期末复习讲义 专题06 变量之间的关系（知识梳理+3大题型+2种易错+2种解题秘籍）-2024-2025学年七年级下学期数学期末试题调研与押题预测（北师大版）

期末专题06 变量之间的关系 常量与变量 定义 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 说明：（1）＂常量＂是指在整个变化过程中保持不变的量；但＂常量＂不等于＂常数＂，它可以是数值不变的字母．如在匀速运动中的速度 就是一个常量． （2）变量与常量是相对的，前提是＂在一个变化过程中＂，一个量在某一个变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，也可能是变量．如在 中，当 一定时，v, t为变量， 为常量；当 一定时，s, v为变量， 为常量． 特别提醒 1.在某一变化过程中，不可能没变量，也不可能只有一个变量，一般有两个变量， 2.指出一个变化过程中的常量时，应连同它前面的符号 自变量和因变量 1.自变量和因变量 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量 特别提醒 自变量和因变量是相对的，一个量在某个变化过程中是自变量，而在另一个变化过程中可能是因变量 2. 自变量与因变量的联系与区别(1)联系:二者都是某一个变化过程中的变量，因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化,(2)区别:自变量是在一定范围内发生变化或主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量 用表格表示变量间的关系 1.借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况 2.用表格表示两个变量之间关系的步骤 (1)确定各行、各列的栏目(一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量);(2)写出栏目名称并根据问题内容写上单位;(3)在第一行列出自变量的各个变化取值，在第二行对应列出因变量的各个变化取值.一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量随自变量变化的趋势 特别提醒 1.用表格表示两个变量之间的关系时，数据必须真实且自变量所取数值要排列有序: 2.因变量的数值必须与自变量的数值-一对应 用关系式表示两个变量之间的关系 1.两个变量之间的关系有时可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示，关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法 2.关系式的基本特征 关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式，通常把表示因变量的字母单独写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等号的右边 根据关系式求变量的值 利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以根据因变量的值求出相应的自变量的值 特别提醒 两个变量间的关系式，应是以两个变量为未知数的方程。 用图象表示两个变量之间的关系 图象是表示两个变量之间关系的又一种方法.在用图象1.表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为横轴)表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴)表示因变量 特别提醒 1.有的变量之间的关系不能用图象完整地表达出来，图象只是反映两个变量之间关系的一部分，且由图象确定的数值往往是近似的 2.在利用图象解决问题时，一定要分清横轴和纵轴分别表示哪个变量 用图象表示行程问题中变量之间的关系 1.行程问题中，根据速度与时间之间的关系图象解决问题时，关键是正确理解图象中各段的意义 题型一、用表格表示变量间的关系 1．（22-23七年级下·山西运城·期末）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水/立方米 858 780 702 546    (1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)设放水时间为小时，游泳池的存水量为立方米，写出与的函数关系式．（不要求写自变量范围） 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水/立方米 858 780 702 624 546 468 390 2．（22-23七年级下·山西运城·期末）为预防新冠肺炎，某校定期对教室进行消毒水消毒，测出药物喷洒后每立方米空气中的含药量y（mg）和时间x（min）的数据如表： 时间x（min） 2 4 6 8 含药量y（mg） 16 14 12 10 则下列叙述错误的是（    ） A．时间为14min时，室内每立方米空气中的含药量为4mg B．在一定范围内，时间越长，室内每立方米空气中的含药量越小 C．挥发时间每增加2min，室内每立方米空气中的含药量减少2mg D．室内每立方米空气中的含药量是自变量 3．（22-23七年级下·山西太原·期末）2022年5月15日，由中科院自主研发的“极目一号”型浮空艇，在海拔4270米的中科院珠峰站附近发放场地升空，创造了海拔9032米的大气科学观测世界纪录．下表表示某日珠峰附近一测量点海拔高度h（米）与相应高度处气温t（℃）的关系，根据表格数据，当时该测量点海拔8270米处的气温是 ℃． 海拔高度h/米 4270 5270 6270 7270 … 气温t/℃ -15 -21 -27 -33 … 题型二、用关系式表示变量间的关系 4．（23-24七年级下·山西运城·期末）夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香长度的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间 0 0.5 1 1.5 2 蚊香长度 105 100 95 90 85 请根据以上信息，解答下列问题： (1)自变量是______，因变量是______． (2)直接写出蚊香长度与蚊香燃烧时间的关系式． (3)这盘蚊香可以燃烧多长时间？ 5．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图是我国青海湖最深处的某一截面图，一支潜水队测出了青海湖水面下任一点A的压强p（单位：）与其离水面深度h（单位：m）的几组数据，整理出下表： 10 15 20 25 30 142 179 216 253 290 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是______，因变量是______； (2)青海湖水面大气压强为______； (3)请直接写出p与h的关系式，并求出最深处处的压强值． 6．（22-23七年级下·山西太原·期末）电动汽车的电池容量与续航里程是用户最为关心的问题．对某型号电动汽车充满电后进行测试，其电池剩余电量y（度）与行驶里程x（千米）之间的关系如下表所示： 行驶里程x（千米） 0 10 20 30 40 … 剩余电量y（度） 60 58 56 54 52 … (1)上表中自变量是 ，因变量是 ； (2)该型号电动汽车的电池容量为 度； (3)电动汽车在电量剩余时充电最佳．请根据上表直接写出该电动汽车剩余电量y（度）与行驶里程x（千米）之间的关系式，并求剩余电量为时的已行驶里程． 题型三、用图象表示变量间的关系 7．（23-24七年级下·山西运城·期末）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（   ） A．小王实际骑行时间为 B．内，小王派送快递的平均速度是 C．小王骑行的平均速度比慢 D．点表示小王出发，共骑行 8．（22-23七年级下·山西运城·期末）“忠义仁勇数关公”，说的就是关羽关圣人．农历四月初八，关公游城，祈福国泰民安，风调雨顺，街头人山人海．管理处工作人员用无人机进行航拍，操控无人机需要根据现场状况调节高度，已知无人机上升或下降的速度相同，无人机的高度h（米）与操控无人机的时间t（分）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：    (1)在上升或下降过程中，无人机升降的速度是多少？ (2)图中a、b表示的数分别是a=___________，b=___________． (3)求第14分钟时无人机飞行的高度． 9．（22-23七年级下·山西临汾·期末）2023年5月21日，“锦绣太原·激情太马”2023太原马拉松赛成功举行，3.5万名选手沿汾河岸畔同场竞技，畅跑魅力并州．如图是甲、乙两人从起点出发一段时间内路程与时间的关系，则下列说法正确的是（    ）    A．在这段时间内，甲的平均速度为 B．在这段时间内，乙的平均速度为 C．在这段时间内，甲休息了 D．出发时两人相遇 【例1】以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 【答案】 ， ， 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量． 根据常量与变量的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由常量与变量的定义可知： 在关系式中，常量是，，变量是，， 故答案为：，；，． 【例2】在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】(1)，，，，， (2)小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 故答案为：，，，，，； （2）解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为． 两个关系图的理解方法 1.在速度与时间的关系图象中，上升线表示加速运动，下降线表示减速运动，水平线位于横轴上时表示静止，速度为0，其他水平线表示匀速运动. 2.在速度与时间的关系图象中，线段的倾斜程度表示速度变化的快慢，平缓表示速度变化慢，陡峭表示速度变化快 3.在路程与时间的关系图象中，线段的倾斜程度表示速度的大小，越陡峭表示速度越大，越平缓表示速度越小. 用关系式表示两个变量之间关系的优点 能准确反映整个变化过程中因变量与自变量之间的数量关系，便于分析计算 1．小颖去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（　　） A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．金额和数量 2．灵武市某小区用户用电量与应缴电费之间的关系如表，则下列叙述错误的是（   ） 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 … A．在这个变化过程中，自变量是用电量，因变量是应缴电费 B．所缴电费随用电量的增加而增加 C．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元 D．若所缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时 3．高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据： 海拔高度 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量 下列说法不正确的是（    ） A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； B．海拔高度每上升，空气含氧量减少； C．在海拔高度为的地方空气含氧量是； D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了． 4．小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三个量，则这三个量中的变量是 ． 5．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：）之间的关系如下表：用式子表示与的关系为 ． 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 2 5 … 6．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是 ． 7．如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是 ． (2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ． (3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留 8．如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？ (2)小明到达超市用了多少时间？小明仅往返（不考虑中间的等待时间）花了多少时间？ (3)小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？ (4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？ 9．地表以下岩层的温度/与所处深度/有如下关系： 深度/ 1 2 3 4 5 温度/ 55 90 125 160 195 (1)上表中自变量x是______，因变量y是_______． (2)请写出y与x的关系式． (3)根据（2）中的关系式，估计地表以下7处岩层的温度． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题06 变量之间的关系 常量与变量 定义 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量 说明：（1）＂常量＂是指在整个变化过程中保持不变的量；但＂常量＂不等于＂常数＂，它可以是数值不变的字母．如在匀速运动中的速度 就是一个常量． （2）变量与常量是相对的，前提是＂在一个变化过程中＂，一个量在某一个变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，也可能是变量．如在 中，当 一定时，v, t为变量， 为常量；当 一定时，s, v为变量， 为常量． 特别提醒 1.在某一变化过程中，不可能没变量，也不可能只有一个变量，一般有两个变量， 2.指出一个变化过程中的常量时，应连同它前面的符号 自变量和因变量 1.自变量和因变量 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量 特别提醒 自变量和因变量是相对的，一个量在某个变化过程中是自变量，而在另一个变化过程中可能是因变量 2. 自变量与因变量的联系与区别(1)联系:二者都是某一个变化过程中的变量，因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化,(2)区别:自变量是在一定范围内发生变化或主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量 用表格表示变量间的关系 1.借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况 2.用表格表示两个变量之间关系的步骤 (1)确定各行、各列的栏目(一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量);(2)写出栏目名称并根据问题内容写上单位;(3)在第一行列出自变量的各个变化取值，在第二行对应列出因变量的各个变化取值.一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量随自变量变化的趋势 特别提醒 1.用表格表示两个变量之间的关系时，数据必须真实且自变量所取数值要排列有序: 2.因变量的数值必须与自变量的数值-一对应 用关系式表示两个变量之间的关系 1.两个变量之间的关系有时可以用一个含有两个变量及数学运算符号的等式来表示，关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法 2.关系式的基本特征 关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式，通常把表示因变量的字母单独写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等号的右边 根据关系式求变量的值 利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以根据因变量的值求出相应的自变量的值 特别提醒 两个变量间的关系式，应是以两个变量为未知数的方程。 用图象表示两个变量之间的关系 图象是表示两个变量之间关系的又一种方法.在用图象1.表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为横轴)表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴)表示因变量 特别提醒 1.有的变量之间的关系不能用图象完整地表达出来，图象只是反映两个变量之间关系的一部分，且由图象确定的数值往往是近似的 2.在利用图象解决问题时，一定要分清横轴和纵轴分别表示哪个变量 用图象表示行程问题中变量之间的关系 1.行程问题中，根据速度与时间之间的关系图象解决问题时，关键是正确理解图象中各段的意义 题型一、用表格表示变量间的关系 1．（22-23七年级下·山西运城·期末）游泳池应定期换水，某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时关闭进水孔打开排水孔，以每小时78立方米的速度将水放完，当放水时间增加时，游泳池的存水随之减少，它们的变化情况如下表： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水/立方米 858 780 702 546    (1)在这个变化过程中，反映函数关系的两个变量分别是什么？ (2)请将上述表格补充完整； (3)设放水时间为小时，游泳池的存水量为立方米，写出与的函数关系式．（不要求写自变量范围） 【答案】(1)放水时间，游泳池的存水； (2)见解析； (3)． 【知识点】函数解析式、用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数的基础知识：变量，求函数关系式等知识； （1）根据题中表格即可完成； （2）根据排水孔以每小时78立方米的速度放水，即可完成填写表格； （3）根据关系式：存水量等于原有水量减去放出的水量，即可列出函数关系式． 【详解】（1）解：由题意知，两个变量分别是：放水时间及游泳池的存水； （2）解：根据每小时放水78立方米，完成表格如下： 放水时间/小时 1 2 3 4 5 6 7 游泳池的存水/立方米 858 780 702 624 546 468 390 （3）解：与的函数关系式为． 2．（22-23七年级下·山西运城·期末）为预防新冠肺炎，某校定期对教室进行消毒水消毒，测出药物喷洒后每立方米空气中的含药量y（mg）和时间x（min）的数据如表： 时间x（min） 2 4 6 8 含药量y（mg） 16 14 12 10 则下列叙述错误的是（    ） A．时间为14min时，室内每立方米空气中的含药量为4mg B．在一定范围内，时间越长，室内每立方米空气中的含药量越小 C．挥发时间每增加2min，室内每立方米空气中的含药量减少2mg D．室内每立方米空气中的含药量是自变量 【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系、用表格表示变量间的关系、函数的概念 【分析】根据表中数据表示出函数的解析式以及表格，两个变量之间的变化关系即可正确解答本题． 【详解】解：根据表格数据可以得出两个变量的关系式为y＝−x＋18， A、当x＝14min时，y＝−14＋18＝4mg，故选项不符合题意； B、在一定范围内，燃烧时间越长，室内每立方米空气中的含药量越小，故选项不符合题意； C、挥发时间每增加2min，室内每立方米空气中的含药量减少2mg，故选项不符合题意； D、因为室内每立方米空气中的含药量随时间的变化而变化，所以时间是自变量，每立方米空气中的含药量是时间的函数，故选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的定义和性质，解题关键是能读懂表格中数据的特征，理解函数的定义． 3．（22-23七年级下·山西太原·期末）2022年5月15日，由中科院自主研发的“极目一号”型浮空艇，在海拔4270米的中科院珠峰站附近发放场地升空，创造了海拔9032米的大气科学观测世界纪录．下表表示某日珠峰附近一测量点海拔高度h（米）与相应高度处气温t（℃）的关系，根据表格数据，当时该测量点海拔8270米处的气温是 ℃． 海拔高度h/米 4270 5270 6270 7270 … 气温t/℃ -15 -21 -27 -33 … 【答案】 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】根据表格中的数据找到气温随海拔高度变化的规律即可作答． 【详解】由表格数据可知：从海拔4270米开始，海拔高度每上升1000米，气温则下降6℃， ∵海拔7270米时，气温为-33℃， ∴海拔8270米，气温为-33℃-6℃=-39℃， 故答案为：-39． 【点睛】本题考查了根据表格表示变量之间关系的知识，找到气温随海拔高度变化的规律是解答本题的关键． 题型二、用关系式表示变量间的关系 4．（23-24七年级下·山西运城·期末）夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香长度的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间 0 0.5 1 1.5 2 蚊香长度 105 100 95 90 85 请根据以上信息，解答下列问题： (1)自变量是______，因变量是______． (2)直接写出蚊香长度与蚊香燃烧时间的关系式． (3)这盘蚊香可以燃烧多长时间？ 【答案】(1)蚊香燃烧时间t，蚊香长度s； (2)； (3)． 【知识点】用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值、函数的概念 【分析】本题考查了函数的定义、求函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据自变量和因变量的定义即可得出答案； （2）根据点燃时蚊香每小时缩短，即可得出关系式； （3）把代入，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是蚊香燃烧时间，因变量是蚊香长度； （2）解：由表格可得：点燃时蚊香每小时缩短， ∴蚊香长度与蚊香燃烧时间的关系式为； （3）解：把代入，得． 解得． 答：这盘蚊香可以燃烧． 5．（23-24七年级下·山西太原·期末）如图是我国青海湖最深处的某一截面图，一支潜水队测出了青海湖水面下任一点A的压强p（单位：）与其离水面深度h（单位：m）的几组数据，整理出下表： 10 15 20 25 30 142 179 216 253 290 根据表格，回答下列问题： (1)自变量是______，因变量是______； (2)青海湖水面大气压强为______； (3)请直接写出p与h的关系式，并求出最深处处的压强值． 【答案】(1)离水面深度h，大气压强p (2)68 (3)，最深处处的压强值为 【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系、函数解析式 【分析】本题考查自变量和因变量的定义，函数表达式，函数值，解题的关键是从表格中得到信息． （1）根据自变量和因变量的定义，即可解答； （2）根据表格可得离水面深度每增加，压强p（单位：）增加，则列式计算即可求出青海湖水面大气压强； （3）由（2）知离水面深度每增加，压强p（单位：）增加，且青海湖水面大气压强为，即可得出p与h的关系式为，即可求出最深处处的压强值． 【详解】（1）解：根据题意：压强随离水面深度变化而变化， 自变量是离水面深度h，因变量是压强p； （2）解：水面深度每增加，压强p（单位：）增加， 则青海湖水面大气压强为： ； （3）解：由（2）知离水面深度每增加，压强p（单位：）增加，且青海湖水面大气压强为， p与h的关系式为， 最深处处的压强值为． 6．（22-23七年级下·山西太原·期末）电动汽车的电池容量与续航里程是用户最为关心的问题．对某型号电动汽车充满电后进行测试，其电池剩余电量y（度）与行驶里程x（千米）之间的关系如下表所示： 行驶里程x（千米） 0 10 20 30 40 … 剩余电量y（度） 60 58 56 54 52 … (1)上表中自变量是 ，因变量是 ； (2)该型号电动汽车的电池容量为 度； (3)电动汽车在电量剩余时充电最佳．请根据上表直接写出该电动汽车剩余电量y（度）与行驶里程x（千米）之间的关系式，并求剩余电量为时的已行驶里程． 【答案】(1)行驶里程（千米），剩余电量（度） (2)60 (3)，210千米 【知识点】用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义即可解答； （2）根据表格即可解答； （3）根据表格计算出行驶1公里，消耗电量为0.2度，可得出函数关系时，再令时，求x的值即可． 【详解】（1）解：上表中自变量是行驶里程（千米），变量是剩余电量（度）； 故答案为：行驶里程（千米），剩余电量（度）； （2）由表格可知，当行驶里程为0千米时，剩余电量为60度，即电池容量为60度， 故答案为：60； （3）解：由表格可知，行驶10公里，则消耗电量为（度） 则行驶1公里，消耗电量为（度） ∴关系式为：； 当时，代入得； 解，得． 答：剩余电量为时的已行驶里程为210千米． 【点睛】本题考查了自变量和因变量的定义，由表格写函数关系式，根据表格找到两个量之间的关系是解题的关键． 题型三、用图象表示变量间的关系 7．（23-24七年级下·山西运城·期末）社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程与时间的图象，观察图象得到下列信息，其中正确的是（   ） A．小王实际骑行时间为 B．内，小王派送快递的平均速度是 C．小王骑行的平均速度比慢 D．点表示小王出发，共骑行 【答案】D 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查函数图象的实际应用．观察所给图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可． 【详解】解：观察图象得：期间，时间增加，但路程没有增加，此时小王处于停止状态， 因此实际骑行时间为，故A选项错误，不符合题意； 内，小王派送快递的平均速度是，故B选项错误，不符合题意； 小王派送快递的平均速度是， 小王派送快递的平均速度是， 因为， 所以小王骑行的平均速度比快，故C选项错误，不符合题意； 点表示小王出发，共骑行，故D选项正确，符合题意； 故选D． 8．（22-23七年级下·山西运城·期末）“忠义仁勇数关公”，说的就是关羽关圣人．农历四月初八，关公游城，祈福国泰民安，风调雨顺，街头人山人海．管理处工作人员用无人机进行航拍，操控无人机需要根据现场状况调节高度，已知无人机上升或下降的速度相同，无人机的高度h（米）与操控无人机的时间t（分）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：    (1)在上升或下降过程中，无人机升降的速度是多少？ (2)图中a、b表示的数分别是a=___________，b=___________． (3)求第14分钟时无人机飞行的高度． 【答案】(1)30米/分 (2)7；15 (3)30米 【知识点】求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、用图象表示变量间的关系 【分析】（1）根据图象信息得出2分无人机上升高度60米，用“速度=路程÷时间”计算即可； （2）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可； （3）根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可； 【详解】（1）解：根据图象发现2分无人机上升高度60米， （米/分） 答：无人机升降速度为30米/分． （2）图中表示的数是（分）， 图中表示的数是（分）， 故答案为：7；15． （3）在第14分钟时无人机飞行的高度为（米） 答：第14分钟时无人机飞行的高度为30米． 【点睛】本题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握． 9．（22-23七年级下·山西临汾·期末）2023年5月21日，“锦绣太原·激情太马”2023太原马拉松赛成功举行，3.5万名选手沿汾河岸畔同场竞技，畅跑魅力并州．如图是甲、乙两人从起点出发一段时间内路程与时间的关系，则下列说法正确的是（    ）    A．在这段时间内，甲的平均速度为 B．在这段时间内，乙的平均速度为 C．在这段时间内，甲休息了 D．出发时两人相遇 【答案】B 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】根据速度＝路程÷时间结合图象可求出甲、乙的平均速度；根据时甲的路程没有改变可知此时甲在休息，然后可得休息的时间；甲、乙图象交点的横坐标即是两人相遇的时间，问题得解． 【详解】解：A. 甲的平均速度为，说法错误，不符合题意； B. 乙的平均速度为，说法正确，符合题意； C. 甲休息了，说法错误，不符合题意； D. 由函数图象得，出发时两人相遇，说法错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了从图象获取信息的能力，正确理解横纵坐标所表示的意义是解题的关键． 【例1】以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 【答案】 ， ， 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量． 根据常量与变量的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由常量与变量的定义可知： 在关系式中，常量是，，变量是，， 故答案为：，；，． 【例2】在“看图说故事”数学学习活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境 已知小明的家、超市、图书馆依次在同一条直线上，小明家离超市，超市离图书馆．小明从家出发，匀速步行到超市，在超市停留分钟后，匀速步行到达图书馆，在图书馆停留了，然后骑行返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离家的时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)根据图中数据填写下表： 小明离家的时间 小明离家的距离 (2)求小明从超市到图书馆的步行速度和从图书馆到家得骑行速度 【答案】(1)，，，，， (2)小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查了函数图像及其信息，分类思想，运动与函数的关系，熟练掌握函数图像及其信息，分类思想是解题的关键． （1）根据运动时间，结合运动过程，停留超市，去图书馆，停留图书馆，计算即可， （2）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，当时，速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， ∵小明离家的时间时，停留在超市， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，停留在图书馆， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 当时，运动速度为， ∴小明离家的时间时，小明离家的距离， 故答案为：，，，，，； （2）解：从超市到图书馆，步行的时间为，路程为， ∴，步行的速度为（）； 从图书馆到家，骑行的时间为，骑行的路程为， ∴骑行的速度为（）； 答：小明从超市到图书馆步行的速度为，从图书馆到家骑行的速度为． 两个关系图的理解方法 1.在速度与时间的关系图象中，上升线表示加速运动，下降线表示减速运动，水平线位于横轴上时表示静止，速度为0，其他水平线表示匀速运动. 2.在速度与时间的关系图象中，线段的倾斜程度表示速度变化的快慢，平缓表示速度变化慢，陡峭表示速度变化快 3.在路程与时间的关系图象中，线段的倾斜程度表示速度的大小，越陡峭表示速度越大，越平缓表示速度越小. 用关系式表示两个变量之间关系的优点 能准确反映整个变化过程中因变量与自变量之间的数量关系，便于分析计算 1．小颖去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（　　） A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．金额和数量 【答案】D 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查变量与常量，根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量， ∴单价常量，数量与金额是变量， 故选：D． 2．灵武市某小区用户用电量与应缴电费之间的关系如表，则下列叙述错误的是（   ） 用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 … A．在这个变化过程中，自变量是用电量，因变量是应缴电费 B．所缴电费随用电量的增加而增加 C．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元 D．若所缴电费为2.75元，则用电量为6千瓦·时 【答案】D 【知识点】用表格表示变量间的关系、函数的概念 【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，列表法能具体的反映自变量与因变量的数值对应关系．根据用电量与应缴电费之间成正比例关系逐项判断即可． 【详解】解：A、在这个变化过程中，自变量是用电量，因变量是应缴电费，故本选项叙述正确，不符合题意； B、所缴电费随用电量的增加而增加，故本选项叙述正确，不符合题意； C、用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元，故本选项叙述正确，不符合题意； D、若用电量为5千瓦∙时，则应缴电费元，故本选项叙述错误，符合题意． 故选：D． 3．高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据： 海拔高度 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量 下列说法不正确的是（    ） A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； B．海拔高度每上升，空气含氧量减少； C．在海拔高度为的地方空气含氧量是； D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了． 【答案】B 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了用表格表示变量，解题的关键是，熟练掌握自变量和因变量，表中数据及变化． 根据题目中表格给出的数据逐一判断，即可． 【详解】A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； ∵海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量， ∴A正确，不符合题意； B．海拔高度每上升，空气含氧量减少； ∵，，，， ∴海拔高度每上升，空气含氧量减少值不都是， ∴B错误，符合题意． C．在海拔高度为的地方空气含氧量是； ∵在海拔高度为的地方空气含氧量是， ∴C正确，不符合题意； D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了； 由B知，当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 4．小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三个量，则这三个量中的变量是 ． 【答案】重量和金额 【知识点】用表格表示变量间的关系 【分析】本题考查常量与变量，掌握变量的定义是解题的关键．根据变量的定义判断即可． 【详解】解：∵单价保持不变，金额随着重量的变化而变化， ∴这三个量中的变量是重量和金额． 故答案为：重量和金额． 5．水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时间（单位：）与出水速度（单位：）之间的关系如下表：用式子表示与的关系为 ． 出水速度 10 8 5 4 2 … 时间 1 2 5 … 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了用关系式表示变量间关系，根据表可得与的关系，，据此即可求解，由表中数据得出与的函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成反比例函数关系，， ∴， 故答案为：． 6．甲、乙两地相距，一辆货车从甲地出发以的速度匀速向乙地行驶，则货车距离乙地的路程与时间之间的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题考查了列函数关系式，根据剩余路程等于总距离减去行驶距离列函数关系式即可，熟练掌握由题意列出函数关系式是解题的关键． 【详解】由题意得：， 故答案为：． 7．如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是 ． (2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ． (3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留 【答案】(1)剩下的圆环面积 (2) (3) 【知识点】用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，因变量的定义： （1）根据圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小，可得因变量是剩下的圆环面积； （2）用大圆面积减去挖去的小圆面积即可得到答案； （3）把代入（2）中所求关系式中求出y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小， ∴因变量是剩下的圆环面积； 故答案为：剩下的圆环面积； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）把代入中得：， ∴剩下的圆环面积为． 8．如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图． (1)图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？ (2)小明到达超市用了多少时间？小明仅往返（不考虑中间的等待时间）花了多少时间？ (3)小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？ (4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？ 【答案】(1)距离与时间，超市离家900米 (2)20分钟，35分钟 (3)在超市购物或休息 (4)45米/分钟，60米/分钟 【知识点】用图象表示变量间的关系 【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，正确理解图象横纵坐标表示的意义是解决问题的关键． （1）根据纵轴和横轴，知图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系，显然超市离家900米； （2）小明到达超市用了20分钟，小明从超市回到家花了15分钟； （3）这一段时间内表明离家的距离没有变化，因此可能是在超市购物，也可能是在休息（只要合理即可）； （4）根据速度路程时间进行计算． 【详解】（1）解：由图可知，图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系；超市离家900米； （2）小明到达超市用了20分钟；返回用了分钟，往返共用了分钟； （3）小明离家出发后20分钟到30分钟可以在超市购物或休息； （4）小明到超市的平均速度是米/分钟； 返回的平均速度是米/分钟． 9．地表以下岩层的温度/与所处深度/有如下关系： 深度/ 1 2 3 4 5 温度/ 55 90 125 160 195 (1)上表中自变量x是______，因变量y是_______． (2)请写出y与x的关系式． (3)根据（2）中的关系式，估计地表以下7处岩层的温度． 【答案】(1)深度，温度 (2) (3) 【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系、函数的概念 【分析】（1）由表格可知，上表中自变量x是深度，因变量y是温度； （2）由表格可知，当深度增加1 ，温度增加35，可得，整理即可； （3）将代入，计算求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，上表中自变量x是深度，因变量y是温度， 故答案为：深度，温度； （2）解：由表格可知，当深度增加1 ，温度增加35， ∴， ∴y与x的关系式为； （3）解：将代入得， ∴地表以下7处岩层的温度为． 【点睛】本题考查了自变量、因变量，用关系式表示变量间的关系，求函数值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$