专题12 锐角三角函数-备战2025年浙江中考数学高频热点专题突破

专题12 锐角三角函数 【热点1锐角三角函数的概念】 1．（2025•富阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．a＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 【思路点拨】根据锐角三角函数的定义进行判断即可． 【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c， ∵sinB＝，tanB＝ ∴b＝c•sinB，b＝a•tanB， 因此选项A不符合题意；选项B符合题意；选项C不符合题意；选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 2．（2025•鹿城区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sin∠A＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解． 【解析】解：∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6， ∴sin∠A＝＝＝． 故选：A． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键． 3．（2025•金东区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，则sinB＝　　 ． 【思路点拨】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3＝， 设AC＝k，则BC＝3k， ∴AB＝＝k， ∴sinB＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，理解锐角三角函数的定义，掌握勾股定理是正确解答的前提． 4．（2025•余姚市一模）tan60°的值等于（　　） A．1 B． C． D．2 【思路点拨】根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案． 【解析】解：tan60°＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容． 5．（2025•钱塘区一模）求值：sin230°+cos230°＝　1　 ． 【思路点拨】根据特殊角的三角函数值计算． 【解析】解：原式＝（）2+（）2＝+＝1． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 【相关链接】特殊角三角函数值： sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝； sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1； sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝． 【热点2解直角三角形】 1．（2025•衢州一模）如图，△ABC的三个顶点都在3×1的正方形网格的格点上，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意，在Rt△ABM中结合正切的定义即可解决问题． 【解析】解：如图所示， 令小正方形的边长为a， 在Rt△ABM中， tanB＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键． 2．（2025•浙江一模）如图，已知AD∥BC，BD⊥AC，AC＝4，BD＝8，则sin∠DBC＝ 　　 ． 【思路点拨】过D作DE∥AC，交BC延长线于点E，证明四边形ADEC是平行四边形，则AC＝DE＝4，再由勾股定理求出，然后由即可求解． 【解析】解：过D作DE∥AC，交BC延长线于点E， ∵AD∥BC， ∴四边形ADEC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∴AC＝DE＝4， ∵BD⊥AC， ∴BD⊥DE， ∴∠BDE＝90°， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（2025•富阳区一模）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，sinB＝，AC＝4．求∠A的度数和△ABC的面积． 【思路点拨】根据∠B的正弦值，先确定∠B的度数，求出AB，再求出BC，最后求出三角形的面积． 【解析】解：在Rt△ABC中， ∵sinB＝＝， ∴∠B＝60°，AB＝＝＝8． ∴BC＝ ＝ ＝4． ∴∠A＝90°﹣60°＝30°． ∴S△ABC＝AC•BC ＝×4×4 ＝8． 答：∠A为30°，△ABC的面积为8． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 4．（2025•江北区二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是BC边上的中线，tan∠BAD＝1，DE⊥AC，垂足为E． （1）求sinC的值． （2）求AE的长． 【思路点拨】（1）首先解直角三角形求出BD＝AB＝2，然后勾股定理求出AC，然后根据正弦函数的定义求解即可； （2）首先解直角三角形求出CE，进而求解即可． 【解析】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝2，tan∠BAD＝1， ∴BD＝AB＝2． ∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD＝2， ∴BC＝2BD＝4． 在Rt△ABC中，， ∴； （2）∵BC＝4，， ∴； ∵DE是△ADC的高线， ∴． ∴． 【点睛】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 5．（2025•杭州模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠ACB的平分线CE交AD于点F，AC＝10，sin∠CAD＝． （1）求AD的长． （2）求cos∠ACE的值． 【思路点拨】（1）先求出CD的长，再结合勾股定理求出AD的长即可． （2）令AD与CE的交点为M，过点M作AC的垂线，垂足为N，利用面积法求出MN的长，据此求出∠ACE的余弦即可． 【解析】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°． 在Rt△ACD中， sin∠CAD＝， ∴， 则CD＝6， ∴AD＝． （2）令AD与CE的交点为M，过点M作AC的垂线，垂足为N， ∵CE平分∠ACB，MD⊥CB，MN⊥AC， ∴MD＝MN． ∵S△ACD＝S△ACM+S△DCM， ∴， ∴MN＝MD＝3， ∴MC＝． 在Rt△MCN中， CN＝， ∴cos∠ACE＝． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟知余弦的定义及勾股定理是解题的关键． 6．（2025•衢州三模）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，且AB＝AD，AE⊥BC，AB＝13，AE＝12，CD＝11． （1）求BE的长． （2）求tan∠ACE的值． 【思路点拨】（1）直接利用勾股定理求出BE的长即可； （2）根据等腰三角形的性质求出DE的长，故可得出CE的长，进而可得出结论． 【解析】解：（1）∵AE⊥BC，AB＝13，AE＝12， ∴BE＝＝＝5； （2）∵AB＝AD，AE⊥BC，BE＝5， ∴DE＝BE＝5， ∵CD＝11， ∴CE＝DE+CD＝5+11＝16， ∴tan∠ACE＝＝＝． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 7．（2025•黄岩区二模）在△ABC中，∠B＝90°，点D为BC边上的一点，BC＝8，． （1）求AB的长； （2）若AB﹣BD＝2，求sin∠ADB的值． 【思路点拨】（1）根据∠C的正切及BC的长即可解决问题． （2）先求出BD的长，再进一步求出AD的长，最后根据正弦的定义即可解决问题． 【解析】解：（1）在Rt△ABC中， tanC＝． ∵tanC＝，BC＝8， ∴AB＝． （2）∵AB＝4，AB﹣BD＝2， ∴BD＝2． 在Rt△ABD中， AD＝， ∴sin∠ADB＝． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切及正弦的定义是解题的关键． 8．（2025•滨江区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若，． （1）求AB的长． （2）若CD是斜边AB上的中线，求tan∠CDB的值． 【思路点拨】（1）先根据已知条件和锐角正弦值的定义，求出AB即可； （2）先根据已知条件和直角三角形的性质求出CE，然后再根据三角形的面积公式求出CE，再利用勾股定理求出DE，最后利用正切值的定义求出答案即可． 【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，， ∴， 设， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ， 20x2+5＝25x2， 5x2＝5， x2＝1， ∴x＝1或﹣1（不合题意舍去）， ∴AB＝5； （2）如图所示：过点C作CE⊥AB，垂足为点E， ∴∠CED＝90°， ∵CD是斜边AB上的中线，由（1）可知AB＝5， ∴， ∵△ABC的面积＝， ∴AC•BC＝AB•CE， ， ∴CE＝2， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题关键是熟练掌握锐角三角函数值的定义． 【热点3解直角三角形的应用】 1．（2025•钱塘区一模）如图，已知钟摆的摆长OA为m米，当钟摆由OA位置摆动至OB位置时，钟摆摆动的角度为40°，此时摆幅AB的长可以表示为（　　）米． A．m•sin20° B．m•sin40° C．2m•cos20° D．2m•sin20° 【思路点拨】过点O作 OD⊥AB于点D．因为OA＝OB，推出，．在Rt△AOD中，，推出AD＝OA•sin∠AOD＝m•sin20°（米）．则AB＝2AD＝2m•sin20°（米）． 【解析】解：过点O作 OD⊥AB于点D． ∵OA＝OB， ∴，． 在Rt△AOD中，， ∴AD＝OA•sin∠AOD＝m•sin20°（米）． ∴AB＝2AD＝2m•sin20°（米）． 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握相关知识． 2．（2025•杭州一模）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为　　 ． 【思路点拨】根据题意，延长CE交AB的延长线于点D，得到Rt△ACD，再分别求出CD，AD长，即可得到结果． 【解析】解：如图2，延长CE交AB的延长线于点D， ∵在△EFC中，EF＝FC＝a，∠EFC＝120°，作FG⊥EC于G点， ∴∠EFG＝60°，即∠FEG＝30°， ∴FG＝EF＝a， ∴EG＝＝＝， ∴CD＝a，BD＝FG＝a， ∴AD＝a， ∴Rt△ACD中，∠ADC＝90°，tan∠BAC＝， ∴tan∠BAC＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及到正六边形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 3．（2025•萧山区一模）小区内开车必须遵守限速5m/s安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，经过2秒直行到B处刚好观察到C处的儿童（此时B，O，C三点共线）．已知CM＝3m，OC＝5m，OD＝3m，∠OAD＝20°，试问该汽车是否遵守行车安全规范？ （参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36） 【思路点拨】在Rt△OCM中，由勾股定理得到OM长，利用Rt△OCM∽Rt△OBD，求出BD，在Rt△ODA中，求出AD，从而得到AB，求出小车行驶的速度，即可得到结果． 【解析】解：∵在Rt△OCM中，∠M＝90°，CM＝3m，OC＝5m， ∴（m）， ∵∠COM＝∠BOD，∠M＝∠D＝90°， ∴Rt△OCM∽Rt△OBD， ∴， ∵CM＝3m，OD＝3m， ∴（m）， ∵在Rt△ODA中，∠D＝90°，， ∴（m）， ∴AB＝AD﹣BD＝8.33﹣2.25＝6.08（m）， ∴小车行驶的速度为6.08÷2＝3.04（m/s）， ∵3.04＜5， ∴小车行驶符合安全规范． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 4．（2025•临安区一模）（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为60°，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号） （2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为40°，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到0.1米，可参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【思路点拨】（1）作出单梯所在的直角三角形，利用单梯的长度和60°的正弦值可得此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米； （2）如图2：作DM⊥EF于点M，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM的长度和∠EDM的度数，利用EM的长度和∠EDM的正切值可得DM的长度，也就是双梯顶端距离地面的高度． 【解析】解：（1）如图1：作AC⊥地面BC于点C，则∠C＝90°， 由题意得：AB＝3米，∠ABC＝60°， ∴AC＝3×sin60°＝（米）． 答：单梯的顶端距离地面的高度为米； （2）如图2：作DM⊥EF于点M，则∠DME＝90°， 由题意得：DE＝DF，EF＝1米，∠EDF＝40°， ∴EM＝0.5米，∠EDM＝20°， ∴DM＝≈1.4（米）． 答：此时双梯顶端距离地面的高度约为1.4米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段整理到直角三角形中并进行求解是解决本题的关键． 5．（2025•定海区一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂AB＝12cm，中臂BC＝8cm，底座CD＝4cm． （1）若上臂AB与水平面平行，∠ABC＝60°，计算点A到地面的距离；（结果保留根号） （2）在一次操作中，中臂与底座成135°夹角，上臂与中臂夹角为105°，如图③，计算此时点A到地面的距离．（精确到0.1cm，，） 【思路点拨】（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M，由含30°角的直角三角形的性质得BM＝BC＝4（cm），CM＝BM＝4（cm），即可得出答案； （2）过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂足分别为E，F，求出∠BCF°＝45°，∠CBF＝45°，∠ABF＝60°，则BF＝CF＝4（cm），AE＝6（cm），BE＝6（cm），求出点A到地面的距离EG的长，即可解决问题． 【解析】解：（1）如图②，过点C作CM⊥AB，垂足为M，则∠BMC＝90°， ∵∠ABC＝60°，BC＝8cm， ∴∠BCM＝30°， ∴BM＝BC＝4（cm），CM＝BM＝4（cm）， ∴DM＝CM+CD＝（4+4）cm， 即点A到地面的距离为（4+4）cm； （2）如图2，过点B作BG垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作BG的垂线，垂足分别为E，F， ∵∠BCD＝135°，∠ABC＝105°， ∴∠BCF＝135°﹣90°＝45°，∠CBF＝45°，∠ABF＝105°﹣45°＝60°， ∴BF＝CF＝BC＝4（cm），AE＝AB×sin∠ABF＝12×＝6（cm），BE＝AB＝6（cm）， ∴点A到地面的距离为EG＝BF+FG﹣BE＝4+4﹣6＝（4cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 6．（2025•萧山区一模）如图，梯子AB＝AC＝a，梯子与地面的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　） A．a•sinα B．a•cosα C．2a•sinα D．2a•cosα 【思路点拨】根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可得到结论． 【解析】解：作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC＝a， ∴CD＝BC， ∵∠ACB＝α，cos∠ACD＝， ∴cosα＝， ∴BC＝2acosα， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．（2025•温州模拟）如图，小温通过“Smart Measure”软件测得手机镜头点A离地面的高度AB＝x，垂直地面的小旗杆底端C点的俯角α，顶端D点仰角β，则可得到小旗杆的高度为（　　） A．（sinα+sinβ）x B．（tanα+tanβ）x C． D． 【思路点拨】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AB＝CE＝x，AE＝CB，AE∥BC，从而可得∠EAC＝∠ACB＝α，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，再在Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解析】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E， 由题意得：AB＝CE＝x，AE＝CB，AE∥BC， ∴∠EAC＝∠ACB＝α， 在Rt△ABC中，BC＝＝， ∴AE＝BC＝， 在Rt△AED中，∠DAE＝β， ∴DE＝AE•tanβ＝•tanβ＝， ∴DC＝DE+CE＝x+＝x（1+）， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．（2025•钱塘区一模）在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶A处观测，测得对面一幢楼房顶部B处的仰角为37°，测得这幢楼房底部C处的俯角为30°．已知观测点A处距地面的高度AD为24米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）． （1）求两幢楼房之间的水平距离CD（结果保留根号）． （2）求对面这幢楼房的高度BC（结果取整数）． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） 【思路点拨】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，根据题意可得：EC＝AD＝24米，CD＝AE，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，即可解答； （2）在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解析】解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E， 由题意得：EC＝AD＝24米，CD＝AE， 在Rt△AEC中，∠EAC＝30°， ∴AE＝＝＝24（米）， ∴AE＝CD＝24米， ∴两幢楼房之间的水平距离CD为24米； （2）在Rt△ABE中，∠BAE＝37°，AE＝24米， ∴BE＝AE•tan37°≈24×0.75＝18（米）， ∵CE＝24米， ∴CB＝BE+CE＝18+24≈55（米）， ∴对面这幢楼房的高度BC约为55米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 9．（2025•定海区一模）如图，小聪和小明在校园内测量钟楼MN的高度．小聪在A处测得钟楼顶端N的仰角为45°，小明在B处测得钟楼顶端N的仰角为60°，并测得A，B两点之间的距离为27.3米．已知点A，M，B依次在同一直线上． （1）求钟楼MN的高度． （2）学校在钟楼顶端N处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C处（点C在线段AM上）．小聪测得点C处的仰角∠NCM等于85.6°，求CM的长为多少米？ （参考数据：°≈13.00，结果精确到0.1米） 【思路点拨】（1）设MN＝x米，在Rt△AMN中，可得AM＝MN＝x米．在Rt△BMN中，根据tan60°＝，可得BM＝＝米，进而可得AB＝AM+BM＝x+＝27.3，求出x的值即可． （2）在Rt△CMN中，可得tan85.6°＝，代入计算即可． 【解析】解：（1）设MN＝x米， 在Rt△AMN中，∠NAM＝45°， ∴AM＝MN＝x米． 在Rt△BMN中，∠NBM＝60°， ∴tan60°＝， ∴BM＝＝米， ∵A，B两点之间的距离为27.3米， ∴AB＝AM+BM＝x+＝27.3， 解得x≈17.3， ∴钟楼MN的高度约17.3米． （2）在Rt△CMN中，∠NCM＝85.6°， ∴tan85.6°＝， ∴CM＝≈≈1.3（米）． 答：CM的约长1.3米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 10．（2025•西湖区一模）综合与实践． 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝53°，BC＝15m，点B，C，D在地面的同一条直线上，AD⊥BD于点D．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度AD． （参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案． 爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形ABC中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β，BC＝m，AD⊥BC于点D，用含α，β和m的代数式表示AD． 解：设AD＝x，因为tanα＝， 所以BD＝． 同理，因为tanβ＝， 所以CD＝①　　 ． 因为BC＝BD+CD＝m， 解得x＝②　　 ． 即可求得AD的长． 【思路点拨】（1）根据正切的定义，在Rt△ACD中得到CD＝AD，在Rt△ABD中BD＝AD，再利用BD﹣CD＝BC得到AD﹣AD＝15，然后解方程求出AD即可； （2）设AD＝x，利用正切的定义得到BD＝．CD＝．再利用BC＝BD+CD＝m得到关于x的方程，然后解方程即可． 【解析】解：（1）如图， 在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝， ∴CD＝≈＝AD， 在Rt△ABD中，∵tan∠B＝， ∴BD＝＝AD， ∵BD﹣CD＝BC， ∴AD﹣AD＝15， 解得AD＝60（m）． 答：热气球离地面的高度AD为60m； （2）设AD＝x，因为tanα＝， 所以BD＝． 同理，因为tanβ＝， 所以CD＝． 因为BC＝BD+CD＝m， 解得x＝ 即可求得AD的长． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解仰角俯角的定义，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 11．（2025•湖州一模）纵观古今，解码测量背后的数学智慧． （1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，∠ABE＝∠CDE＝90°，AE与CD交于点F．测得DF＝0.35米，DE＝0.55米，BE＝22米，求树AB的高度． （2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（AB的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角α为45°，与山脚D处的俯角β为65°．（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角γ为45°；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角θ为25°．（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.90，tan25°≈0.47） 【思路点拨】（1）根据已知条件，可得到△ABE∽△FDE，可得到对应边成比例，即，从而得到结果； （2）根据题意，方案一不可行，选择方案二，得到△ACE是等腰直角三角形，在Rt△AGH中，求出AE，从而得到结果． 【解析】解：（1）∵∠ABE＝∠CDE＝90°，∠AEB＝∠FED， ∴△ABE∽△FDE， ∴， ∵DF＝0.35米，DE＝0.55米，BE＝22米， ∴， ∴AB＝14， 答：树AB的高度为14米； （2）选择方案二进行问题解决： ∵∠ACE＝γ＝45°，∠AEC＝90°， ∴AE＝CE， ∵∠AGH＝θ＝25°，∠AHG＝90°， ∴， 可得， ∴（米）， ∴AB＝AE+EB＝CE+CF＝160（米）， ∴山体高度约为160米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 锐角三角函数 【热点1锐角三角函数的概念】 1．（2025•富阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．a＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB 2．（2025•鹿城区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sin∠A＝（　　） A． B． C． D． 3．（2025•金东区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，则sinB＝　 　 ． 4．（2025•余姚市一模）tan60°的值等于（　　） A．1 B． C． D．2 5．（2025•钱塘区一模）求值：sin230°+cos230°＝　 　 ． 【热点2解直角三角形】 1．（2025•衢州一模）如图，△ABC的三个顶点都在3×1的正方形网格的格点上，则tanB的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025•浙江一模）如图，已知AD∥BC，BD⊥AC，AC＝4，BD＝8，则sin∠DBC＝ 　 　 ． 3．（2025•富阳区一模）在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，sinB＝，AC＝4．求∠A的度数和△ABC的面积． 4．（2025•江北区二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，AD是BC边上的中线，tan∠BAD＝1，DE⊥AC，垂足为E． （1）求sinC的值． （2）求AE的长． 5．（2025•杭州模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠ACB的平分线CE交AD于点F，AC＝10，sin∠CAD＝． （1）求AD的长． （2）求cos∠ACE的值． 6．（2025•衢州三模）如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，且AB＝AD，AE⊥BC，AB＝13，AE＝12，CD＝11． （1）求BE的长． （2）求tan∠ACE的值． 7．（2025•黄岩区二模）在△ABC中，∠B＝90°，点D为BC边上的一点，BC＝8，． （1）求AB的长； （2）若AB﹣BD＝2，求sin∠ADB的值． 8．（2025•滨江区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若，． （1）求AB的长． （2）若CD是斜边AB上的中线，求tan∠CDB的值． 【热点3解直角三角形的应用】 1．（2025•钱塘区一模）如图，已知钟摆的摆长OA为m米，当钟摆由OA位置摆动至OB位置时，钟摆摆动的角度为40°，此时摆幅AB的长可以表示为（　　）米． A．m•sin20° B．m•sin40° C．2m•cos20° D．2m•sin20° 2．（2025•杭州一模）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为　 　 ． 3．（2025•萧山区一模）小区内开车必须遵守限速5m/s安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，经过2秒直行到B处刚好观察到C处的儿童（此时B，O，C三点共线）．已知CM＝3m，OC＝5m，OD＝3m，∠OAD＝20°，试问该汽车是否遵守行车安全规范？ （参考数据：cos20°≈0.94，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36） 4．（2025•临安区一模）（1）如图1，长为3米的单梯倚靠墙角，测得地面与单梯的夹角为60°，则此时单梯的顶端距离地面的高度为多少米？（结果保留根号） （2）现有家用可折叠双梯（如图2），已知该双梯撑开使用时，张开角度为40°，两底端距离为1米，则此时双梯顶端距离地面的高度为多少米？（结果精确到0.1米，可参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 5．（2025•定海区一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂AB＝12cm，中臂BC＝8cm，底座CD＝4cm． （1）若上臂AB与水平面平行，∠ABC＝60°，计算点A到地面的距离；（结果保留根号） （2）在一次操作中，中臂与底座成135°夹角，上臂与中臂夹角为105°，如图③，计算此时点A到地面的距离．（精确到0.1cm，，） 6．（2025•萧山区一模）如图，梯子AB＝AC＝a，梯子与地面的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　） A．a•sinα B．a•cosα C．2a•sinα D．2a•cosα 7．（2025•温州模拟）如图，小温通过“Smart Measure”软件测得手机镜头点A离地面的高度AB＝x，垂直地面的小旗杆底端C点的俯角α，顶端D点仰角β，则可得到小旗杆的高度为（　　） A．（sinα+sinβ）x B．（tanα+tanβ）x C． D． 8．（2025•钱塘区一模）在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶A处观测，测得对面一幢楼房顶部B处的仰角为37°，测得这幢楼房底部C处的俯角为30°．已知观测点A处距地面的高度AD为24米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）． （1）求两幢楼房之间的水平距离CD（结果保留根号）． （2）求对面这幢楼房的高度BC（结果取整数）． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，） 9．（2025•定海区一模）如图，小聪和小明在校园内测量钟楼MN的高度．小聪在A处测得钟楼顶端N的仰角为45°，小明在B处测得钟楼顶端N的仰角为60°，并测得A，B两点之间的距离为27.3米．已知点A，M，B依次在同一直线上． （1）求钟楼MN的高度． （2）学校在钟楼顶端N处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C处（点C在线段AM上）．小聪测得点C处的仰角∠NCM等于85.6°，求CM的长为多少米？ （参考数据：°≈13.00，结果精确到0.1米） 10．（2025•西湖区一模）综合与实践． 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝53°，BC＝15m，点B，C，D在地面的同一条直线上，AD⊥BD于点D．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度AD． （参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案． 爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形ABC中，设∠ABC＝α，∠ACB＝β，BC＝m，AD⊥BC于点D，用含α，β和m的代数式表示AD． 解：设AD＝x，因为tanα＝， 所以BD＝． 同理，因为tanβ＝， 所以CD＝①　 　 ． 因为BC＝BD+CD＝m， 解得x＝②　 　 ． 即可求得AD的长． 11．（2025•湖州一模）纵观古今，解码测量背后的数学智慧． （1）【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，∠ABE＝∠CDE＝90°，AE与CD交于点F．测得DF＝0.35米，DE＝0.55米，BE＝22米，求树AB的高度． （2）【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（AB的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角α为45°，与山脚D处的俯角β为65°．（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角γ为45°；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角θ为25°．（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.90，tan25°≈0.47） 学科网（北京）股份有限公司 $$