精品解析：山东省德州市陵城区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024−2025学年义务教育学业质量素养监测 八年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式：是最简二次根式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】利用最简二次根式的定义:(1)被开方数不含开方开的尽的数或因式，(2)被开方数中不含分母，分别判断即可． 【详解】是最简二次根式的有，． 故选：A 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义及将二次根式化为最简二次根式的方法是解决本题的关键． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类二次根式，涉及同类二次根式、最简二次根式、合并同类二次根式等知识，由题意，将化为最简二次根式，从而得到，解方程即可得到答案，熟记最简二次根式及同类二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，是最简二次根式，且可以与合并， ，解得， 故选：C． 4. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 如图所示，小红，小丽，小明家的位畳依次为的三个顶点A，B，C，小亮家正好位于小红和小丽家的正中间位置为D点，其中，已知小丽家到小红家的距离为，则小明家到小亮家的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据题意易得，再根据D点为中点，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结果． 【详解】解：如图， 根据题意得， ∵D点为中点，， ∴， 则小明家到小亮家的距离为， 故选：C． 6. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（ ） A. 四边形由矩形变为菱形 B. 对角线的长度不变 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性；根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、因为矩形框架向左扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，但邻边不变且不相等，不可能变为菱形，故A不正确，不符合题意； B、向左扭动框架，的长度变大，故B不正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C不正确，不符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，符合题意， 故选：D． 7. 已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股求出，再根据勾股定理求出，最后根据即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 8. 如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边作，，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】连接，求出的长度，根据矩形的性质，求的最小值，即求的最小值，当时，最小，根据三角形的面积公式即可求出的长，即可求解 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时， 即 ∴ ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 9. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，则菱形边上高的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 先根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意证明，所以，则是等腰直角三角形；过点F作，得出是等腰直角三角形，推出，进而根据勾股定理可求出． 【详解】解：在正方形中，和为对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 过点F作，如图，    AI ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含的直角三角形的三边关系，勾股定理，解题关键是得出是等腰直角三角形． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式有意义，根据分式的分母不为0时，分式有意义，二次根式的被开方数为非负数时，二次根式有意义，进行求解即可 ． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： ． 12. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的面积和边长、求算术平方根等知识，根据题意得到大正方形的面积为，利用正方形的面积和算术平方根即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积为， ∴图中的大正方形的边长为， 故答案为： 13. 如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及应用，由两张正方形纸片面积分别为和，则两张正方形纸片边长分别为和，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和， ∴两张正方形纸片边长分别为和， ∴剩余部分的面积为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，那么的长是_______________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质及三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质和勾股定理是解题的关键． 先证得是的中位线，根据勾股定理求得，进而可得，即可求解， 【详解】解：，， ，即点是线段的中点， 又点是线段的中点， 是的中位线， ， 在中，，，， ， 又， ， ， 故答案为：4． 15. 在平面直角坐标系中，有四个点，，，，若以为顶点的四边形是平行四边形，则_________． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平行四边形的性质等知识，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．由，得轴，而，，则，再分点C在点B左侧和点C在点B右侧两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∵以为顶点的四边形是平行四边形，，， ∴， ①当点C在点B左侧，如图1，则； ②当点C在点B右侧，如图2，则； 综上所述，或5， 故答案为：或5． 16. 如图，在矩形中，点E在上，连接，，过点E作平分交于点F，点M是上动点，过点M分别作于点N，作于点P，过点P作且，连接，若，则四边形的周长为______． 【答案】24 【解析】 【分析】连接，结合矩形的性质证明为等腰三角形，易得，进而可得，的值，利用勾股定理解得的长度，利用面积法求得，然后证明四边形为平行四边形，易得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，可有， ∵，，， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，利用面积法求解是解题关键． 三、解答题（8小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的除法，最后计算加法即可得解； （2）先利用完全平方公式进行计算，再利用平方差公式进行计算即可得解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​ 【答案】（1）风筝的高度为米； （2）他应该往回收线8米． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中， 由勾股定理得，， ∴（负值舍去）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米； 【小问2详解】 解：由题意得，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线8米． 19. 尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ （1）证明； （2）指出小丽作法中存在的问题． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又根据作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质， （1）根据小明作图方法证明即可； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 20. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长交于，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，证明，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 延长交于， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，， 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即：椅子最高点到地面的距离为． 21. 如图，在等边中，点D是的中点，是边上的中线，连接，以为边作等边，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形； （2）分别求出，根据矩形面积计算公式求解即可． 【小问1详解】 证明：是等边三角形，点是的中点，是边的中线， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， 又 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， 是边的中线， ， 在中，由勾股定理得：， 又四边形是矩形， ． 22. 阅读材料，并回答问题：形如，的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如，这样的化简过程叫做分母有理化． 我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式． （1）问题：的有理化因式是________，的有理化因式是________． （2）应用：分母有理化． （3）拓展：比较大小与． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用有理化因式的定义求解即可； （2）把分子分母都乘以即可； （3）通过比较两个数的倒数的方法比较它们的大小． 【详解】解：（1）由题意可得，的有理化因式是，的有理化因式是 故答案为：， （2）； （3）， 而 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了二次根式的分母有理化，二次根式大小的比较，解题的关键是掌握二次根式分母有理化的方法． 23. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得到，结合平行四边形的性质，得到 证明四边形是菱形． （2）①根据平行四边形的性质，得，结合，证明，从而证明平行四边形是菱形； ②延长至点，根据题意，得，结合平行四边形菱形，得到，结合，，得到从而证明是等腰三角形． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ①证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②证明：延长至点，根据题意，得， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理是解题的关键． 24. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． （1）由正方形得，，可证得，可证得结果； （2）①作于点P，于点Q，利用角平分线的性质得，证明，即可得出，从而证明结论； ②过点E作于M，先证明，可得，最后由勾股定理求得的长 【小问1详解】 证明：∵在正方形中， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①证明：如图，作于点P，于点Q， ∵正方形中， ∴， ∴和均为等腰直角三角形， 由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； ②解：∵在正方形，正方形中， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点E作于M，则是等腰直角三角形， 根据勾股定理得， ∵， ∵， 即正方形的边长为； 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年义务教育学业质量素养监测 八年级数学卷 （试题满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式：是最简二次根式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 3. 若最简二次根式可以与合并，则的值可以是（ ） A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 4. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，小红，小丽，小明家的位畳依次为的三个顶点A，B，C，小亮家正好位于小红和小丽家的正中间位置为D点，其中，已知小丽家到小红家的距离为，则小明家到小亮家的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断正确的是（ ） A. 四边形由矩形变为菱形 B. 对角线的长度不变 C. 四边形的面积不变 D. 四边形的周长不变 7. 已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（　　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 8. 如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边作，，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2.4 C. 4 D. 2.5 9. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，则菱形边上高的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，为对角线、的交点，、分别为边、上一点，且，连接．若，，则的长为（ ）． A. 2 B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 12. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为__________． 13. 如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为______． 14. 如图，在中，，在边上截取，连接，过点作于点．已知，，如果是边的中点，连接，那么的长是_______________． 15. 在平面直角坐标系中，有四个点，，，，若以为顶点的四边形是平行四边形，则_________． 16. 如图，在矩形中，点E在上，连接，，过点E作平分交于点F，点M是上的动点，过点M分别作于点N，作于点P，过点P作且，连接，若，则四边形的周长为______． 三、解答题（8小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​ 19. 尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ （1）证明； （2）指出小丽作法中存在的问题． 20. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 21. 如图，在等边中，点D是的中点，是边上的中线，连接，以为边作等边，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求四边形的面积． 22. 阅读材料，并回答问题：形如，的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如，这样的化简过程叫做分母有理化． 我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式． （1）问题：的有理化因式是________，的有理化因式是________． （2）应用：分母有理化． （3）拓展：比较大小与． 23. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 24. 如图（1），四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图（2），过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $