精品解析：吉林省延边州2024—2025学年下学期九年级教学检测试题

延边州2024～2025学年度下学期九年级教学质量检测 数学试题 数学试题共8页，包括二道大题，共22道小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入6元记作元，那么支出15元，记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正数和负数的应用．根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出的表示方法． 【详解】解：如果收入6元记作元，那么支出15元记作元． 故选：A． 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：几何体的主视图为： 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原计算错误，不符合题意； B．，故原计算错误，不符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D．，故原计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质求角度、等边对等角、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质结合等边对等角可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 如图，是的直径，、是上两点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，连接，求解，，进一步可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故选：A 6. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5的即为所求． 【详解】解：A、，解得x≤5，未知数系数为正数，不符合题意； B、，未知数系数为正数，不符合题意； C、-2x≥-10，解得x≤5，符合题意； D、-2x≤-10，解得x≥5，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 《哪吒之魔童闹海》再创新纪录，此片已达全球影史票房榜第五位，票房约元，用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，正确确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法，当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 8. 几位同学合买一个篮球，每人出7元，还差5元，设同学的人数为人，则这个篮球的价格用代数式表示为__________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列代数式，根据题意列代数式即可． 【详解】∵同学的人数为人，每人出7元， ∴共出元 ∵还差5元， ∴这个篮球的价格用代数式表示为元 故答案为：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，交坐标轴于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，先得出是的角平分线，，再证明四边形是正方形，运用勾股定理得，解得，即可作答． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， 根据作图过程得是的角平分线，， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 在中，， 即， ∴， 即， ∵点在第一象限， ∴， 故答案为：． 10. 如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求解即可． 【详解】解：如下图，过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点， 则，即， 解得 ． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准等量关系是解题关键． 11. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，线段为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，矩形的性质，解直角三角形的相关计算，由题意可得出，由矩形的性质得出，，由正弦的定义得出，进而可得出，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∵四边形是矩形， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算的化简求值， 根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，再代入求值即可． 【详解】解：， ， 当时，原式． 13. 某新能源汽车厂原计划在一段时间内生产2400台电动汽车．为了推动绿色发展的战略举措，该厂决定提高生产效率，现平均每天生产的电动汽车数量是原来的1.2倍，实际比规定时间少用20天完成．原计划平均每天生产多少台电动汽车？ 【答案】原计划每天生产20台电动汽车 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天生产台电动汽车，则实际每天生产了台电动汽车，再结合题意列式，解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：设原计划每天生产台电动汽车，则实际每天生产了台电动汽车， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：原计划每天生产20台电动汽车． 14. 如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先根据平行线的性质得到，然后根据“”证明即可． 【详解】略 15. 二十四节气是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．老师收集了四个有节气图案的小球：A．小满，B．芒种，C．夏至，D．小暑，这些小球除图案外无其他差别，老师将这四个小球放在一个不透明的袋子中． （1）学生小蕾从袋子中随机摸出一个小球，摸到小球的图案是“A．小满”的概率是__________； （2）学生小涛从袋子中随机摸出一个小球（不放回），老师再从袋子中剩下的小球里随机摸出一个小球，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有摸到图案“C．夏至”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两人都没有抽到“C．夏至”的有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小蕾从四张卡片中随机摸出一个小球，共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．小满”的结果只有1种， ∴学生小蕾从袋子中随机摸出一个小球，摸到小球的图案是“A．小满”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列树状图如下： 共有12种等可能结果，其中两人都没有摸到“C：夏至”的有6种， ∴两人都没有抽到“C：夏至”的概率为． 16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求I与R的函数关系式； （2）若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过电流，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】（1） （2）用电器可变电阻应不低于3.6Ω 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． （1）设电流与电阻之间的函数表达式为，将点代入求解即可； （2）根据题意得出，即，解不等式即可得出结果． 【小问1详解】 解：设， 将，代入，得：， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得：，即， 解得：， ∴用电器可变电阻应不低于． 17. 如图是由的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，所画图形用实线表示． （1）在图①中，在格点上找到点C，作直角三角形，使其面积为4． （2）在图②中，在格点上找到点D，作钝角三角形，使其面积为4． （3）在图③中，在格点上找到点E，作等腰直角三角形，使其面积为5． 【答案】（1） 解：如图 ； （2） 解：如图 （3） 解：如图， 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的分类，勾股定理，熟读题意，按照要求画图是解题的关键． （1）按照题目要求画出图形即可； （2）按照题目要求画出图形即可； （2）按照题目要求画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．同学们随机收集柳树、杨树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长和宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 柳树叶的长宽比： 杨树叶的长宽比：2 2 2 2 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 柳树叶的长宽比 m 4 杨树叶的长宽比 n （1）上述表格中：m＝______，n＝______ （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为柳树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现杨树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是______．（填序号） （3）现有一片长11cm，宽cm的树叶，判断这片树叶可能来自柳树、杨树中的哪种树，并写出理由． 【答案】（1）；2 （2）② （3）这片树叶更可能来自柳树 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据题目给出的数据判断即可； （3）根据树叶的长宽比判断即可． 【小问1详解】 解：把杨树树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为；柳树树叶的长宽比中出现次数最多的是； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴从树叶的长宽比的方差来看，柳树树叶的形状差别比杨树树叶小”； ∵杨树树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是， ∴从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，杨树树叶的长约为宽的2倍． 故答案为②． 【小问3详解】 这片树叶更可能来自柳树，理由如下： ∵一片长12cm，宽cm的树叶，长宽比为， ∴这片树叶更可能来自柳树． 19. 延吉作为网红城市，吸引了很多研学团队．某中学研学团队来到了延吉民俗园，欣赏特色朝鲜族民族建筑的同时开展了如下实践活动： 研学一：如图①，在电子测量不发达的时代，工人师傅在等腰三角形的房屋框架即等腰三角形的顶角顶点处用绳子系一个重物，如果系重物的绳子正好经过底边中点，则说明底边横梁是水平的．这种测量方式主要应用了等腰三角形的什么性质？绳子系上重物，受重力影响，始终竖直向下，称为铅垂线，铅垂线与水平线互相垂直 研学二：地理学称这种房顶结构为斜顶房屋，如图①，由等腰三角形和矩形构成，这种设计不仅有利于排水，还增加了内部架构的挑高屋顶最高点到地面的垂直高度，使内部空间看起来更开阔．老师鼓励同学们利用铅垂线和量角器自制测角仪，并设计测量房顶的最高挑高方案，如图②． (1)将量角器的圆心点与方案中的点重合，直径与线段在一条直线上，如图③，此时铅垂线恰好过刻度线，如图④所示．在图③中，若为水平线，____． (2)经测量可知：米，米，如图②，过点作于点，交线段于点，求房顶最高点距离地面的高度结果保留到小数点后一位．参考数据：，， 【答案】研学一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(等腰三角形的三线合一)；研学二：（1）；（2）房顶最高点A距离地面的垂直高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，构造直角三角形是解题的关键； 研学一：根据等腰三角形的三线合一的性质，即可求解； 研学二：（1）根据为水平线，则，进而根据铅垂线恰好过刻度线，即可求解； （2）由题意得四边形为矩形，为水平线，四边形是矩形，在中，得出，四边形是矩形，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：研学一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合等腰三角形的三线合一． 研学二：（1）为水平线，则 ∵铅垂线恰好过刻度线， ∴ 故答案为：． ②由题意得四边形为矩形，为水平线， ， ，， ，四边形是矩形，． ，，， ． 在中，， ， ． 四边形是矩形，， ， ． 答：房顶最高点距离地面的垂直高度为米． 20. 延边大学网红墙是热门网红打卡地，大学生李明和张强相约来延吉旅游．已知德铭宾馆、公园、延边大学网红墙在同一条直线道路上．两人从德铭宾馆出发，打车匀速行驶到距离宾馆的延边大学网红墙，在网红墙拍照停留后选择分开游玩．李明独自匀速步行到延吉人民公园观赏荷花，张强停留在网红墙处购买纪念品．李明在公园停留后原路匀速步行返回宾馆．图象反映了整个过程中李明离宾馆的距离与离开宾馆的时间之间的变化关系．根据相关信息，解答下列问题： （1）填空： ①从宾馆打车到网红墙所用时间为______； ②李明从宾馆出发时距离宾馆______； ③网红墙距离公园______；李明从网红墙匀速步行到公园的速度为_____． （2）求当时，y关于x的函数解析式； （3）当李明离开网红墙后，张强快步以的速度原路返回和李明汇合，当张强与李明汇合时，汇合地点距离宾馆多远？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①5 ② ③， （2）当时，y关于x的函数解析式为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①②③根据图象即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）当李明离开网红墙后，此时时间为离开宾馆35分钟后，则设离开宾馆分钟后，张强与李明汇合时，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：①根据图象可得从宾馆打车到网红墙所用时间为； ②李明从宾馆出发时距离宾馆； ③网红墙距离公园；李明从网红墙匀速步行到公园的速度为， 故答案为：5；；，； 【小问2详解】 解：设当时，y关于x的函数解析式为， 根据图象，把，代入可得， ， 解得， 所以当时，y关于x的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当李明离开网红墙后，此时时间为离开宾馆35分钟后， 由（2）中值可得当时，李明的速度为， 设离开宾馆分钟后，张强与李明汇合，根据题意， 可得方程， 解得， 把代入， 可得， 答：当张强与李明汇合时，汇合地点距离宾馆． 21. 小明在做木工时发现了一些有意思的结论．为了验证自己的猜想，他将一根木条抽象为线段，如图①，取线段中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段（点、点为旋转前后的对应点）．设旋转角度为，且，连接、．经过多次测量，他发现在旋转过程中的度数没有发生变化． （1）求的度数． （2）小明又进行了如下研究：如图②，若与关于直线对称，判断四边形的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，小明选取了一些数据，又进行如下操作：若，当时，如图③，将四边形沿射线方向平移，在平移过程中始终保持点、、三点在同一条直线上，当点与点重合时停止移动，设平移的距离为，平移过程中四边形与重合图形的面积为，直接写出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：四边形为菱形．理由如下： ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ， ∵ 由（1）得， ∴， ∴四边形为菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得出，由等边对等角得出，由线段中点得出，由等边对等角得出，由三角形内角和定理得出可得出，即． （2）由轴对称的性质得出， ，由（1）得，即可得出，即四边形为菱形． （3）先证明四边形为正方形，由正方形的性质得出，，即可得出，然后分两种情况，利用平移的性质得出关于的函数解析式即可． 【小问1详解】 解：∵ 线段绕C点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵点C是线段中点， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知四边形为菱形． 当时， 则四边形为正方形， ∴，， ∴， 当时，根据题意如下图： 根据平移的性质可得出， ∵ ∴， ∴，， ∴，， ∴ 当时，根据题意如下图： 此时，则， ∴， 综上 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，平移的性质，求函数解析式等，掌握这些知识是解题的关键． 22. 某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究． 首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图①，将其整体看成图象，是二次函数和一次函数的图象组合．分析得到：若时，；若时，．随后他们测量了图象上一些点的坐标，数据如下： （1）直接写出，，的值． （2）如图②，他们在整个图象上设计了一个动点，设点的横坐标为，过点作一条平行于轴的直线，在直线上取点，点的横坐标为． ①当时，求出点落在图象上时的值． ②如图③，若过、两点作轴的垂线，垂足分别为点、点，得到矩形，当矩形为正方形时，求的值． ③在直线上另取点，点的横坐标为（点与点不重合），当线段的长度随的增大而增大时，分别直接写出线段与图象的交点个数为个和2个时的取值范围． 【答案】（1），， （2）①；②当的值为，，，时，矩形为正方形；③当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个 【解析】 【分析】（1）将，；；，，，代入当时，；当时，，求解即可； （2）①由题意知：当时，点，都在二次函数图象上，且轴，推出，求解即可； ②由题意知：点的横坐标为，点的横坐标为，轴，得，推出，点的纵坐标为或，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； ③根据线段的长度随的增大而增大，推出，根据二次函数图象的对称性得点关于对称轴的对称点的横坐标为；继而推出当时，线段与图象的交点个数为个；然后再分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵当时，；当时，， 又∵当时，；当时；，当时，， ∴， 解得：， ∴当时，；当时，， 【小问2详解】 解：①∵当时，， 又∵当时，点，都在二次函数图象上，且点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， 解得：； ②∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， ∵矩形为正方形，轴， ∴， ∴点的纵坐标为或， 当时， ，解得：（不符合题意，舍去）或； ，解得：或； 当时，，解得： 综上所述，当的值为，，或时，矩形为正方形； ③∵点的横坐标为，点的横坐标为，轴， ∴， 又∵线段的长度随的增大而增大， ∴，即， ∴， 此时二次函数图象上点关于对称轴的对称点的横坐标为； ∵， ∴当时，线段与图象的交点个数为个； 当时，，此时线段与图象的交点个数为个； ∵当时，， 当时，， ∴， 当线段与图象的交点个数为个时，则， 解得：， ∴； 当线段与图象的交点个数为个时，则， 解得：（不符合题意，舍去）或， 综上所述，当时，线段与图象的交点个数为个；当时，线段与图象的交点个数为个． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，一元二次方程与不等式的应用等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 延边州2024～2025学年度下学期九年级教学质量检测 数学试题 数学试题共8页，包括二道大题，共22道小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入6元记作元，那么支出15元，记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，、是上两点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 《哪吒之魔童闹海》再创新纪录，此片已达全球影史票房榜第五位，票房约元，用科学记数法表示为__________． 8. 几位同学合买一个篮球，每人出7元，还差5元，设同学的人数为人，则这个篮球的价格用代数式表示为__________元． 9. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧，交坐标轴于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若点的坐标为，则点的坐标是______． 10. 如图，五线谱是由等距离的五条平行横线组成的．如果直线上的三个点都在横线上，且两点间的距离为4，那么两点间的距离为______． 11. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，线段为半径的弧交于点，则阴影部分的扇形面积是______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 某新能源汽车厂原计划在一段时间内生产2400台电动汽车．为了推动绿色发展的战略举措，该厂决定提高生产效率，现平均每天生产的电动汽车数量是原来的1.2倍，实际比规定时间少用20天完成．原计划平均每天生产多少台电动汽车？ 14. 如图，，，．求证：． 15. 二十四节气是上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史积淀．老师收集了四个有节气图案的小球：A．小满，B．芒种，C．夏至，D．小暑，这些小球除图案外无其他差别，老师将这四个小球放在一个不透明的袋子中． （1）学生小蕾从袋子中随机摸出一个小球，摸到小球的图案是“A．小满”的概率是__________； （2）学生小涛从袋子中随机摸出一个小球（不放回），老师再从袋子中剩下的小球里随机摸出一个小球，请用画树状图或列表的方法，求两人都没有摸到图案“C．夏至”的概率． 16. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求I与R的函数关系式； （2）若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过电流，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 17. 如图是由的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，所画图形用实线表示． （1）在图①中，在格点上找到点C，作直角三角形，使其面积为4． （2）在图②中，在格点上找到点D，作钝角三角形，使其面积为4． （3）在图③中，在格点上找到点E，作等腰直角三角形，使其面积为5． 18. 老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．同学们随机收集柳树、杨树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长和宽（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 柳树叶的长宽比： 杨树叶的长宽比：2 2 2 2 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 柳树叶的长宽比 m 4 杨树叶的长宽比 n （1）上述表格中：m＝______，n＝______ （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为柳树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现杨树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是______．（填序号） （3）现有一片长11cm，宽cm的树叶，判断这片树叶可能来自柳树、杨树中的哪种树，并写出理由． 19. 延吉作为网红城市，吸引了很多研学团队．某中学研学团队来到了延吉民俗园，欣赏特色朝鲜族民族建筑的同时开展了如下实践活动： 研学一：如图①，在电子测量不发达的时代，工人师傅在等腰三角形的房屋框架即等腰三角形的顶角顶点处用绳子系一个重物，如果系重物的绳子正好经过底边中点，则说明底边横梁是水平的．这种测量方式主要应用了等腰三角形的什么性质？绳子系上重物，受重力影响，始终竖直向下，称为铅垂线，铅垂线与水平线互相垂直 研学二：地理学称这种房顶结构为斜顶房屋，如图①，由等腰三角形和矩形构成，这种设计不仅有利于排水，还增加了内部架构的挑高屋顶最高点到地面的垂直高度，使内部空间看起来更开阔．老师鼓励同学们利用铅垂线和量角器自制测角仪，并设计测量房顶的最高挑高方案，如图②． (1)将量角器的圆心点与方案中的点重合，直径与线段在一条直线上，如图③，此时铅垂线恰好过刻度线，如图④所示．在图③中，若为水平线，____． (2)经测量可知：米，米，如图②，过点作于点，交线段于点，求房顶最高点距离地面的高度结果保留到小数点后一位．参考数据：，， 20. 延边大学网红墙是热门网红打卡地，大学生李明和张强相约来延吉旅游．已知德铭宾馆、公园、延边大学网红墙在同一条直线道路上．两人从德铭宾馆出发，打车匀速行驶到距离宾馆的延边大学网红墙，在网红墙拍照停留后选择分开游玩．李明独自匀速步行到延吉人民公园观赏荷花，张强停留在网红墙处购买纪念品．李明在公园停留后原路匀速步行返回宾馆．图象反映了整个过程中李明离宾馆的距离与离开宾馆的时间之间的变化关系．根据相关信息，解答下列问题： （1）填空： ①从宾馆打车到网红墙所用时间为______； ②李明从宾馆出发时距离宾馆______； ③网红墙距离公园______；李明从网红墙匀速步行到公园的速度为_____． （2）求当时，y关于x的函数解析式； （3）当李明离开网红墙后，张强快步以的速度原路返回和李明汇合，当张强与李明汇合时，汇合地点距离宾馆多远？（直接写出结果即可） 21. 小明在做木工时发现了一些有意思的结论．为了验证自己的猜想，他将一根木条抽象为线段，如图①，取线段中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段（点、点为旋转前后的对应点）．设旋转角度为，且，连接、．经过多次测量，他发现在旋转过程中的度数没有发生变化． （1）求的度数． （2）小明又进行了如下研究：如图②，若与关于直线对称，判断四边形的形状，并说明理由． （3）在（2）的条件下，小明选取了一些数据，又进行如下操作：若，当时，如图③，将四边形沿射线方向平移，在平移过程中始终保持点、、三点在同一条直线上，当点与点重合时停止移动，设平移的距离为，平移过程中四边形与重合图形的面积为，直接写出关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 22. 某校数学学习小组的同学们对过山车的轨道设计很好奇，他们在网上找到一张过山车的设计图，截取其中的一部分，利用一次函数和二次函数相关知识进行探究． 首先他们在平面直角坐标系中画出这个图形，如图①，将其整体看成图象，是二次函数和一次函数的图象组合．分析得到：若时，；若时，．随后他们测量了图象上一些点的坐标，数据如下： （1）直接写出，，的值． （2）如图②，他们在整个图象上设计了一个动点，设点的横坐标为，过点作一条平行于轴的直线，在直线上取点，点的横坐标为． ①当时，求出点落在图象上时的值． ②如图③，若过、两点作轴的垂线，垂足分别为点、点，得到矩形，当矩形为正方形时，求的值． ③在直线上另取点，点的横坐标为（点与点不重合），当线段的长度随的增大而增大时，分别直接写出线段与图象的交点个数为个和2个时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $