为，. 所以对函数求导得：. 令，则，解得. 又，所以. 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 5. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，在上单调递减，等价于在上恒成立，进而根据不等式恒成立问题求解即可. 【详解】因为函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则在上，，则. 当时，不恒为零，也符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C 6. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. 12 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】由数列的递推关系式推出是等差数列，然后求解即可． 【详解】正项数列满足，，所以， 可得，所以是等差数列，首项为，公差为， 所以，所以， 故选：A． 7. 已知数列、的通项公式分别为和（），设这两个数列的公共项构成集合A，则集合元素的个数为（ ） A. 166 B. 168 C. 169 D. 170 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列、的公共项构成的数列通项，再列不等式求解即得. 【详解】依题意，令，即，整理得， 因此是3的正整数倍，令，即， 于是数列、公共项构成的数列，有， 由，得， 所以集合中元素的个数为169. 故选：C 8. 数列为等比数列，其中，，，为函数的导函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合等比数列性质可知，再对函数求导，代值即可求解 【详解】为等比数列，，， 则． 由 得， 则． 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用求导公式求导，逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，，则，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，D正确. 故选：CD 10. 已知函数的导数为，若存在，使得，则是称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合“巧值点”的定义，逐个求解是否有解即可. 【详解】对于A，，令，得或，有“巧值点”； 对于B，，令，得，有“巧值点”； 对于C，，令，作出与的图象，如图， 结合，的图象，知方程有解，有“巧值点”； 对于D，，令，无解，无“巧值点”. 故选：ABC. 11. 已知数列满足：，当时，，则关于数列的说法正确的是( ) A. B. 是递增数列 C. D. 数列为周期数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用数列的递推关系式推出，说明数列是首项为，公差为1的等差数列，然后求解通项公式，即可判断选项的正误． 【详解】数列满足：，当时，， ， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ， ，故C正确； ，故A正确； ∵函数在x＞－1时单调递增，故是单调递增数列，故B正确，D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接求导代入即可. 【详解】，. 故答案为：. 13. 已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第___项． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意判断等差数列{}的，，，由此可判断数列的项的增减情况，进而确定答案. 【详解】由题意得：，∴， ，∴，， ∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数， 因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增， 由于，∴{||}最小的项是第10项， 故答案为：10 14. 试写出一个无穷等比数列，同时满足①；②数列单调递减；③数列不具有单调性，则当时，__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设，根据得到和q的关系，再结合数列单调递减和数列不具有单调性判断q的范围，取一个符合条件的q值，求出对应的即可得到答案． 【详解】设， 由得，， ∵数列不具有单调性，∴， 又∵数列单调递减，故， 综上，，不妨取，则． 经检验符合题意． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，若 （1）求数列的通项公式. （2）证明:数列为等差数列. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项求和公式列出方程组，解出公差和首项即可求解； （2）由（1）利用公式法求出等差数列的，可得，进而得，结合等差数列的定义即可判断. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意得，解得， 有， 所以等差数列的通项公式为； 【小问2详解】 由(1)知， ， 所以，又， 故数列是以2为首项，1为公差的等差数列. 16. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）求导后，分别在、和的情况下，根据正负得到函数单调性. 【小问1详解】 当时，，则，，又， 在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 由题意得：定义域为，； 当时，，在上单调递增； 当时，若，则；若，则； 在上单调递增，在上单调递减； 当时，若，则；若，则； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，上单调递增，在上单调递减. 17. 已知函数在点处的切线方程为． （1）求a，b的值； （2）求证：． 【答案】（1），；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）计算导函数，结合切线方程，建立等式，计算参数，即可．（2）得到，计算导函数，计算最值，建立不等关系，即可． 【详解】(1)函数的导数为， 函数在点处的切线斜率为， 由切线方程，可得 ，， 解得，； (2)证明：， 导数为，，易知为增函数，且. 所以存在,有,即， 且时，，递增； 时，，递减， 可得处取得最小值 ， 可得成立． 【点睛】考查了函数导数计算方法，考查了利用导数计算最值问题，做第二问关键利用导数计算最值，难度偏难． 18. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求证：数列是等比数列； （2）求证：数列是等差数列； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）首先利用，消元后再构造数列的递推形式，证明数列是等比数列； （2）根据（1）的结果可知，再根据等差数列的定义，即可证明； （3）由（2）可得，再利用错位相减法求和. 【小问1详解】 证明：因为，时，，得 所以当时，， 两式作差得， 所以， 又，所以， 即， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． 【小问2详解】 证明：由（1）可知，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． 【小问3详解】 由（2）可知，即， 根据题意得， 则， 所以， 两式相减得， 即， 所以． 19. 已知（其中为自然对数的底数）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程， （2）当时，判断是否存在极值，并说明理由； （3），求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）有一个极大值，一个极小值，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，结合导数的几何意义，即可求解； （2）当时，求得，令，利用导数求得的单调性与，得到存在使得，存在使得，进而得到答案； （3）求得，根据题意，得到，令，得到使得，利用函数的单调性，求得，再由，求得，再由，设，利用导数求得函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，，可得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 解：当时，，定义域为， 可得， 令，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在上递增， 所以， 又由， 存在使得，存在使得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以时，有一个极大值，一个极小值. 【小问3详解】 解：由，可得， 由，因为，可得， 令，则在上递减， 当时，可得，则，所以， 则， 又因为，使得，即 且当时，，即； 当时，，即， 所以在递增，在递减，所以， 由，可得， 由，可得，即， 由，可得，所以， 因为，设，则， 可知在上递增，且， 所以实数取值范围是. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$