串讲 数据的收集、整理、描述+认识概率（考点串讲，8大考点+8大题型剖析+5个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 串讲 数据的收集、整理、描述+认识概率（8考点&8题型） 苏科版 目 录 01 02 04 03 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 八大常考点：知识梳理 八大题型典例剖析 五大易错易混经典例题+针对训练 精选6道期中真题对应考点练 考点透视 考点一：普查与抽样调查 普查： 像这样，为一特定目的而对所有考察对象所做的调查叫做普查。 抽样调查： 像这样，为一特定目的而对部分考察对象所做的调查叫做抽样 调查 ( 简称：抽样 )。 考点透视 普查的优缺点： ① 优点：通过调查总体中每个个体来收集数据， 调查的结果准确； ② 缺点：但往往花费多，工作量大，而且有些调查也不宜使用普查。 抽样调查的优缺点： ① 优点：通过调查样本中每个个体来收集数据， 花费较少，工作量较小，便于进行； ② 缺点：但样本的抽取是否得当，直接关系到对总体的估计。 注意：为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意所选样本的代表性。 考点透视 考点二：总体、个体、样本、样本容量 总体： 我们把所考察对象的全体叫做总体； 个体： 把组成总体的每一个考察对象叫做个体； 样本： 从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本； 样本容量： 样本中个体的数目叫做样本容量。 考点透视 考点三：统计图的选用 扇形统计图中，整个圆表示统计项目的总体，每一统计项目分别用圆中不同的扇形来表示，扇形面积占圆面积的百分比与各统计项目占总体的百分比相同。 扇形圆心角： 在扇形统计图中，扇形圆心角 = 该统计项目占总体的百分比 × 360°。 考点透视 条形统计图用宽度相同的“条形”的高度描述各统计项目的数据； 扇形统计图用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比； 折线统计图用折线描述数据的变化过程和趋势。 条形统计图： ① 条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目， ② 易于比较数据之间的差别； 扇形统计图： ① 用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比， ② 易于显示每组数据相对于总数的大小； 考点透视 折线统计图： ① 能清楚地反映事物的变化情况， ② 显示数据变化趋势。 在解决实际问题时，应根据实际需要选用合适的统计图。 考点透视 考点四：频数和频率 频数： 在统计数据时，各个对象出现的次数有多有少，或者说出现的 频繁程度不同，某个对象出现的次数称为该对象的频数； 频率： 频数与总次数的比值称为频率。 考点透视 考点五：频数分布表与频数分布直方图 组数、组距、频数分布表： 在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组， 分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距， 称这样画出的统计图表为频数分布表。 列频数分布表的步骤： 　 ( 1 ) 计算极差，即计算最大值与最小值的差； 　 ( 2 ) 决定组距与组数， 注意：组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多， 样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5 ~ 12组 ； 　 ( 3 ) 将数据分组； 　 ( 4 ) 列频数分布表。 考点透视 考点六：确定事件与随机事件 事件类型 定义 举例 不可能事件 在一定条件下，有些事情一定不会发生，这样的事情是不可能事件。 明天太阳从西方升起 必然事件 在一定条件下，有些事情一定会发生，这样的事情是必然事件。 抛出的篮球会下落 随机事件 在一定条件下，很多事情无法确定它会不会发生， 这样的事情是随机事件。 抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上 考点透视 考点七：可能性的大小 必然事件： 一定会发生，即发生的可能性是1； 不可能事件： 一定不会发生，即发生的可能性是0； 随机事件： 一般地，随机事件发生的可能性有大有小， 不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同，但发生的可能性都在0 ~ 1之间(不包括0和1)。 考点透视 考点八：频率与概率 概率： 随机事件发生的可能性有大有小。 一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率。 如果用字母A表示一 个事件，那么P ( A ) 表示事件A发生的概率。 事件的概率范围： 通常规定， ① 必然事件A发生的概率是1，记作P ( A ) = 1； ② 不可能事件A发生的概率是0，记作P ( A ) = 0； ③ 随机事件A发生的概率P ( A ) 是0和 1之间的一个数。 考点透视 用频率估计概率： 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动。 在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值。 频率的稳定性： 通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定。 这个性质称为频率的稳定性。 题型剖析 题型一：普查与抽样调查 【例1】下列调查是用普查好，还是用抽样调查好？说说你的理由。 ( 1 ) 全班学生家庭1周内收看“新闻联播”的次数； ( 2 ) 某品牌灯泡的使用寿命； ( 3 ) 长江中现有鱼的种类。 ( 1 ) 普查；理由如下： 调查的对象不是很多，普查的结果更全面、可靠。 ( 2 ) 抽样调查；理由如下： 调查过程具有破坏性，调查的对象不宜过多。 ( 3 ) 抽样调查；理由如下： 由于条件限制，无法逐一调查。 【变式】下列调查中，最适宜全面调查的是（　　） A．检测某城市的空气质量 B．检查一枚运载火箭的各零部件 C．调查某款节能灯的使用寿命 D．调查观众对春节联欢晚会的满意度 B 题型剖析 题型二：总体、个体、样本、样本容量 【例2】为了解某校初二年级900名学生每天花费在数学学习上的时间，抽取了100名学生进行调查，以下说法正确的是（　　） A．样本容量是100 B．每名学生是个体 C．从中抽取的100名学生是样本 D．初二年级900名学生是总体 A A．样本容量：100，√； B．个体：每名学生每天花费在数学学习上的时间，×； C．样本：抽取的100名学生每天花费在数学学习上的时间，×； D．总体：初二年级900名学生每天花费在数学学习上的时间是总体，×。 【变式】下列各项调查是普查，还是抽样调查？如果是抽样调查，请指出总体、个体、样本和样本容量。 ( 1 ) 调查你班每位同学所穿鞋子的尺码； ( 2 ) 从一批洗衣机中抽取5台，调查这批洗衣机的使用寿命； ( 3 ) 调查一个社区所有家庭的年收入； ( 4 ) 从一批袋装食品中抽取10袋，调查这批食品中防腐剂的含量。 ( 1 ) 普查； ( 2 ) 抽样调查； ① 总体：一批洗衣机的使用寿命，② 个体：每台洗衣机的使用寿命， ③ 样本：抽取的5台洗衣机的使用寿命，④ 样本容量：5。 ( 3 ) 普查； ( 4 ) 抽样调查；① 总体：一批袋装食品中防腐剂的含量， ② 个体：每袋装食品中防腐剂的含量， ③ 样本：抽取的10袋袋装食品中防腐剂的含量，④ 样本容量：10。 题型剖析 题型三：统计图的选用问题 【例3】某校为了解学生的出行方式，通过调查制作了如图所示的条形统计图，由图可知，下列说法错误的是（　　） A．步行的人数最少 B．骑自行车的人数为90 C．步行与骑自行车的总人数比坐公共汽车的人数要多 D．坐公共汽车的人数占总人数的50% C A+B．步行的有60人，骑自行车的有90人，坐公共汽车的有150人，√； C．步行与骑自行车的总人：60 + 90 = 150（人）= 乘公共汽车的人数，×； D．总人数：60 + 90 + 150 = 300（人），150 ÷ 300 × 100% = 50%，√。 【变式】如图是某地连续一周的日最高气温统计图，以下叙述错误的是（　　） A．周五的日最高气温最高 B．周五到周日的日最高气温持续降低 C．这周的日最高气温最低为18℃ D．周二与周四的日最高气温相同 C A．周五的日最高气温最高，√； B．周五到周日的日最高气温持续降低，√； C．这周的日最高气温最低为15℃，×； D．周二与周四的日最高气温相同，√。 【变式】某学校准备为七年级学生开设A，B，C，D，E，F共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）。 下列说法不正确的是（　　） A．这次被调查的学生人数为400人 B．E对应扇形的圆心角为80° C．喜欢选修课F的人数为72人 D．喜欢选修课A的人数最少 60 ÷ 15% = 400（人），A正确； 选修课 A B C D E F 人数 40 60 100 C对应的人数为400 × 12% =4 8（人）， F对应的人数为400 × 18% = 72（人），C正确； E对应的人数为400 - 40 - 60 - 100 - 48 - 72 = 80（人），D正确； 360° × = 72°，B不正确。 B 题型剖析 题型四：频数和频率 【例4】某学校对八年级1班50名学生进行体能评定，进行了“长跑”、“立定跳远”、“跳高”的测试，根据测试总成绩划分体能等级，等级分为“优秀”、“良好”、“合格”、“较差”四个等级，该班级“优秀”的有28人，“良好”的有15人，“合格”的有5人，则该班级学生这次体能评定为“较差”的频率是（　　） A．2 B．0.02 C．4 D．0.04 D ∵“较差”的：50 - 28 - 15 - 5 = 2（人）， ∴能评定为“较差”的频率： = 0.04。 【变式】在一次数学测试中，将某班50名学生的成绩分为5组，第一组到第四组的频率之和为0.8，则第5组的频数是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 A ∵第一组到第四组的频率之和为0.8， ∴第五组的频率：1 - 0.8 = 0.2， ∴第五组的频数：50 × 0.2 = 10。 【变式】小花最近买了三本课外书，分别是《汉语字典》用A表示，《流行杂志》用B表示和《故事大王》用C表示。班里的同学都很喜欢借阅，在五天内小花做了借书记录如下表： ( 1 ) 在表中填写五天内每本书的借阅频数； ( 2 ) 计算五天内《汉语字典》的借阅频率。 书名 代号 借阅次数 借阅 频数 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 A 3 2 2 3 4 _____ B 4 3 3 2 3 _____ C 1 2 3 2 3 _____ 14 15 11 ( 2 ) ∵总数：14 + 15 + 11 = 40， ∴五天内《汉语字典》的借阅频率： = 。 题型剖析 题型五：频数分布表与频数分布直方图 【例5】一组数据中的最小值是40，最大值是71，分析这组数据时，若取组距为3，则组数为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 ∵一组数据中的最小值是40，最大值是71，取组距为3， ∴( 71 - 40 ) ÷ 3 = 10， ∴组数：11。 B 【变式】小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表： 则通话时间不超过15min的频率是（　　） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 通话时间x/min 0 < x ≤ 5 5 < x ≤ 10 10 < x ≤ 15 15 < x ≤ 20 20 < x ≤ 25 频数 ( 通话次数 ) 24 16 8 10 2 ∵不超过15分钟的通话次数：24 + 16 + 8 = 48 ( 次 )， 通话总次数：24 + 16 + 8 + 10 + 2 = 60 ( 次 )， ∴通话时间不超过15min的频率： = 0.8。 D 【变式】从全校学生中采用简单随机抽样的方法抽取了60名学生的成绩进行分析，绘制了如图所示的频数分布直方图 ( 每一组含前一个边界值，不含后一个边界值 )，其中70 ~ 80分数段的条形还未画出。如果60分以上为及格，那么估计全校成绩及格的百分率为________。 ∵及格的人数：60 - ( 6 + 9 ) = 45 ( 人 )， ∴估计全校成绩及格的百分率： ×100%=75%。 75% 题型剖析 题型六：确定事件与随机事件 【例6】下列事件中，是随机事件的是（　　） A．13个人中至少有2个人的生肖相同 B．随意抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数小于7 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．从只装有红球和黄球的袋中，掏出一个球是黑球 C 不可能事件 必然事件 随机事件 必然事件 【变式】汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力。下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 不可能事件 必然事件 随机事件 不可能事件 C 【变式】在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的11个小球，其中红球4个，黑球7个。先从袋子中取出m ( m > 1 ) 个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A。 ( 1 ) 当事件A为必然事件时，则m = ________； ( 2 ) 当事件A为随机事件时，则m = ________。 解：( 1 ) ∵“摸出黑球”为必然事件， ∴必须把红球全部取出，才能使摸出黑球为必然事件， ∴m = 4； 4 ( 2 ) ∵“摸出黑球”为随机事件， ∴必须留有红球，才能使摸出黑球为随机事件， ∵m > 1， ∴m的值是2或3。 2或3 题型剖析 题型七：可能性的大小 【例7】“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”。在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立春”，2张“立秋”，1张“冬至”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为________。 解：∵在一个不透明的盒子中装了6张关于“二十四节气”的卡片，其中有2张“立秋”， ∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“立秋”的可能性为 = 。 【变式】转动如图的转盘(转盘中各个扇形的面积都相等)，当它停止转动时，指针指向标有数字________的区域的可能性最小。 解：针落在标有1的区域内的可能性为； 指针落在标有2的区域内的可能性为 =； 指针落在标有数字3的区域内的可能性是可能性为； ∵ > ，∴指针指向标有数字2的区域的可能性最小。 2 【变式】从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件：①抽到“K”；②抽到“黑桃”；③抽到“大王或小王”；④抽到“红桃5”。其中，发生可能性最大的事件是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 解：∵从一副扑克牌中任意抽取1张，共有54种等可能结果， ∴①抽到“K”的可能性为 =； ②抽到“黑桃”的可能性为； ③抽到“大王或小王”的可能性为 =； ④抽到“红桃5”的概率为， ∵ > > > ，∴抽到“黑桃”的可能性最大。 B 题型剖析 题型八：频率与概率 【例8】某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（　　） A．做100次这种实验，事件A必发生3次 B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件A必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 D 【变式】已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近，则x的值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 解：∵经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在0.6附近， ∴摸出黑球的概率为0.6， ∴ = 0.6，解得：x = 6， 经检验，x = 6是原方程的解，且符合题意。 B 【变式】在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复。如表是活动进行中的一组统计数据： ( 1 ) 上表中的a = ________，b = ________； ( 2 ) “摸到白球的”的概率的估计值是 0.6(精确到0.1)； ( 3 ) 如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 摸球的次数n 100 150 200 500 800 2000 摸到白球的频数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 ( 1 ) 上表中的a = ________，b = ________； ( 2 ) “摸到白球的”的概率的估计值是________ (精确到0.1)； ( 3 ) 如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 摸球的次数n 100 150 200 500 800 2000 摸到白球的频数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 解：( 1 ) a = 59 ÷ 100 = 0.59，b = 200 × 0.58 = 116； 0.59 116 ( 3 ) 12 ÷ 0.6 - 12 = 8(个)， 答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球。 0.6 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）下列调查中，适合用普查方法的是（   ） A．学校在做校服前对八年级学生的衣服尺寸大小的调查 B．环保部门对长江水域的水污染情况的调查 C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D．军工厂对该厂生产的某种型号的炮弹爆炸范围的调查 【详解】解：A、学校在做校服前对八年级学生的衣服尺寸大小的调查，应采用普查，符合题意； B、环保部门对长江水域的水污染情况的调查，范围广，不易调查，应采用抽样调查，不符合题意； C、质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意； D、军工厂对该厂生产的某种型号的炮弹爆炸范围的调查，具有破坏性，应采用抽样调查，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）下列事件是必然事件的是（   ） A．太阳从西边升起 B．如果a、b都是实数，那么 C．随机买一张电影票，座位号是奇数 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 【详解】解：A．太阳从西边升起是不可能事件，故不符合题意； B．如果a、b都是实数，那么 是必然事件，故符合题意； C．随机买一张电影票，座位号是奇数是随机事件，故不符合题意； D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件，故不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）某校为了了解八年级学生身高的范围和整体分布情况，抽样调查了八年级50名学生的身高，其中身高最高的是 ，最矮的是 ，若以 为组距，应把这些数据分成 组． 【详解】解： ， 所以应该分为6组； 故答案为：6． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在不透明袋子里装有16个白球和黑球，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子里摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.2513，估计袋中黑球有 个． 【详解】解：∵摸到白球的频率稳定在0.2513， ∴白球的个数为： 个， ∴袋中黑球有： 个． 故答案为：12． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）某校体育组为了解全校学生“最喜欢的一项球类项目”，随机抽取了部分学生进行调查，下面是根据调查结果绘制的不完整的统计图．则由统计图可知，在扇形统计图中，补全条形统计图并求“乒乓球”部分所对应的圆心角的度数． 【详解】解：调查的总人数为 （人）， 喜欢乒乓球的人数为 （人）， “乒乓球”部分所对应的圆心角的度数是： ， 补全条形统计图如下： 6．（23-24七年级下·江苏无锡·单元测试）把一副扑克牌中的13张红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？估计这些事件发生的可能性的大小，并把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． （1）抽到的牌的点数是8； （2）抽到的牌的点数小于6； （3）抽到的牌是黑桃； （4）抽到的牌是红桃． 【详解】解：（1）抽到的牌的点数是8，是随机事件，发生的可能性为 ； （2）抽到的牌的点数小于6，是随机事件，发生的可能性为 ； （3）抽到的牌是黑桃，是不可能事件，发生的可能性为0； （4）抽到的牌是红桃，是必然事件，发生的可能性为1； 则按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）（1）（2）（4）． 7．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）在国家“双减”政策背景下，学校为了解八年级800名学生的睡眠情况，抽查了其中的100名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述中，正确的是（    ） A．以上调查属于全面调查 B．每名学生的睡眠时间是一个个体 C．100名学生是总体的一个样本 D．800是样本容量 【详解】解：以上调查属于抽样调查，故A选项错误，不符合题意； 每名学生的睡眠时间是一个个体，故B选项正确，符合题意； 100名学生的睡眠时间是总体的一个样本，故C选项错误，不符合题意； 800名学生的睡眠情况是总量，100名学生的睡眠时间是样本容量，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）将5个红球和 个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则 的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】解：∵不透明的袋子中有5个红球和 个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球，事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件， ∴ 的值可以是 ， 故选：A． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、四、五组数据的个数分别为2，8，20，5，则第三组的频率为 ． 【详解】解： ， ， 则第三组的频率为 ． 故答案为： ． 10．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子一次，下列3个事件：①向上一面的点数是奇数；②向上一面的点数是3的倍数：③向上一面的点数不小于3．其中发生的可能性最小的事件是 ．（填序号） 【详解】解：①“向上一面的点数是奇数”的可能性为 ， ②“向上一面的点数是3的倍数”的可能性为 ， ③“向上一面的点数不小于 ”的可能性为 ， ， 故其中发生的可能性最小的事件是②， 故答案为：②． 11．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的a=________，b=________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【详解】（1）解：a=59÷100=0.59，b=200×0.58=116． 故答案为：0.59，116； （2）解：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6； （3）解：18÷0.6-18=12（个）． 答：除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． $$