串讲 反比例函数（考点串讲，3大考点+5大题型剖析+6个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 串讲 反比例函数（3考点&5题型） 目 录 01 02 04 03 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理 五大题型典例剖析 六大易错易混经典例题+针对训练 精选6道期末真题对应考点练 考点透视 考点一： 反比例函数的概念 一般地，形如y = ( k为常数，k ≠ 0 )的函数叫做反比例函数， 其中x是自变量， y是x的函数。 反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 反比例函数的判断： ( 1 ) 首先看看两个变量是否具有反比例关系； ( 2 ) 然后根据反比例函数的意义去判断， 其形式为y = ( k为常数，k ≠ 0 ) 或y =kx-1( k为常数，k ≠ 0 )。 考点透视 考点二：反比例函数的图象与性质 反比例函数的图像： 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表——描点——连线。 ( 1 ) 列表取值时，∵x = 0函数无意义，∴x ≠ 0， 为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值， 即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值。 ( 2 ) 连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线。 ( 3 ) ∵x ≠ 0，k ≠ 0，∴y ≠ 0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。 考点透视 反比例函数的性质： 反比例函数为y = ( k为常数，k ≠ 0 )的图像是双曲线。 当k > 0时，双曲线的两支分别在第一 、 三象限， 在每一个象限内， y随x的增大而减小； 当k < 0时，双曲线的两支分别在第二 、 四象限， 在每一个象限内， y随x的增大而增大。 考点透视 待定系数法求反比例函数的表达式： ( 1 ) 设出含有待定系数的表达式y = ( k为常数，k ≠ 0 )； ( 2 ) 把已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式，得到待定系数的方程； ( 3 ) 解方程，求出待定系数； ( 4 ) 写出表达式。 考点透视 考点三： 反比例函数的k值意义 反比例函数系数k的几何意义： 在反比例函数y = ( k为常数，k ≠ 0 )的图像上任取一点， 并向x轴和y轴分别作垂线， 与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|。 考点透视 题型剖析 题型一：反比例函数的相关概念 【例1】写出下列问题中两个变量之间关系的函数表达式，并判断它们是否为反比例函数。 ( 1 ) 面积是50cm2的矩形，一边长y(cm)随另一边长x(cm)的变化而变化； ( 2 ) 体积是100cm3的圆锥，高h(cm)随底面面积S(cm2)的变化而变化。 解：( 1 ) 根据题意，得xy = 50，即y = ， y是x的反比例函数； (2 ) 根据题意，得Sh = 100，即h = ， h是S的反比例函数。 【变式】用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并判断所列函数表达式是否为反比例函数： ( 1 ) 一边长5cm的三角形，面积y(cm2) 随这边上的高x(cm)的变化而变化； ( 2 ) 某村有耕地200公顷，人均占有耕地面积y(公顷)随人口数量x(人)的变化而变化； ( 3 ) 一个物体重120N，该物体对地面的压强p(N/m2)随它与地面的接触面积S(m2)的变化而变化。 解：( 1 ) 根据题意，得y = x，y是x的正比例函数； ( 2 ) 根据题意，得y = ，y是x的反比例函数； ( 3 ) 根据题意，得p = ，p是S的反比例函数。 【变式】下列函数表达式中的y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成y = 的形式，并指出k的值。 ( 1 ) y = x; ( 2 ) xy + 2 = 0。 解：( 1 ) 是正比例函数，不是反比例函数； ( 2 ) 是反比例函数，y = ，k = -2。 【变式】下列式子中，成反比例关系的是（　　） A．圆的面积与半径 B．速度一定，行驶路程与时间 C．平行四边形面积一定，它的底和高 D．长方形的周长一定，它的长和宽 解：A、S圆 = π×半径2，不是反比例函数，×； B、速度v一定时，行驶路程s和时间t的关系s = vt，不是反比例函数，×； C、S平行四边形一定，它的底a和高h的关系a = ，是反比例函数，√； D、C长方形一定，它的长y和宽x的关系y = - x，不是反比例关系，×。 C 【变式】已知函数y = ( m - 2 )x|m|-3是反比例函数，则m = ________。 解：由题意可得：|m| - 3 = -1且m - 2 ≠ 0， 解得：m = -2。 -2 题型剖析 题型二：反比例函数的图象与性质 【例2】已知反比例函数的图像经过点A ( 2，-4 )。 ( 1 ) 求k的值； ( 2 ) 函数的图像在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ ( 3 ) 画出函数的图像； ( 4 ) 点B ( ，-16 )、C (- 3，5 )在这个函数的图像上吗？ 解：( 1 ) ∵函数y = 的图像经过点A ( 2，-4 )， 把x = 2、y = -4代入y = ，得-4 = ，解得k = -8； ( 2 ) ∵k = -8 < 0，由反比例函数的性质可知，函数y = -的图像在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大； ( 3 ) 画出函数的图像； ( 4 ) 点B ( ，-16 )、C (- 3，5 )在这个函数的图像上吗？ ( 3 ) 函数y = -的图像如图； ( 4 ) 点B ( ，-16 )、C ( -3，5 )在这个函数的图像上吗？ ( 4 ) 把x = 代入y = -，得y = -16， 点B ( ，-16 )在函数y = -的图像上； 把x = -3代入y = -，得y = ， 点C ( -3，5 )不在函数y = -的图像上。 【变式】已知反比例函数的图像经过点A ( -6，-3 )。 ( 1 ) 确定这个反比例函数的表达式； ( 2 ) 函数的图像在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？ ( 3 ) 点B ( 4， )、C ( 2，-5 )在这个函数的图像上吗？ 解：( 1 ) ∵函数y = 的图像经过点A ( -6，-3 )， ∴-3 = ，解得k = 18，∴y = ； ( 2 ) ∵k = 18 > 0，∴函数y = 的图像在第一、三象限， 在每一个象限内，y随x的增大而减小； 已知反比例函数的图像经过点A ( -6，-3 )。 ( 3 ) 点B ( 4， )、C ( 2，-5 )在这个函数的图像上吗？ ( 3 ) 把x = 4代入y = ，得y = ， 点B ( 4， )在函数y = 的图像上； 把x = 2代入y = ，得y = 9， 点C ( 2，-5 )不在函数y = 的图像上。 【变式】一次函数y = kx - k与反比例函数y = 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 解：当k > 0时，一次函数y = kx - k的图象过一、三、四象限， 反比例函数y = 的图象在一、三象限， 当k < 0时，一次函数y = kx - k的图象过一、二、四象限， 反比例函数y = 的图象在二、四象限， ∴A、C、D不符合题意，B符合题意。 B 【变式】关于反比例函数y = -的图象，下列说法正确的是（　　） A．图象经过点( 1，1 ) B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当x < 0时，y随x的增大而减小 解：A、∵1 × 1 = 1 ≠ -1，∴图象不经过点( 1，1 )，×； B、∵k = -1 < 0，∴两个分支分布在第二、四象限，√； C、两个分支关于y = x或y = -x轴成轴对称，×； D、当x < 0时，y随x的增大而增大，×。 B 【变式】已知y是x的反比例函数，且当x= 4时，y = 3。 ( 1 ) 写出y与x的函数表达式； ( 2 ) 根据函数图象，直接写出当2 ≤ x ≤ 3时y的取值范围。 解：( 1 ) ∵y是x的反比例函数，∴设y = ( k ≠ 0 )， ∵当x= 4时，y = 3，∴k = xy = 3 × 4 = 12， ∴y与x的函数表达式为：y = ； 【变式】已知y是x的反比例函数，且当x= 4时，y = 3。 ( 1 ) 写出y与x的函数表达式； ( 2 ) 根据函数图象，直接写出当2 ≤ x ≤ 3时y的取值范围。 ( 2 ) 函数y = 的图象如图所示： 当x = 2时，y = 6，当x = 3时，y = 4， 由图象可知：当2 ≤ x ≤ 3时，y随x的增大而减小， ∴4 ≤ y ≤ 6。 题型剖析 题型三：反比例函数的k值意义 【例3】如图，A为反比例函数y = 的图像上一点，AB垂直x轴于B点，C、D为y轴上的两点，四边形ABCD为平行四边形，且S平行四边形ABCD = 10，求k的值。 A B D C E 解：如图，过点A向y轴作垂线交于点E，连接BO， 由作图可知：四边形ABOE为矩形， ∵矩形ABOE与平行四边形ABCD同底等高(都以AB为高)， ∴S矩形ABOE = S平行四边形ABCD， ∴|k| = 10， 又∵反比例函数图象在二、四象限， ∴k < 0，∴k = -10。 【变式】如图，A为反比例函数y = 的图像上一点，AB垂直x轴于B点，若S△AOB = 5，求k的值。 A B C 解：如图，过点A向y轴作垂线交于点C， 由作图可知：四边形ABOC为矩形， ∵S矩形ABOC = 2S△AOB， ∴|k| = 2 × 5 = 10， 又∵反比例函数图象在二、四象限， ∴k < 0，∴k = -10。 【变式】如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线交反比例函数y = 图象于A，B两点，BC⊥y轴于点C，△ABC的面积为6，则k的值为________。 解：由对称性可知：OA = OB， ∴S△AOC = S△BOC = S△ABC， ∵BC⊥y轴，△ABC的面积为6， ∴S△BOC = S△ABC = × 6 = 3， ∵S△BOC = |k| = 3，∴|k| = 6， ∵k < 0，∴k = -6。 -6 【变式】已知反比例函数y = 的图像与一次函数y = x + 1的图像的一个交点的横坐标是-3。 ( 1 ) 求k的值，并画出这个反比例函数的图像； ( 2 ) 根据反比例函数的图像，指出当x < -1时，y的取值范围。 解：( 1 ) 把x = -3代入y = x + 1，得y = -2。 根据题意，可得反比例函数y = 的图像与一次函数y = x + 1的图像的一个交点的坐标是( -3，-2 )。 把x = -3、y = -2代入y = ，得-2 = ，即k = 6。 【变式】已知反比例函数y = 的图像与一次函数y = x + 1的图像的一个交点的横坐标是-3。 ( 1 ) 求k的值，并画出这个反比例函数的图像； ( 2 ) 根据反比例函数的图像，指出当x < -1时，y的取值范围。 函数y = 的图像如图。 ( 2 ) 由函数图像知，当x < -1时，-6 < y < 0。 【变式】若反比例函数y = 的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是________。 m < 2 解：∵反比例函数y = 的图象经过第二、四象限， ∴m - 2 < 0，解得：m < 2。 【变式】如图，一次函数y = ax + b与反比例函数y = ( k > 0 )的图像交于点A (1，3)，B ( m，-1 )，则关于x的不等式ax + b > 的解集是（　　） A．x < -3或0 < x < 1 B．x < -1或0 < x < 3 C．-3 < x < 0或x > 1 D．-1 < x < 0或x > 3 解：∵点A (1，3)在反比例函数图象上，∴k = 1 × 3 = 3， ∴反比例函数的表达式为y = ， ∵B ( m，-1 )在反比例函数图象上，∴m = = -3，∴B ( -3，-1 )， 由图可知：关于x的不等式ax + b > 的解集 即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围， ∴-3 < x < 0或x > 1。 C 【变式】如图，一次函数y1 = kx + b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B， 与反比例函数y2 = ( m > 0 )的图像交于点C ( 1，2 )，D ( 2，n )。 ( 1 ) 分别求出两个函数的解析式； ( 2 ) 连接OD，求△BOD的面积。 解：( 1 ) ∵点C ( 1，2 )，D ( 2，n )在反比例函数y2 = 的图像上， ∴m = 1 × 2 =2，∴n = = 1，∴y2 = ， 又∵点C ( 1，2 )，D ( 2，1 )在一次函数y1 = kx + b的图像上， ∴，解得：，∴y1 = -x + 3； 【变式】如图，一次函数y1 = kx + b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B， 与反比例函数y2 = ( m > 0 )的图像交于点C ( 1，2 )，D ( 2，n )。 ( 1 ) 分别求出两个函数的解析式； ( 2 ) 连接OD，求△BOD的面积。 ( 2 ) ∵点B在一次函数y1 = -x + 3的图像上， ∴B ( 0，3 )，∴OB = 3， ∵D ( 2，1 )， ∴D到y轴的距离为2， ∴S△BOD = × 3 × 2 = 3。 题型剖析 题型四：反比例函数的实际应用 【例4】小明要把一篇24000字的社会调查报告录入电脑。 ( 1 ) 完成录入的时间t(分)与录入文字的速度v(字/分)有怎样的函数关系？ ( 2 ) 要在3h内完成录入任务，小明每分钟至少应录入多少个字？ 解：( 1 ) 由v·t = 24000，得t = 。 完成录入的时间t是录入文字的速度v的反比例函数。 ( 2 ) 把t = 180代入v·t = 24000，得t = = ≈ 133.3。 根据反比例函数的性质，t随v的增大而减小， 因此，小明每分钟至少应录入134字，才能在3h内完成录入任务。 【变式】A、B两地相距300km，汽车以x km/h的速度从A地到达B地需y h，写出y与x的函数表达式。如果汽车的速度不超过100km/h，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ 解：根据题意，得y = 。 ∵x ≤ 100， ∴x = ≤ 100，解得y ≥ 3。 答：汽车从A地到B地至少需要3小时。 【变式】码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y(min)与装载速度x(t/min)成反比例。已知当x = 2时，y = 280。 ( 1 ) 求y与x之间的函数表达式； ( 2 ) 要在4h内装完货物，装载速度至少应为多少(精确到0.01)？ 解：( 1 ) 设y与x之间的函数表达式为y = ( k > 0 )， 把x = 2时，y = 280代入表达式得：280 = ，解得：k = 560， ∴y与x之间的函数表达式y = ； ( 2 ) ∵4h = 4 × 60min = 240min， ∴当y = 240时，240 = ，解得：x = ≈ 2.33， ∴如果要在4h内装完货物，那么装载货物的速度至少是2.33t/min。 【变式】心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化。开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)： ( 1 ) 开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ ( 2 ) 一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 解：( 1 ) 设线段AB所在的直线的解析式为y1 = k1x + 20， 把B ( 10，40 )代入得，k1 = 2，∴y1 = 2x + 20； 设C、D所在双曲线的解析式为y2 = ( k2 > 0 )， 把C ( 25，40 )代入得，k2 = 1000，∴y2 = ； 当x1 = 5时，y1 = 2 × 5 + 20 = 30，当x2 = 30时，y2 = = ， ∴y1 < y2，∴第30分钟注意力更集中。 【变式】心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化。开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)： ( 1 ) 开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ ( 2 ) 一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ ( 2 ) 令y1 = 36，∴36 = 2x + 20，∴x1 = 9， 令y2 = 36，36 = ，∴x2 = ≈ 27.8， ∵27.8 - 8 = 19.8 > 19， ∴经过适当安排， 老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目。 题型剖析 题型五：反比例函数的物理学应用 【例5】如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化。电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图2所示。下列结论正确的是（　　） A．I = B．当I > 10时，R > 22 C．当I = 5时，R = 40 D．当I > 2时，0 < R < 110 当I = 2时，则2 = ，∴R = 110， 由函数图象可知：该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当I > 2时，0 < R < 110，故D选项正确。 D 【变式】欢欢同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ(m)会随着电磁波的频率f(MHz)的变化而变化。已知波长λ与频率f是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值。若f = 75MHz，则电磁波的波长λ = ________m。 解：设波长λ关于频率f的函数解析式为λ = ( k > 0 )， 把点( 10，30 )代入上式中得：30 = ，解得：k = 300，∴λ = ， 当f = 75时，λ = = 4， 答：当f = 75MHz时，此电磁波的波长λ为4m。 4 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 1．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）反比例函数 的图象经过点 ，则下列说法错误的是（   ） A． B．函数图象分布在第二、四象限 C．点 在该反比例函数图象上 D．y随x的增大而增大 【详解】解： 反比例函数 的图像经过点 ， ，即反比例函数解析式为 ，故A说法正确，不符合题意； ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，故B说法正确，不符合题意，D说法错误，符合题意； 当 时， ，则点 在该反比例函数图象上，故C说法正确，不符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）在反比例函数 （a为常数）的图象上有A ，B ，C 三点，若 ＜0＜ ＜ 、则 ， ， 的大小关系为（　　） A． ＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜ D． ＜ ＜ 【详解】因为 ，则 ． 对于反比例函数 （ 为常数， ），当 时，函数图象在一、三象限，且在每个象限内 随 的增大而减小． 当 时， ，所以点 在第三象限，那么 ； 因为当 时， ，点 在第一象限且在每个象限内 随 的增大而减小．且 ； 所以 ，．综合以上， ． 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）反比例函数 ，当 时，y的取值范围是（   ） A． B． C． 或 D． 【详解】解：由反比例函数 可知： ，则在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当 时，则 ， ∴当 时， ，当 时， ， ∴当 时，y的取值范围是 或 ； 故选：C． 4．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）反比例函数 的图象如图所示，当 时， 的取值范围是 ． 【详解】解：∵点 在反比例函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象上， ∴ ， ∴当 ， ， ∴当 时，y的取值范围是 ． 故答案为： 5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于A、B两点．已知 ， (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOB的面积； 【详解】（1）解：把 代入 中得： ，解得 ，∴反比例函数解析式为 ， 在 中，当 时， ，∴ ， 把 ， 代入 中得， ， ∴ ，∴一次函数解析式为 ； （2）解；设一次函数 与x轴交于C，则 ， ∴ ， ∴ ． 6．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积 变化时，气体的密度 随之变化，已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，设 ，图象如图所示，当 时， ． (1)求密度ρ关于体积V的函数表达式； (2)当 时，求二氧化碳密度ρ的值． 【详解】（1）设 ，当 时， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）当 时， ． 1．（23-24八年级下·江苏南通·期末）反比例函数 的图象如图所示，则 的值可能是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：如下图所示，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 设反比例函数的解析式为 ， 当抛物线经过点 时，可得： ，解得： ； 当抛物线经过点 时，可得： ，解得： ， ， 的值可能是 ． 故选： C． 2．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，反比例函数 的图像经过点 ，将线段 沿 轴向右平移至线段 ，点 落在反比例函数 的图像上．则线段 扫过的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（23-24八年级下·江苏·期中）若实数 、 满足 ，则 ； 【详解】解：∵反比例函数 的图像经过点 ， ∴设 ， ∵将线段 沿 轴向右平移至线段 ， ∴ 的纵坐标为 ， ∵点 落在反比例函数 的图像上． ∴ 的横坐标为 ， ∴线段 扫过的面积为 ， 故选：C 3．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，反比例函数 与一次函数 的图象相交于A、B两点，若A、B的横坐标分别为1、2，则不等式 的解集为 ． 【详解】解：由图象可得， 或 ， 故答案为： 或 ． 4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）如图，反比例函数 的图像经过菱形 的顶点C，且点B坐标为 ， ，则k的值为 ． 【详解】解：过点C作 于点D，如图所示： 则 ， ∵点B坐标为 ，∴ ， ∵四边形 为菱形，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴点C的坐标为 ， 把点C的坐标 代入反比例函数 得： ， 解得： ．故答案为： ． 5．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 ， 两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接 ，求 的面积． 【详解】（1）解： 反比例函数 经过点 ， ， 反比例函数解析式为 ， 点 在 上，则 ， ， 把 、 代入 ， 得 ，解得 ， 一次函数的解析式为 ； （2）解：把 代入 ，得 ， ， ， ． 6．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）小华以每分钟40个字的速度打一篇演讲稿，把这篇演讲稿打完恰好用了30分钟． (1)小华打字速度 （单位：字/分）与打完讲稿所用时间 （单位：分钟）之间有怎样的函数关系？写出速度 关于时间 的函数关系式． (2)由于遇到紧急情况，这篇演讲稿必须在20分钟内打完，那么小华平均每分钟至少要打多少个字？ 【详解】（1）解：演讲稿的总字数为 (字)， 则速度 关于时间 的函数关系式为 ， 答：打字速度 与打完讲稿所用时间 之间有反比例函数关系，函数关系式为 ； （2）解：当 时， (字/分)， 答：小华平均每分钟至少要打60个字． $$