2025年北京市中考数学模拟卷

北京市2025年中考模拟试卷 数学试卷 注意事项: 1.本试卷共8页,全卷满分100分。考试时间120分钟。考生答题全部答在答题卡上,答在本试卷上无效。 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合,再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上； 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置,在其他位置答题一律无效； 4.作图题必须用2B铅笔作答,并请加黑、加粗。 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．中国科学院合肥物质科学研究院等离子体物理研究所“人造太阳”之称的全超导托卡马克核聚变实验装置（）实现秒的长脉冲高参数等离子体运行，“人造太阳”表面的温度高达亿度，是太阳的数十倍．数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 3．自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成的，其工作原理如图所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 第5题 第7题 6．一元二次方程有两个实数根，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，．下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如题图，正五边形内接于圆，过点A的切线与直线，相交于点F，G，直线，相交于点H，下列结论中：①；②；③；④当正五边形的边长为2时，线段的长是．正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．要使式子有意义，x的取值范围是 10．因式分解： ． 11．关于的方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的的值 ． 12．如图所示，在中，， 边经过原点O，轴，双曲线过A，B两点．若，则k的值为 ．       第12题 第13题 第15题 13．《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为 石. 14．如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点D作，交的延长线于点E，以为直径的交于点F．则圆心O到的距离是 ． 15．黄金分割比这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉．古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联．如图，在中，，点在线段上，过点分别作于点于点，得到矩形，若矩形的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则的长为 ． 16．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（5分）计算：． 18．（5分）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 19．（5分）已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 20．（6分）如图，在平行四边形中，，E是边上一点，延长交的延长线于点F，连接． (1)若，求证：四边形是矩形． (2)在（1）的条件下，，求的值． 21．（6分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同． (1)问：、两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将款玩偶的销售单价定为13元，将款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算购进、两款玩偶共100个，且款的数量不小于款的，请你根据计算说明，当、两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 22．（5分）如图，已知平行四边形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，点的纵坐标为4. (1)求A点坐标； (2)连接，求平行四边形的面积． 23．（5分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》，某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛的抽样与数据分析过程． 【收集数据】现随机将全校学生以20人为一组进行分组，再随机抽取3个小组，并收集这3个小组的学生成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，并把学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现： “”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分． 【描述数据】根据抽取的3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如表所示： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接补全第1小组得分条形统计图； (2)在第2小组得分扇形统计图中，求“得分为1分”这一项所对应的圆心角的度数； (3)若该校共有3000名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？ 24．（6分）如图，内接于，为的直径，点为的中点，连接，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，平分． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 25．（5分）定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数为谷函数，这个最小值叫做谷值；若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰函数．这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰谷函数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小值，我们称这个函数为非峰非谷函数： (1)根据条件判断下列函数的类型，将代码（A谷函数；B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数）写在后面的括号内： ①函数；（　　） ②函数；（　　） ③函数（为全体实数）；（　　） (2)若函数在实数范围内为峰函数，且经过点和点，其图象与轴交于、两点，且，求该函数的峰值； (3)若函数（）在实数范围内为谷函数，函数图象经过点，且满足，求的最小值． 26．（6分）如图1，已知中，，，点为边上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，与交于点． (1)当时，求的值； (2)试探究猜想、、之间满足的数量关系，并给予证明； (3)在点在边上运动的过程中，、的面积分别记为、，求的最小值． 27．（7分）在菱形中，如图1，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合），将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，旋转角度与相等，过点作的平行线，交射线于点， (1)求证：为等腰三角形 (2)如图2，若线段上存在点，满足，联结， ①则___________． ②请判断在点的运动过程中，的大小是否变化？若不变，请说明理由． (3)在第（2）问的条件下，若，延长交于点，请直接写出的最小值． 28．（7分），是上的两个点，点在的内部．若为直角，则称点为关于的内直点，特别地，当圆心在边（含顶点）上时，称点为关于的最佳内直点． 在平面直角坐标系中． (1)的半径为，，是上两点． ①已知，，，中，是关于的内直点的是____； ②若直线上存在个关于的内直点，直接写出的取值范围． (2)点是以为圆心，为半径的圆上一个动点，与轴交于点（点在点的右边）．现有点，，对于线段上每一点，都存在点，使点是关于的最佳内直点，请直接写出的最大值，以及取得最大值时的取值范围． 试卷第6页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市2025年中考模拟试卷 数学试卷 注意事项: 1.本试卷共8页,全卷满分100分。考试时间120分钟。考生答题全部答在答题卡上,答在本试卷上无效。 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合,再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上； 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置,在其他位置答题一律无效； 4.作图题必须用2B铅笔作答,并请加黑、加粗。 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．中国科学院合肥物质科学研究院等离子体物理研究所“人造太阳”之称的全超导托卡马克核聚变实验装置（）实现秒的长脉冲高参数等离子体运行，“人造太阳”表面的温度高达亿度，是太阳的数十倍．数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题关键是熟悉科学记数法一般形式． 根据用科学记数法表示绝对值小于1的数求解．科学记数法一般形式：，其中，为整数． 【详解】解：亿=， 故答案为：． 2．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：由题意可得， A、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3．自行车尾灯内部的角反射器是由许多垂直的平面镜组成的，其工作原理如图所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线性质，垂直定义等．根据题意先作，再利用平行线性质得，继而再利用平行线性质即可得到答案． 【详解】解：作， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了数轴，两点间的距离，绝对值的意义，有理数的运算法则． 利用数轴上点分别表示数，，，利用两点间距离求出，由，利用有理数的运算法则及绝对值的意义逐一判断即可． 【详解】解：数轴上点分别表示数，，， ，， ， ，，故选项B、C错误； ， ， ，故选项A错误； ，故选项D正确； 故选：D． 5．小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E，F分别是平行四边形的两边，上的点，，点M，N是上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、几何概率 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、几何概率的知识点，准确计算是解题的关键． 将平行四边形分成平行四边形和平行四边形两部分，可得四边形内阴影部分是四边形面积的一半，四边形内阴影部分是四边形面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率； 【详解】∵平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∵四边形内阴影部分面积四边形面积， 四边形内阴影部分面积四边形面积， ∴阴影部分的面积平行四边形的面积， ∴飞镖在阴影部分的概率是． 故选：B． 6．一元二次方程有两个实数根，那么一次函数的图象一定不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一次函数经过的象限，由根与系数的关系得到，则一次函数为，据此可得一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 7．如图，在中，，分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，．下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．根据尺规作图可知是的垂直平分线，点是的中点，根据尺规作图可知线段之间的长度关系和角之间的关系，根据边角之间的关系判定三角形相似，再利用相似三角形的性质求出三角形的面积之间的关系． 【详解】解：由作图可知是的垂直平分线， 点是的中点， 以为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 故A选项正确； 由作图可知是的垂直平分线， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 故B选项正确； 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故C选项正确； ， 设，，则， ， 整理得：， 或(不符合题意，舍去)， ， 故D选项错误． 故选：D． 8．如题图，正五边形内接于圆，过点A的切线与直线，相交于点F，G，直线，相交于点H，下列结论中：①；②；③；④当正五边形的边长为2时，线段的长是．正确的结论有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、切线的性质定理、正多边形和圆的综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】如图，连接，求解，可得，，故①符合题意；证明是的垂直平分线，可得过圆心，可得，可得，证明，可得，故②符合题意；证明，可得，，设，设正五边形的边长为，可得，证明，设，可得，故③不符合题意；当正五边形的边长为2时，结合③可得：，，进一步可得线段的长是，故④符合题意. 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于圆， ∴，， ∴，，故①符合题意； ∴，而， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴过圆心， ∵为圆的切线， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； 由②得：， ∴， 同理可得：， 同理可得：， ∴，， ∴设， 设正五边形的边长为， ∵， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去） ∵， ∴， 设， ∴，， 同理：， ∴， ∴，故③不符合题意； 当正五边形的边长为2时， 结合③可得：，， ∴， ∴线段的长是，故④符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查的是正多边形与圆，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，切线的性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键。 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．要使式子有意义，x的取值范围是 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有有意义的条件，解题关键是掌握二次根式中被开方数为非负数，根据二次根式有意义的条件可知被开方数为非负数，可得，解不等式即可得到x的取值范围. 【详解】解：根据题意：， 则， 故答案为：． 10．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．关于的方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的的值 ． 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，结合一元二次方程的二次项不为0，求出的范围，进行作答即可． 【详解】解：由题意，得：，且， ∴且， ∴的值可以为1； 故答案为：1（答案不唯一）． 12．如图所示，在中，， 边经过原点O，轴，双曲线过A，B两点．若，则k的值为 ．       【答案】2 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．如图，作于，由，可得，由的几何意义可得 ，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴， 由的几何意义可得 ，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 13．《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为 石. 【答案】240 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据多次实验得到的频率约等于概率得出方程，求出解即可． 【详解】解：设这批米内夹谷约为x石，根据题意，得 ， 解得． 所以这批米内夹谷约为240石． 故答案为：240． 14．如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点D作，交的延长线于点E，以为直径的交于点F．则圆心O到的距离是 ． 【答案】2.4 【知识点】与三角形中位线有关的证明、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，连接，过点O作于点H，证明，得，再证明是的中位线，然后根据三角形中位线定理即可得出的长． 【详解】解：连接，过点O作于点H，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴点为的中点， 又点为的中点， ∴是的中位线， ∴． ∴圆心O到的距离是2.4． 故答案为：2.4． 15．黄金分割比这一神奇的数学比例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉．古希腊毕达哥拉斯学派率先察觉，欧几里得给出严谨定义，中国清代梅文鼎从独特的勾股形视角与之关联．如图，在中，，点在线段上，过点分别作于点于点，得到矩形，若矩形的周长与的周长之比恰好为黄金分割比，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用勾股定理求得，证明，求得，设，利用，列式计算即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由矩形得， ∴， ∴， 设， 则，， ∴矩形的周长为， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 16．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ． 【答案】33或127/127或33 【知识点】无理数的大小估算、新定义下的实数运算、二次根式的应用、二元一次方程的解 【分析】根据“神奇区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况． 【详解】解：“神奇区间”为， 、为连续正整数， ，， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解， 符合条件的，有，，；，，． ，，时，，， ， ， ，，时，，， ， ， 故的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（5分）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及0指数、特殊角的三角函数、化简绝对值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 先计算0指数，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 18．（5分）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查的是方程组与不等式的综合应用，先把两式相减得，结合，再建立不等式解题即可． 【详解】解：， 两式相减得， ， ； 解得：； 19．（5分）已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式化简求值、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． 20．（6分）如图，在平行四边形中，，E是边上一点，延长交的延长线于点F，连接． (1)若，求证：四边形是矩形． (2)在（1）的条件下，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求线段长、求角的正弦值 【分析】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形判定与性质、矩形判定与性质及三角函数计算， （1）先证明，进而证明结论； （2）作于点H，根据平行四边形及矩形性质求出，得出，进而求出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，延长交的延长线于点F， ∴ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：作于点H，则， ∵四边形是平行四边形，四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 21．（6分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同． (1)问：、两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将款玩偶的销售单价定为13元，将款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算购进、两款玩偶共100个，且款的数量不小于款的，请你根据计算说明，当、两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 【答案】(1)款的进货单价是10元，则款的进货单价是15元 (2)购进款个，购进款个时，获得的总利润最高，最高为450元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设款的进货单价是元，则款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进款个，则购进款个，先根据“款的数量不小于款的”求得；再设总利润为，则，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设款的进货单价是元，则款的进货单价是元， 根据题意，可得，解得 经检验，是该方程的解， ， 答：款的进货单价是10元，则款的进货单价是15元． （2）解：设购进款个，则购进款个， ∵款的数量不小于款的， ， 解得：， 设总利润为，则 ， 随的增大而减少， 当取得最小整数解25时，取得最大值，最大值为 此时，则 答：购进款个，购进款个时，获得的总利润最高，最高为450元． 22．（5分）如图，已知平行四边形的顶点都在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，点的纵坐标为4. (1)求A点坐标； (2)连接，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）将点C的坐标代入反比例函数解析式求出，根据平行四边形的性质结合点的纵坐标为4，可得点A的纵坐标为1，代入反比例函数解析式即可解答； （2）作轴于D，轴于E，轴于F，则，利用即可求得． 【详解】（1）解：根据题意：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵平行四边形中，点的纵坐标为4， ∴点A的纵坐标为1， ∴， ∴； （2）解：作轴于D，轴于E，轴于F，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的意义，反比例函数图象上点的坐标特征，以及平行四边形的性质．掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键． 23．（5分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》，某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛的抽样与数据分析过程． 【收集数据】现随机将全校学生以20人为一组进行分组，再随机抽取3个小组，并收集这3个小组的学生成绩． 【整理数据】将抽取的成绩进行整理，并把学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现： “”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分． 【描述数据】根据抽取的3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如表所示： 请根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接补全第1小组得分条形统计图； (2)在第2小组得分扇形统计图中，求“得分为1分”这一项所对应的圆心角的度数； (3)若该校共有3000名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？ 【答案】(1)图见解析 (2) (3)该校3000名学生中大约有名学生竞赛成绩不低于90分 【知识点】折线统计图、由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查统计图，求扇形图中圆心角的度数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息是解题的关键： （1）求出第1小组得4分的人数，补全条形图即可； （2）用360度乘以第2小组得分为1分的人数所占的比例，求出圆心角的度数即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：第1小组得4分的人数为：，补全条形图如图： （2）； 故“得分为1分”这一项所对应的圆心角的度数为； （3）解：第组学生成绩不低于分的人数为： （人）， ∴（人） ∴该校3000名学生中大约有名学生竞赛成绩不低于90分． 24．（6分）如图，内接于，为的直径，点为的中点，连接，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，平分． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查切线的判定，矩形的判定和性质，解直角三角形的计算，掌握切线的判定和性质，解直角三角形的计算是关键． （1）根据角平分线的定义，等边对等角可证，，结合切线的判定方法即可求解； （2）根据题意可证四边形为矩形，则，，由，得到，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； （2）解：∵是直径， ∴，即， ∵点是中点，为的中点， ∴， ， ，， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ，， ， ． 25．（5分）定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数为谷函数，这个最小值叫做谷值；若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰函数．这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰谷函数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小值，我们称这个函数为非峰非谷函数： (1)根据条件判断下列函数的类型，将代码（A谷函数；B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数）写在后面的括号内： ①函数；（　　） ②函数；（　　） ③函数（为全体实数）；（　　） (2)若函数在实数范围内为峰函数，且经过点和点，其图象与轴交于、两点，且，求该函数的峰值； (3)若函数（）在实数范围内为谷函数，函数图象经过点，且满足，求的最小值． 【答案】(1)、、． (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了新定义，一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据定义，结合反比例函数图象，一次函数图象，二次函数图象，分析判断，即可求解； （2）根据定义，可得，根据经过点和点，，建立方程组，解方程组求得的值，得出解析式，进而化为顶点式，求得最大值，即可求解； （3）根据定义，可得，根据经过点，得出，根据题意可得，设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，根据方程有实数根，得出的最小值为，，根据要使得的最小值．则同号，则，即可求解． 【详解】（1）解：①函数；没有最大值也没有最小值则是非峰非谷函数（） ②函数；既有最大值又有最小值，是峰谷函数（） ③函数开口向上，只有最小值没有最大值，是谷函数（为全体实数）；（） 故答案为：、、． （2）解：∵函数在实数范围内为峰函数， ∴， ∵经过点和点， ∴ ∴， 函数的图象与轴交于、两点，设 ∴是方程的两个实数根， ∴ 又∵， ∴ ∴ 即 ∴ ∵，， ∴ 解得：（，正值舍去） ∴ ∴ ∵ ∴顶点坐标为，即该函数的峰值为； （3）∵函数（）在实数范围内为谷函数， ∴， ∵函数的图象经过点 ∴ ∴ 又∵ ∴ 设中，是最大的数，设是方程的两个实数根， ∴， ∴ ∵方程有实数根， ∴ 设， 如图 ∴当时， ∵，即的最小值为 ∴当取得最小值时， ∵要使得的最小值．则同号， ∴ ∴的最小值为． 26．（6分）如图1，已知中，，，点为边上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，与交于点． (1)当时，求的值； (2)试探究猜想、、之间满足的数量关系，并给予证明； (3)在点在边上运动的过程中，、的面积分别记为、，求的最小值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)的最小值为 【知识点】利用二次函数对称性求最短路径、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由旋转得，，，从而，再求出，，可得，进而可求出； （2）过点作于点，由等腰三角形的性质得，，证明，从而可证，由得，进而可证； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，由得，可得，由，可得，从而，设，，中，，，进而可求出当时，的最小值为． 【详解】（1）解：如图2， ∵， ∴ 由旋转得，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）猜想：． 证明：如图3，过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图4，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设，， ∵，∴，，， 中， ， ∴ ∵ ∴当时，的最小值为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，利用二次函数求最值，正确作出辅助线是解答本题的关键． 27．（7分）在菱形中，如图1，对角线与相交于点，点为线段上一动点（不与点重合），将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，旋转角度与相等，过点作的平行线，交射线于点， (1)求证：为等腰三角形 (2)如图2，若线段上存在点，满足，联结， ①则___________． ②请判断在点的运动过程中，的大小是否变化？若不变，请说明理由． (3)在第（2）问的条件下，若，延长交于点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不变，见解析 (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、圆周角定理、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由菱形的性质得到，再由平行得到，，再根据三角形的外角即可证明； （2）①由旋转得，则，而，再由三角形内角和定理即可求解；②取中点，连接，先证明，则，继而可得点在以为圆心，为直径的圆上，则，而，则，故不变； （3）证明，则，设，则，由勾股定理可得，那么，则，可表示，则，再化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：①由旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②不变，理由如下： 取中点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴为中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，为直径的圆上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不变； （3）解：如图： ∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为：， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数求最值，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识点，综合性很强，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 28．（7分），是上的两个点，点在的内部．若为直角，则称点为关于的内直点，特别地，当圆心在边（含顶点）上时，称点为关于的最佳内直点． 在平面直角坐标系中． (1)的半径为，，是上两点． ①已知，，，中，是关于的内直点的是____； ②若直线上存在个关于的内直点，直接写出的取值范围． (2)点是以为圆心，为半径的圆上一个动点，与轴交于点（点在点的右边）．现有点，，对于线段上每一点，都存在点，使点是关于的最佳内直点，请直接写出的最大值，以及取得最大值时的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)， 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、切线的性质定理、圆和圆的位置关系、坐标与图形综合 【分析】（1）①判断点，，，是否在以为直径的圆弧上且在的内部，即可得出答案； ②根据过定点，设是半圆的切线，是切点，过点作于点，直线在之间时，直线与半圆有2个交点，符合题意；当直线与弧相切时以及经过点时为临界情况，进而求得的范围，即可求解． （2）可知线段上任意一点不包含点都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为，则当点在该圆的最高点时，有最大值，再分点不与点重合，点与点重合两种情况求出临界位置时的值即可得解． 【详解】（1）①∵， ，，， ，，， 不在以为直径的圆弧上，不是关于的内直点， ，，， ，，， ， ， ∴在以为直径的圆弧上且在的内部，是关于的内直点， 同理可得是关于的内直点的，不是关于的内直点， 故答案为：，． ②∵恒过点，设为点 设的中点为，则， 如图，是半圆的切线，是切点，过点作于点，直线在之间时，直线与半圆有2个交点，符合题意 ∴， ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 将,代入，解得： 将,代入，解得： ∴ （2）解：对于线段上每一个点H，都存在点T，使是关于的最佳内直点， 点T一定在的边上， ，，线段上任意一点不包含点都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为2， 当点N在该圆的最高点时，n有最大值， 即n的最大值为． 分两种情况： ①若点不与点重合，那么点必须在边上，此时， 点在以为直径的圆上， 如图，当与相切时，， ，， ， ，，， ， ， ， ， 当与重合时，， 此时的取值范围是， ②若点与点重合时，临界位置有两个，一个是当点与重合时，，另一个是当时，， 此时的取值范围是， 综合以上可得，的取值范围是 【点睛】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识；掌握相关性质及定理，并会灵活运用，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键． 试卷第4页，共38页 试卷第5页，共38页 学科网（北京）股份有限公司 $$