精品解析：湖南省怀化市溆浦县2024-2025学年八年级下学期期中质量检测数学试题

2025年上学期八年级数学期中质量检测试卷 （考试时长：共计120分钟 数学总分：120分） 一、选择题本题共10个小题，每小题3分，共30分。 1. 若正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数为（　　） A B. C. D. 2. 正六边形的一个外角为（ ） A. B. C. D. 3. 四边形的对角线相交于点，．添加下列条件，能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 顺次连接梯形各边中点所组成的图形是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 梯形 D. 正方形 5. 下列交通标志中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 若长度为3、4、m的三条线段能组成一个钝角三角形，则m的值可能为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 下列各组数中，以a，b，c为边三角形不是直角三角形的是（　　） A. a＝7，b＝25，c＝24 B. a＝11，b＝41，c＝40 C. a＝12，b＝13，c＝5 D. a＝8，b＝17，c＝15 8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE、BF交于点O．若BF＝13，AO＝5，则四边形ABEF的面积为（　　） A. 60 B. 65 C. 120 D. 130 9. 如图，港口在观测站正西方向，，某船从港口出发，沿北偏西方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏西的方向，则该船航行的距离（即的长）为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形对角线上截取，连接并延长交于点F，连接，过B作于点G，交于点H，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8个小题，每小题3分，共24分。 11. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_____步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．． 12. 如图，在中，是斜边的中线，，则的长为_____________． 13. 如图，若AB∥CD，AB⊥AF，E是AF的中点，AF＝14，BD＝50，CD＝30，则CF＝___． 14. 如图是一个五角星图案，中间部分的五边形是一个正五边形，则图中的度数是_________度． 15. 在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则AO的长等于________． 16. 如图，菱形对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于，交于，则阴影部分的面积是__________． 17. 如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是______cm． 18. 如图，在中，，于点，延长于点，，交于，延长与的延长线交于点.下面给出五个结论：①；②；③；④；⑤线段与互相平分.其中正确的结论有_____________个. 三、解答题：本题共8个小题，共66分。 19. 如图，直线AE//BC，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，求∠EAC的度数． 20. 如图，D、 E 、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H.求证：DF=EH. 21. 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，，点F在边AB上，EF//BC．求证： （1）四边形BDEF是平行四边形； （2）． 22. 如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O， （1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF； （2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数． 23. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，使点G与点D重合． （1）求证：AE＝AF； （2）求GF的长． 24. 如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）求证：． 25. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（0＜t≤10）．过点作于点，连接，． （1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； （2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 26. 如图，已知菱形，点是线段上的动点，以为边向右侧作等边，连结． （1）求证：； （2）设，求证：； （3）设，当时，求的长（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期八年级数学期中质量检测试卷 （考试时长：共计120分钟 数学总分：120分） 一、选择题本题共10个小题，每小题3分，共30分。 1. 若正多边形一个内角是，则这个正多边形的边数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算是解题的关键．多边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解． 【详解】解：设所求正n边形边数为n， 则， 解得， 故选：C． 2. 正六边形的一个外角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和是，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据任何多边形的外角和是，得出正六边形的一个外角为，即可选出正确答案． 【详解】解：∵任意一个多边形的外角和都是， ∴正六边形的外角和为， ∴正六边形的一个外角为， 故选：C． 3. 四边形的对角线相交于点，．添加下列条件，能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 添加， ∴四边形为菱形，故A不符合题意； 添加当时， 不能判定四边形是矩形；故B不符合题意； 添加，如图， ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形；故C不符合题意； 添加， ∴四边形是矩形；故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 4. 顺次连接梯形各边中点所组成的图形是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 梯形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】连接AC、BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥AC，EH＝AC，同理FG∥AC，FG＝AC，进一步推出EH＝FG，EH∥FG，即可得到答案． 【详解】解：连接AC、BD， ∵E是AD中点，H是CD的中点， ∴EH＝AC， 同理FG＝AC， ∴EH＝FG， 同理EF＝HG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 故选：A． 【点睛】本题考查了中位线的性质,平行四边形的判定,属于简单题,熟悉中位线的性质是解题关键. 5. 下列交通标志中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 若长度为3、4、m的三条线段能组成一个钝角三角形，则m的值可能为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∵，， ∴或， ∴m的值可能为6． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；运用三角形的三边关系定理是解答的关键． 7. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A. a＝7，b＝25，c＝24 B. a＝11，b＝41，c＝40 C. a＝12，b＝13，c＝5 D. a＝8，b＝17，c＝15 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形． 【详解】解：A、72+242＝52，能构成直角三角形，不符合题意； B、112+402≠412，不能构成直角三角形，符合题意； C、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意； D、82+152＝172，能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，准确分析计算是解题的关键． 8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE、BF交于点O．若BF＝13，AO＝5，则四边形ABEF的面积为（　　） A 60 B. 65 C. 120 D. 130 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形是菱形，然后利用菱形的面积公式计算即可． 【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵∠BAD平分线交BC于点E， ∴∠DAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE，同理可得AB＝AF， ∴AF＝BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF． ∴四边形ABEF是菱形． ∵BF＝13，AO＝5， ∴四边形ABEF＝2××13×5＝65， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质等知识，证得四边形是菱形是解答本题的关键，难度不大． 9. 如图，港口在观测站的正西方向，，某船从港口出发，沿北偏西方向航行一段距离后到达处，此时从观测站处测得该船位于北偏西的方向，则该船航行的距离（即的长）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作AD⊥OB于D,先解Rt△AOD，求出AD= OA=2．再Rt△ABD求出AB的长即可. 【详解】如图，过点A作AD⊥OB于D． 在Rt△AOD中， ∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4， ∴AD= OA=2． 在Rt△ABD中， ∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=60°﹣30°=30°， ∴AB=2AD=4． 即该船航行的距离（即AB的长）为．故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形和三角函数，解题的关键是熟练掌握勾股定理和三角函数公式 10. 如图，在正方形对角线上截取，连接并延长交于点F，连接，过B作于点G，交于点H，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质和，得出与全等，，，再判断与全等，即可判断A、C、D三个选项是否符合题意；连接，判断与的面积关系，即可判断B选项是否符合题意． 【详解】解：在正方形中， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴是线段的垂直平分线，， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴，故A，C，D正确； 如图，连接， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵不垂直， ∴， ∴， ∴，故B错误， 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和以及三角形的外角和，解答此题的关键是判断出，难点是作辅助线． 二、填空题：本题共8个小题，每小题3分，共24分。 11. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_____步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果． 【详解】解：依据题意可得：， ， 少走了， 2步为1米， ， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，会用勾股定理解决问题是解题的关键． 12. 如图，在中，是斜边的中线，，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线性质，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，是斜边的中线，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 13. 如图，若AB∥CD，AB⊥AF，E是AF的中点，AF＝14，BD＝50，CD＝30，则CF＝___． 【答案】6 【解析】 【分析】由“ASA”可证△AEB≌△FED，可得BE=DE=BD=25，由勾股定理可求DF=24，即可求解． 【详解】解：∵E是AF的中点，AF＝14， ∴AE=EF=AF=7， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠DFE=90°， 在△ABE和△FDE中， ， ∴△AEB≌△FED（ASA）， ∴BE=DE=BD=25， ∴DF==24， ∴CF=CD-DF=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 14. 如图是一个五角星图案，中间部分的五边形是一个正五边形，则图中的度数是_________度． 【答案】108 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式和正多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴． 故答案为：108． 【点睛】本题考查多边形内角和，正多边形的性质．掌握n边形内角和公式为是解题关键． 15. 在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，AC，BD相交于点O.若AC＝6，则AO的长等于________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求证四边形ABCD是平行四边形，然后即可求解． 【详解】∵在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC=6， ∴AO=AC=×6=3． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查学生对平行四边形的判定与性质的理解和掌握，难度不大，属于基础题． 16. 如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于，交于，则阴影部分的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件可得，四边形是平行四边形．则，阴影部分的面积等于的面积．根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：设，交于点， 四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ．即阴影部分的面积等于的面积． 的面积等于菱形的面积的一半，菱形的面积， 图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 17. 如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是______cm． 【答案】45 【解析】 【分析】设水深h厘米，则，，，利用勾股定理计算即可． 【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长． 设水深h厘米，由题意得：中，，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确审题，明确直角三角形各边的长是解题的关键． 18. 如图，在中，，于点，延长于点，，交于，延长与的延长线交于点.下面给出五个结论：①；②；③；④；⑤线段与互相平分.其中正确的结论有_____________个. 【答案】3 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质可求；②由余角的性质和平行四边形的性质可求；③由“”可证，可得；④在和中，只有三个角相等，没有边相等，则和不全等，⑤假设是的中点，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，而没有这个条件，故⑤不正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，故②正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故③正确， 在和中，只有三个角相等，没有边相等， ∴与不全等，故④错误． 若点是的中点， ∵，， ∴， 则， ∴， ∵点不一定是的中点， 则不一定成立 则线段与互相平分，不一定成立，故⑤错误， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和行，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 三、解答题：本题共8个小题，共66分。 19. 如图，直线AE//BC，BA⊥AC，若∠ABC＝54°，求∠EAC的度数． 【答案】36°． 【解析】 【分析】根据平行线的性质和直角三角形的性质求解即可． 【详解】∵BA⊥AC， ∴∠BAC=90°， ∵∠ABC=54°， ∴∠C=90°-54°=36°， ∵AE//BC， ∴∠EAC=∠C=36°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，熟悉平行线的性质，理解直角三角形两锐角互余是解题的关键． 20. 如图，D、 E 、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H.求证：DF=EH. 【答案】见解析. 【解析】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=AC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH=AC，从而得证． 【详解】证明：∵D、E 、F分别是△ABC三边中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF=AC， ∵AH⊥BC于H，E是AC的中点， ∴EH=AC， ∴DF=EH． 【点睛】本题考查三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理和性质是解题的关键． 21. 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，，点F在边AB上，EF//BC．求证： （1）四边形BDEF是平行四边形； （2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE＝EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论； （2）先证明BF＝DE＝BG，再证明AG＝AC，可得到BF＝（AB−AG）＝（AB−AC）． 【详解】（1）证明：如图，延长CE交AB于点G ∵AE⊥CE， ∴∠AEG=∠AEC=90° ∵AE平分∠BAC， ∴∠GAE=∠CAE 在△AEG和△AEC中，， ∴△AGE≌△ACE（ASA）， ∴GE=CE ∵BD=CD， ∴DE为△CGB的中位线， ∴DE//AB ∵EF//BC， ∴四边形BDEF是平行四边形 （2）∵四边形BDEF是平行四边形， ∴BF=DE ∵D，E分别是BC，GC的中点， ∴ ∵△AGE≌△ACE， ∴AG=AC ∴． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE＝EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键． 22. 如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O， （1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF； （2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）78° 【解析】 【分析】（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF； （2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，根据全等三角形的性质得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵AE＝DB， ∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE． 又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF． （2）∵∠C＝90°，∠A＝51°， ∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°． 由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF． ∴∠DEF＝39°． ∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°． 【点睛】本题主要考查直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 23. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，使点G与点D重合． （1）求证：AE＝AF； （2）求GF的长． 【答案】（1）详见解析；（2）3． 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得； （2）根据翻折的性质可得，设，则，再根据勾股定理有：，于是有，进而得到． 【详解】解：（1）由翻折的性质得，， 矩形的对边， ， ， ； （2）由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 又由（1）可知，， ， 由翻折的性质得，． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出的长度是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）求证：． 【答案】（1）1 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而可得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴的长为1； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 25. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒（0＜t≤10）．过点作于点，连接，． （1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； （2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）能，；（2）8或5，见解析 【解析】 【分析】（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，即60-4t=2t，解方程即可解决问题； （2）分三种情形讨论①当∠DEF=90°时，②当∠EDF=90°时．③当∠EFD=90°，分别求解即可 【详解】（1）证明：能．理由如下： 在中，，，， ， 又， ， ，， ∴AE∥DF， 又， 四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形，即， 解得． 当秒时，四边形为菱形． （2）①当时，由（1）知四边形为平行四边形， ∴EF∥AD， ， ， ， ， 又，即， 解得； ②当时，四边形为矩形， 在中， ∴， ，即， 解得． ③若，则与重合，与A重合，此种情况不存在． 综上所述，当或5秒时，为直角三角形． 【点睛】主要考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 26. 如图，已知菱形，点是线段上的动点，以为边向右侧作等边，连结． （1）求证：； （2）设，求证：； （3）设，当时，求的长（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的对称性可得，又是等边三角形，，即得； （2）利用三角形的外角的性质证明，可得结论； （3）过作于，由，得，知，可得等腰直角三角形，设，则，可得，根据 即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形，点在线段上， ∴由菱形的对称性可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图1中， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当在线段上时，过作于，如图： ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形性质与判定，勾股定理及应用等，解题的关键是掌握菱形的性质及分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$