串讲 二次根式（考点串讲，7大考点+7大题型剖析+6个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 串讲 二次根式（7考点&7题型） 目 录 01 02 04 03 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 七大常考点：知识梳理 七大题型典例剖析 六大易错易混经典例题+针对训练 精选6道期末真题对应考点练 考点透视 考点一：二次根式的概念与基本性质 二次根式与被开方数： 一般地，式子 ( a ≥ 0 )叫做二次根式，a叫做被开方数。 二次根式的基本性质： ( 1 ) 双重非负性： ≥ 0，a ≥ 0。 ( 2 ) 当a ≥ 0时，( )2 = a。 ( 3 ) = | a |。 考点透视 考点二：二次根式的乘法 二次根式的乘法法则： 一般地，当a ≥ 0、b ≥ 0时，( )2 = ( )2 ( )2 = ab， ( )2 = ab。 由此可见，与都是ab的算术平方根。 于是，我们得到： = ( a ≥ 0、b ≥ 0 )。 积的算术平方根的性质： 把 = ( a ≥ 0、b ≥ 0 )反过来，得 = ( a ≥ 0、b ≥ 0 )。 利用这个式子可以化简一些二次根式。 考点透视 考点三：二次根式的化简 解题策略： 化简根式时，若根式下是多项式，可先进行因式分解， 再利用积的算术平方根的性质【 = ( a ≥ 0、b ≥ 0 )】进行化简。 考点透视 考点四：二次根式的除法 二次根式的除法法则： 一般地，当a ≥ 0、b > 0时， = = ， = 。 由此可见，与都是的算术平方根。于是，我们得到： = ( a ≥ 0、b > 0 )。 解题策略： = = ( a ≥ 0、b > 0、c > 0 )。 商的算术平方根的性质： 把 = ( a ≥ 0、b > 0 )反过来，得 = ( a ≥ 0、b > 0 )。 考点透视 考点五：最简二次根式 化简二次根式与最简二次根式： 二次根式运算的结果中， 被开方数中应不含有分母，分母中应不含有根号。 一般地，化简二次根式就是使二次根式： ( 1 ) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ( 2 ) 被开方数中不含分母； ( 3 ) 分母中不含有根号。 这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式。 考点透视 考点六：二次根式的加减法 同类二次根式： 经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。 同类二次根式的注意点： ( 1 ) 同类二次根式类似于整式中的同类项； ( 2 ) 化简前，几个同类二次根式的被开方数可以互不相同； ( 3 ) 判断两个二次根式是否为同类二次根式， 先将两个二次根式化简，再看被开方数是否相同。 二次根式的加减法法则： 二次根式相加减，先化简每个二次根式， 然后合并同类二次根式。 合并方法为：根式的系数相加，根式不变。 考点透视 考点七：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算： 进行二次根式的混合运算时，整式运算的法则、公式和运算律仍然适用。 题型剖析 题型一：二次根式的相关概念 【例1】要使下列各式有意义，父应是怎样的实数？ ( 1 ) ； ( 2 ) 。 解：( 1 ) 要使有意义，必须x - 5 ≥ 0，即x ≥ 5； ( 2 ) 不论x取何实数，总有x2 ≥ 0，x2 + 1 ≥ 1， 二次根式在实数范围内总有意义。 【变式】 计算： ( 1 ) ( )2； ( 2 ) ( )2； ( 3 ) ( )2 ( a + b ≥ 0 )。 解：( 1 ) ( )2 = 3； ( 2 ) ( )2 = ； ( 3 ) 当a + b ≥ 0时，( )2 = a + b。 【变式】要使下列各式有意义，x应是怎样的实数？ ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) ； ( 4 ) ； ( 5 ) ； ( 6 ) 。 解：( 1 ) x + 5 ≥ 0，即x ≥ -5； ( 2 ) 3x - 4 ≥ 0，即x ≥ ； ( 3 ) 5x + 1 ≥ 0，即x ≥ -； ( 4 ) 1 - 10x ≥ 0，即x ≤ ； ( 5 ) x2 ≥ 0，即x为任意实数； ( 6 ) - x2 ≥ 0，即x = 0。 【变式】计算： ( 1 ) ( )2； ( 2 ) ( )2； ( 3 ) ( )2 + ( )2； ( 4 ) ( )2。 解：( 1 ) ( )2 = 13； ( 2 ) ( )2 = ； ( 3 ) ( )2 + ( )2 = 8 + 2 = 10； ( 4 ) ∵a2 + b2 ≥ 0，∴( )2 = a2 + b2。 【变式】已知实数m满足| 2024 - m | + = m，那么m - 20242的值为（　　） A．-2025 B．2025 C．2024 D．-2024 解：∵实数m满足| 2024 - m | + = m， ∴m - 2025 ≥ 0，∴m ≥ 2025， ∴2024 - m < 0， ∴原式化为m - 2024 + = m，整理得： = 2024， 两边同时平方得：m - 2025 = 20242，则m - 20242 = 2025。 B 【变式】已知-1 < a < 0，化简 - =（　　） A．-a + 5 B．3a - 1 C．-a - 5 D．-3a + 5 解：∵-1 < a < 0， ∴a + 2 > 0，2a - 3 < 0， ∴ - = a + 2 - ( 3 - 2a ) = a + 2 - 3 + 2a = 3a - 1。 B 题型剖析 题型二：二次根式乘法 【例2】 计算： ( 1 ) × ； ( 2 ) × ； ( 3 ) ( a ≥ 0 )。 解：( 1 ) × = = = 2； ( 2 ) × = = = = 2 × 14 =28； ( 3 ) 当a ≥ 0时， = = = 4a。 【变式】化简: ( 1 ) ； ( 2 ) ( a ≥ 0 )； ( 3 ) ( a ≥ 0，b ≥ 0 )。 解：( 1 ) = = × = × 2 = 2； ( 2 ) 当a ≥ 0时， = = = a； ( 3 ) 当a ≥ 0、b ≥ 0时， = = = = 2ab。 【变式】计算： ( 1 ) × ； ( 2 ) × ； ( 3 ) × ； ( 4 ) ( a ≥ 0 )。 解：( 1 ) 法一： × = = = 10， 法二： × = 2 × = 2 × 5 = 10； ( 2 ) 法一： × = = = 12， 法二： × = 2 × 3 = 6 × 2 = 12； ( 3 ) 法一： × = = = = 2 × 12 = 24， 法二： × = 4 × 2 = 8 × 3 = 24； ( 4 ) 当a ≥ 0时， = = = 3a2。 【变式】下列变形正确的是（　　） A． = × B． = × = 4 × C． = D． = 25 - 24 =1 解：A． = = × = 4 × 5 = 20，×； B． = ，×； C．√； D． = = = 7，×。 C 题型剖析 题型三：二次根式的化简 【例3】计算: ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) ； ( 4 ) ( a ≥ 0、b ≥ 0 )。 解：( 1 ) = = = = ； ( 2 ) = = = = ； ( 3 ) = = = ； ( 4 ) 当a ≥ 0、b ≥ 0时， = = = = 。 【变式】化简： ( 1 ) ( x ≥ 0 )； ( 2 ) ( x ≥ 0、x + y ≥ 0 )。 解：( 1 ) 当x ≥ 0时， = = = ； ( 2 ) 当x ≥ 0、x + y ≥ 0时， = = = = 。 【变式】计算： ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) ； ( 4 ) ( a ≥ 0、b ≥ 0 )。 解：( 1 ) = = = = ； ( 2 ) = = = = ； ( 3 ) = = = ； ( 4 ) 当a ≥ 0、b ≥ 0时， = = = = 。 【变式】已知按规律排列的一列二次根式如下：，，，，… ( 1 ) 根据你发现的规律猜想第n个式子是多少； ( 2 ) 当n = 8时，求它与前面所有的二次根式的积。 解：( 1 ) ∵ = ， = ， = ， = ，⋯， ∴第n个式子是； ( 2 ) 当n = 8时， = ， = =1 × 2 × 3 × 4 × × 8 × 3 = 120960。 题型剖析 题型四：二次根式的除法 【例4】计算： ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) ÷ ； ( 4 ) ÷ 。 解：( 1 ) = = = 2； ( 2 ) = = = ； ( 3 ) ÷ = = = 3； ( 4 ) ÷ = = = 。 【变式】化简： ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) ； ( 4 ) ( a > 0、b ≥ 0 )。 解：( 1 ) = = ； ( 2 ) = = ； ( 3 ) = = ； ( 4 ) 当a > 0、b ≥ 0时， = = 。 【变式】计算： ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) ÷ ； ( 4 ) ÷ 。 解：( 1 ) = = = 2； ( 2 ) = = ； ( 3 ) ÷ = = ； ( 4 ) ÷ = = = 。 【变式】若 = ，则x的值可以是（　　） A．-2 B．0 C．2 D．3 解：∵若 = ， ∴，解得：-1 ≤ x < 2。 B 【变式】化简：。 解： = = = = ， 由原式可知：，，， ∴y < 0， ∴原式 = = = 。 题型剖析 题型五：分母有理化 【例5】化简下列各式，使被开方数中不含分母。 ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) ( x > 0、y ≥ 0 )。 解：( 1 ) = = ； ( 2 ) = = = ； ( 3 ) 当x > 0、y ≥ 0时， = = 。 【变式】化简下列各式，使分母中不含根号。 ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) ( x > 0、y ≥ 0 )。 解：( 1 ) = = ； ( 2 ) = = ； ( 3 ) 当x > 0、y ≥ 0时， = = 。 【变式】化简： ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) ( a > 0、b ≥ 0 )。 解：( 1 ) = = ； ( 2 ) = = = ； ( 3 ) 当a > 0、b ≥ 0时， = = 。 【变式】计算： ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) ( a > 0、b ≥ 0 )。 解：( 1 ) = = ； ( 2 ) = = ； ( 3 ) 当a > 0、b ≥ 0时， = = 。 解：∵x = = = ， y = = = ， ∴( x + 2 )( y + 2 ) = xy + 2 ( x + y ) + 4 = + 2 × ( + ) + 4 = + + 4 = + 。 【变式】已知：x = ，y = ，求代数式( x + 2 )( y + 2 )。 题型剖析 题型六：二次根式的加减 【例6】 计算： ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) 。 解：( 1 ) = = ； ( 2 ) = = ； ( 3 ) = = 。 【变式】计算： ( 1 ) ； ( 2 ) ； 解：( 1 ) = = ； ( 2 ) = = ； 【变式】计算： ( 3 ) ( a ≥ 0、b ≥ 0 )； ( 4 ) 。 ( 3 ) 当a ≥ 0、b ≥ 0时， = = ； ( 4 ) = = 。 【变式】计算：( 1 ) ； ( 2 ) 。 解：( 1 ) = = 。 ( 2 ) = = 。 题型剖析 题型七：二次根式混合运算 【例7】计算： ( 1 ) ； ( 2 ) ( a ≥ 0、b ≥ 0 )； 解：( 1 ) = = 5 - 1 = 4； ( 2 ) 当a ≥ 0、b ≥ 0时， = = a - b； 计算： ( 3 ) ； ( 4 ) ( a ≥ 0、b ≥ 0 )。 ( 3 ) = = = 。 ( 4 ) 当a ≥ 0、b ≥ 0时， = = b。 解： = = = 。 【变式】计算：。 解： = = = 。 【变式】计算：。 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列二次根式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A． ，故选项A不符合题意； B． ，故选项B不符合题意； C． ，是最简二次根式，故选项C符合题意； D． ，故选项D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）函数 中自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【详解】解∶根据题意，得 ， 解得 ， 故选∶C． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若 ，则代数式 的值为 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 故答案为： ． 4、（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）已知 ，则 的值为 ． 【详解】解：∵ ， ∴ 故答案为： 5．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 【详解】（1） EMBED Equation.DSMT4 ； （2） ， 6．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为 ，观测者视线能达到的最远距离为 ，则 ，其中 是地球半径，约为 ． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度 为 ，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时 的值； (2)已知一座山的海拔为 ，这座山到海边的最短距离为 ，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【详解】（1）解： ， ， ， 所以此时 的值为 ． （2）解：能看到，理由如下 ， ， ， 所以她站在山巅能看到大海． 1．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在 ， ， ， 中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：A、 是最简二次根式，故此选项符合题意； B、∵ ，∴ 不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、∵ ，∴ 不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、∵ ，∴ 不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为 ．从100 m高空抛物到落地所需时间为 ，则 的值是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：当 时， ， 当 时， ， ∴ ； 故选C． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）若 、 都是实数，且 ，则 ． 【详解】解： ， ， 解得： ， ， ， ， 故答案为： ． 4．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）已知 满足 ，则 ． 【详解】解：由题意，得 ， ∴ ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ ． 故答案为：2023 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）先化简，再求值： ，其中 ． 【详解】解：原式 ， 当 时，原式 ． 6．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式： …… (1)请你根据上述规律填空： ______； (2)①把你发现的规律用含有 的等式表示出来： ______； ②证明①中的等式是正确的，并注明 的取值范围． 【详解】（1）解：根据前3个式子，可得 ； 故答案为： ； （2）解：①由前面式子得出： ； 故答案为： ； ②证明：等式左边 右边， 为大于1的自然数． $$