清单04 反比例函数（6个考点清单+16种题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

清单04 反比例函数 （6个考点梳理+16类题型解读+提升训练） 清单01 反比例函数的相关概念 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 清单02 反比例函数的性质 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 清单03 反比例函数的k值意义 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 清单04 反比例函数与一次函数 1. 一次函数与反比例函数的交点问题 从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 清单05 反比例函数的应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【考点题型一 反比例函数的定义】（） 【例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是熟记反比例函数解析式的一般式为常数），据此依次判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，故此选项不符合题意； B．符合反比例函数的定义，故此选项符合题意； C．不符合反比例函数的一般式，故此选项不符合题意； D．不符合反比例函数的一般式，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】在下列函数关系中，表示y与x既不是正比例关系，又不是反比例关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了正比例和反比例函数定义，根据定义对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：A．，即，y与x是正比例关系，不符合题意； B．，即，y与x是反比例关系，不符合题意； C．，即，y与x是正比例关系，不符合题意； D．，y与x既不是正比例关系，又不是反比例关系，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如或或，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，，，能表示是的反比例函数，共3个； 故选B． 【变式1-3】下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有 （填序号）． 【答案】②⑤/⑤② 【分析】本题主要查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：是的反比例函数的有，． 故答案为：②⑤ 【变式1-4】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号） 【答案】②⑤ 【分析】本题考查了反比例函数定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 根据反比例函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是一次函数，不是反比例函数，故不符合要求； ②是反比例函数，故符合要求； ③不是反比例函数，故不符合要求； ④不是反比例函数，故不符合要求； ⑤是反比例函数，故符合要求； ⑥中，当时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数，故不符合要求； 故答案为：②⑤． 【考点题型二 根据反比例函数的定义求参数】（） 【例2】已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的解析式为，其中，因为函数是反比例函数，从而得到，，解方程和不等式求出的值即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ，， 由， 可得：， 由， 可得：， 的值为． 故选：A ． 【变式2-1】已知是反比例函数，则m的值为（   ） A．0 B． C．1 D．或1 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义的形式，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故选：B． 【变式2-2】当 时，是反比例函数，且它的图像经过第一、三象限． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数的图像性质，根据反比例函数的性质得，且，即可求出． 【详解】解：∵是反比例函数，且它的图像经过第一、三象限， ∴，且， 解得， 故答案为：2． 【变式2-3】已知函数是反比例函数，且正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义以及正比例函数的性质．此题应根据反比例函数的定义求得k的值，再由正比例函数图象的性质确定出k的最终取值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， ∴， ∵正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-4】已知函数是关于的反比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值： （1）根据反比例函数的定义，得到，且，进行求解即可； （2）把代入函数解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：且， ． （2） ∴反比例函数的表达式为， ∴当时，． 【考点题型三 用反比例函数描述数量关系】（） 【例3】下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 【答案】D 【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断． 两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断． 【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意； B、因为圆的面积半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意； C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意； D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式3-1】下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【答案】C 【分析】本题考查了反比例．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系． 【详解】解：A、商一定时（不为零），被除数和除数成正比例关系,故A错误； B、等边三角形的面积与它的边长不成反比例关系；故B错误； C、货物的总价A一定时，货物的单价a与货物的数量x成反比例关系；故C正确； D、长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b不成反比例关系；故D错误. 故选：C 【变式3-2】一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实际问题中的函数关系，解题关键是知道压强与受力面积成反比．根据物理中的压强与接触面积、物体的重量之间的关系：压强压力受力面积，构造反比例模型，解决实际问题即可． 【详解】解：∵压强与接触面积成反比例关系， ∴根据压强公式得： ， 故答案为：． 【变式3-3】验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】由表中数据可得，，从而可得y关于x的函数表达式． 【详解】由表中数据可得，， ∴y关于x的函数表达式为． 故答案为： 【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键 【变式3-4】用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 (3) 【分析】本题考查列函数关系式，判断是否是反比例函数，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据每天的数量乘以天数等于总量，列出函数关系式，进行判断即可； （2）根据菱形的面积公式，列出函数关系式，进行判断即可； （3）根据路程等于速度乘以时间，列出函数关系式，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，是反比例函数； （2）由题意，得：； ∴，是反比例函数； （3）由题意，得：；不是反比例函数． 【考点题型四 求反比例函数的自变量和函数值】（） 【例4】下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键．分别求出当时，当时，当时，当时y的值即可得到答案． 【详解】解：当时，， ∴在反比例函数的图象上，A选项不符合题意； 当时，， ∴不在反比例函数的图象上，B选项符合题意； 当时，， ∴在反比例函数的图象上，C选项不符合题意； 当时，， ∴在反比例函数的图象上，D选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解． 【详解】解：依题意，当时，， ∴与y轴的交点为； 由于是分式，则，因此，即， ∴与x轴没有交点． ∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个， 故选：B． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：0． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据题意，和都满足解析式，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴， 解得： 故答案为：． 【变式4-4】已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，． (1)求y的表达式； (2)求当时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题意得出，，根据，当时，，当时，得出、的函数关系式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式，求出的值即可． 本题考查的是反比例函数及正比例函数的定义，能根据题意得出与的函数关系式是解答此题的关键． 【详解】（1）解：与成正比例，与成反比例， ，， ，当时，，当时，． ， ，， ； （2）解：当，． 【考点题型五 反比例函数的图象】（） 【例5】已知某矩形的面积为，两条邻边的长分别是、． (1)写出与之间的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)画出该函数的图象． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了列反比例函数关系式，画反比例函数图象，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）矩形面积等于长乘以宽，据此列式求解即可； （2）根据（1）所求先列表，再描点，最后连线画出对应的函数图象即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵矩形的两条邻边的长分别是、， ∴； （2）解：列表如下： … 1 2 3 … … 6 3 2 … 函数图象如下所示： 【变式5-1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画反比例函数图像，熟知画反比例函数图象的方法是解题的关键． （1）先列表，再描点，最后连线画出函数图像即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图像即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 1 3 … … 3 1 … 画函数图象如下： （2）解：列表如下： … 1 3 … … 1 3 … 画函数图象如下： 【变式5-2】已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值，并画出函数的图象． (2)这个函数的图象在哪几个象限？在每一个象限内，y的值随x的增大怎样变化？ (3)点、、在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ (4)如果点在这个函数的图象上，那么点、在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ 【答案】(1)，见解析 (2)一、三，减小 (3)、不在，在 (4)在，见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点． （1）把A点的坐标代入函数解析式，即可求出k，并画出函数的图象即可； （2）根据函数的性质得出即可； （3）把点、、的坐标代入函数解析式，看看两边是否相等即可； （4）根据已知得，即可判断． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴，作出函数图象如下： （2）解：∵， ∴函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小； （3）解：当时，； 当时，； ∴点、不在这个函数的图象上，点在函数的图象上； （4）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴， ∴点、在这个函数的图象上． 【变式5-3】我们知道，一次函数的图像可以由正比例函数的图像向上平移2个单位长度得到．函数的图像与反比例函数的图像有什么关系？请回答下列问题： (1)根据这两个函数表达式，当取某一确定的值时，函数的值与反比例函数的值有何关系？由此可知，函数的图像可以由反比例函数的图像经过怎样的运动变化得到？ (2)在平面直角坐标系中画出函数的图像；类似地，函数的图像与反比例函数的图像有什么关系？ 【答案】(1)当取某一确定的值时，函数的值总比函数的值大1；函数的图像可以由反比例函数的图像向上平移1个单位长度得到的； (2)函数的图像可以由反比例函数的图像向下平移2个单位长度得到的． 【分析】本题主要考查了画反比例函数图象，求反比例函数值，正确理解题意是解题的关键． （1）列表求出同一x值下两个函数的函数值，进而可得当取某一确定的值时，函数的值总比函数的值大1，据此可得答案； （2）利用描点画出函数图像，再仿照（1）可求出两个函数的函数值的关系，进而可得两个函数的函数关系． 【详解】（1）解： 1 2 3 3 1 0 4 2 由表格可知，当取某一确定的值时，函数的值总比函数的值大1， ∴函数的图像可以由反比例函数的图像向上平移1个单位长度得到的； （2）解：如图所示，即为所求； 1 2 3 由表格可知，当取某一确定的值时，函数的值总比函数的值小， ∴函数的图像可以由反比例函数的图像向下平移2个单位长度得到的． 【变式5-4】已知反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象，当时，求y的取值范围． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查反比例函数的图象． （1）利用待定系数法把代入反比例函数即可得到m的值； （2）根据反比例函数解析式，计算出反比例函数所经过的点，再画出图象即可； （3）根据函数的图象即可求得． 【详解】（1）解：把点代入，得 ， 解得； （2）解：由（1）反比例函数的解析式为， 列表如下， x … 1 2 4 … y … 1 2 4 … 描点，连线，该函数的图象如下， ； （3）解：由图象可知，当时，则． 【考点题型六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】（） 【例6】如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，由题意可得点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线相交于两点， ∴点关于原点对称， ∵点坐标为， ∴点坐标为， 故选：． 【变式6-1】如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，解决这类题目的关键是掌握两点的对称中心为原点． 根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答． 【详解】解： 反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， 它的另一个交点的坐标是． 故选：C． 【变式6-2】正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数图象的性质．由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵A的坐标为， ∴B的坐标为， 故选：C． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，先确定它们成中心对称，再根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答，熟练掌握反比例函数图象的中心对称性质是解决此题的关键． 【详解】解：根据题意，知点A与B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴B点的坐标为． 故答案为：． 【变式6-4】在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 【考点题型七 已知双曲线分布的象限求参数范围】（） 【例7】已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质及应用，解题的关键是掌握反比例函数图象在第一，三象限，则，属于基础题，根据反比例函数的性质：图象在第一，三象限，则，即可列出含的不等式，得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一，三象限， ， ， 故选：B． 【变式7-1】在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．首先根据题意，判断函数图象所在象限，再根据所在象限得到，进而求解，即可解题． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数图象在一、三象限， ∴， ∴， 故选：D． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 则函数图象在第一、三象限，得，求解即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握当时，的图象位于第二、四象限．根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式7-4】已知y关于x的反比例函数的表达式为． (1)若反比例函数的图象在第二、四象限内，求m的取值范围； (2)若，当点在反比例函数的图象上，求A点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的图象在第二、四象限内的比例系数为负数，列出不等式求解即可； （2）先写出反比例函数的解析式，再将点代入求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得； （2）解：， 反比例函数的表达式为， 把点代入，得， A点的坐标为． 【考点题型八 已知反比例函数的增减性求参数】（） 【例8】若反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小，则k的值可以是（   ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．根据反比例函数的增减性列出不等式，解出的范围，即可判断． 【详解】解：反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小， ，即， 故四个选项中k的值只有数值3符合， 故选：B． 【变式8-1】如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，结合题意得出当时，反比例函数中y随x的增大而增大，得到，计算求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像上有两点、， 当时，有， ∴当时，反比例函数中y随x的增大而增大， ∴ 得， 故选：D． 【变式8-2】如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．结合题意，根据反比例函数的性质可得，即可求出m的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象在每个象限内y都是随着x的增大而减小， ， 解得：． 故选：B． 【变式8-3】已知点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 由可得在各象限内y随x增大而减小，由可得点A在第三象限，点B在第一象限，进而求解． 【详解】解：∵， ∴图象在一，三象限，且在每一象限内，y随x增大而减小， ∵，， ∴点A在第三象限，点B在第一象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式8-4】已知反比例函数． (1)当函数图象位于第一、三象限，求m的取值范围； (2)在每一象限内，y随x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． （1）根据反比例函数的图象在第一、三象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可； （2）根据反比例函数的增减性列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可得出结论． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是； （2）解：∵在每一象限内，y随x的增大而增大， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是． 【考点题型九 比较反比例函数值或自变量的大小】（） 【例9】若点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴． 故选：B． 【变式9-1】已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵ ∴点A在第二象限，点B、C在第四象限， ∵， ∴． 故选：A 【变式9-2】对于函数，当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】题目主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性质求解是解题关键． 先求出当时的函数值，然后结合反比例函数的性质在第一象限内y随x的增大而减小，即可确定当时，y的取值范围；然后继续利用反比例函数的性质即可得出当时x的取值范围． 【详解】解：当时，， ∵中， 在第一象限与第三象限内y随x的增大而减小， 当时，y的取值范围为：； 当时，，解得， ∵中， ∴在第一象限与第三象限每一象限内y随x的增大而减小，在第三象限内，， ∴当时，x的取值范围是：或； 故答案为：；或 【变式9-3】已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先判断，可知反比例函数的图象在二、四象限，再利用函数性质可得答案，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键． 【详解】解：， 反比例函数（a是常数）的图象在二、四象限， 在每一象限内，随的增大而增大， ∵ ∴在第四象限，，在第二象限， ∴，， 即， 故答案为：． 【变式9-4】如图，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点、都在反比例函数的图象上，且满足，比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、比较反比例函数值的大小，正确利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可得到反比例函数的解析式； （2）根据，可得反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，据此增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点 ∴， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数的解析式为，， 反比例函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，                点、均在反比例函数的图象上，且， ． 【考点题型十 已知比例系数求特殊图形的面积】（） 【例10】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可设点，则有，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意可设点， ∵轴， ∴， ∴； 故选A． 【变式10-1】如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；点A、B分别在反比例函数和图象上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出，，由阴影部分的面积，由此解出k即可． 【详解】解：如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 【变式10-2】如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了反比例函数中k的几何意义，由于A、B、C是反比例函数的图象上的三点，根据反比例函数比例系数k的几何意义，可知图象上的点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即，是个恒等值，即可得出结果． 【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段，坐标轴，向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即，所以． 故选：A． 【变式10-3】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出四边形和四边形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出四边形的面积，四边形的面积，即可求解四边形的面积，即可求解k． 【详解】解：过延长交轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C， 四边形的面积为4，四边形的面积是12， 四边形的面积为：， 故答案为：8． 【变式10-4】如图是反比例函数的图像，P为图像上的一点，且轴，轴，垂足分别为A、B，分别交的图像于点D、C，求的面积． 【答案】 【分析】题目主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． 作于，于，根据题意得出，确定，，结合图形求解即可． 【详解】解：作于，于， 双曲线，，且轴于点A，轴于点B，分别交双曲线于D、C两点， 矩形的面积为：， ， ， ， ， ， ， ． 【考点题型十一 根据图形面积求比例系数】（） 【例11】如图，已知双曲线与直线交于、两点（点在点的左侧），过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点，若的面积为8，则的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想是解题的关键． 设点A的坐标为，根据题意可得点B的坐标为，从而得到，然后根据的面积为8，即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵双曲线与直线交于、两点， ∴点A，B两点关于原点对称， ∴点B的坐标为， ∵过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【变式11-1】如图，是等边三角形，点的坐标是，若反比例函数图象的一支经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质及k的几何意义．作轴于，根据等边三角形的性质求出的面积，即可得到k值． 【详解】解：作轴于， ∵点的坐标是， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵，且反比例函数图象在第二象限， ∴， 故选：C． 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数的几何意义，过点作轴于点，根据的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵轴． ∴四边形是矩形 ∴ ∵菱形，对角线轴 ∴ ∵菱形的面积为， ∴ 故选：D． 【变式11-3】如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知平行四边形面积为18，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，反比例函数中k的几何意义， 连接，过点B和C分别作y轴的垂线段和，先证明，则，可得，，由此可得，从而得，即可求出答案． 【详解】解：连接，过点B和C分别作y轴的垂线段和，垂足为E，D， ∴． ∵中点P恰好落在y轴上， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点B在双曲线上， ∴． ∵点C在双曲线上，且由图象可知， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， 即， 解， ∴． 故答案为：． 【变式11-4】如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可； （）由四边形是矩形，则，，求出，，然后利用即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵反比例函数的表达式为，， ∴点的纵坐标是， ∴，解得：， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，，，， ∴ ． 【考点题型十二 求反比例函数的解析式】（） 【例12】在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将点向下平移2个单位长度得到点，再把点代入反比例函数，利用待定系数法进行求解即可． 【详解】解：点向下平移2个单位长度得到点，则， ∵点恰好在反比例函数的图像上， ∴， 故选A． 【变式12-1】若一个反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数式子，熟悉掌握运算方式是解题的关键． 设反比例函数的解析式为：，把代入运算即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为：， 故选：C． 【变式12-2】如图，在直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴和y的正方向上，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E，若点，则点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵正方形   ∴ ∵点E在反比例函数图象上，且点E的纵坐标为3， ∴． 故答案为：． 【变式12-3】若反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标为，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，可得反比例函数与一次函数图象的一个交点为，代入反比例函数求解即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为， ∴， ∴反比例函数与一次函数图象的一个交点为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第一、三象限内的，两点．    (1)求该反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，利用数形结合思想求解不等式是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据交点坐标和图象，找到一次函数图象位于反比例函数图象下方部分的点的横坐标取值范围可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第一、三象限内的，两点， ∴，，即， ∴，， 将代入中，得， ∴该反比例函数的表达式为； （2）解：由（1）知，，， 根据图象，当时，x的取值范围为或． 【考点题型十三 反比例函数与一次函数的交点问题】（） 【例13】已知反比例函数与一次函数的图象交于点，则的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例数与一次函数交点问题，先求得，进而根据函数图象，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴， 解得：， 故点，代入一次函数，解得：，一次函数， 函数图象如图， ∴的解集为， 故选：A． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出B点横坐标，再利用函数图象得出x的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，其中点A的横坐标为4， ∴B点的横坐标为， 故当时，x的取值范围是：或． 故选B． 【变式13-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点，点的横坐标为6，则时，满足的的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，数形结合是解题的关键．求出反比例函数的表达式为．得到点．由图象可得：当或时，． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 反比例函数的表达式为． 点的横坐标为6， 点． 由图象可得：当或时，． 故答案为：或． 【变式13-3】如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于，两点，轴于点，轴于点，，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，做到数形结合，找准数量关系是正确解答此题的关键． 先根据两点间距离求出之间的关系，再利用反比例函数上的点的坐标特征求出的值，进而可求反比例函数表达式，得到的值． 【详解】解：，，轴于点，轴于点， ，， ， ， ， ，， 故答案为：12． 【变式13-4】如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，写出关于的不等式的取值范围； (3)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积，熟练掌握待定系数法求函数的表达式，以及求一次函数与坐标轴的交点坐标，三角形的面积是解决问题的关键． （1）将点代入得，进而可得反比例函数的表达式； （2）根据一次函数与反比例函数交点，结合函数的图象即可得出关于的不等式 x的取值范围； （3）求出一次函数与轴交点的坐标为，由此面积和差可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入，得， 点的坐标为． 将代入，得，即． 该反比例函数的表达式为； （2）解：将点代入，得， 解得， 的取值范围是或； （3）解：将代入，得， 点的坐标为． 由（1），（2）知，， 的面积． 【考点题型十四 反比例函数与一次函数的实际应用】（） 【例14】某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 【变式14-1】小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图像，发现： 当x＜-3或0＜x＜1时，反比例函数图像在一次函数图像的上方， ∴不等式>x+2的解集为x＜-3或0＜x＜1． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式． 【变式14-2】点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，关于坐标轴对称的点的特征，一次函数和反比例函数的交点问题， 先求出点关于y轴对称的点的坐标，再将坐标代入一次函数关系式求出a，然后将点P的坐标代入关系式求出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． ∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴点． 将点代入反比例函数关系式，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 【变式14-3】饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 【变式14-4】如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数解析式为： ，一次函数的解析式为：； (2)点C的坐标为：，的面积为6； (3)或． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）先通过点得到反比例函数解析式，再求出点坐标，再通过两点坐标得到一次函数解析式； （2）令一次函数的函数值等于0，求出的值即可知道与轴的交点坐标，再把的面积拆成的面积与的面积之和即可求解； （3）直接通过函数图象即可得到． 【详解】（1）解： 在反比例函数 的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为： 把代入 得， 解得， 则A点坐标为． 把，分别代入， 得 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为：， ∴的面积=的面积+的面积． （3）由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 【考点题型十五 反比例函数与几何综合】（） 【例15】如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，斜边与反比例函数交于点． (1)求的值； (2)若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设直线的函数表达式为，根据是等腰直角三角形得到，求出直线的函数表达式为，得到，从而求出的值； （2）设，，根据可得，根据点在直线上和点在反比例图像上，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， ，，是等腰直角三角形， ， 则， ， 解得， 直线的函数表达式为， 在上， ， ， 则； （2）解：设，， ， ，则，则， 将代入得，，即， 在反比例函数上， ， ， 解得，（舍）， ． 【变式15-1】某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 … 1 2 3 … … 4 2 … (1)根据上表数据，求出其对应函数的解析式及的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)如果点是该函数图象在第一象限上的一点，过点作轴的平行线，将上方的函数图象沿着直线翻折，求翻折后的函数图象与轴的交点坐标； (3)若经过点的直线分别交轴、轴于点，求的长． 【答案】(1)，，图见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查反比例函数，轴对称的性质，一次函数图象的性质，掌握反比例函数，一次函数，轴对称的性质，数形结合分析是关键． （1）根据表格信息计算得到规律，由表格信息绘图即可； （2）根据轴对称的性质作图可得交点与原图之间的距离为，即，即可求解； （3）运用待定系数法得到直线的解析式为，则即，由勾股定定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴根据列表数据可知，该函数是反比例函数，其解析式为， 当时，； 画出该函数的图象如解图： （2）解：点的坐标为，如解图，根据对称性可知，当上方的函数图象沿直线翻折， ∵点的纵坐标为，即直线与轴的距离为， ∴折叠后与轴的交点关于对称， ∴交点与原图之间的距离为，即， ∴， 解得， ∴轴的交点坐标为； （3）解：设直线的解析式为（为常数，），将代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，当时，，即， ∴． 【变式15-2】如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，四边形是正方形，反比例函数的图像经过点D． (1)求k的值； (2)若将正方形向下平移m个单位长度后，点C刚好落在反比例函数的图像上，则_________． 【答案】(1)12 (2)3 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，反比例函数与几何图形， 对于（1），过点D作轴，求出，再证明，可得，然后求出点D的坐标，即可得出答案； 对于（2），仿照（1）求出点C的坐标，再将点C的横坐标代入反比例函数关系式可得纵坐标，即可得出解． 【详解】（1）解：过点D作轴，交x轴于点E， 当时，；当时，， ∴点， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：如图所示，过点C作，交y轴于点F， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴点C的坐标是． 当时，， ∴． 故答案为：3． 【变式15-3】如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，正方形的边落在x轴正半轴上，A，D在第一象限，点D的坐标为（3，2），连接，射线绕点A逆时针旋转90°交于点E，点E在反比例函数的图象上． (1)求的长； (2)求k的值． 【答案】(1)5 (2)15 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，由点D的坐标得，求得，根据勾股定理得到结论； （2）根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到 ，求得，，得到，于是得到结论． 本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵点D的坐标为（3，2）， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ （2）解：射线绕点A逆时针旋转90°交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴． 【变式15-4】如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； (3)在x轴上取一点，当的面积为12时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)1或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别求出点的坐标，再结合，得出点D的坐标为，再把点D的坐标代入，进行计算，即可作答． （2）因为直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，则，解得，运用数形结合思想，即可作答； （3）依题意，得出，结合的面积为12，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：在直线中，当时，， ∴点A的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， ∵，且A、B、C、D四点共线， ∴点A是线段的中点， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数解析式为y； （2）解：∵直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点， ∴ 得或， ∴， 观察图象可得：当时，x的取值范围为或． （3）解：依题意， ∵ ∴， ∴， 解得或． 【考点题型十六 反比例函数的实际应用】（） 【例16】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)写出与之间的函数表达式． (2)当气体的体积为时，压强是多少？ (3)当压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应大于多少（保留两位小数）？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，函数值、自变量值的计算方法是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）把代入计算即可； （3）根据题意把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数， ∴设反比例函数解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：当时，； （3）解：与之间的函数表达式为， ∴当时，， 解得，， ∴结合函数图象可知，为了安全起见，气球的体积应大于． 【变式16-1】用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似的满足反比例函数关系．小红、小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10L），小敏每次用半盆水（约5L），如果她们都用了5g洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2g． (1)分别求出小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数表达式； (2)当洗衣粉的残留量降至0.5g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？ 【答案】(1)小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为，小敏衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为； (2)把分别代入这两个函数表达式，可得小红共用30L水，小敏共用20L水，小敏的方法更值得提倡． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意并且正确列出函数关系式是解题的关键． （1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：，后根据题意代入求出和即可； （2）由题意可知当时，求出此时小红和小敏所用的水量，进而进行比较即可． 【详解】（1）解：设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：， 将和分别代入两个关系式得： 解得：， ∴小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为， 小敏衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为； （2）把分别代入两个函数得： 解得：， （L），（L）． 答：小红共用30L水，小敏共用20L水，所以小敏的方法更值得提倡． 【变式16-2】小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求I关于R的函数解析式； (2)当时，求I的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设I关于R的函数解析式为，再把，代入进行计算，即可作答． （2）把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设I关于R的函数解析式为， 当时，， ， ； （2）解：，依题意，当时，； 【变式16-3】如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如图表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据表格数轴可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式即可求解； （3）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：是的反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 关于的函数表达式为； （2）解：当时，． 答：弹簧秤的示数为； （3）解：将代入中，得， 解得． ， 不可能等于2． 【变式16-4】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求图中线段所在直线的函数表达式； (2)当时，与成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】(1) (2)第二天早上能驾车出行 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数的综合运用，掌握待定系数法，一次函数、反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）设直线的解析式为，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得，则设双曲线的解析式为，将点代入可得反比例函数解析式，当时，，根据从晚上到第二天早上时间间距为小时，由此即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ； （2）解：当时，，即， ∴， 设双曲线的解析式为，将点代入得：， ， 由得，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为小时， ， 第二天早上能驾车出行． 1．某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间t（单位：天）与入库平均速度v（单位：吨/天）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若每天最多可入库300吨玉米，则玉米全部入库所需时间t的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系． 把点代入，求得k的值，再把代入，求出t的值即可． 【详解】解：设， 由题意得，函数经过点， 把代入，得， 则解析式为， 再把代入，得， 则玉米全部入库所需时间t的范围是． 故选：A． 2．如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（    ） A． B． C．3 D．－3 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用正方形的性质求得点B坐标是，根据点D、点B在反比例函数上，列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积等于9， ∴， ∵轴，轴，点D坐标是， ∴点A坐标是，点B坐标是， ∵点D、点B在反比例函数上， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 3．如图，点在反比例函数图象上，过作轴，垂足为，且，的垂直平分线交于，则的周长为（   ） A．7 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的计算，垂直平分线的性质，掌握反比例函数与几何图形面积的计算是关键．根据题意得，，由垂直平分线得到，则的周长为，即可求解． 【详解】解：∵点在反比例函数图象上，过作轴， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交于， ∴， ∴的周长为， 故选：A ． 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出，，的值，然后比较大小即可．理解题意，求出，，的值是解题关键． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象， ， ， 故选：D． 5．如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（   ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】作轴于M，根据，易得点是中点，由的面积为12，求出的面积为，进而求出的面积为，再根据，即可解答． 【详解】解：如图，作轴于M， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴点是中点， ∵的面积为12， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵点在双曲线上， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 6．平面直角坐标系中，点，点在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，正确利用反比例函数的性质解答是解题的关键． 由点和点都在反比例函数的图象上，且，可得，然后求出范围即可． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，且， ∴在每个象限内，随着的增大而增大， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∴，解得：， 故答案为：． 7．反比例函数的图象上有两点，．当时，写出一个符合条件的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据点，在反比例函数的图象上，得到，，再根据，得到，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， 当时，即， ∴， ∴， ∴的值可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及菱形的性质，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数的关系式．根据题意得出点坐标是解题的关键． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形为菱形， ，， 点坐标为． 点在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 9．如图，平面直角坐标系中，点在轴上，，，点在反比例函数的图象上．把绕点顺时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过B作轴于点，过作轴于点D，先根据等腰直角三角形的性质得到，设则，代入中求得，则；设，根据反比例函数图象上点的坐标特征和勾股定理求得，，利用完全平方公式求得a、b值即可解答． 【详解】解：过B作轴于点，过作轴于点D， ∵，， ∴， 设则， ∴， ∵点B在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，∴， 由旋转性质得， ∵ ∴， ∴，， ∵且， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，涉及反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、勾股定理、完全平方公式的应用、旋转性质等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点为A，点B为直线l上位于第一象限内的一点，以为斜边，在直线l的右侧作等腰直角，若点B、点C均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比函数与几何综合，全等三角形的判定及性质，由直线解析式得，过点作轴于点，过点作于，则，设，则，，，根据是等腰直角三角形，证明，得，，则点的坐标为，再代入解析式，可得，，进而求得的值． 【详解】解：对于直线，当时，，则点的坐标为， ∴， 过点作轴于点，过点作于，则， 设，则，，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， ∵点在直线上，也在反比例函数的图象， ∴，， 整理得①， ②， 将①代入②得③， 由得， ∴，即， 解得：， 故答案为：6． 11．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接，连接．    (1)求点的坐标； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质等等，熟知反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得，则可求出点B坐标，进而求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标； （2）根据，求出对应图形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作轴，交x轴于点D，    ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴点； 将点代入中得，解得， ∴反比例函数解析式为． 在中，当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 12．12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为80 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用． （1）根据路程=速度时间，可求出与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到的范围； （2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 最低限速，时，； 最高限速，时，； ∴的范围为； （2）解：前用时，， 剩余用时，， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 13．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，则的取值范围为__________． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的平移等，有一定的综合性，难度不大． （1）用待定系数法即可求解； （2）设与的图象交于，两点，求出，，再观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：过点， ， 即反比例函数：， 当时，，即， 过和， 则， 解得， ； （2）解：如图，设与的图象交于，两点， 向下平移两个单位得且， ， 联立， 解得或， ，， ， 或． 故答案为：或． 14．如图，反比例函数过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图2，过点作轴的平行线，作于，于，设，证明出，得到，然后得到求解即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数上， ， ， 反比例函数为； （2）如图2，过点作轴的平行线，作于，于， 设， ， ，， 把线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，恰好也落在这个反比例函数的图象上， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 恰好也落在这个反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去） ∴． 【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 15．如图，反比例函数（）的图像经过点A，B，点A的坐标为，点B的纵坐标为3，点C的坐标为． (1)如图①，求反比例函数和直线的函数表达式； (2)如图②，P是直线上一点，D是x轴上一点，当的值最小时，求的最小值和此时点P的坐标； (3)如图③，是反比例函数（）图像上异于点A的一点，过点M作轴，垂足为N，过点A作轴，垂足为E，直线交x轴于点Q，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数为；直线的函数表达式为 (2)的最小值为，此时 (3)的值为 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得反比例函数解析式；把点B的纵坐标代入所求反比例函数式中，求得点B的横坐标，从而求得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）作点A关于x轴的对称点E，连接，则当三点共线，且时，的值最小；设点，则得，由此可求得最小值，得到点P的坐标； （3）由M在反比例函数图像上得；求出直线的函数解析式，则可得，从而知四边形是平行四边形，若要使它为菱形，则即可，由勾股定理建立关于m的方程即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图像经过点， ∴，即， ∴； ∵点B的纵坐标为3，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴； 设直线的函数表达式为，把B、C两点坐标分别代入其中， 得：，解得：， ∴． 即直线的函数表达式为． （2）解：如图，作点A关于x轴的对称点E，连接， 则，， ∴， 则当三点共线，且时，的值最小； 设点，由勾股定理得， ∵， ∴， 当时，有最小值18，则有最小值； 当时，，即， ∴的最小值为，此时； （3）解：存在，理由如下； ∵点M在反比例函数的图像上，且， ∴； 设直线解析式为，则有，解得：， ∴直线解析式为； 同理求得直线的解析式为； 由两直线解析式的系数相等得，且， ∴四边形是平行四边形； ∵四边形是菱形， ∴， 而， ∴， 解得（舍去）， 即的值为． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，垂线段最短，对称问题，菱形的判定等知识点，掌握这些知识是关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 反比例函数 （6个考点梳理+16类题型解读+提升训练） 清单01 反比例函数的相关概念 反比例函数的有关概念 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数. 其中x是自变量，y是x的函数. 待定系数法求反比例函数解析式：由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式. 双曲线 定义：反比例函数的图像由两条曲线组成，我们称之为双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，永远不会与x轴，y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 清单02 反比例函数的性质 反比例函数的性质 表达式 图像 k＞0 k＜0 图像无限接近坐标轴，但不相交 图像无限接近坐标轴，但不相交 经过象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【易错易混】 1. 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。 3. 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 清单03 反比例函数的k值意义 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 清单04 反比例函数与一次函数 1. 一次函数与反比例函数的交点问题 从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出,在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方,所以的解集为或 ；在②，④部分,反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 清单05 反比例函数的应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【考点题型一 反比例函数的定义】（） 【例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-1】在下列函数关系中，表示y与x既不是正比例关系，又不是反比例关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列式子中：①；②；③；④；⑤．能表示是的反比例函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-3】下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，是的反比例函数的有 （填序号）． 【变式1-4】下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 （填序号） 【考点题型二 根据反比例函数的定义求参数】（） 【例2】已知函数是反比例函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知是反比例函数，则m的值为（   ） A．0 B． C．1 D．或1 【变式2-2】当 时，是反比例函数，且它的图像经过第一、三象限． 【变式2-3】已知函数是反比例函数，且正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值为 ． 【变式2-4】已知函数是关于的反比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【考点题型三 用反比例函数描述数量关系】（） 【例3】下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 【变式3-1】下列问题中，两个变量成反比例的是（    ） A．商一定时（不为零），被除数与除数 B．等边三角形的面积与它的边长 C．货物的总价A不变，货物的单价a与货物的数量x D．长方形的长a不变时，长方形的周长C与它的宽b 【变式3-2】一个物体重，该物体对地面的压强随它与地面的接触面积的变化而变化，则p与S之间的函数表达式为 ． 【变式3-3】验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 ． 【变式3-4】用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系，并指出其中哪些是反比例函数． (1)某中学八年级（2）班学生为校运动会制作彩旗80面，完成天数（天）随该班学生平均每天制作的数量（面）的变化而变化； (2)已知菱形的面积为，一条对角线长随另一条对角线长的变化而变化； (3)小明家距学校4000m，若他骑车上学的平均速度是，则上学途中他与学校的距离随他骑车的时间的变化而变化． 【考点题型四 求反比例函数的自变量和函数值】（） 【例4】下列各点中，不在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值是 ． 【变式4-4】已知，与成正比例，与成反比例，当时，，当时，． (1)求y的表达式； (2)求当时的值． 【考点题型五 反比例函数的图象】（） 【例5】已知某矩形的面积为，两条邻边的长分别是、． (1)写出与之间的函数表达式以及自变量的取值范围； (2)画出该函数的图象． 【变式5-1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像： (1)； (2)． 【变式5-2】已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值，并画出函数的图象． (2)这个函数的图象在哪几个象限？在每一个象限内，y的值随x的增大怎样变化？ (3)点、、在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ (4)如果点在这个函数的图象上，那么点、在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ 【变式5-3】我们知道，一次函数的图像可以由正比例函数的图像向上平移2个单位长度得到．函数的图像与反比例函数的图像有什么关系？请回答下列问题： (1)根据这两个函数表达式，当取某一确定的值时，函数的值与反比例函数的值有何关系？由此可知，函数的图像可以由反比例函数的图像经过怎样的运动变化得到？ (2)在平面直角坐标系中画出函数的图像；类似地，函数的图像与反比例函数的图像有什么关系？ 【变式5-4】已知反比例函数的图象经过点． (1)求m的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)根据图象，当时，求y的取值范围． 【考点题型六 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】（） 【例6】如图，直线与双曲线相交于两点，点坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式6-2】正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于A、B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【变式6-4】在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【考点题型七 已知双曲线分布的象限求参数范围】（） 【例7】已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 【变式7-3】在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是 ． 【变式7-4】已知y关于x的反比例函数的表达式为． (1)若反比例函数的图象在第二、四象限内，求m的取值范围； (2)若，当点在反比例函数的图象上，求A点的坐标． 【考点题型八 已知反比例函数的增减性求参数】（） 【例8】若反比例函数的图像在某象限内y随x的增大而减小，则k的值可以是（   ） A． B．3 C．0 D． 【变式8-1】如果反比例函数的图像上有两点、，当时，有，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如果反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知点，在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是 ． 【变式8-4】已知反比例函数． (1)当函数图象位于第一、三象限，求m的取值范围； (2)在每一象限内，y随x的增大而增大，求m的取值范围． 【考点题型九 比较反比例函数值或自变量的大小】（） 【例9】若点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】对于函数，当时，y的取值范围是 ；当时，x的取值范围是 ． 【变式9-3】已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系是 ． 【变式9-4】如图，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点、都在反比例函数的图象上，且满足，比较的大小． 【考点题型十 已知比例系数求特殊图形的面积】（） 【例10】如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C．P为y轴上一点，连接，．则的面积为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【变式10-1】如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式10-2】如图，点A、B、C在反比例函数的图像上，过这三点分别向x轴作垂线，垂足分别为、、，则的面积之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 【变式10-4】如图是反比例函数的图像，P为图像上的一点，且轴，轴，垂足分别为A、B，分别交的图像于点D、C，求的面积． 【考点题型十一 根据图形面积求比例系数】（） 【例11】如图，已知双曲线与直线交于、两点（点在点的左侧），过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点，若的面积为8，则的值为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式11-1】如图，是等边三角形，点的坐标是，若反比例函数图象的一支经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在 轴的正半轴、 轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知平行四边形面积为18，则的值为 ． 【变式11-4】如图，在直角坐标系中，矩形的边，分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与，分别交于点，，连接，，．若的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【考点题型十二 求反比例函数的解析式】（） 【例12】在平面直角坐标系中，将点向下平移2个单位长度，得到点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B． C． D．20 【变式12-1】若一个反比例函数的图象经过点，则这个反比例函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，在直角坐标系中，正方形的顶点A、C分别在x轴和y的正方向上，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点E，若点，则点E的坐标是 ． 【变式12-3】若反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标为，则k的值为 ． 【变式12-4】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第一、三象限内的，两点．    (1)求该反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，x的取值范围． 【考点题型十三 反比例函数与一次函数的交点问题】（） 【例13】已知反比例函数与一次函数的图象交于点，则的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与正比例函数的图象交于，两点，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式13-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，其中点，点的横坐标为6，则时，满足的的取值范围为 ． 【变式13-3】如图，一次函数（、为常数，）的图象与反比例函数（为常数，，）的图象交于，两点，轴于点，轴于点，，则的值为 ． 【变式13-4】如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，写出关于的不等式的取值范围； (3)连接，，求的面积． 【考点题型十四 反比例函数与一次函数的实际应用】（） 【例14】某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【变式14-1】小亮为了求不等式>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数y=与一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【变式14-2】点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 【变式14-3】饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【变式14-4】如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； (3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 【考点题型十五 反比例函数与几何综合】（） 【例15】如图，将等腰直角三角形的一条直角边放在轴上，点，斜边与反比例函数交于点． (1)求的值； (2)若在该反比例函数上有一点，过作轴的平行线，分别交于点．当时，求点的坐标． 【变式15-1】某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 … 1 2 3 … … 4 2 … (1)根据上表数据，求出其对应函数的解析式及的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)如果点是该函数图象在第一象限上的一点，过点作轴的平行线，将上方的函数图象沿着直线翻折，求翻折后的函数图象与轴的交点坐标； (3)若经过点的直线分别交轴、轴于点，求的长． 【变式15-2】如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，四边形是正方形，反比例函数的图像经过点D． (1)求k的值； (2)若将正方形向下平移m个单位长度后，点C刚好落在反比例函数的图像上，则_________． 【变式15-3】如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，正方形的边落在x轴正半轴上，A，D在第一象限，点D的坐标为（3，2），连接，射线绕点A逆时针旋转90°交于点E，点E在反比例函数的图象上． (1)求的长； (2)求k的值． 【变式15-4】如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，并且． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； (3)在x轴上取一点，当的面积为12时，求m的值． 【考点题型十六 反比例函数的实际应用】（） 【例16】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)写出与之间的函数表达式． (2)当气体的体积为时，压强是多少？ (3)当压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应大于多少（保留两位小数）？ 【变式16-1】用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似的满足反比例函数关系．小红、小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10L），小敏每次用半盆水（约5L），如果她们都用了5g洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2g． (1)分别求出小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数表达式； (2)当洗衣粉的残留量降至0.5g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？ 【变式16-2】小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求I关于R的函数解析式； (2)当时，求I的值； 【变式16-3】如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如图表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由． 【变式16-4】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求图中线段所在直线的函数表达式； (2)当时，与成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 1．某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间t（单位：天）与入库平均速度v（单位：吨/天）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若每天最多可入库300吨玉米，则玉米全部入库所需时间t的范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知正方形的面积为9，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，且轴，轴，若点D的坐标是，则的值为（    ） A． B． C．3 D．－3 3．如图，点在反比例函数图象上，过作轴，垂足为，且，的垂直平分线交于，则的周长为（   ） A．7 B．8 C． D． 4．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点为坐标原点，点在轴正半轴上，点在双曲线上，且，若的面积为12，则的值为（   ） A．24 B．12 C．6 D．3 ∵， 6．平面直角坐标系中，点，点在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是 ． 7．反比例函数的图象上有两点，．当时，写出一个符合条件的值为 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为 ． 9．如图，平面直角坐标系中，点在轴上，，，点在反比例函数的图象上．把绕点顺时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，则点的坐标为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴的交点为A，点B为直线l上位于第一象限内的一点，以为斜边，在直线l的右侧作等腰直角，若点B、点C均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则k的值为 ． 11．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接，连接．    (1)求点的坐标； (2)连接，求的面积． 12．12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 13．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点和，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，则的取值范围为__________． 14．如图，反比例函数过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 15．如图，反比例函数（）的图像经过点A，B，点A的坐标为，点B的纵坐标为3，点C的坐标为． (1)如图①，求反比例函数和直线的函数表达式； (2)如图②，P是直线上一点，D是x轴上一点，当的值最小时，求的最小值和此时点P的坐标； (3)如图③，是反比例函数（）图像上异于点A的一点，过点M作轴，垂足为N，过点A作轴，垂足为E，直线交x轴于点Q，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$