青海省西宁市2025届高三下学期高考复习检测（二）数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试 西宁市高三年级复习检测（二） 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将自己的姓名、准考证号、座 位号填写在本试卷上。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。涂写在本试卷上无效。 3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知aeR,若(a2-1)+(a-1)i(i为虚数单位)是纯虚数，则a= A.0 B.1或-1 C.1 D.-1 2.已知数集A,B满足A∩B={1,2},AUB=11,2,3,4},若3A,则一定有 A.4∈A B.4A C.3∈B D.3庄B 3.若命题p:Hxe0,7,sinx>x,则命题p为 A.Vx.sin> B.xe0,sinr≤x C.,sinto D.3e0,,in≤ 4.已知向量a=(-1,2),b=(1,1),则a在b上的投影向量为 A.(2,-1) B.(-1,2) c别 D22 5.将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为 A.6 B.30 C.36 D.120 数学试卷·第1页（共6页） 6.等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a4=4,42+a5=8,则S。= A.24 B.28 C.36 D.48 7.已知A,B分别为曲线y=e+x+1和直线y=2x-3上的点，则AB的最小值为 A.5 B.415 G.25 D. 5 5 5 8.定义在R上的函数f八x)满足：①对任意x∈R都有f(x-2)+f(x)=0;②f(3)=3; ③函数y=f八x+2)的图象关于点(-2,0)对称；④对任意的x1,x2∈(0,1)，x1≠x2,都有 xf八x2)+x2f(x1)<xf(x1)+x2f八x2),则下列结论正确的是 A.f(2025)-f2024)=3 B.f(x)是偶函数 C)<g) D.f(x)的图象关于直线x=2对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名 学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据 此频率分布直方图，下列结论中正确的是 A.图中a的值为0.015： 组 0.040 B.估计样本数据的75%分位数为88： C.同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这 0.020--=-…-= a 1000名学生的平均成绩约为80.5： 0.005 0V5060708090100分数 D.由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异(80 分及以上)的人数约为5000人 数学试卷·第2页（共6页） 10.已知数列13-an}的前n项和为n·3”,则 A.a,=2n+I B.数列{an的前n项和为2n2+n C.数列{a,-10}的前n项和的最小值为-16 D.数列 1 的前n项和小于。 已知椭圆C:3+京10<b<3)的两个焦点分别为E,(0,-c),E,(0,c)(其中 点P在椭圆C上，点Q是圆E:x2+(y-4)2=1上任意一点，IPQ1+1PF2I的最小值为2， 则下列说明正确的是 A.椭圆的焦距为1 B.圆E过点F,的切线斜率为±22 C.若A,B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB的斜率之 积为-古 D.|PQ-PF2的最小值为4-23 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(x-2y)的展开式中x2y3的系数是 (用数字作答) 13.函数f(x)=2、x cosx|-x的零点个数为 14.如图，某香包挂件是正三棱锥形状，其底面边长和侧棱长均为4cm,若将此棱锥 放在一球形容器内可任意转动，则该球形容器表面积的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=xlnx. (1)求f(x)的最小值； (2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围. 数学试卷·第3页（共6页） 16.(15分) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD/BC,∠BAD=7,AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，O 是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A,BE的位置，得到四棱锥A,-BCDE. A(A) E B 图1 图2 (1)证明：CD⊥平面A,OC: (2)若平面A,BE⊥平面BCDE,求平面A,BC与平面A,CD夹角（锐角）的余弦值. 17.(15分) 某公路自行车比赛赛道的平面示意图为如图的五边形ABCDE.根据自行车比赛的需要，需预 留出AC,AD两条服务车道（不考虑宽度），DC,CB,BA,AE,ED为赛道，∠ABC=∠AED=2”, 3 ∠BAC=开，BC=26(km),CD=8(km）.注：km为千米. ()若0sCAD=子，求服务通道AD的长： (2)在(1)的条件下，求折线赛道AED的最长值（即AE+ED最大）.（结果保留根号) D 数学试卷·第4页（共6页） 18.(17分) 已知抛物线E的顶点为坐标原点O,焦点为(1,0)，过点M(2,0)的直线与E交于A,B两 点，且点A在第一象限，过点B作y轴的垂线与直线OA相交于点P. (1)求E的方程： (2)证明：点P在定直线l上； (3)延长B0交(2)中的直线1于点Q,若四边形ABPQ的面积S为16、2，求点A坐标. 数学试卷·第5页（共6页） 19.(17分) 某无人机公司新研发了一款无人机，在大型活动中使用时需要提前进行演练.该公司从生产 的一批无人机中抽取了k(k≥5，k∈N·)个，分别编号为1,2,3，…，k,不同的编号可以组成不 同的演练模型.现从中选取(n=2,3,·,k)个无人机组合为一种演练模型，则一共可以组合 成m(mN)种演练模型，其中f代k)=取最大值时，该模型为最佳模型。 m+k+11 (1)当k为何值时，模型最佳？并求出此时f(k)的值： (2)若k=7,求n≥4时的概率： (3)现任意抽取一个无人机试飞，每次成功的概率是p(0<p<1).若试验成功，则试验结 束：若不成功，则继续试验，直至第次（无论成功与否都结束试验）.设X为试验结束 时，进行试验的次数，X的数学期望为E(X),证明：E(X)< 数学试卷·第6页（共6页）2025年普通高等学校招生全国统一考试 西宁市高三年级复习检测（二） 数学试卷参考答案及评分意见 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D D B B A C 二、选择题： (注意：部分选对的，选项为2个每个3分，选项为3个每个2分) 题号 9 10 11 答案 AC ACD BD 三、填空题： 12.-80; 13.4; 14.24m 四、解答题：（每题只提供一种方法，如有不同方法，可按评分意见酌情给分） 15.解：(1)f(x)的定义域是(0，+∞)， f'(x)=lnx+1,… (1分) 令f'(x)>0,解得x>1 令f'()<0,解得0<x<1 故f代x)在(0，)上单调递减，在(】，+0)上单调递增，… (4分) 故x)=f日h是=- (5分) (2)对所有x≥1都有f(x)≥ax-1, 等价于xnx≥ax-1在[1，+o)恒成立， 等价于a≤+士在[1，+0)恒成立， (6分) 令g()=lx+士（x≥1)， 则a≤g(x)n即可；… . (7分) 因为g)=士 (8分) 所以当x≥1时，g(x)≥0恒成立， (10分) 所以g(x)在[1，+∞)上单调递增， (11分) 所以g(x)n=g(1)=1,… (12分) 所以a≤1，即实数a的取值范围为(-∞，1]. (13分) 1 16.(1)证明：因为AE=2AD=1,AB=BC=1,AD∥BC,∠BAD=受 所以ABCE为正方形，则AC⊥BE,… (1分) 所以EB⊥A1O,EB⊥C0,… (2分) 又A0∩C0=0,A,0C平面A,0C,C0C平面A,0C, 所以EB⊥平面A,0C,…(4分） 又BC∥ED,且BC=ED,故四边形BCDE为平行四边形， 所以CD∥BE,… (5分) 所以CD⊥平面A,OC (6分) (2)解：平面A,BE⊥平面BCDE, 又平面A,BEn平面BCDE=BE,A,O⊥BE,A,OC平面A,BE, 所以A,O⊥平面BCDE,…(8分) 又OCC平面BCDE,所以A,O⊥OC, 又由(1)知：B0⊥A0,B0⊥C0, 以0为原点，0,0元，0A的方向分别为x,y,z轴的正 方向建立空间直角坐标系， …(9分) 由题意知，40,0，号》号.o小，停0o.0,o号 则ac=0,号，-号4店=停0，-号，励=(2,0.0)，…(10分) 设平面A,CD的法向量为m=(名，为1，可)， 平面A1BC的法向量为n=(x22,2), 则 20 m.Ci=-2x1=0 令为=1，则1=1，名1=0，故m=(0,1,1) (12分) 0 则 0 令2=1，则x2=1,为2=1，故n=(1,1,1),… (13分) 设平面A,CD与平面A,BC的夹角为0， m·n2 cos0=lcos<m,n>|=Tm·n万x万3 所以平面A,BC与平面A,CD夹角的余弦值为5 (15分) 17.解：(1)在△ABC中，由正弦定理得 AC BC sin∠ABC sin∠BAC' (1分) 已知LABC=罗，LBAC=吾，BC=2,6(km) 则4G=26 26x 2 ,解得AC= =6(km);…(3分)） T sin 3 sin 4 ② 2 在△ACD中，由余弦定理得CD=AD2+AC2-2AC·AD·cos∠CAD,…(4分) 已知csLC4D=号，CD=8(km, 则64=402+36-4D, 整理得5AD2-36AD-140=0,解得AD=10(km). 所以服务通道AD的长为10千米.… (7分) (2)在△ADE中，由余弦定理得AD2=AE2+ED2-2AE·ED·cos∠AED, 由(1)知AD=10(km),又已知∠AED=2 则100=AE2+ED2+AE·AD, (8分) 所以100=(AE+ED)2-AE·AD, (11分) 因为AE·AD≤AE+ED)2 4 所以子(AE+ED)2≤100， 则(AE+ED)2≤400， 3 (13分) 所以A+BD≤20,5，当且仅当4=AD-10,时取=” 3 (14分) 所以折线赛道D的最长值为20干米 (15分) 18.解：(1)由题意，设抛物线E的标准方程为y2=2px, 则号=1，可得p=2, 故抛物线E的标准方程为y2=4x.… (2分) (2)若直线AB与x轴重合， 则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， (3分) 设直线AB的方程为x=my+2,设点A(x1,y1),B(x2,y2）, x=my +2 联立 可得y2-4my-8=0, (4分) y2=4x 3 4=16m2+32>0, 由韦达定理可得y1+2=4m,yy2=-8, (5分) 由题意可知，直线BP的方程为y=y2,… (6分) 直线OA的方程为y=x=x 4 X (7分) 1 |y=y2 联立直线BP,OA的方程得 =y2, y 4可得4 y 所以x婆=-2 因此，点P在定直线：x=-2上 (9分) (3)易知点P(-2,y2), 直线0B的方程为y=2x=x 4 x,…(10分) Y 4 |x=-2 联立直线OB与直线1的方程 4可得y2=-8, y=-x y2 由(2)y2=-8,所以y=y1 (11分) 故点Q(2,y1),则AQ1l,… (12分) 且|AQ=x1+2,|BP|=x2+2, 所以S=之(AQ+BP)·x-为 =+场+4)+ 唇+尊4小+员 =摩*小+是 =8+16+m+员 (15分) 因为点A在第一象限，四边形ABPQ的面积S为162 所以g(+8)=16,2 4 则y+8=4,2 y 解得y1=22 (16分)》 代入y2=4x,得x1=2 所以点A坐标为(2,2√2)… (17分) 19.（1)解：依题意有m=C经+C2+C+…+Ct=2-C9-C=2*-1-k, 所以代)=卡 k k Fm+k+1=(2-1-k)+k+12) (3分) 又k5,所以+1）-错-经片<0， 2k+1- 2 即f(k+1)<fk), 所以函数f(k)在[5，+∞)上单调递减，… (5分) 于是当k=5时)取最大值，且)。=5)=最 所以为5时，模型极佳此时)的值为最 400000000040440400， (6分) (2)解：当k=7时，m=2?-1-7=120, 所以当n≥4时， 其概率P(n≥4)=1-P(n=2)-P(n=3)》 C C =1 120120 15 所以n≥4时的概率为5 (10分) (3)证明：由题知，X的分布列为 1 2 3 n-1 n P (1-p)p (1-p)2p … (1-p)-2p (1-p)- .…(12分) 故E(X)=p+2p(1-p)+3p(1-p)2+…+(n-1)p(1-p)n-2+n(1-p)-① 又因为(1-p)E(X)=p(1-p)+2p(1-p)2+3p(1-p)3++(n-1)p(1-p)-1+n(1-p)② 由①-②得 5 pE()=p+p(1-p）+p(1-p)2+p(1-p)3+…+p(1-p)m-2+n(1-p)-1-(n-1)p(1-p)-1 -n(1-p）n… (13分) 因为0<p<1, 所以pE(x)=卫1--p1+[n-(n-1)p-n(1-p）](1-p)-1 1-(1-p) =1-(1-p)m-1+p(1-p)-l =1-(1-p）”… (16分) 即80l-0p<分 (17分) 6■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 2025年普通高等学校招生全国统一考试 严禁都出形功暴外若 严禁超出能边解作答 西宁市高三年级复习检测（二）数学答题卡 续15 班 名 准考证号 贴条形丹区 ■缺考标记（考生禁止殖涂】 海 16 ☑ 4.码雀功值不吾，玉酸风 一、选择厦共服 岗周得哥 二，8样题共3题 图2 IC3IBIA1的且a1时 ■■■ 三、植空源 3 四、解答源 15 规超出中形边座作容 禁超出矩形选框作等 紫题出形选摆作答 ■null