精品解析：北京市第一七一中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

一七一中学教育集团2024-2025学年第二学期 高二年级数学学科期中调研试题 （考试时间：120分钟总分：150分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（ ） A. 某商品的销售价格与销售量 B. 汽车匀速行驶时的路程与时间 C. 气温与冷饮的销售量 D. 人的年龄与视力 【答案】C 【解析】 【分析】根据相关关系的概念逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，某商品的销售价格与销售量呈负相关关系，故错误； 对于B，汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故错误； 对于C，气温与冷饮的销售量呈正相关，故正确； 对于D，人的年龄与视力呈负相关，故错误. 故选：C. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数公式，即可求得答案. 【详解】由题意得， 故选：C 3. 设函数的导函数为，则为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用三角函数的性质判断奇偶性. 【详解】由题意可知，，是偶函数. 故选：B 4. 袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据超几何分布公式计算即可. 【详解】设事件A表示“取出3个球中恰好有2个黄色乒乓球”， 则， 故选：D. 5. 下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解. 【详解】对于A，在上的平均变化率为， 对于B，在上的平均变化率为， 对于C, 在上的平均变化率为， 对于D，在上的平均变化率为， 故在上的平均变化率最大， 故选：B 6. 小明投篮三次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响．若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项分布的期望公式以及期望性质计算可得结果. 【详解】设投篮3次投中的次数为随机变量，则服从二项分布，即， 因此，而，所以. 故选：A 7. “杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行的第7个数是（ ） A. 8 B. 21 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据“杨辉三角”的规律求解即可. 【详解】依题意，第8行的第7个数是28． 故选：C． 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，即可比较大小. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为偶函数， 又，令，则， 所以（）在定义域上单调递增， 又，所以当时， 所以在上单调递增，因为，所以， 又，所以. 故选：D 9. 已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用条件概率公式求解即可. 【详解】记事件为“A项指标合格”，事件为“B项指标合格”，则 ， 所以。 故选：C 10. 在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论: ①当销量为1000件时，总收益最大； ②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为； ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数求导公式找到（为常数），结合二次函数性质和条件计算判断结论的正误； 【详解】根据题意可知，则（为常数）， ①（为常数），根据二次函数的最值可知当销量件时，总收益最大，①正确； ②若销量为800件时，总收益为， 所以（为常数），解得, 则当销量增加400件，即件，总收益，②正确； ③当销量从500件增加到501件时，， 总收益改变量的近似值为500．③正确； 故选：D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知函数，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】求导得，代入即可求解. 【详解】由题意，所以. 故答案为：2. 12. 已知线性相关的两个变量和的取值如下表，且经验回归方程为，则______． 0 1 3 4 2.2 4.3 4.8 6.7 【答案】2.6 【解析】 【分析】求出样本中心点，代入回归方程即可. 【详解】由已知可得，， ∴ ∴. 故答案为：2.6. 13. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则________；常数项为________.（用数字作答） 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】由题意可得，从而可求出，然后求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求出，进而可求出常数项. 【详解】因为在的展开式中，所有的二项式系数之和为64， 所以，得， 所以， 则其展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式的常数项为. 故答案为：6，. 14. 袋中有编号为1，2，3，4，5的5个球，从中任取3个球，共有________种不同的取法；记X为取出的三个球的最小号码，则________.（用数字作答） 【答案】 ①. 10 ②. ##0.3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算即可；再求出3个球中最小号码是2的个数即可求出概率. 【详解】任取3球的不同取法种数是； . 故答案为：10； 15. 已知函数，其中．给出下列四个结论： ①当时，函数有极大值，无极小值； ②若方程存在三个根，则； ③当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点； ④当时，存在使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线． 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】每个命题都画出对应的函数图像，数形结合，即可得出答案． 【详解】对于①,第二段的对称轴为，画出函数草图，则函数无极大值，故①错误． 对于②，如图所示． 方程存在三个根，在第一段内显然有一个根，则在第二段内一定有两个根． 即在上有两根，即在有两根．必须满足 ，解得，故②正确. 对于③，当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点，等价于第二段函数图像关于原点对称的图像，与原函数的第一段图像有交点，如图所示，显然成立.故③正确. 对于④，当时，，大概画出草图如下. 由图像得在原点两侧才能存在公共切线， 当 时，，。 在点 处的切线方程为： 即： 当 时，，。 在点 处的切线方程为： 即： 切线重合需满足斜率相等和截距相等： ， 由第二式得，代入第一式得， 令，则， 且（当 ），故存在 使， 因此存在，，使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线，④正确。 故答案为：②③④. 【点睛】方法点睛：本题综合考查了函数极值，对称性，切线，零点问题.直接计算有时候比较复杂，可以数形结合，可以简化分析运算. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 1. A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.8 （1）试估计C班的学生人数； （2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （3）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图表，结合分层抽样的抽样比计算C班的学生人数； （2）根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由相互独立事件概率公式求解； （3）根据平均数公式进行判断即可． 【小问1详解】 由题意知，抽出的名学生中，来自C班的学生有名， 根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为． 【小问2详解】 设事件为“甲是现有样本中A班的第个人”，， 事件为“乙是现有样本中C班的第个人”，， 由题意可知，，；，， 则，，， 设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”， 由题意知，， 因此． 【小问3详解】 ， 理由如下： 三组平均数分别为总均值， 但中多加的三个数据平均值为，比小， 故拉低了平均值． 【点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便. 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 而，则， 而平面，平面，故平面， 而，则，同理可得平面， 而平面， 故平面平面，而平面，故平面， （2） 若选①或选②，直线AB与平面BMN所成角的正弦值都是. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面. （2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为侧面为正方形，故， 而平面，平面平面， 平面平面，故平面， 因为，故平面， 因为平面，故， 若选①，则，而，， 故平面，而平面，故， 所以，而，，故平面， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的法向量为， 则，从而，取，则， 设直线与平面所成的角为，则 . 若选②，因为，故平面，而平面， 故，而，故， 而，，故， 所以，故， 而，，故平面， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的法向量为， 则，从而，取，则， 设直线与平面所成的角为，则 . 18. 已知函数. （1）求在区间上的最大值； （2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围； （3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论） 【答案】(1) (2) (3)过点A（-1，2）存在3条直线与曲线相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线相切. 【解析】 【详解】试题分析：（1）求导数，导数等于0求出，再代入原函数解析式，最后比较大小，即可；（2）设切点，由相切得出切线方程，然后列表并讨论求出结果;(3)由（2）容易得出结果. 由得，令，得或， 因为，，，， 所以在区间上的最大值为. （2）设过点P（1，t）的直线与曲线相切于点，则 ，且切线斜率为，所以切线方程为， 因此，整理得：， 设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”， =， 与的情况如下： 0 1 + 0 0 + t+3 所以，是的极大值，是的极小值， 当即时，过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是. （3）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线相切. 考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键. 19. 已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点. (I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积. (II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由. 【答案】(I) (II) 不可能是菱形 【解析】 【详解】解：(1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)． 因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分． 所以可设A(1，m)， 代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝±. 所以菱形OABC的面积是 |OB|·|AC|＝×2×2|m|＝. (2)四边形OABC不可能为菱形．理由如下： 假设四边形OABC为菱形． 因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点， 所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)． 由 消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则＝－，＝k·＋m＝. 所以AC的中点为M. 因为M为AC和OB的交点， 所以直线OB的斜率为－. 因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直． 所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾． 所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形． 20. 已知函数. （1）当时，求的定义域； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围； （3）当时，证明：若，，则.（参考数据：，，） 【答案】（1）； （2）； （3）当，则，且， 设，则， 当，则，当，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当， 0 0 单调递减 极小值 单调递增 ； 当，，，故使， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 由，又，则， 综上，得证. 【解析】 【分析】（1）根据对数、分式性质求函数定义域； （2）对函数求导，根据题设有在上恒成立，构造函数研究最值，列不等式求参数范围. （3）应用导数分别求在、上的最值，进而得到、，即可证结论. 【小问1详解】 由题设，则，故定义域为. 【小问2详解】 由，则必有，且， 由在区间上单调递减，则在上恒成立， 令且，则， 在上，则单调递增，故， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问，应用导数求出在、上的最值为关键. 21. 已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列. （1）若，写出数列的自身子数列的前4项； （2）证明：； （3）若数列与是公差分别为，的等差数列. （i）证明：； （ii）当，时，求数列的通项公式. 【答案】（1）1，5，9，13； （2） 因为数列是递增数列且各项均为正整数，于是， 所以， 设，则， 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）由自身子数列定义即可求； （2）由题意可得，设，即可证明，进而命题得证； （3）（i）根据等差数列的通项公式及题意可得，进而得到，进而命题得证； （ii）分别假设存在，使和成立，分别推出矛盾，进而说明，设，由定义求出，从而得出通项公式. 【小问1详解】 因为 所以数列的自身子数列为， 所以前4项为：， 即数列的自身子数列的前4项为1，5，9，13. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）由题得，， 又及是递增数列，得， 即， 即， 由于对任意正整数均成立，则，否则矛盾. 所以. （ii）由， 若存在，使得， 设， 不妨设，有， 则， 又， 因此与矛盾， 所以对任意，都有. 若存在，使得， 设， 不妨设，有， 则， 又， 因此与矛盾， 所以对任意，都有， 综上，对任意，都有. 设， 则数列是公差为的等差数列，， 又， 因此，又， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一七一中学教育集团2024-2025学年第二学期 高二年级数学学科期中调研试题 （考试时间：120分钟总分：150分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（ ） A. 某商品的销售价格与销售量 B. 汽车匀速行驶时的路程与时间 C. 气温与冷饮的销售量 D. 人的年龄与视力 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数的导函数为，则为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 4. 袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（ ） A. B. C. D. 6. 小明投篮三次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响．若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ） A. B. C. D. 7. “杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图： 则第8行的第7个数是（ ） A. 8 B. 21 C. 28 D. 56 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论: ①当销量为1000件时，总收益最大； ②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为； ③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500． 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知函数，则_____． 12. 已知线性相关的两个变量和的取值如下表，且经验回归方程为，则______． 0 1 3 4 2.2 4.3 4.8 6.7 13. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则________；常数项为________.（用数字作答） 14. 袋中有编号为1，2，3，4，5的5个球，从中任取3个球，共有________种不同的取法；记X为取出的三个球的最小号码，则________.（用数字作答） 15. 已知函数，其中．给出下列四个结论： ①当时，函数有极大值，无极小值； ②若方程存在三个根，则； ③当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点； ④当时，存在使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线． 其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 1. A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）： A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.8 （1）试估计C班的学生人数； （2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （3）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小．（结论不要求证明） 17. 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18. 已知函数. （1）求在区间上的最大值； （2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围； （3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论） 19. 已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点. (I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积. (II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由. 20. 已知函数. （1）当时，求的定义域； （2）若在区间上单调递减，求的取值范围； （3）当时，证明：若，，则.（参考数据：，，） 21. 已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列. （1）若，写出数列的自身子数列的前4项； （2）证明：； （3）若数列与是公差分别为，的等差数列. （i）证明：； （ii）当，时，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $