清单02 中心对称图形—平行四边形（7个考点清单+19种题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

清单03 中心对称图形—平行四边形 （7个考点梳理+19种题型解读+提升训练） 清单01 旋转的相关概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 旋转图形的画法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 清单02 中心对称与中心对称图形 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 清单03 平行四边形的判定与性质 1：平行四边形的性质 边的性质：两组对边分别平行且相等； 角的性质：两组对角分别相等； 对角线的性质：对角线互相平分。 2：平行四边形的判定 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 清单04 矩形的判定与性质 1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 2：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 清单05 菱形的判定与性质 1：菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 2：菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 3：菱形的判定 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 清单06 正方形的判定与性质 1：正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 2：正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 清单07 三角形的中位线 1：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【考点题型一 旋转的相关概念】（） 1．下列现象中： ①汽车方向盘转动；②物体随传送带水平移动；③电梯升降运动；④钟摆运动．属于平移的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移、旋转现象，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键． 根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：①汽车方向盘转动，是旋转运动； ②物体随传送带水平移动，是平移运动； ③电梯升降运动，是平移运动； ④钟摆运动，是旋转运动； ∴属于平移的有2个， 故选：B． 2．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M、N、P、Q中，可能是旋转中心的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心． 【详解】解：连接，， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．如下图： 故选∶A． 3．如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．先证明是等边三角形，再求得，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，P是长方形的边上一动点（长方形四个内角都为直角，对边平行且相等），，连接，将线段绕P逆时针方向旋转得到，连接． (1)随着点P的运动，线段的长都发生变化，观察与思考： _______（填“=”、“”或“”）： (2)若的面积为5，求的长； (3)若，的面积为2，求的长． 【答案】(1) (2) (3)3或5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，算术平方根的应用，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）结合性旋转的性质证明，则，由垂线段最短得到，那么； （2）由面积公式得到，而，即可求解； （3）当点在的左侧，过点作延长线的垂线，垂足为点，可得，由平行线间得距离相等得到，而，可得，再由，得到，再由即可求解；当点在的右侧，同理可求，，再由即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，则 由旋转得：， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如上图：，而， ∴， 解得：（舍负）； （3）解：当点在的左侧：过点作延长线的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的面积为2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在的右侧：构造相同辅助线如图： 同上可得：， ∵，的面积为2， ∴， ∴， 同上可得：， ∴， ∴； 综上：的长为3或5． 【考点题型二 旋转的点坐标特征】（） 5．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，此时点的坐标为； (2)画出将绕原点逆时针方向旋转后得到的，此时点的坐标为． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，图形平移、旋转的性质，掌握图形变换是解题的管家． （1）根据平移的性质作图，结合平面直角坐标系得到点的坐标； （2）根据旋转的性质作图，结合平面直角坐标系得到点的坐标． 【详解】（1）解：根据图形平移作图如下， ∴点， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质作图， ∴， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答） (1)画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______； (2)将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析，． 【分析】本题考查了作图旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出变换后的对应点． （1）延长到点，使，延长到点，使，依次连接，则即为所求； （2）作出点，，以点为旋转中心逆时针旋转的对应点，，，依次连接、、，则即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知，点坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； 由图可知，点的坐标为， 故答案为：． 7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将关于x轴作轴对称变换得，则点的坐标为________． (2)将绕原点O按逆时针方向旋转得，则点的坐标为________． (3)求的面积为________． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3)4 【分析】此题考查了作图-旋转变换和作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据网格结构找出点、、关于轴的对称点，，的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （2）根据网格结构找出点、、绕点按照逆时针旋转后的对应点，，的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点的坐标； （3）根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作 ∴， 故答案为：； （2）解：即为所作， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，的面积为 故答案为：4． 8．【模型建立】 （1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：； 【初步应用】 （2）将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ；将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图像为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为 ． 【综合运用】 （4）将函数的图像先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转90°，所得图像相应的函数表达式为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）先证明，由即可判定 （2）过点作轴于D，过点A作轴于C，证明得出，即可得出点的坐标，点的坐标同求点的方法； （3）利用（1）的结论判断求出点P，E的坐标，借助（1）的结论求出点的坐标即可，再利用待定系数法求出直线函数表达式； （4）先求出平移后的直线表达式为，求出与坐标轴的交点，再根据绕着坐标原点逆时针旋转90°后对应点坐标求出所得图像相应的函数表达式. 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ （2）过点作轴于D，过点A作轴于C，如图1， ∵， ∴， ∵轴，轴， 同理（1）可得； ∴， ∴， 同求点的方法得，， 故答案为； （3）如图 ∵，令，则， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵将直线l绕它与x轴的交点P逆时针旋转，得到直线， 过点作轴于F， 同（2）的方法得，， ∴， ∴， 点E绕点P逆时针旋转的对应点， 设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的表达式为， 故答案为：； （4）将函数的图像先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，可得：直线为， 设直线交轴于点，交轴于点，上，令，则令，则 ，， ∵直线是直线标原点逆时针旋转90°得到的， ∴，， 设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的表达式为，， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，点的坐标的确定方法，一次函数的应用以及旋转的性质，借助给出的结论明确思维方法是解本题的关键． 【考点题型三 中心对称的相关概念】（） 9．下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了成中心对称的概念，熟练掌握知识点是解题的关键，把一个图形绕着一个定点旋转后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、两个图形成中心对称，符合题意； B、两个图形不成中心对称，不符合题意； C、两个图形不成中心对称，不符合题意； D、两个图形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 10．若两个图形关于某点成中心对称，则以下结论：①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③对称点到对称中心的距离相等；④一定存在某条直线，使沿该直线折叠后的两个图形能互相重合.其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据中心对称的定义和性质判断即可．本题考查了中心对称和轴对称的有关应用，注意：（1）如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形，②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等． 【详解】解：若两个图形关于某点成中心对称， 则①这两个图形一定全等，此结论正确； ②对称点的连线一定经过对称中心，此结论正确； ③对称点到对称中心的距离相等，此结论正确； ④可能存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合，此结论错误； 故选：C． 11．如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 【答案】①或⑥ 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此进行逐项判断即可 【详解】解：结合上图，把标有序号①或⑥的小正方形涂上阴影，可以与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形； 把标有序号②的小正方形涂上阴影，是中心对称图形也是轴对称图形； 把标有序号③或④或⑤的小正方形涂上阴影，是轴对称图形； 则满足题意，该小正方形的序号是①或⑥， 故答案为：①或⑥． 12．如图，在正方形网格中有，直线直线，垂足为． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段扫过的面积为_____； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析，6 (2)见解析 (3)是，见解析 【分析】本题考查了平移作图，画中心对称图形，中心对称的性质，利用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平移的规律找到点，再依次连接得，运用割补法进行列式计算得线段扫过的面积，即可作答． （2）先根据中心对称的性质找到点，再依次连接得，即可作答． （3）观察与，得出与是成中心对称，再连接，它们相交于一点，即为对称中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求： 连接 ∴线段扫过的面积， 则 在平移的过程中，线段扫过的面积为， 故答案为：6； （2）解：如图，即为所求； （3）解：是，对称中心如图． 【考点题型四 中心对称的点坐标特征】（） 13．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键． 根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 则的值为：． 故选：A． 14．已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，以及绝对值、算术平方根的非负性，先化简求出，的值，再结合关于原点对称这个条件，即可作答．正确掌握“关于原点对称的点的坐标：它们的坐标符号相反”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则点， 则点关于原点对称的点的坐标为 故选：C． 15．在平面直角坐标系中，点绕原点O旋转后的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，因为点绕原点O旋转，故所得的点与原来的点是关于原点对称，即该点的坐标是，即可作答． 【详解】解：∵点绕原点O旋转， ∴所得的点与原来的点是关于原点对称， 即该点的坐标是， 故答案为：． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将绕原点O旋转，画出旋转后的； (2)在（1）中，的顶点的坐标是______，的坐标是______； (3)在（1）中，若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是_____． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，熟知绕原点旋转180度的得到的点与原来的点关于原点对称是解题的关键． （1）根据题意可得与关于原点对称，据此可得的坐标，描出并顺次连接即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由（1）可得的顶点的坐标是，的坐标是， （3）解；∵将绕原点O旋转得到，且内部一点P的坐标为， ∴点P的对应点的坐标． 【考点题型五 平行四边形的判定】（） 17．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、错误．四边形是等腰梯形时，也满足条件． B、错误．∵， ∴， ∴条件重复无法判断四边形是平行四边形． C、错误．四边形是等腰梯形时，也满足条件． D、正确．∵， ∴， 又，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故选：D． 18．四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可． 【详解】A． 只有一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； B．不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故C不符合题意； D．根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故D符合题意； 故选：D． 19．如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故可添加， 根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形， 故可添加， 故答案为：．（答案不唯一） 20．已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形．    (1)你添加的条件是：______；（填序号） (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 【答案】(1)① (2)见解析． 【分析】（1）根据已知条件可知，再添加即可证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可； （2）证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可． 【详解】（1）解：添加的条件是①：； 而②，③，根据已有条件无法证明三角形全等，无法判断四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：①． （2）证明：在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等判定和性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 【考点题型六 平行四边形的性质】（） 21．如图，在中，点，分别在，上，，相交于点，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，对顶角相等，全等三角形的判定与性质等知识，由四边形是平行四边形，则，所以，然后证明，最后通过全等三角形的性质即可求证，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22．如图，在平行四边形中，，平分交与点． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，“两直线平行，内错角相等”，等角对等边，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，可得，即可求出的度数，再由角平分线的定义，即可解答； （2）根据平行四边形的性质，可得，再由平分，，可求出，即可解答． 【详解】（1）解：在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴ （2）在平行四边形中， ，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．如图，等边的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点同时出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间的值是多少？ 【答案】或6 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，再分点F在线段上和点F在线段的延长线上两种情况进行解答即可求出t的值．此题主要考查了动点几何问题以及平行四边形的性质和等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键. 【详解】解：若以A、、、为顶点的四边形是平行四边形， 则有， 当点F在线段上时，， 即 解得，； 当点F在线段的延长线上时，， 即 解得， ∴当或时，以A、、、为顶点的四边形是平行四边形． 24．如图，点E、F是平行四边形对角线上两点，． (1)求证：； (2)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据平行四边形的性质可证，可得； （2）过点作，交的延长线于，根据含角的直角三角形的性质可求出的长，根据平行四边形面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图所示，过点作，交的延长线于， 在中，，， ， ， 平行四边形的面积． 【考点题型七 平行四边形的动点问题】（） 25．如图，在四边形中，，，，点G是的中点．点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点G出发，沿向点B运动．当点M停止运动时，点N也随之停止运动．设运动时间为t秒，当四边形是平行四边形时，t的值为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】此题考查动点及平行四边形的性质，解题关键是由已知明确两条线段之间的数量关系． 由已知表示出,,根据平行四边形的判定，由，所以当时为平行四边形．根据此列出关于t的方程求解． 【详解】解：在四边形中，， , ,， 时，四边形是平行四边形， ， ； 故答案为：B． 26．如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，的直角边等于斜边的一半，垂线段最短，根据题意添加合适的辅助线是解题关键． 过点作，交的延长线于点，利用平行四边形的性质得，通过“直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可得，即当点、点、点三点共线，且时，有最小值，结合、即可求解的值． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 当点、点、点三点共线，且时，有最小值，即， ，， ． 故答案为：． 27．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，注意能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意掌握分类讨论思想的应用．设经过秒，根据平行四边形的判定可得当时，以点，，，为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵平行四边形是平行四边形， ∴，， ∵要使以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴只需， ∵点从点到点需要，点从到需要， 分为以下情况： 当时，即点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； ②当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：； ③当时，点的运动路线在时， 由题意，得：， 解得：，此时不符合题意； 综上所述，． 28．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以4的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以2的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，涉及了平行四边形的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）由题意得：，，根据即可求证； （2）分类讨论两种情况，画出图形即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：， ∵，， ∴， ∵ ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形 （2）解：时，如图所示： 则， ∴， ∴ 由（1）得：， ∴， 解得：； 时，如图所示： 由（1）可得：， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 【考点题型八 反证法】（） 29．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， ________， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了反证法（用反证法证明命题），平行线的性质（两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补）等知识点，熟练掌握用反证法证明命题的一般步骤是解题的关键：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 按照用反证法证明命题的一般步骤进行推理论证即可． 【详解】证明：假设， ， ， ， ，这和“平角的定义”矛盾， 假设不成立，即， 故答案为：，，，，． 30．小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a，b，c在同一平面内，，， 求证：　 　． 证明： 【答案】，证明见解析 【分析】根据命题的结论，写出求证，利用反证法，进行证明即可． 【详解】解：由命题的结论得：， 故答案为：， 证明：假设a，b相交于点A， 则过A点有两条直线a，b都平行于c， 这与“在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 所以假设是错误的， 所以． 【点睛】本题考查反证法．根据结论，正确的写出假设，是解题的关键． 31．用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是 ， 不全为0， 中至少有一个为正数， 0，这与已知相 ， ∴ ，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 【答案】 负数 矛盾 假设不成立 【分析】本题主要考查了反证法的应用，准确分析判断是解题的关键． 首先假设a，b，c都不是负数，然后证明出a，b，c这三个数中至少有一个负数即可求解． 【详解】证明：假设a，b，c都不是负数， 不全为0， 中至少有一个为正数， ，这与已知相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 故答案为：负数，，矛盾，假设不成立． 32．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 【答案】③④①② 【分析】此题主要考查了反证法的步骤，三角形的内角和定理．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 证明：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于， 则三角形的三个内角的和大于， 这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾， 所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于． 则四个步骤正确的顺序是③④①②， 故答案为：③④①②． 【考点题型九 矩形的判定】（） 33．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是解题的关键． 根据四边形是平行四边形，结合题意可证四边形是平行四边形，根据菱形的判定，矩形的判定方法证明即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵延长到，使， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当添加时，则有，设交于点，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形，故A选项不能使四边形成为矩形，符合题意； 当添加时，则， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故B选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 当添加时，则有， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故C选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 当添加时， ∵， ∴点是中点， ∴，则， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故D选项能使四边形成为矩形，不符合题意； 故选：A ． 34．如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质定理以及矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴． 即． ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 35．如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件 ，使四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形常见的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件即. 故答案为：（答案不唯一）． 36．如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)当时，四边形是矩形，详见解析 【分析】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再由，得，，即可得出结论； （2）当时，根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形 【考点题型十 矩形的性质】（） 37．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 38．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 39．如图，矩形的对角线与相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及菱形的判定，掌握矩形的性质以及勾股定理是解决问题的关键． （1）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）依据菱形的性质以及矩形的性质，即可得到的长，再根据勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 40．如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，此时直线、所夹锐角的度数为30度，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形； （2）作，根据含的直角三角形的性质可得，结合菱形的性质可得，根据即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 根据题意，四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵宽度相等，即，且， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图所示，过点作于点， 根据题意，， ∵的度数为30度， ∴， ∵平行四边形是菱形； ∴， ∴． 【考点题型十一 矩形中的折叠问题】（） 41．如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质与折叠，勾股定理；根据矩形的性质与折叠得到，设，再利用勾股定理，解出的值即可求出． 【详解】解：∵矩形纸片中，，，将沿翻折， ∴，， 在中， ∴ 设， 在中， ∴ 解得： ∴ 故选：B． 42．如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折痕，同时使得点A的对称点N落在上，如果，则（    ） A．6 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理、矩形的性质等知识，利用面积关系建立方程是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，设，由四边形的面积建立方程求解即可． 【详解】∵对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕， ∴， 由折叠可得，， 在中，， 设， 由四边形的面积， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 43．如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先根据矩形的性质和折叠的性质证明，再设，则，根据勾股定理可求出，进而得出答案. 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴. 根据折叠可知. ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：10． 44．如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积； (2)①若点，，在同一直线上，求此时的长度． ②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长． 【答案】(1)15 (2)①2；②的长为或． 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质得到，过点作于点，求出，即可求解； （2）①利用勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质，即可得出结果； ②分当点在边上时，当点在边上时，两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠知， ∴， ． 如图1，过点作于点， ， ； （2）解：①如图2， 由折叠知， ． ， ． 又，， ， ， ， ； ②如图3，当点在边上时， 设，则，， ， ； 如图4，当点在边上时， 设，则，， ， ． 综上所述，的长为或． 【考点题型十二 矩形中的动点问题】（） 45．如图，在长方形ABCD中AB=CD=4，AD=BC=5．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，存在这样的t，使△ABP和△DCE全等，则t的值为（　　） A．t= B．t=2 C．t=或t=2 D．t=或t=3 【答案】D 【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=4t=2和AP=14-2t=2即可求得． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABP=∠BAD=∠BCD=90°， ∴∠DCE=90°， 分两种情况： ①点P在BC上时， ∵AB=CD， ∴当BP=CE=2时，△ABP≌△DCE（SAS）， 由题意得：BP=4t=2， ∴t=； ②点P在AD上时， ∵AB=CD， ∴当AP=CE=2时，△BAP≌△DCE（SAS）， 由题意得：AP=5+4+5-4t=2， 解得：t=3； 综上所述，当t的值为或3时，△ABP和△DCE全等， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定以及分类讨论等知识，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 46．在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么 秒后四边形为矩形？ 【答案】5 【分析】设动点的运动时间为秒，根据题意得，，根据矩形的对边相等，求出的值，即可解决问题． 【详解】解：设动点的运动时间为秒， 由题意得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 解得． 即当秒时，四边形是矩形． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的性质． 47．如图，四边形中，，，，，点P从A点出发，以的速度向D点运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B点运动，规定一个动点到达端点时，另一个动点也停止，运动时间为t． (1)当运动t秒时，线段______，______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，四边形是矩形； (3)在（2）的条件下，若四边形是正方形，请直接写出的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，列代数式，熟知正方形和矩形的性质是解题的关键． （1）根据路程等于时间乘以速度可得，进而可得的长； （2）根据矩形对边相等得到，则，解方程即可得到答案； （3）根据正方形邻边相等得到，再根据（2）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵矩形是正方形， ∴． 48．如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 【答案】(1)， (2)经过，四边形是平行四边形 (3)经过，四边形是矩形 【分析】此题主要考查平行四边形和矩形的性质： （1）根据题意可得，， （2）设经过，四边形为平行四边形，根据，，列出方程进行求解； （3）设经过，四边形为矩形，根据，列出方程进行求解； 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴； 故答案为：， （2）解：设经过，四边形为平行四边形，此时， 所以， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形 （3）解：设经过，四边形为矩形，此时， 所以， 解得：， 即经过，四边形是矩形． 【考点题型十三 菱形的判定】（） 49．在中，、是对角线，补充一个条件使得四边形为菱形，这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断． 【详解】解：添加一个条件为，理由如下： 四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形． 故选：B． 50．下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的判定，根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． 【详解】解：A、，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定平行四边形是菱形，不符合题意； B、，不能判定平行四边形是菱形，不符合题意； C、，不能判定平行四边形是菱形，不符合题意； D、，对角线垂直的平行四边形是菱形，能判定平行四边形是菱形，符合题意； 故选D． 51．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．（写出一个即可） 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定，熟记相关定理内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，可使平行四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一）． 52．已知：如图，在中，，的平分线交于点F，E是的中点，过点A作，交的延长线于点D． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是菱形．请证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)；证明见解析． 【分析】（1）证明，得到即可得证； （2）当时，根据角平分线的定义，得到，进而得到，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴（ASA） ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是菱形． 证明：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形和菱形的判定．同时考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握平行四边形和菱形的判定方法，以及通过平行线的性质证明三角形全等是解题的关键． 【考点题型十四 菱形的性质】（） 53．如图，在菱形中，，，G是的中点，连接，则线段的长是（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． 由菱形的性质可得，，可得是等边三角形，再由等边三角形的性质可以得到，最后利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， 是的中点， ，， 在中，． 故选：B． 54．如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处．若，，．则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 55．如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定，直角三角形的性质和勾股定理： （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，， ， ， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， 四边形是菱形， ， ， ． 56． 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，过C点作， 两线交于E点， 连接 、，交于点F． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定和性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理等知识： （1）只要证明四边形是平行四边形，即可； （2）在中，利用勾股定理即可解决问题； 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，为对角线， ， ， ∴平行四边形是矩形． ． （2）解：四边形为菱形，且边长为4， ，，， ， 又， 是等边三角形， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）得四边形是矩形， ，， 在中，由勾股定理得：． 【考点题型十五 正方形的判定与性质】（） 57．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，当四边形为正方形时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定即可得到结论； （2）根据四边形为正方形，根据勾股定理求出，则，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 58．如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且四边形为正方形． (1)求证：； (2)已知平行四边形的面积为20，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质得出，根据正方形性质得出，根据，得出； （2）根据平行四边形的性质得出，求出，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ． 59．如图，点是正方形的边上一点，把顺时针旋转至的位置．    (1)旋转中心是 ________点，旋转角度是 _______度，则是 _______三角形； (2)若四边形的面积为，求EF的长． 【答案】(1)，，等腰直角 (2) 【分析】（1）直接利用旋转的性质结合等腰直角三角形的判定方法即可得答案； （2）根据旋转的性质可得，则，以此可推出四边形的面积等于正方形面积，因此正方形的边长为，根据勾股定理可求出AE，由（1）知是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：由题意可知，旋转中心是点， ∵四边形为正方形，把顺时针旋转至的位置， ∴， ∴， ∴旋转角是，是等腰直角三角形； 故答案为：，，等腰直角． （2）解：∵把顺时针旋转至的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得， 由（1）知，是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 60．如图，点P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上． (1)求点P的坐标． (2)当∠APB绕点P旋转时， ①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． ②请求出OA2+OB2的最小值． 【答案】(1)P（2，2）； (2)①不变，定值为4；②OA2+OB2的最小值为8． 【分析】（1）根据在第一象限的角平分线OC上的点的横坐标与纵坐标相等，构建方程求出m即可． （2）①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．证明四边形OMPN是正方形，再证明△PMB≌△PNA（ASA），推出BM=AN，可得结论； ②根据垂线段最短原理以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵点P （3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上， ∴3m-1=-2m+4， ∴m=1， ∴P（2，2）； （2）①过点P作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N． ∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°， ∴四边形OMPN是矩形， ∵OP平分∠MON，PM⊥OM，PN⊥ON， ∴PM=PN， ∴四边形OMPN是正方形， ∵P（2，2）， ∴PM=PN=OM=ON=2， ∵AP⊥BP， ∴∠APB=∠MPN=90°， ∴∠MPB+∠BPN=∠BPN+∠NPA=90°， ∴∠MPB=∠NPA， 在△PMB和△PNA中， ， ∴△PMB≌△PNA（ASA）， ∴BM=AN， ∴OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4． ②连接AB， ∵∠AOB=90°， ∴OA2+OB2=AB2． ∵∠BPA=90°， ∴AB2=PA2+PB2=2PA2， ∴OA2+OB2=2PA2， 当PA最小时，OA2+OB2也最小． 根据垂线段最短原理，PA最小值为2． ∴OA2+OB2的最小值为8． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【考点题型十六 中点四边形的性质】（） 61．如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理、三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵M，N，P，Q是各边中点， ， ， ∴四边一定为平行四边形，④说法正确； 时，四边形不一定为正方形，①说法错误； 时， 四边形为菱形，②说法正确； 时，， 四边形为矩形，③说法正确； 故选：C． 62．顺次连接对角线长为6的矩形四边中点所得的四边形的周长为（  ） A．12 B．18 C．9 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，证明中点四边形是菱形，即可求得菱形的周长． 【详解】如图，E、F、G、H分别是矩形四边的中点，， ∴分别是的中位线， ∴； 同理得：， 即， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． 63．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 64．已知：如图四边形四条边上的中点E、F、G、H，顺次连接、、、，得到四边形，四边形的形状是什么？并证明结论． 【答案】平行四边形，证明见解析 【分析】连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形． 【详解】解：四边形EFGH的形状是平行四边形． 证明：如图，连接BD， ∵E、H分别是AB、AD中点， ∴EH∥BD，EH=BD， 同理FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形． 【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是正确的构造三角形病正确的运用中位线定理，难度不大． 【考点题型十七 三角形的中位线】（） 65．如图，在中，点D、E分别是的中点，点F是上一点．已知，连接，若，则的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理．根据直角三角形的性质求出，进而求出 ，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”计算，得到答案． 【详解】解：，点是的中点，， ， ， ， 点分别是的中点， ． 故选：C． 66．如图，中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，三角形外角性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明是的中位线，以及得，可得，因为平分，故，进而可得，故，即可作答． 【详解】解：∵，分别是，的中点，，， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 则， 故选：C 67．如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由三角形中位线的性质可得，即得，进而根据三角形内角和定理即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点和点分别是与的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 68．如图，中，是中线，是角平分线，于F，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要涉及三角形全等的判定定理以及三角形中位线的性质．解题思路是通过构造全等三角形，得出线段之间的等量关系，再利用中位线性质求出的长度． 延长交于点，根据题意可证明，至此即可得是等腰三角形； 根据等腰三角形的性质可得到，至此即可得到点是中点； 接下来可判断出是的中位线，根据中位线的知识即可完成本题． 【详解】解：延长交于点． ∵是角平分线， ， ∵于F， ， 在和中， ， ， ，． 又∵点是中点， ∴是的中位线， ． 【考点题型十八 平行四边形中的最值问题】（） 69．如图正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，要使最小，则这个最小值为（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的性质和轴对称最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．由于点与关于对称，所以连接，与的交点即为点．此时最小，而是等边的边，，由正方形的面积为36，可求出的长，从而得出结果． 【详解】解：设与交于点，连接、． 点与关于对称， ， ， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当点P在点时，，即最小， ∴的最小值为的长， 正方形的面积为36， ， 又是等边三角形， ． 故选：A． 70．如图，菱形的周长为8，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接交于点，连接，．由的长为定值，即得出的长度最小时的周长最小．再根据菱形的性质可推出的最小长度为的长，此时点P与点重合．结合题意易证是等边三角形，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，． 的长度固定， 要使的周长最小，只需要的长度最小即可． 四边形是菱形， 与互相垂直平分， ， 的最小长度为的长，此时点P与点重合． 菱形的周长为8，为的中点，， ，， 是等边三角形， ，，， ∴， 的最小周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识．理解的最小长度为的长，此时点P与点重合是解题关键． 71．将四根木条钉成的长方形木框变为的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形面积求法等知识，得出是解题关键．根据矩形以及平行四边形的面积求法得出当时，则符合要求，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵将四根木条钉成的长方形木框变形为的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），    ∴当，则符合要求，此时， 即这个平行四边形的最小内角为：度． 故答案为：． 72．（1）如图1，是锐角内一动点，把绕点逆时针旋转60°得到，连接，这样就可得出，请给出证明过程． （2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（，），其中顶点、、为公园的出入口，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，求这个最小的距离． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据旋转的性质证明△APP'是等边三角形，即可得出结论； （2）如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′，构建直角△ABC'，利用勾股定理求AC'的长，即是点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值． 【详解】（1）如图1，由旋转得：∠PAP'=60°，PA=P'A， ∴△APP'是等边三角形， ∴PP'=PA， ∵PC=P'C， ∴PA+PB+PC=BP+PP′+P′C′； （2）解：在Rt△ACB中，∵AB=20，∠ABC=30°， ∴AC=10，BC=， 如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60度得到△BP′C′，连接PP′， 当A、P、P'、C'在同一直线上时，PA+PB+PC的值为最小， 由旋转得：BP=BP'，∠PBP'=60°，PC=P'C'，BC=BC'， ∴△BPP′是等边三角形， ∴PP'=PB， ∵∠ABC=∠APB+∠CBP=∠APB+∠C'BP'=30°， ∴∠ABC'=90°， 由勾股定理得： ∴PA+PB+PC=PA+PP'+P'C'=AC'=， 则点P到这个三角形各顶点的距离之和的最小值为． 【点睛】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题． 【考点题型十九 平行四边形综合】（） 73．在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为________． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，得，由即可证明； （2）证明，得，由即可证明； （3）以B为原点，和所在的直线为坐标轴建立坐标系，可证得，，从而得出，设，进而得出点M在直线上运动，当直线时，最小，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 证明如下： ∵四边形，四边形都是正方形， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， 以B为原点，和所在的直线为坐标轴建立坐标系， 则， 作于H，交于I， 则， ∴， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M在直线上运动，当直线时，最小， 设直线交于V，交y轴于，作于， 由得， ， ∴， ∴， 由得， ， ∴最小=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，利用全等三角形的判定与性质、确定出点M的运动路径是解题的关键． 74．如图，在菱形中，．等腰的两个顶点E、F分别在上且，点A，M在的异侧．小明猜想：点M在菱形的对角线上． (1)如图2，当于点时， ①判断：点M________菱形的对角线上．（填“在”或“不在”） ②如图3，若交于点H，交于点G，连接，当＝______时，四边形为正方形． (2)如图1， ③判断：小明的猜想是否正确？若正确请证明，若不正确请说明理由． ④若，请直接写出的取值范围_______． 【答案】(1)① 在；② (2)①小明的猜想正确，见解析；② 【分析】（1）①根据菱形的性质和角平分线的性质可得垂直平分，即可证明；②根据条件证明是正三角形，再结合菱形的性质和正方形性质即可求出； （2）③作于G，于，连接，根据条件证明，即可证明；④根据三角形三边关系可求出的取值范围，再根据，求出的取值范围，即可求出． 【详解】（1）解：①点M在菱形的对角线上，理由如下： 连接 四边形是菱形， 平分，即， 又， , , , 又平分, , 垂直平分， ， ∴M在的中垂线上，即M在上； ②，理由如下： ， ，四边形是菱形，，由①知点M在菱形的对角线上， ， ， ， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是正方形， ， ， ， 是菱形，， ， 即， ， 故时，四边形为正方形； （2）解：③小明的猜想正确，证明如下： 如图，作于G,于，连接， ，， ， ， ∴， 又， ， 又， ， , 在的平分线上， 四边形是菱形， 平分， 在上． ④解：， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质、菱形的性质、正方形的判定等知识，构造辅助线、数形结合画出图象分析和计算是解题的关键． 75．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，、是的中线，，垂足为，像这样的三角形均称为“中垂三角形”，设，，． (1)如图1，当，时，________，________；如图2，当，时，________，________． (2)请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． (3)如图4，在中，点、、分别是、、的中点，，，，则________． 【答案】(1)，；，； (2)，证明见解析； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和勾股定理，求出，根据题意易得是的中位线，进而得出，，再推出，利用勾股定理得到，，即可利用中线的定义求解；连接，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理和三角形中位线定理，同理证明即可； （2）观察（1）中的计算结果，得到猜想，再连接，由三角形中位线定理可得，根据勾股定理可得，，，，进而推出，，即可证明猜想； （3）先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，根据三角形中位线定理，得出，从而得到是“中垂三角形”，再根据（2）所得关系式求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 、是的中线， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， ，， ，； 如图，连接， ，，， ，， 、是的中线， 是的中位线， ，， ， 在中，，， ，， ，； 故答案为：，；，； （2）解：由（1）可知，当时，，，； 当时，，，， 观察发现，． 证明：如图，连接 ，是的中位线， ， ， 由勾股定理得：，，，， ，， ，， ， 即； （3）解：如图，连接，连接分别交、于点、，与的交点为， 在中，，， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 、是的中线， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， ， ， 是“中垂三角形”， 由（2）可知，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得出“中垂三角形”三边的关系式是解题关键． 76．【问题提出】 （1）已知：如图①，中，，，中，，，连接，．可以得到线段，的关系为______； 【问题探究】 （2）已知：如图②，中，，，中，，，连接，．并延长到F，使得，连接．求证：，且； 【问题解决】 （3）如图③，与【问题探究】条件一致，若，，连接、，若，请直接写出所有满足条件的的值为_____． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】（1）延长交于点，交于点，证明，推出，，利用三角形内角和定理求得，即可得到结论； （2）延长至，使，连接和，推出，，证明，推出，，证得，再证明，据此即可证明结论成立； （3）分两种情况讨论，点或在同一直线上，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点，交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； 故答案为：，； （2）证明：延长至，使，连接和， ∵，， ∴，，， ∴， 延长交的延长线于点，交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当点在点的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 点在同一直线上， 在中，，， ∴， ∴； 当点在点的上方时，如图， 同理，求得点在同一直线上， 在中，，， ∴， ∴； 综上，的值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：反证法证明，若，则时，应假设， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）花钿是古时一种花饰，在唐代达到鼎盛，下列四种眉心花钿图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握其定义，结合图形，找出对称轴，对称中心是关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心；由此结合图形，找出对称轴、对称中心即可求解． 【详解】解：A、有对称轴，对称中心，既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、有对称轴，没有对称中心，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、没有对称轴，没有对称中心，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，没有对称中心，是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A ． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，M是边上任意一点，过点A、C、D作射线的垂线，垂足分别是E、F、G，若，则m的最小值是（    ） A． B． C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，由矩形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ，， ， 由勾股定理得： ， ， ， 和上的高， ， ， ， ， ， 随着的增大而减小， 时，最小，， 故答案为：A． 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中， 点在轴上，点的横坐标为，， 将菱形绕原点顺时针旋转， 若点的对应点是点，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，菱形绕原点顺时针旋转，得到菱形，过作轴于，过作于，由含的直角三角形的性质得到，，由勾股定理求出，得到，即可得到点的坐标． 【详解】解：如图，菱形绕原点顺时针旋转，得到菱形，过作轴于，过作于， 的横坐标是， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 由旋转的性质得到：，，， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形变化--旋转，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质． 取中点，利用正方形的性质证明，得到，当时，易证此时四边形是正方形，此时，即点G与点H重合，有最小值，利用正方形的性质求出；由点是与的交点，是定线段，得到点G在线段上运动，在整个运动过程中，当边与重合，点G，点E与点C重合，当时，点G与点H重合，当边与重合，点G，点F与点C重合，即点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C，即点经过的路径长是，即可得出结果． 【详解】解：如图，取中点， 在正方形中，， 又∵， ∴， ∴， ， 当时，则， ，， 四边形是正方形， ，即点G与点H重合， ， ； 点是与的交点，是定线段，， 点G在线段上运动， 在整个运动过程中， 当边与重合，点G，点E与点C重合，有最大值， 当时，点G与点H重合，有最小值， 当边与重合，点G，点F与点C重合，有最大值， 点G在整个运动过程中，由点C运动到点H，再由点H运动到点C， 点经过的路径长是， 点经过的路径长是， 故选：A． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，平行四边形中，，对角线．若，则线段的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查平行四边形的性质和直角三角形的性质，先求出，再由得出，再根据所对的直角边等于斜边一半求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 7．（2025·江苏盐城·二模）如图，在等腰中，，平分，点E为的中点，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，掌握这两个知识点是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到D为的中点，然后得到为的中位线，即可求得结果． 【详解】解：∵，平分， ∴D为的中点， ∵点E为中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：6． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得、、在同一条直线上．那么旋转的最小角度是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由题意得，结合旋转的性质可得旋转的最小角度是． 【详解】解：、、在同一条直线上， ， 绕点顺时针方向旋转到的位置， 旋转的最小角度是． 故答案为：． 9．（2025·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）如图，在矩形纸片中，，，E是边上一点，先将沿折叠，点B落在点处，与交于点F；再折叠矩形纸片，使得点C与点合，点D落在点处，折痕为，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，由矩形的性质可得，，，，由折叠的性质可得，，，，，，，，证明、、在同一直线上，得出，设，则，由勾股定理可得，证明，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， 由折叠的性质可得：，，，，，，，， ∴， ∴、、在同一直线上， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，即， 解得：，即， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：5． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，过对角线的中点O作垂线交边分别为点E，F，连接．求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点，掌握菱形的判定方法是解题的关键． 由中点的定义可知，再利用平行四边形的性质证明可得 ，最后根据邻边相等的四边形是菱形即可证明结论． 【详解】证明：∵O为中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． (1)在图①中画一个直角三角形，使它的三边长均为有理数； (2)在图②中画一个正方形，使其面积为10； (3)在图③中画一个平行四边形，使其一条对角线长为，另一条对角线长为有理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）画出边长分别为3，4，5的直角三角形即可． （2）画出边长为的正方形即可． （3）先确定四边形为平行四边形，再结合勾股定理求出对角线为，另一条对角线为有理数即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所求． 由图可知，，，， ， ， 它的三边长均为有理数； （2）如图②，正方形即为所求． 由图可知，， 正方形的面积为5； （3）如图③，平行四边形即为所求． 根据图可知，，， 四边形为平行四边形， 连接，，根据勾股定理可知，，． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握平行四边形性质和全等三角形的判定定理是解题关键． （1）由平行四边形性质，，再结合中点条件，利用“”即可证明． （2）根据题意得出为等腰三角形，由F是的中点，可得，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，且，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴为等腰三角形， ∵点F是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，P是长方形的边上一动点（长方形四个内角都为直角，对边平行且相等），，连接，将线段绕P逆时针方向旋转得到，连接． (1)随着点P的运动，线段的长都发生变化，观察与思考： _______（填“=”、“”或“”）： (2)若的面积为5，求的长； (3)若，的面积为2，求的长． 【答案】(1) (2) (3)3或5 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，算术平方根的应用，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）结合性旋转的性质证明，则，由垂线段最短得到，那么； （2）由面积公式得到，而，即可求解； （3）当点在的左侧，过点作延长线的垂线，垂足为点，可得，由平行线间得距离相等得到，而，可得，再由，得到，再由即可求解；当点在的右侧，同理可求，，再由即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，则 由旋转得：， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：如上图：，而， ∴， 解得：（舍负）； （3）解：当点在的左侧：过点作延长线的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的面积为2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在的右侧：构造相同辅助线如图： 同上可得：， ∵，的面积为2， ∴， ∴， 同上可得：， ∴， ∴； 综上：的长为3或5． 15．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图1，在中，，点分别为边上异于端点的动点，且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形． (1)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (2)当点落在的边上时，直接写出点之间的距离． 【答案】(1) (2)或或． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）连接交于点，过点作延长线于点，根据平行四边形的性质和勾股定理，得到，，设，由折叠的性质可知，，，根据勾股定理列方程，求出，再求出，然后证明，得到，即可求出折痕的长； （2）分三种情况求解：①当点落在边上时，连接，根据折叠的性质证明四边形是平行四边形，再根据含30度角的直角三角形求解即可；②当点落在边上时，连接交于点，连接、，根据全等三角形的性质和折叠的性质，推出，再根据含30度角的直角三角形和勾股定理求解即可；③当点落在边上时，连接交于点，过点作于点，根据全等三角形的性质和折叠的性质，推出点与点重合，再根据含30度角的直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点，过点作延长线于点， 在中，， ，， ，， ， ， ，， ， ， 设，则， 由折叠的性质可知，，， ， 在中，， ， 解得：， 即， ， ，，， ， ， ； （2）解：①如图，当点落在边上时，连接， 由折叠的性质可知，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； ②如图，当点落在边上时，连接交于点，连接、， ，，， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ； ③如图，当点落在边上时，连接交于点，过点作于点， 由折叠的性质可知，，垂直平分， ， ， 同②理可证， ， 又，， ， ， ，即点与点重合， 在中，， ， ，， ， ， 综上可知，点之间的距离为或或． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 中心对称图形—平行四边形 （7个考点梳理+19种题型解读+提升训练） 清单01 旋转的相关概念 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如下图中的∠BOF），如果图形上的点B经过旋转变为点F，那么这两个点叫做对应点. 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 （3）旋转前、后的图形全等。 旋转图形的画法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等，都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形。 清单02 中心对称与中心对称图形 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 4.作图步骤： (1) 连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 (2) 将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 (3) 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形 5.中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 清单03 平行四边形的判定与性质 1：平行四边形的性质 边的性质：两组对边分别平行且相等； 角的性质：两组对角分别相等； 对角线的性质：对角线互相平分。 2：平行四边形的判定 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 清单04 矩形的判定与性质 1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 2：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 清单05 菱形的判定与性质 1：菱形的性质 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2） 且四条边都相等 （3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 2：菱形的面积 菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半 3：菱形的判定 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 清单06 正方形的判定与性质 1：正方形的概念与性质 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） 2：正方形的判定 ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： 清单07 三角形的中位线 1：三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 注意： （1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的. （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 【考点题型一 旋转的相关概念】（） 1．下列现象中： ①汽车方向盘转动；②物体随传送带水平移动；③电梯升降运动；④钟摆运动．属于平移的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M、N、P、Q中，可能是旋转中心的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 3．如图，中，，，垂足为D，将绕点C顺时针旋转，得到，点B的对应点E落在上，若，则的度数为 °． 4．如图，P是长方形的边上一动点（长方形四个内角都为直角，对边平行且相等），，连接，将线段绕P逆时针方向旋转得到，连接． (1)随着点P的运动，线段的长都发生变化，观察与思考： _______（填“=”、“”或“”）： (2)若的面积为5，求的长； (3)若，的面积为2，求的长． 【考点题型二 旋转的点坐标特征】（） 5．如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，此时点的坐标为； (2)画出将绕原点逆时针方向旋转后得到的，此时点的坐标为． 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，，（按要求画出图形，并回答） (1)画出关于点成中心对称的，此时点坐标为______； (2)将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后对应的，此时点坐标为______． 7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将关于x轴作轴对称变换得，则点的坐标为________． (2)将绕原点O按逆时针方向旋转得，则点的坐标为________． (3)求的面积为________． 8．【模型建立】 （1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：； 【初步应用】 （2）将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ；将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图像为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为 ． 【综合运用】 （4）将函数的图像先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转90°，所得图像相应的函数表达式为 ． 【考点题型三 中心对称的相关概念】（） 9．下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 10．若两个图形关于某点成中心对称，则以下结论：①这两个图形一定全等；②对称点的连线一定经过对称中心；③对称点到对称中心的距离相等；④一定存在某条直线，使沿该直线折叠后的两个图形能互相重合.其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 11．如图，把标有序号中某个小正方形涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形但不是轴对称图形，那么该小正方形的序号是 ． 12．如图，在正方形网格中有，直线直线，垂足为． (1)请画出将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后的；在平移的过程中，线段扫过的面积为_____； (2)请画出以点为对称中心的对称图形； (3)与是否成中心对称？若是，画出它们的对称中心；若不是，说明理由． 【考点题型四 中心对称的点坐标特征】（） 13．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为（　　） A． B． C．1 D．3 14．已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 15．在平面直角坐标系中，点绕原点O旋转后的坐标为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)将绕原点O旋转，画出旋转后的； (2)在（1）中，的顶点的坐标是______，的坐标是______； (3)在（1）中，若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是_____． 【考点题型五 平行四边形的判定】（） 17．如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应增加的条件是（   ） A． B． C． D． 18．四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C．， D．， 19．如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 20．已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形．    (1)你添加的条件是：______；（填序号） (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形． 【考点题型六 平行四边形的性质】（） 21．如图，在中，点，分别在，上，，相交于点，且，求证：． 22．如图，在平行四边形中，，平分交与点． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 23．如图，等边的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点同时出发沿射线以的速度运动．设运动时间为，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间的值是多少？ 24．如图，点E、F是平行四边形对角线上两点，． (1)求证：； (2)若，，，求平行四边形的面积． 【考点题型七 平行四边形的动点问题】（） 25．如图，在四边形中，，，，点G是的中点．点M以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，同时点N以每秒1个单位长度的速度从点G出发，沿向点B运动．当点M停止运动时，点N也随之停止运动．设运动时间为t秒，当四边形是平行四边形时，t的值为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 26．如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ． 27．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为秒，开始运动以后，当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 28．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以4的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以2的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由 【考点题型八 反证法】（） 29．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， ________， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 30．小明想用反证法证明“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”这条定理的正确性，请帮他将步骤补充完整． 已知：直线a，b，c在同一平面内，，， 求证：　 　． 证明： 31．用反证法证明：若a，b，c是不全为0的有理数，且，那么a，b，c这三个数中至少有一个负数，完成下列填空： 证明：假设a，b，c都不是 ， 不全为0， 中至少有一个为正数， 0，这与已知相 ， ∴ ，原命题成立， 即a，b，c这三个数中至少有一个负数． 32．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是 . 【考点题型九 矩形的判定】（） 33．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 34．如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 35．如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件 ，使四边形是矩形． 36．如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由． 【考点题型十 矩形的性质】（） 37．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 38．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 39．如图，矩形的对角线与相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)当，，求的长． 40．如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，此时直线、所夹锐角的度数为30度，求四边形的面积． 【考点题型十一 矩形中的折叠问题】（） 41．如图，在矩形纸片中，，，点E为边上一点，将沿翻折，点A恰好落在边上点F处，则长为（   ） A． B． C． D． 42．如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点B，得到折痕，同时使得点A的对称点N落在上，如果，则（    ） A．6 B． C．2 D． 43．如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为 ． 44．如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积； (2)①若点，，在同一直线上，求此时的长度． ②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长． 【考点题型十二 矩形中的动点问题】（） 45．如图，在长方形ABCD中AB=CD=4，AD=BC=5．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，存在这样的t，使△ABP和△DCE全等，则t的值为（　　） A．t= B．t=2 C．t=或t=2 D．t=或t=3 46．在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么 秒后四边形为矩形？ 47．如图，四边形中，，，，，点P从A点出发，以的速度向D点运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B点运动，规定一个动点到达端点时，另一个动点也停止，运动时间为t． (1)当运动t秒时，线段______，______（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，四边形是矩形； (3)在（2）的条件下，若四边形是正方形，请直接写出的值． 48．如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)若，则 ， ． (2)经过多长时间，四边形是平行四边形？ (3)经过多长时间，四边形是矩形？ 【考点题型十三 菱形的判定】（） 49．在中，、是对角线，补充一个条件使得四边形为菱形，这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 50．下列条件中，能判定平行四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 51．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．（写出一个即可） 52．已知：如图，在中，，的平分线交于点F，E是的中点，过点A作，交的延长线于点D． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是菱形．请证明你的结论． 【考点题型十四 菱形的性质】（） 53．如图，在菱形中，，，G是的中点，连接，则线段的长是（   ） A．3 B． C． D．5 54．如图，在菱形中，点分别在上，沿翻折后，点落在边上的处．若，，．则的长为 ． 55．如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的值． 56． 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，过C点作， 两线交于E点， 连接 、，交于点F． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，求的长． 【考点题型十五 正方形的判定与性质】（） 57．如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，当四边形为正方形时，求的长． 58．如图，在平行四边形中，点E，F分别在边，上，且四边形为正方形． (1)求证：； (2)已知平行四边形的面积为20，，求的长． 59．如图，点是正方形的边上一点，把顺时针旋转至的位置．    (1)旋转中心是 ________点，旋转角度是 _______度，则是 _______三角形； (2)若四边形的面积为，求EF的长． 60．如图，点P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上． (1)求点P的坐标． (2)当∠APB绕点P旋转时， ①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值． ②请求出OA2+OB2的最小值． 【考点题型十六 中点四边形的性质】（） 61．如图，在任意四边形中，M，N，P，Q分别是的中点．以下结论：①当时，四边形为正方形；②当时，四边形为菱形；③当时，四边形为矩形；④四边形一定为平行四边形．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 62．顺次连接对角线长为6的矩形四边中点所得的四边形的周长为（  ） A．12 B．18 C．9 D．无法确定 63．在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 64．已知：如图四边形四条边上的中点E、F、G、H，顺次连接、、、，得到四边形，四边形的形状是什么？并证明结论． 【考点题型十七 三角形的中位线】（） 65．如图，在中，点D、E分别是的中点，点F是上一点．已知，连接，若，则的长度为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 66．如图，中，，分别是，的中点，平分，交于点，若，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．1 D．1.5 67．如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，则的度数为 ． 68．如图，中，是中线，是角平分线，于F，，，求的长． 【考点题型十八 平行四边形中的最值问题】（） 69．如图正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，要使最小，则这个最小值为（   ） A．6 B．3 C． D． 70．如图，菱形的周长为8，，为的中点，在对角线上存在一点，使的周长最小，则的周长的最小值为 ． 71．将四根木条钉成的长方形木框变为的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为 度． 72．（1）如图1，是锐角内一动点，把绕点逆时针旋转60°得到，连接，这样就可得出，请给出证明过程． （2）图2所示的是一个锐角为30°的直角三角形公园（，），其中顶点、、为公园的出入口，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离最小，求这个最小的距离． 【考点题型十九 平行四边形综合】（） 73．在正方形中，点是射线上的一个点，以为边向右侧作正方形． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点为线段的中点，连接，若，则的最小值为________． 74．如图，在菱形中，．等腰的两个顶点E、F分别在上且，点A，M在的异侧．小明猜想：点M在菱形的对角线上． (1)如图2，当于点时， ①判断：点M________菱形的对角线上．（填“在”或“不在”） ②如图3，若交于点H，交于点G，连接，当＝______时，四边形为正方形． (2)如图1， ③判断：小明的猜想是否正确？若正确请证明，若不正确请说明理由． ④若，请直接写出的取值范围_______． 75．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，、是的中线，，垂足为，像这样的三角形均称为“中垂三角形”，设，，． (1)如图1，当，时，________，________；如图2，当，时，________，________． (2)请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． (3)如图4，在中，点、、分别是、、的中点，，，，则________． 76．【问题提出】 （1）已知：如图①，中，，，中，，，连接，．可以得到线段，的关系为______； 【问题探究】 （2）已知：如图②，中，，，中，，，连接，．并延长到F，使得，连接．求证：，且； 【问题解决】 （3）如图③，与【问题探究】条件一致，若，，连接、，若，请直接写出所有满足条件的的值为_____． 1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）用反证法证明，若，则时，应假设（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）花钿是古时一种花饰，在唐代达到鼎盛，下列四种眉心花钿图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，M是边上任意一点，过点A、C、D作射线的垂线，垂足分别是E、F、G，若，则m的最小值是（    ） A． B． C．12 D．6 4．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在菱形中， 点在轴上，点的横坐标为，， 将菱形绕原点顺时针旋转， 若点的对应点是点，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形的对角线、相交于点，且，正方形的顶点与点重合，边与重合，将正方形绕点顺时针旋转，与边交于点，与边交于点，连接交于点，在整个运动过程中，则点经过的路径长是（    ） A．1 B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，平行四边形中，，对角线．若，则线段的长为 ． 7．（2025·江苏盐城·二模）如图，在等腰中，，平分，点E为的中点，则的长为 ． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得、、在同一条直线上．那么旋转的最小角度是 ． 9．（2025·江苏泰州·二模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为 ． 10．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）如图，在矩形纸片中，，，E是边上一点，先将沿折叠，点B落在点处，与交于点F；再折叠矩形纸片，使得点C与点合，点D落在点处，折痕为，则 ． 11．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，过对角线的中点O作垂线交边分别为点E，F，连接．求证：四边形是菱形．    12．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． (1)在图①中画一个直角三角形，使它的三边长均为有理数； (2)在图②中画一个正方形，使其面积为10； (3)在图③中画一个平行四边形，使其一条对角线长为，另一条对角线长为有理数． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，且，，求的长． 14．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，P是长方形的边上一动点（长方形四个内角都为直角，对边平行且相等），，连接，将线段绕P逆时针方向旋转得到，连接． (1)随着点P的运动，线段的长都发生变化，观察与思考： _______（填“=”、“”或“”）： (2)若的面积为5，求的长； (3)若，的面积为2，求的长． 15．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图1，在中，，点分别为边上异于端点的动点，且，连接，将四边形沿着折叠得到四边形． (1)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (2)当点落在的边上时，直接写出点之间的距离． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$