精品解析： 江苏省南京市玄武区2024-2025学年下学期八年级数学期中质量调研试卷

2024~2025学年度第二学期期中质量调研卷 八年级数学 （总分：100分） 注意事项： 1．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适合用普查方式的是（ ） A. 了解一批笔芯的使用寿命 B. 了解武侯区七年级学生视力情况 C. 了解你们班同学周末时间是如何安排的 D. 了解成都市70岁以上老人的健康状况 3. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 从装满白球的袋子中取出红球 B. 任意掷一枚硬币，正面朝上 C. 小明投篮练习时，连续两次投进篮筐 D. 平行四边形对角相等 4. 将分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的倍 D. 扩大为原来的倍 5. 下列分式中，属于最简分式是（ ） A. B. C. D. 6. 一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（ ） A B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（ ） A. 保持不变 B. 逐渐增加 C. 先增加再减小 D. 先减小再增加 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A. 9 B. 13 C. 5 D. 4 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若分式的值为零，则x的值等于______． 10. 已知在一个样本中，个数据分别落在个组内，第一、二、三、五组数据的个数分别为，则第四组的频率是______． 11. 分式的最简公分母为__________． 12. 某种水稻种子在相同条件下发芽实验的结果如下： 每批粒数 100 500 800 1000 2000 5000 发芽的频数 94 442 728 902 1798 4505 发芽的频率 则该种水稻种子发芽的概率的估计值为___________（精确到）； 13. 若，则分式的值为________． 14. 在四边形中，，，，分别是，，，的中点，依次连接，，，得到四边形，若对角线，则四边形是________．（填形状） 15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为是____． 16. 如图，在平行四边形中，设，将平行四边形绕顶点顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点时，旋转角________．（用含有的代数式表示） 17. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．若轴上有两个动点、（在的左侧），且，则的最小值为________． 18. 如图，已知，延长直角边至点，使，为直角边上的点，且，连接，、分别为，的中点，连接，则________． 三、解答题（本大题共9小题，共64分） 19 计算： （1）； （2） 20. 先化简，再从，，0，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 21. “校园安全”受到全社会的广泛关注．某校就学生对校园安全知识的了解程度，选取了八年级部分学生进行调查．通过调查统计，将该校八年级部分学生对校园安全知识的了解程度分为五个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．了解很少；E．不了解．并绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下． 根据图中信息，解答下列问题． （1）本次抽样调查的样本容量是 ； （2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）． （3）扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 °． （4）若在调查中了解程度为“了解很少”和“不了解”的学生需参加学校举办的校园安全宣讲会，则在八年级的600名学生中，宣讲会的参与人数约为多少人？ 22. 如图，在平行四边形中，、分别是上的点且，求证：四边形为平行四边形． 23. 如图，在平面直角坐标系中，（2，1），（4，3），（1，3）． （1）若与关于原点成中心对称（点，，分别与点A，B，C对应），试在图中画出； （2）将以C中心顺时针旋转90°得到，试在图中画出； （3）若可由以点P为中心旋转得到，则点P的坐标是______． 24. 甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克元和元（）．甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油． （1）若甲两次加油的平均单价为每千克元，乙两次加油的平均单价为每千克元．则： ； ． （2）请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由． 25. 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即 所以 所以的值为 这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面题目： 已知：．求 （1）的值； （2）的值． 26. 如图，矩形中，的垂直平分线分别交、于E、F，垂足为O，连接、． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若cm，cm，动点P从D出发沿折线运动至B停止，同时点Q从E出发沿折线运动至E停止，设P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），当以E、F、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a与b满足的数量关系式． 27. 已知，在正方形中，，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，直线与交于O，与交于H，，； ①求证：四边形是正方形； ②在线段旋转的过程中，请直接写出四边形面积的最小值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期期中质量调研卷 八年级数学 （总分：100分） 注意事项： 1．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的定义，根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 下列调查中，适合用普查方式的是（ ） A. 了解一批笔芯的使用寿命 B. 了解武侯区七年级学生的视力情况 C. 了解你们班同学周末时间是如何安排的 D. 了解成都市70岁以上老人的健康状况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查调查方式的选择，解题的关键是区分普查和抽样调查的特点，根据调查对象的特征来判断． 依次分析每个选项中调查对象的特点，根据普查适用于范围较小、容易掌握、不具有破坏性等情况，抽样调查适用于范围较大、具有破坏性等情况，判断其适合的调查方式． 【详解】A、了解一批笔芯的使用寿命，测试笔芯使用寿命的过程会对笔芯造成破坏，而且一批笔芯数量通常较多，全面检测不现实，所以适合采用抽样调查，该选项错误． B、了解武侯区七年级学生的视力情况，武侯区七年级学生数量众多，进行全面普查工作量极大，耗费大量的人力、物力和时间，适合抽样调查，该选项错误． C、了解自己班级同学周末时间是如何安排的，班级同学数量相对较少，容易进行全面调查，能准确获取每个同学的情况，适合普查方式，该选项正确． D、了解成都市70岁以上老人的健康状况，成都市70岁以上老人数量庞大，全面普查难度非常大，适合抽样调查，该选项错误． 故选：C． 3. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 从装满白球的袋子中取出红球 B. 任意掷一枚硬币，正面朝上 C. 小明投篮练习时，连续两次投进篮筐 D. 平行四边形对角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，据此求解即可． 【详解】解：A、从装满白球的袋子中取出红球是不可能事件，不符合题意； B、任意掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意； C、小明投篮练习时，连续两次投进篮筐是随机事件，不符合题意； D、平行四边形对角相等是必然事件，符合题意； 故选：D． 4. 将分式中的，的值都扩大为原来的倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的倍 D. 扩大为原来的倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把原分式中的分别用替换，然后约分即可得到答案，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴缩小为原来的， 故选：． 5. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质化简各分式，然后逐项判断即可． 【详解】解：A、，故原分式不是最简分式，不符合题意； B、，故原分式不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故原分式不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 6. 一个四边形的三个内角的度数依次如下，能判定该四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握两组对比分别平行的四边形是平行四边形成为解题的关键． 先根据四边形的内角和求得第四个角，然后根据平行四边形的判定定理逐项判断即可解答即可． 【详解】解：A. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都为，所以两组对边都平行，该四边形是平行四边形，符合题意； B. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都不为，所以两组对边都不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意； C. ，则第四个角为，所以一组对边平行，该四边形是梯形，不符合题意； D. ，则第四个角为，由相邻两个角的和都不为，所以两组对边都不平行，该四边形不是平行四边形，不符合题意． 故选A． 7. 如图，在平行四边形中，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，点从点向点的运动的过程中，的长度（ ） A. 保持不变 B. 逐渐增加 C. 先增加再减小 D. 先减小再增加 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质，解题关键是掌握中位线定理．先根据中位线定理得出，再由此判断． 【详解】解：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴点从点向点的运动的过程中，的值先减小再增加， ∴的值先减小再增加． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ） A. 9 B. 13 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．作轴于点E，证明，推出，再利用勾股定求出即为正方形的面积． 【详解】解：如图，作轴于点E， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， 又，， ， ， ， 即正方形的面积是， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若分式的值为零，则x的值等于______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知在一个样本中，个数据分别落在个组内，第一、二、三、五组数据的个数分别为，则第四组的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率，先求出第四组数据的个数，根据频率的计算公式计算即可求解，掌握频率计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴第四组数据的个数为， ∴第四组的频率是， 故答案为：． 11. 分式的最简公分母为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题需先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的概念，即可求出答案． 【详解】解： 分式的最简公分母是：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了最简公分母，解题的关键是要能根据最简公分母的概念求出几个分式的最简公分母． 12. 某种水稻种子在相同条件下发芽实验结果如下： 每批粒数 100 500 800 1000 2000 5000 发芽的频数 94 442 728 902 1798 4505 发芽的频率 则该种水稻种子发芽的概率的估计值为___________（精确到）； 【答案】 【解析】 【分析】根据大量反复试验下的频率稳定值即为概率的近似值即可解答； 【详解】解：由表格可知水稻种子的发芽频率在左右波动， ∴该种水稻种子发芽的概率的估计值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，理解大量反复试验下的频率稳定值即为概率的近似值是解题关键． 13. 若，则分式的值为________． 【答案】1.5 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子分母因式分解，再约分化简，然后将变形为，再代值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故答案为：1.5． 14. 在四边形中，，，，分别是，，，的中点，依次连接，，，得到四边形，若对角线，则四边形是________．（填形状） 【答案】矩形 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，，同理得到，，，得到且，进而得解． 【详解】解：如图： ∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可得：，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， ∴平行四边形为矩形． 故答案为： 矩形． 15. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质及“斜中半定理”．根据菱形的性质结合“斜中半定理”可得是解题关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，    ∴菱形的面积， 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形中，设，将平行四边形绕顶点顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点时，旋转角________．（用含有的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可知：平行四边形全等于平行四边形，得出，由等腰三角形的性质得出，由旋转角，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形， ∴， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，．若轴上有两个动点、（在的左侧），且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点，推出的最小值是，求出即可． 详解】解：将点向左平移1个单位得到点，连接，连接交轴于点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 的最小值是，此时位于位置， 此时 故答案为：． 【点睛】本题考查最短路线问题，涉及平面直角坐标系，勾股定理、平移，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握平移的性质是关键． 18. 如图，已知，延长直角边至点，使，为直角边上的点，且，连接，、分别为，的中点，连接，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，连接，取中点K，连接，由三角形中位线定理推出，，，，得到，求出，，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，取中点K，连接， ∵P，Q分别为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案：． 三、解答题（本大题共9小题，共64分） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的乘除法计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 先化简，再从，，0，2中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则化简，再根据分式的意义得出， ，将代入求解即可． 【详解】 ∵， ， ∴ 当时，原式． 21. “校园安全”受到全社会的广泛关注．某校就学生对校园安全知识的了解程度，选取了八年级部分学生进行调查．通过调查统计，将该校八年级部分学生对校园安全知识的了解程度分为五个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．了解很少；E．不了解．并绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下． 根据图中信息，解答下列问题． （1）本次抽样调查的样本容量是 ； （2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）． （3）扇形统计图中所对应的圆心角的度数为 °． （4）若在调查中了解程度为“了解很少”和“不了解”的学生需参加学校举办的校园安全宣讲会，则在八年级的600名学生中，宣讲会的参与人数约为多少人？ 【答案】（1）200 （2）见解析 （3）126 （4）150人 【解析】 【分析】（1）利用B等级的人数除以其所占的百分比即可得到答案； （2）利用样本容量的意义，计算补图即可． （2）根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可； （3）利用解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得（人）， 即本次抽样调查的样本容量是200， 故答案为：200 【小问2详解】 ．非常了解的人数为（名）． 补全条形统计图如下． 【小问3详解】 解：A组所占圆心角为： 故答案为：126． 【小问4详解】 解：（人）． 答：在八年级的600名学生中，宣讲会的参与人数约为人． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，圆心角计算，样本容量、样本估计总体，读懂统计图，熟练掌握圆心角，样本容量计算是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形中，、分别是上的点且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，连接交于O，根据平行四边形对角线互相平分得到，再证明，即可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论． 【详解】证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 23. 如图，在平面直角坐标系中，（2，1），（4，3），（1，3）． （1）若与关于原点成中心对称（点，，分别与点A，B，C对应），试在图中画出； （2）将以C为中心顺时针旋转90°得到，试在图中画出； （3）若可由以点P为中心旋转得到，则点P的坐标是______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）（，1） 【解析】 【分析】（1）根据成中心对称的两个图形的特征，即可画出图形； （2）根据旋转图形的性质，即可画出图形； （3）根据旋转的性质，即可找到P点，从而求出P点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示 【小问2详解】 解：如图所示 【小问3详解】 解：点P的位置如图所示， 由图可知，点P的坐标为（，1）． 故答案为：（，1）． 【点睛】本题主要考查了作图——旋转、成中心对称，作已知两个图形的旋转中心，解题的关键是掌握相关的作图方法． 24. 甲、乙两人两次同时在一家加油站加油，两次某种汽油的价格分别为每千克元和元（）．甲每次加入40升汽油，乙每次加入200元汽油． （1）若甲两次加油的平均单价为每千克元，乙两次加油的平均单价为每千克元．则： ； ． （2）请比较甲、乙两人的平均单价，判断哪一个更便宜，并说明你的理由． 【答案】（1）， （2）乙的平均单价更便宜，见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，弄清平均价格是解本题的关键． （1）利用两次加油的价格以及购买的质量与钱数得出即可； （2）根据总钱数除以总千克数求出甲乙两人加油的平均价格，利用作差法比较即可． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，， 【小问2详解】 解：， ， ， ，， 即， 答：乙的平均单价更便宜． 25. 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即 所以 所以的值为 这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解下面题目： 已知：．求 （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形，本题属于基础题型． （1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）计算所求式子的倒数，再利用完全平方公式变形，将代入可得结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ． 26. 如图，矩形中，的垂直平分线分别交、于E、F，垂足为O，连接、． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若cm，cm，动点P从D出发沿折线运动至B停止，同时点Q从E出发沿折线运动至E停止，设P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），当以E、F、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a与b满足的数量关系式． 【答案】（1）四边形为菱形，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形和垂直平分线的性质，证明，进而得到，再根据对角线互相垂直平分，即可判断四边形的形状； （2）设菱形的边长cm，利用勾股定理，得出，进而得出，发根两种情况讨论，利用平行四边形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ，， 垂直平分，垂足为O， ，， 在和中， ， ， ， 又，， 四边形为菱形； 【小问2详解】 解：设菱形的边长cm，则cm， 在中，cm， 由勾股定理得：， 解得：， cm， 四边形是菱形， ， ， ， 如图，当Q在上，P在上，四边形是平行四边形，， ，， ， ； 如图，当Q在上，P在上，四边形是平行四边形，， ，， ， ； 综上所述，a与b满足的数量关系式是或． 【点睛】本题考查了矩形性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 27. 已知，在正方形中，，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，直线与交于O，与交于H，，； ①求证：四边形是正方形； ②在线段旋转的过程中，请直接写出四边形面积的最小值________． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②20 【解析】 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； 过点D作于点Q，证明，得出，根据勾股定理得出，根据，得出最大时，最小，根据，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 根据旋转可知：，， ∴， ， 在和中， ； 【小问2详解】 证明：根据解析（1）可知：， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； 过点D作于点Q，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ，， 最大时，最小， ∵， ， ∵四边形为正方形， ∴正方形面积的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$